KO‘P TIPLI GALTON – VATSON JARAYONLARI UCHUN LIMIT TEOREMALAR Текст научной статьи по специальности «Математика»

Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

KO'P TIPLI GALTON - VATSON JARAYONLARI UCHUN LIMIT

TEOREMALAR.

I.A. Ergashev ,

Chirchiq davlat pedagogika instituti. A.H. Hamdamov O'zbekiston milliy universiteti.

Kalit so'zlar: Markov zanjirlari, tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlar, hosil qiluvchi funksiyalar, limit teoremalar.

Ko'p tipli Galton - Vatson jarayonlari XIX asr o'rtalarida Kolmogorov, Sevastyanov va boshqa bir qator olimlar tomonidan o'rganila boshlangan.

Faraz qilaylik, Zt Sanoqli tipdagi Galton - Vatson jarayonlari bo'lsin. Z holatlari sanoqlita bo'lgan Markov zanjiridir.

z, = (Zt, z21,...) (1)

bu yerda Zt cheksiz o'lchovli Markov zanjirini hosil qiladi. Bu yerda Z, i - tipdagi t-vaqt momentidagi hosil bo'lgan zarralar sonini anglatadi.

Faraz qilaylik, tasodifiy jarayon ZM bir jinsli bo'lmagan 2- tipli Kasr-chiziqli Galton -Vatson jarayoni bo'lsin.

Bu jarayon ikta holatdan iborat bo'lib 1- holatda jarayon boshlang'ich vaqt momentida quyidagi qonuniyatga ega bo'lsin [7]. .

fi(s) = \ +

1 + r - rs

bu yerda h01 + h11 = 1, r1 > 0 h01 1-holat uchun boshlang'ich vaqt momentida avlodlar bo'lmaslik ehtimoli, h11 1-holatda jarayon boshlang'ich vaqt momentida kamida bitta avlodga ega bo'lish ehtimoli.

2- holatda jarayon boshlang'ich vaqt momentida quyidagi qonuniyatga ega bo'lsin:

f2(s) = h02 H--—- bu yerda h02 + h12 = 1, r1 > 0, h02 2-holat uchun

1 + r2 - r2s

boshlang'ich vaqt momentida avlodlar bo'lmaslik ehtimoli, h11 2-holatda jarayon boshlang'ich vaqt momentida kamida bitta avlodga ega bo'lish ehtimoli.

Birinchi va ikkinchi holatda jarayon uchun birinchi vaqt momentidagi matematik kutilmalarni aniqlaymiz. Tasodifiy miqdor hosil qiluvchi funksiyasi xossalariga ko'ra

Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

f '(1) = Mx = (1 + rl)hn, f2 '(1) = M2 = (1 + r2)hl2.

1-holat n1 avlod, 2-holat n2 avlodga ega bo'lsin. n = n1+n2 va

f™(s) == ho1{n1} 4 h11 s

1 + r{n1} - r {n1}s' {«2}(

h {n2}s

f2 (S) h02 + 1 + r{n2} - r{n2}s '

fi^f^s)) = ho{n} + ^ {„}

1 + r{ } - r{ }s bu yerda r{n} = r^ + r^M^

(3)

{n} = M1^ M2n2 (2)

h 1 + r2{n2} - r{n1}Mn2 . ()

Yuqoridagilardan

1 1 r,^ r{n1} -=-+ —2-+ -—

P(Zn *9) MnM2n MnMn Mn bulardan

r™ + r^M^ = rM2n f M(-1 + r f Mj-1 (4)

j=1 j=1

u holda (3) va (4) munosabatdan quyidagi munosabat o'rinli [6]:

P(Zn * ff) =-M-^2-S-. (5)

1 + rMn f M[ -1 + r f Mi -1

j=1 j=1

Z uchun maxsus holatlarni qaraylik [7].

1-hol: ML >1, M2> 1, n2 ^ ™

P(Zn = ff) ^ r-^.

r1

2-hol: ML <1, M2< 1, n2^ ™

M n1 M n-n1 M n1 M n2 P(Z *6) =-ML-Mj-=-M \M2

v n / n n-n 1

1+M-1 f Mj-1 + r> f Mj-1 1++r YZ

j=1 j=1 1

M

2

Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

Mn m2"2(\ - M )

1 + rxM

1

■ + r

1

2 1 - m 21 - m2

u holda

n1 ^ ro, n2 ^ ro

P(zn = 0) = 1.

3-hol: M1 <1, M2> 1, n1 = const, n2 ^ ro

P( Z *0) =

Mn m2 "2

«2

1 + rxM« X M7 -1 + r2 X M2-1

7=1 7=1

= 0) ^ 1

Mn

1 - M«1 1

r- + r2-

1 1 - m M2 -1

n1 ^ ro, n2 ^ ro

P(Zn = 0) = 1.

4-hol: M1 = 1, M2 = 1, n1 ^ ro, n2 ^ ro

M«1 M«2 1 P(Z *0) =-- - 1

v n / № «T

1 + rn + r«2

1 + rM/2XMi-1 + rXMi-1 1' '1n ' '2«2

7=1 7=1

n 1

Agar ^a, 0 < a < 1 P(Zn = 0) ^ 1

n

1 + r1n1 + r2n2

u

holda

n1 ^ ro, n2 ^ ro , n ^ ro

P(Zn = 0) = 1.

Demak bu keltirilgan tasdiqlardan quyidagi teoremani keltirishimiz mumkin. Faraz qilaylik, tasodifiy jarayon bir jinsli bo'lmagan 2 tipli kasr - chiziqli jarayon bo'lib boshlang'ich vaqtda Zx va Z2 holatlardan iborat bo'lsin. Teorema: Zx holat n1 avlodga va Z2 holat n2 avlodga ega bo'lib boshlang'ich vaqtda har bir holat turli parametrli geometrik taqsimot bilan taqsimlangan bo'lib ushbu kasr - chiziqli hosil qiluvchi funksiyalarga ega bo'lsa

f71 =

(1 - qn)s 1 - qns

f71 =

(1 -

1 - ^21s

« + n = n

r

2

Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

Bunday tasodifiy jarayon yetarlicha yuqori vaqt momentida kamida bitta avlodga ega bo'ladi.

Isbot: O'z navbatida Zx holat va Z2 holatning n1va n2 avlodlardagi hosil qiluvchi funksiyasini quyidagi ko'rinishda belgilab olamiz:

f7nX (s) = f

a {1} - a {2}s

{«J _ aln 1 aln 1 S

= ain/» - ain,|4}s:

a {1} - a ms

> J, {«2} "2«2 "2« 2

Zn2 (s) = J 2 = {3} {4}

Z2 a {3} - a {4}s

12n 2 -12 n 2

u holda

f{« l}( f{« 2}(s)) = ai« + ai« S

ain{3} + a

{4} ,

in

Shrederning funksiyalar itteratsiyasiga doir ishlarida keltirilgan kasr chiziqli funksiyalar t-tartibli iteratsiyalaridan foydalanilanib ain{1>, ain{2>, ain{3>, ain{4> larni topish mumkin. Yuqoridagi (5) munosabatga ko'ra boshlang'ich vaqtda 2 tipli bir jinsli bo'lmagan Galton - Vatson jarayoni Zx va Z2 holatlari avlodlar hosil qilishi geometrik taqsimot qununiga bo'ysunsa jarayonning avlodlar hosil bolish ehtimoli quyidagiga teng bo'ladi:

p (Z ^e) = -

n

i-a

ii

i-a.

2i

'ii

i - a

ii

i - a.

2i

\n2 ^ i Z j = i

V-i f

i - a

ii

2i

i - a

2i

^ n2 '

Z j=i

V-i

i - a

2i

i 1 i

keltirilgandan tenglikdan-> i,-> i bo'lganligi uchun

i-aii i-a2i

^ ^ro, ^ ^ro P (Zn ^

i

i - aii

-1

aii

= i, bundan

i - aii

p(Z« = 0) = o.

Demak, bunday jarayonlar bir ehtimollik bilan tugamas ekan ya'ni bu tasodifiy jarayon yetarlicha yuqori vaqt momentida kamida bitta avlodga ega bo'lar ekan.

REFERENCES 1. E.A. CeBacTbflHOB.BeTBfl^necfl npo^ccbi. M.HayKa.1971.

i

Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va yutuqlari

Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti

2. Sagitov S. and Shaimerdenova A. Extinction times for a birth-death process with a weak competition. Lithuanian Mathematical Journal. - 2013. - № 53(2). -P. 220-234.

3. Ergashev I.A. Kritik Galton - Vatson tarmoqlanuvchi jarayonlar uchun limit teoremalar. Konferensiya -"Stoxastik tahlilning dolzarb muammolari" II-qism. Toshkent - 2021, sah.135-136.

4. Ergashev I.A. Galton-Vatson tarmoqlanuvchi jarayoni va uning hosil qiluvchi funksiyasi. Konferensiya - "Matematik va amaliy matematikaning zamonaviy muammolari" Toshkent - 2020, 154-156 sah.

5. Толеуханов А.Е. и Шаймерденова А.К. Резольвента корректно-краевых задач для неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка. Известия НАН РК. - 2010. - № 2 (273). - С. 24-29.

6. Толеуханов А.Е. и Шаймерденова А.К. Резольвента корректно-краевых задач для неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка. Известия НАН РК. - 2010. - № 2 (273). - С. 24-29.

7. Шаймерденова А.К. Точные асимптотические резултаты и явние формулы для некоторых специалных ветвящихся процессов. Диссертация на соискание ученой степени PhD. Рес. Каз. Алматы - 2013. С. 79-82.