КОГЕРЕНТНОСТЬ В ОТКРЫТОЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145, 512.81

Б0110.19110/1994-5655-2020-4-30-33

Н.Й. ГРОМОВ, И.О. КОСТЯКОВ, В.В. КУРАТОВ

КОГЕРЕНТНОСТЬ I ОТКРЫТОЙ КВАНТОВОЙ

СИСТЕМЕ

Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар

gromov@ipm.komisc.ru kostyakov@ipm.komisc.ru kuratov@ipm.komisc.ru

M.A. ERIMIV, I.V. KOSTYAKIV, O. K0RIT0V

COHERENCE IN AN OPEN QUANTUM

SYSTEM

Institute of Physics and Mathematics Federal Research Centre Komi Science Centre,

Ural Branch, RAS, Syktyvkar

Аннотация

Рассматривается двухуровневая открытая квантовая система, взаимодействующая с окружающей средой тепловым и электромагнитным образом. В результате теплового взаимодействия пер воначально некоммутирующие квантовые наблюдаемые в процессе эволюции частично приобретают классические черты, что проявляется в изменении (контракции) их коммутационных соотношений от sií(2) до алгебры Гейзенберга, а система становится некогерентной. При комбинированном тепловом и электромагнитном взаимодействии системы с окружающей средой наблюдаемые теряют квантовые свойства и становятся чисто классическими коммутирующими наблюдаемыми. Однако система при этом сохраняет свойство когерентности.

Ключевые слова:

диссипативные квантовые системы, алгебра наблюдаемых, кубит, когерентность, контракции алгебр Ли

Abstract

A two-level open quantum system interacting with the environment in a thermal and magnetic manner is considered. As a result of thermal interaction, initially non-commuting quantum observables in the process of evolution partially acquire classical features, which is manifested in the change (contraction) of their commutation relations from sn{2) to the Heisenberg algebra, and the system becomes incoherent. With the combined thermal and magnetic interaction of the system with the environment, the observables lose their quantum properties and become purely classical commuting observables. However, the system retains the coherence property.

Keywords:

dissipative quantum systems, algebra of observables, (jubil. coherence, contractions of Lie algebras

Введение

Основной сложностью создания квантовых компьютеров является быстрая декогеренция квантовых состояний открытых систем [1-3]. Диссипативные процессы в открытых квантовых системах с точки зрения контракций анализируются в работах [4-7]. Возможность сохранения когерентности открытых систем, по-видимому, демонстрирует нам природа на примере явлений фотосинтеза [8-11]. В данной работе мы приводим пример эволюции кубита, взаимодействующего с открытой системой, но сохраняющего когерентность. Все коммутаторы алгебры наблюдаемых при этом обнуляются, демонстрируя классическое поведение.

Известно, что диссипативная эволюция матрицы плотности кубита

_ 1 / 1 + z X — гу Р ~ 2 V х + W 1 — £ описывается уравнением Линдблада [1,2,5]

(1)

+

^ = h V''Н

или для наблюдаемых а^

аг = й

+

+

Е

к

Н,сц

(3)

Двухуровневая система в тепловом поле

Квантовая двухуровневая система [1] характеризуется наблюдаемыми ах,ау,аг с коммутационными соотношениями

(Ту] = 2iaz

У\ —

[<7z,

crz\ = 2гсг2 = 2г<т„

'у,

где

<7±

~(<7Х ±г<Ту),

ехр(^)-Г

(6)

х = -7 ( те + ^ | ж,

У = -7 ( « + ^ ] г/, ¿ = -7(1 + (2га+1)г), решения которой имеют вид

x(t) = е-">(п+^Ух0,

(7)

У о,

3"7(l+2n)i +

1

1 + 2п

+ zs,

(8)

-1

где = —(1 + 2п)~1. С учетом (6), имеем г3 при нулевой температуре Т = 0 окружающей среды, что соответствует основному состоянию системы |0)

с матрицей плотности р = |0)(0| = ^ д 1 ^ • При возрастании температуры Т —>• оо получаем г3 —>•

0, что соответствует полностью смешанному состоянию системы р = ±(|0)(0| + |1)(1|) = 5 ^ .

Формулы (8) при t —>• оо описывают эволюцию кубита. Поскольку в процессе эволюции х и у —>• 0, то матрица плотности (1) диагонализируется, что соответствует потере кубитом когерентности. Траектории эволюции кубита изображены на рис.1.

(4)

образующими алгебру зи(2).

Рассмотрим двухуровневую систему в тепловом поле [6,12]. Обозначим оператор перехода из основного состояния |0) в возбужденное |1) как А+ = (т+ = |1)(0|, а оператор перехода из верхнего состояния в основное — через А = = |0)(1|.

Пусть уравнение Линдблада содержит только диссипативную часть (Н = 0, V = А), тогда вместо (2) имеем

р= 1)(2а_ра+ - {сг+сг_, р} ) +

Рис. 1. Траектории эволюции кубита (8) в плоскостях

(х,у) и (y,z).

Fig. 1. Evolution trajectories of a qubit (8) in the planes

(x,y) and (y,z).

Что касается наблюдаемых системы, то уравнение (3) перепишется

ài = 7}(п+ 1)(2CT+ctî а- - {a+a-,ai}^j +

+ а+ - {а-а+,а^. (9)

Для наблюдаемых ах, ау, az оно принимает вид

(10)

= -7 | п+ g Ier®'

Здесь Ншо - разность уровней энергии основного и возбужденного состояний, 7 - константа взаимодействия, Т - температура окружающей среды.

Переписывая уравнение (5) в терминах переменных х, у, г, получаем систему уравнений

ау = -7 ( п + - ) <ту,

„ àz = -7I - 7(2п + l)az и имеет решения

*y(t) = e-<n+1*Ky, (11) oz(t) = (а3 + —*—)--—

W V 1 + 2 п) 1 + 2 п

с коммутационными соотношениями

= 2* + ^ (l " е-^1)*)) ,

Wy,Vz}t = 2ie~"ltax, [az, ax]t = 2ie~"rtay. (12)

в пределе t —>• 00

(13)

Переобозначая а3 —>• а3 + 1+2п имеем алгебру Гейзенберга.

[<Ух,<Уу}00 = 2гсгг,

Таким образом, в результате теплового взаимодействия кубита с окружающей средой первоначально некоммутирующие квантовые наблюдаемые ах,ау,аг (4) в процессе эволюции частично приобретают классические черты, что проявляется в изменении (контракции) их коммутационных соотношений до алгебры Гейзенберга.

Двухуровневая система в тепловом и электромагнитном полях

Добавим теперь в правую часть уравнения (5) гамильтониан взаимодействия с когерентным электромагнитным полем

Hi = hox

(14)

Уравнение Линдблада (2) преобразуется в систему уравнений

х = -7 | п+ ^ ) х, У = -1 [п+]^)у ~ 2hz,

(15)

к ¿ = -7(1 + (2га+ 1)г) + 2%.

Эта система имеет предельную точку типа узел с координатами

х3 = 0,

4/г/у

72(2га+ I)2 +8/г2' (16)

72(2га + 1)

Уз =

72(2га + I)2 + 8/г2 ' Решения системы (15) описываются формулами

у{Ь) = (уо - У а) (С+е~х-1 - С_е~х+1) +

+

2h(z0 - zs)

A_i _ е~A + t

) + Уз,

\J72 (га + \f - 16/г2 z(t) = (г0 - гв) (С+е-А+4 - С_е"А-') +

+2/г(г/0 ~ Уз) {е

-x+t _е-А_i

(17)

где

С+ =

(га + ± yV (га+ i)2 - 16/г2 2^/т2 - 16/г2

(18)

Уравнения для наблюдаемых в этом случае имеют вид

1

~7 | п+ - ) сгж,

-7 ( га + - ) (Ту — 2aaz

>у = ~ 1\п+\

о г = -т(1 + (2« + 1)Сг) + 2аСТ|/, а решения даются выражениями

(19)

,(t) =

4hj

Or,

{С+е~х-г - С_е~х+г) +

у 72(2га + I)2 + 8h2 2 h

I х

X \ (7 z +

72 (га+ i) - 16h2 ^(e-A_t_e-A+t) +

72(2га + l)2 + 8h2 Ahj

+ 72(2га+1)2 + 8/г21' 72(2ra+l)

+

72(2ra + l)2 + 8/i2

I x

x (C+e_A+i — C_e_A_i) +

+2/i <7,, -

4/г/у

72(2ra + l)2 + 8/12

I x

x (e_A+i — е~х~г)

72(2ra+l) 72(2ra + l)2 + 8/12

I.

(20)

Соответствующие траектории эволюции кубита изоб- новится абелевой ражены на рис.2.

В пределе t —>• 00 алгебра наблюдаемых ста-

°"yJoo = Fl/'^Joc

(21)

Таким образом, в результате теплового и электромагнитного взаимодействия двухуровневой квантовой системы с окружающей средой первоначально некоммутирующие квантовые наблюдаемые ах, (7у,аг (4) в процессе эволюции теряют квантовые свойства и становятся чисто классическими коммути-Рис. 2. Траектории эволюции кубита (15) в плоско- рующими наблюдаемыми. Однако система при этом

сохраняет свойство когерентности.

стях (ж, у) и (у, z).

Fig.2. Evolution trajectories of a qubit (15) in the planes (x, y) and (y,z).

Авторы выражают благодарность АЛ. Кара-банову за плодотворные обсуждения.

Литература

1. Нильсен МА., Чанг И.Л. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.:Мир, 2006. 824 с.

2. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Т. 1-2. Ижевск: РХД, 2008, 464 е.; 2011. 312 с.

3. Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем / М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. 824 с.

4. Chruscinski D., Facchi P., Marmo G., Pascazio S. The Observables of a Dissipative Quantum System // Open Systems & Information Dynamics. 2012. Vol. 19. No. 01.1250001.

5. The quantum-to-classical transition: contraction of associative products / A. Ibort, V.I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, C. Stornaiolo, F. Ventriglia Ц Physica Scripta. 2016. Vol. 91. No. 4. 045201. ArXiv: 1603.01108 [quant-ph],

6. Dynamically algebra of observables in dissipative quantum systems / S. Alipour, D. Chruscinski, P. Facchi, G. Marmo, S. Pascazio, AT. Rezakhani // J. Phys. A: Math. Theor. 2017. Vol. 50. 065301.

7. Громов НА., Костяков И.В., Куратов В.В. Диссипация кубита и контракции алгебр Ли // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2019. № 4(40). С. 5-12.

8. Арефьева И.Я., Волович И.В., Козырев С.В. Метод стохастического предела и интерференция в квантовых многочастичных системах // Теоретическая и математическая физика. 2015. Т. 183. №3. С. 388-408.

9. Aref'eva I.Y., Volovich I.V. Holographic Photosynthesis. arXiv:1603.09107 [hep-th],

10. Ohya M., Volovich I. Mathematical Foundations of Quantum Information and Computation and Its Applications to Nano- and Bio-systems. Springer. 2011. 759 p.

11. Kozyrev S.F., Mironov AA., Teretenkov A.E., Volovich I.V. Flows in nonequilibrium quantum systems and quantum photosynthesis // Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2017. Vol. 20:4. 1750021; arXiv:1612.00213

12. Белавин AA., Зельдович Б.Я., Переломов AM., Попов B.C. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 56 (1). С. 264-274.

References

1. Nielsen MA., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010. 702 p.

2. Preskill J. Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation. CreateSpace Independent Publishing Platform, 2015. 322 p.

3. Breuer H.-P., Petruccione F. The theory of open quantum systems. Oxford University Press, 2007.

4. Chruscinski D., Facchi P., Marmo G., Pascazio S. The Observables of a Dissipative Quantum System Il Open Systems & Information Dynamics. 2012. Vol. 19. No. 01. 1250001.

5. The quantum-to-classical transition: contraction of associative products / A Ibort, V.I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, C. Stornaiolo, F. Ventriglia // Physica Scripta. 2016. Vol. 91. No. 4. 045201. ArXiv: 1603.01108 [quant-ph].

6. Dynamically algebra of observables in dissipative quantum systems / S. Alipour, D. Chruscinski, P. Facchi, G. Marmo, S. Pascazio, AT. Rezakhani // J. Phys. A: Math. Theor. 2017. Vol. 50. 065301.

7. Gromov NA., Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Dis-sipaciya qubita i kontraktsii algebr Lie [Qubit dissipation and contractions of Lie algebras] Il Proc. of the Komi Sci. Centre, Ural Branch, RAS. 2019. No. 4(40). P. 7-14.

8. Aref'eva I.Ya., Volovich I.V., Kozyrev S.V. Metod stokhasticheskogo predela i interfer-entsiya v kvantovykh mnogochastichnykh sis-temakh [Stochastic limit method and interference in quantum multiparticle systems] // TMF. 2015. Vol. 183. No. 3. P. 388-408.

9. Aref'eva I.Ya., Volovich I.V. Holographic Photosynthesis, arXiv:1603.09107 [hep-th],

10. Ohya M., Volovich I. Mathematical Foundations of Quantum Information and Computation and Its Applications to Nano- and Bio-systems. Springer. 2011. 759 p.

11. Kozyrev S.F., Mironov AA., Teretenkov A.E., Volovich I.V. Flows in nonequilibrium quantum systems and quantum photosynthesis // Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2017. Vol. 20:4. 1750021, arXiv: 1612.00213

12. Belavin AA., Zel'dovich B.Ya., Perelomov AM., Popov V.S. Relaksatsiya kvantovykh sistem s ek-vidistantnym spektrom [Relaxation of quantum systems with equidistant spectrum] // JETF. 1969. Vol. 56(1). P. 264-274.

Статья поступила в редакцию 21.09.2020.