CC BY
12
УДК 512.552.7
КЛАССОВЫЕ КОЛЬЦА ХАРАКТЕРОВ ГРУПП ЯНКО
Е.Ш. Сабирзянова
В работе описаны группы центральных единиц целочисленных групповых колец спорадических групп Янко. Все исходные данные берутся из таблиц характеров, содержащихся в системе GAP.
В работе [1] было введено понятие классового кольца характера группы и была показана важность изучения таких колец для нахождения центральных единиц целочисленных групповых колец. Спорадические группы занимают особое положение в конечных группах [3] и поэтому валено и интересно изучение классовых колец характеров таких групп. Будем использовать подходы и основные обозначения из [1], а информацию о характерах и их нумерацию возьмем из [2]. Для начала рассмотрим наиболее простой случай - группу Ji-
Теорема Al. Классовым кольцом неприводимого характера для группы Ji является одно из следующих колец: Z; Z+2433©Z; Z+253©Z; Z+2432©Z; Z+25©Z; Z+32©Z, где
2
Доказательство. Поскольку множества значений алгебраически сопряженных характеров совпадают, то ограничимся 1гг(У2,а1с). Каждому характеру сопоставим строку чисел
ХМ)-*?
j™-eX(J2)}5 каждое из которых является целым алгебраическим и где X(J2) -
deg Xj
система представителей классов сопряженности группы. Согласно замечанию 2 из [1] данные элементы порождают классовое кольцо характера
Х2->(2432А; 2432А*; 2533Е; 2533Е*: 24335G; 24335G*; -25335G; -25335G*>=2433(-«+1; со; 2©+2; -2©+4; 5©-5; -5©; -10©+10; 10©), то есть данному характеру соответствует кольцо Z+2433соZ. 24->(25ЗВ; 25ЗВ*; 2632F; 2632F*; 25325G; 25325G*; -273-5G; -273-5G*)=253(©+3; -© + 4; -12© +12; 12со; 15o>—15; -15со; 20со; -20©+20), и получаем кольцоZ+253©Z.
^8->(2432С/5; 2432С*/5; -2433G; -2433G*; 2632G; 2632G*)=2432(-© + 1; ©; -3©+3; 3©; 4©-4; - 4a?), и поэтому данному характеру соответствует кольцо Z+2432©Z.
^i4~>(25A/3; 25А*/3; 2% 26Е*; 255G; 255G*; 265G; 265G*)-25( -© +1; © ; 2© +2; -2© +4; 5© -5; -5 со; 10 ©-10; -10©), то есть получили кольцо Z+25©Z.
2*i6~>(32D; 32D*; -2-33F; -2-33F*; -22325G*; ~22325G)=32(4©-3; - 4©+l ; 12©-12; -12©; 20©; -20©+20), и получаем кольцо Z+32©Z. Для остальных характеров в силу сопряженности классовое кольцо будет совпадать с одним из вышеперечисленных либо это просто Z. Что и требовалось доказать.
Теорема В1. Для классового кольца К характера обозначим через U(K) его группу единиц. Тогда для группы Jj имеем: U(Z+253©Z)=<—1>х<©24 >; U(Z+2432©Z)=<-l>x<© 12 >; U(Z+2'©Z)=<-1>x<©24>; U(Z+2433 © Z)=<-1 > X < © 36 >; U(Z+32©Z)=<-l>x<© 12 >.
Доказательство. Известно, что Если ©l~a+25b© и ©p=c+3d©, то
© к =m+253n© , где k =HOK(t,p). Поэтому для доказательства первого утверждения ищем числа Фибоначчи, сравнимые с нулем по модулю 25 и 3. Непосредственное вычисление дает следующее" /24 -0(mod 25) и/4 =0(mod 3). Значит к =НОК(24,4)=24.
Другие утверждения получаются аналогично. Что и требовалось доказать.
36
Вестник ЮУрГУ, № 6, 2003
Сабирзянова Е.Ш.
Классовые кольца характеров _групп Янко
Теорема А2. Классовым кольцом неприводимого характера для группы J\ является одно из следующих колец: Z\ Z+П-19 а> Z; Z+22\9a> Z; Z+22Ug> Z\ Z+7-1 l-C-Z+7-11-E-Z, где
(19)2-Ь^ (19)5+^ (19)14-Ь^ (19)17.
Доказывается аналогично теореме Al.
Теорема В2.Для группы J} выполняется:
U(Z+11-19^Z)=<-1>X<Û>90>;
U(Z+2219 со Z)~<-1> х<со 1S>;
U(Z+221 \coZ)-<-l>x<co30 >;
U(Z+7-ll-C-Z+7-ll-E-Z)=<-l>x<(2-bC)30>x<(2+E)30>.
Доказательство. Первые три утверждения доказываются аналогично теореме В1, а последнее получается анализом степеней чисел 2+С и 2+Е, которые являются фундаментальными единицами соответствующего поля характера.
И, наконец, разберем случай группы Уз.
Теорема A3. Классовым кольцом характеров для группы является одно из следующих колец: Z; Z+2634cüZ; Z+2533ö>Z; Z+2619Vl7Z; Z+V^19-263 5Z; Z+3-17-19C-Z+3-17-19D-Z, где
C=-e(9)2 + f (9)4 + ff (9)5- ff (9)7, D = 2 ff (9)2 + ff (9)4 + ff (9)5 +2 ff (9)7.
Доказывается аналогично теореме Al.
Теорема ВЗ. Для группы выполняется:
U(Z+2634^Z)-<-l>x<iy 432 >;
U(Z+2533o>Z)=<-l>x«y72 >;
U(Z+ -2635 Z)=<-1>;
U(Z+2619- Vl7 Z)=<-l>x<(33+8 VÏ7 )72 >;
U(Z+3-17-19C-Z+3'17-19D-Z)-<-l>x<(2- C- D)24>x<(-1-C- 2D)24>.
Доказательство. Первые два утверждения доказываются аналогично теореме В1, в третьем утверждении тривиальность имеет место, так как кольцо получено присоединением V- d , где d - натуральное число, а последние утверждения получаются путем анализа степеней фундаментальных единиц аналогично теореме В2.
Литература
1. Алеев, Р. Ж. Центральные элементы целочисленных групповых колец. Н Алгебра и логика. -Т. 39. -№ 5. - С. 513-525.
2. Schönert, Martin et al. GAP - Groups, Algorithms, and Programming/ M. Schönert; Lehrstuhl D für Mathematik, Rheinisch Westfälische Technische Hochschule. - 6-th ed.- Aachen, Germany, 1997.
3. Горенстейн Д. Конечные простые группы: Введение в их классификацию/ Д. Горенстейн; Под ред. А.И. Кострикина. - М.: Мир, 1985.
Поступила в редакцию 2 апреля 2003 года
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 3
37
