Классификация линейчатых поверхностей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Геометрия срединных поверхностей оболочек

КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

С.П. КРИВОША11КО, д-р техн. паук, профессор Российский университет дружбы пародов, г. Москва

Геометры неоднократно пытались разработать глобальную классификацию поверхностей.

И настоящей статье предлагается к рассмотрению вариант классификации всех известных на нас тоящее время линейчатых поверхностей.

Поверхность, описанная непрерывным движением прямой линии, называется линейчатой. Поверхность называется элементарной линейчатой поверхностью, если через каждую точку Р этой поверхности проходит прямая, которая имеет с поверхностью общий отрезок, содержащий точку Р, причем концы этого отрезка могут не принадлежат поверхности. Прямые, принадлежащие линейчатой поверхности, называются прямолинейными образующими. Кривая, пересекающая все прямолинейные образующие поверхности, называется направляющей кривой.

Векторное уравнение линейчатой поверхности, можно представить в форме:

г - г (и, V) - «(у)) иЬ{у), (1)

где а(у) радиус-вектор направляющей кривой, Ь(у) - направляющий вектор прямолинейной образующей.

Линейчатые поверхности могут быть поверхностями только нулевой или отрицательной гауссовой кривизны. Линейчатой поверхности с положительной гауссовой кривизной не существует.

Дальнейшая классификация линейчатых поверхностей представлена

у на схемах 1 и 2. г На схеме 1 отмечено, что известны только 2 вида конических поверхностей 3-го порядка. Рассмотрим их более подробно. На рис. 1 изображена коническая поверхность с направляющей кривой в форме аньезианы

(/-, О, 0)/'т*

2 В2Т 4 у2 + В2

-Г,

где В/2 <у< В/2 , 0< г <Т . Поверхность образуется движением прямой, проходящей через вершину поверхности (/,; 0; 0), и пересекающей заданную направляющую аньезиану. Направляющая кривая лежит в координатной плоскости уОг.

липсичатии коническая улитка вращения

ротативнаи поверхноечь с аксоидами «плоскость конус», образованная прямой пересекающей ось конуса (рис. 6-9)

рогатишти поверхность с аксоидами «конус -конус», образованная прямой, проходящей через общую вершину аксоидов (рис. 10,11)

Р

б »■ч

Формы задания конической поверхности:

1) Явная форма задания: г =

2 Я2Щ-х)3

Т{Ь-х)

ЦАу2Ь2 + В2(1-х)2]

где Ь - высота конической поверхности. Из представленной формулы очевидно, что коническая поверхность с направляющей аньезианой является алгебраической поверхностью 3-го порядка [1]. 2) Параметрическая форма задания (рис. 1):

Т(Ь - х)

2В1

4 ¿\2а + В2

-1

где а - угол в плоскости хОу с вершиной в точке (£; 0; 0), отсчитываемый от оси Ох; -В/(21) < \%а < 5/(2/,).

Алгебраическая поверхность 3-го порядка, образованная прямыми

линиями, проходящими через точку А с координатами (£, О,

л/37'/3) и направляющую кривую в форме листа Декарта

, = ±

Т \Т + Зг называется конической поверхностью с направляющей кривой в форме листа Декарта (рис. 2). Формы задания поверхности: 1) Явная форма задания:

В (¿г-ч/ЗхТУЗ) Гз(?Х - Тх - ¿7 + УЗхГ/з)

: ±2,5426

[ТЬ-хТ + ЪЬг

^ЗхГ) '

где Ь - длина перпендикуляра, опущенного из вершины конуса на плоскость уОг; 0 <х<1; утах = В при г - 77 V3 .

2) Параметрическая форма задания (рис. 2):

х = х(и) = ¿и, у = у{и,V) = ±2,54266(1 -и)-({Г-у)Т(\7з"±у) ,

я = г(и, V) = Ви / л/3 + В(1 - и), где 0 < г <Т; -В < у < В; 0<х<Л. Поверхность на рис. 2 построена для О < и < 1; -0,3 < V < 1; I = 4 м; Г= 2 м; В = 0,5 м.

На рис. 3-5 показаны три конические поверхности, которые относятся к группе неалгебраических конических поверхностей (см. схему 1). Других неалгебраических конических поверхностей в научно-технической литературе не обнаружено.

Прямая коническая поверхность с плоской направляющей кривой в 12

Рис. 3

форме круговой синусоиды образуется движением прямой линии, одна точка которой неподвижна, а другая описывает синусоиду относительно базисного круга радиусом г = zigOa в плоскости, перпендикулярной оси конуса (рис. 3). При и = О образующая прямая наклонена к оси конуса иод углом в0.

Формы задания конической поверхности: 1) Параметрическая форма задания (рис. 3), ¡ предложенная В.Н. Ивановым:

х = х(и, v) = vtS(u) cos и, у - у (и, V) ~ vtS(u) sin и, z = v,

где введены обозначения: S(u) = 1 + fism(mu)i ц -амплитуда синусоиды относительно единичного круга, находящегося в сечении z ~ ctg0o; т число волн синусоиды; í = tgí?0; О < и < 2к.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности: А2 = t2v2[s2(и) +/и2т2 cos2(ти)\ F = -vt2S(u)jumcos(mu), В2 ■■ I \ t \s '(n), L = lV |S(m) h /m2 sm^w)}^) -2f.i2m2 COS(wik)}, M ' 0; N - 0;

где cr2 ={a2B2-F2)l{tvf = S2(u) + t2S\u) + m2/.i2 cos2{mu).

На рис. 3 изображена прямая коническая поверхность при т~1.

Эвольвентная коническая поверхность имеет в качестве направляющей кривой эвольвенту окружности х = «(cosí + ¿sin/), у ~ «(sin? - /cosí), где f - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу (рис. 4); 0<í<oo.

Эвольвентную коническую поверхность можно задать в виде:

Рис. 4

X -- x(t, Z) ■■

хв - «(cos M í sin t)

zt a(cosí i ísiní),

У,i ~ o(sin í - í eos í) , . = ---------------- •- + a(smí- í cosí), z^-z,

где x„, y„, z„ - координаты вершины конической поверхности.

Эвольвентная коническая поверхность ограничивает боковую поверхность зубьев конических зубчатых колес с прямыми зубьями.

Вершина конической поверхности с направляющей линией на сфере лежит в центре опорной сферы. Направляющая линия расположена на luj-^

—К <и<7Г

a<v<0

Рис. 5

верхности этой же сферы радиусом а и задана векторным уравнением: е0 = ей(и) = a(icosm н/sini^cosw -+■ Aasincu,

причем со^ри; р ~ const.

Форма задания поверхности: 1) Параметрическая форма задания:

х = x(m,v) = (а + v)coscocosm, у =y(u,v) = (а + v)coscüsiiiM, z = z(u,v) = (а + v)sinw. Если взять V < 0, то коническая поверхность будет помещаться внутри опорной сферы (рис. 5), а при v >0 - вне опорной сферы. В обоих случаях направляющая линия лежит на сфере радиусом а. Поверхность задана в линиях главных кривизн и, v. На схеме 1 конические ротативные поверхности выделены в отдельную группу. Ротатианая поверхность образовывается произвольной пространственной кривой в случае качения без скольжения подвижного торса, с которым жестко связана производящая кривая, по неподвижному торсу. В этом случае говорят, что производящая кривая совершает ротативное движение. V Ротативная поверхность с аксоидами «плоскость — конус», образованная прямой, проходящей через вершину подвижного конуса, является конической поверхностью. Возможны четыре варианта расположения образующей прямой, проходящей через вершину конуса О: J3 < а (прямая /] на рис. 6); р > а (прямая /2 на рис. 6); р = а (прямая /3 на рис. 6) и р = 0 (прямая /4 на рис. 6). Введены обозначения: а - угол между осью кругового ко-|нуса и его прямыми образующими; р -'угол между осью конуса и образующей прямой l¡.

Формы задания линейчатой поверхности

1) Параметрическая форма задания: • v(cos (р sin a cos и + sin ср sin и)tg/?, -SH10>COSM)tg/?,

Рис. 6

Рис. 7 ( п

х - x(u,v)-y = y(u,v):

vcosacosw •

v cos a sin и - v(cos (p sin a sin и -z - z(u, v) = v sin a + v cos cosakgß, где <p пи; а угол между осью подвижного кругового конуса и его прямыми образующими (рис. 6); п ~ 1/sina = R/r, ß - угол между осью под-

xn>

вижного конуса и образующей прямой; и, V - криволинейные координатные линии на ротативной поверхности. В рассматриваемом случае образующая прямая (/, или /2) задана в подвижной системе координат параметрическими уравнениями: Хл = у, У, = О, 2-х = vtg/J.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:

A2 = v2[(l + ?rtg/? cosacos а)2 + w2tg2/?sin2 íP]cos2 a, F = О, £ =

Р>а Рис. 8 (и ■--- 4)

1/cos/?,

, V2 cos2 arcos В L _ ,, . , 2 „

I ~-----------<п + ntgp cos (р cos а)| - sin a + {n - 2)ígfi cos q> cos a +

Л

+ (sin a eos2 p - 2«)tg2 j3] + n3 tg:2 J3 sin2 (p\ M = N = К = 0. 2) Параметрическая форма задания (рис. 9):

х = х(и, v) = V cos ar cos и - v(cos <p sin a cos и + sin <p sin u)tga,

у = y(u, v) - v cos a sin и - v(cos <p sin a sin и - sin <p cos u)Xga,

■ z(u, v) = v(l + cos cp) sin a.

При этом способе задания поверхность формируется прямой образую-Л щей /3 (рис. 6), то есть принято р = а.

¡Прямая образующая совпадает с -Н образующей подвижного конуса. 3) Параметрическая форма задания: х{и, v) = V cos a cos и,

у(и, v) = V cos a sin и, ¿(v) ~ v sin а. При этом варианте задания поверхность (iпрямой круговой конус) формируется прямой образующей U, совпадающей с осью подвижного конуса ОХ\ (рис. 6), то есть принято ft - 0.

Ротативные поверхности с аксоидами «конус - конус», образованные прямой, проходящей через общую вершину аксоидов, при наружном (рис. 10) и внутреннем обкатывании (рис. 11) являются коническими поверхностями. Эти

15

п = 4; р>а2 Рис. 10

1-4; щ <и <и2; Рис. 11 0? = «2>

ротативные поверхности исследовались Ядгаровым Дж.Я. [2] и В.Н. Ивановым (рис. 10, 11).

Схема 2 предс тавляет собой классификацию линейчатых поверхностей отрицательной гауссовой кривизны (К < 0).

Согласно этой схеме в группу «Коноиды» входит также прямой волнистый геликоид (рис. 12). Прямым волнистым геликоидом называется линейчатая поверхность, описываемая прямой, которая пересекает ось геликоида под прямым углом, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг этой оси и одновременно перемещается поступательно вдоль этой же оси, проходя одновременно через волнистую линию

X - Дм) - Rcosu, Y ■■= Y(u)" Rs'mii, Z = Z(u) = bu + asmpu, лежащую на круговом цилиндре радиусом R] 2кЬ - шаг волнистой линии; и угол, отсчитываемый от оси х в сторону оси у;р = const; а - амплитуда колебаний направляющей волнистой линии относительно базовой винтовой линии одинакового ската Xh - Xh{u) = Rcosu, Yh Yi,(u) - Rs'mu, Zh ^ Z/,(u) = bu на цилиндре радиусом R.

Прямолинейные образующие прямого волнистого геликоида параллельны его плоскости параллелизма, которая перпендикулярна оси геликоида, поэтому прямой волнистый геликоид относится к семейству поверхностей Каталана. По способу построения эта линейчатая поверхность о тносится к группе коноидов. Форма задания прямого волнистого геликоида: рис ¡2

1) Параметрическая форма задания:

х — x(u,v) — veos и, у - y(u,v) = vsinw, z = z{u) = bu + asmpu, где R < v < +QO . Линия v () ось геликоида. Координатные линии v совпадают с прямыми образующими прямого волнистого геликоида.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:

A2 = v2 + {b + apcospu)2, F = О, £ = 1,

А2В2 ~F2 =А2 = v2 + (b +ар cos puf,

ap2vsm ри .. b +apeos ри .. _

L - ~-------- - M —-------------—--—, N = 0,

A A

ap2vsmpu^ K^Jb + apc^puf H = ap\mpu^

А3 А4 2A

Как показывают- коэффициенты основных квадратичных форм поверхности, прямой волнистый геликоид задан в ортогональной несопря-женной системе криволинейных координат и, v.

Прямой волнистый геликоид является поверхностью строго отрицательной гауссовой кривизны. При а - 0 или при р~ 0 поверхность вырож-16

Известны 14 видов поверхностей Катала-на общего вида

Гиперболический параболоид

Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид вращения

с двумя скрещивающимися прямыми, пересекаю- 1 щими все образующие, одна из которых - двойная

с двумя скрещивающимися прямыми (одна из которых - двойная), пересекающими все образующие, одна из которых - двойная

Косые линейчатые поверхности п-го порядка

V!

Косые линейчатые поверхности 2-го порядка

Косые линейчатые поверхности 3-го порядка

Косые линейчатые поверхности 4-го порядка

Существует 12 видов косых линейчатых поверхностей 4-го порядка

Косые линейчатые ротативные и спироидальные поверхности

кды косоЯ ■грихощцц.Ш црлтцрощ

дается к прямой геликоид.

Поверхность, изображенная на рис. 12, имеет а - b ■■■■■ 1,5 м; р ~ 4; 5m<v<12m; О < и < 4п.

Меди принять b О, то прямой волнистый геликоид будет находиться между парад- Рис. 13 дельными плоскостями г - а и z а. Если р целое число, то эта поверхность не будет имсть самопересечений, а в каждой ограничивающей плоскости будет лежать но р прямых образующих геликоида (рис. 13).

Проекция поверхности прямого волнистого геликоида, построенного в пределах г| < V < г,, где г\ < гъ будет представлять собою кольцевую область, а проекции криволинейных координатных линий и ■ концентрические окружности (рис. 14).

Косые линейчатые поверхности с одной направляющей линией задаются векторным уравнением (1). Для задания поверхностей этого типа необходимо знать уравнение направляющей кривой и закон, определяющий направление прямолинейных образующих [3].

К этой группе поверхностей можно отнести, например, винтообразную закрученную полосу с прямыми образующими в плоскостях пучка (рис. 15).

Пусть имеется винтовая линия I и прямая, проходящая через две точки S и Р, причем точка S расположена на винтовой линии I, а точка Р - на винтовой оси. Линейчатая поверхность в форме винтообразной закрученной полосы с прямыми образующими в плоскостях пучка образуется при движении точки S вместе с прямой образующей по винтовой линии / при одновременном вращении этой прямой образующей в плоскостях пучка, проходящих через винтовую ось гелисы / (рис. 15).

Форма задания поверхности винтообразной закрученной полосы 1) Параметрическая форма задания (рис. 15):

х ~ х{и, v) = | а -I- и cos(«v)J cos v, у = у (и, v) - [а\и cos(wv)| sin v, z - z(u, v)-bv + u sin(«v),

где и расстояние, о тсчитываемое от точки S, расположенной на винтовой направляющей линии, вдоль прямолинейной образующей; v - угол, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону оси Оу, п - const.

18

Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими поверхности. Если принять, что а - 0, п ~ О, то винтообразная закрученная полоса выродится в прямой геликоид. Координатная линия и • 0 совпадает с направляющей винтовой линией.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности: А = 1, F = b sin nv, В2 -- {un -i b cos от)2 + (a -i и cos nvf i b2 sin7, nv,

A2B2-

■F

L = 0, M -

an~b cos'

nv

Ja

N -

2R2-F2

<Ja

(un + b cos nv)2 + (a I- и cos nv)2

Sm Ю Uuniun+b cos nv) • i 2fí2-F2

(a i -и сон nv)

(an-bcos2 nv)2

л ~------------, ,----------, , <0.

(А В -F )

Линейчатая поверхность отрицательной гауссовой кривизны отнесена к криволинейным неортогональным несопряженным координатам и, v.

И.А. Скидан предложил исполь зовать для задания поверхностей специальную параметризацию х ./(?/,V,г); у - (p(u,v,t); у, - y/(u,v,t), где и - u(t); v v(í); v :: v(u). В общем случае линейчатая поверхность Скидана (рис. 16) является поверхностью отрицательной гаус совой кривизны и может быть при числена к группе косых линейчатых поверхностей с одной направ ляющей кривой или к классу зон тичных поверхностей. Для задания поверхности применяются нормальные конические координаты. Форма задания линейчатой по верхности Скидана 1) Параметрическая форма зада ния поверхности в нормальных конических координатах |4|: х ~ x(u,t) ~ (и,sin« i voosm)cosí, у - y(u,t) (г/sina i vcosa)siní, я ~ z(u,t) ■ ■ «eos« vsina, где v r5 A|cos«í|; a - угол между прямолинейными образующими и осью Oz; п - число волн поверхности; h ~ const. Па рис. 16 изображена линейчатая поверхность Скидана при h ■ ■ 2 м; п : 4; ().</< 2к; а ~ я/4;

Рис. 16

О < и < 4 м . При а = 0 линейчатая поверхность Скидана вырождается в цилиндрическую поверхность.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны: А = 1, F = О, В2 - h2n2 sin2 nt + (иsin a+ h\cosnt\cosа)2,

/wsin «¡sin nt\

L = 0, M = -

В

N = — ]p.n2h2 sin2 ni cosa - hn2\cosnt\(usma + A|cos«/|cosa) + В

+ (w sin a + /?|cos cos a)2 cos aj, n2/¡2sin2asin2«í , „ , N TI N

--¡г—

Координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими поверхности.

Представленные две схемы классификации линейчатых поверхностей не являются окончательными, а представляют собой первую попытку систематизировать все известные линейчатые поверхности. При работе над классификацией появилась необходимость в разработке многих новых видов линейчатых поверхностей для заполнения соответствующих разделов схем. Например, были предложены для рассмотрения линейчатые поверхности, изображенные на рис. 1-15.

Литература

1. Авдоньев Е.Я., Протодьяконов С.М. Уравнения и характеристики некоторых алгебраических поверхностей высших порядков// Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев, 1976. - Вып. 21. - С. 108-120 (библ.: 2 назв.).

2. Ядгаров Дж. Я. К вопросу образования некоторых ротативных поверхностей// Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев, 1976. -Вып. 22. - С. 42-44 (библ.: 2 назв.).

3. Иванов В. И. Геометрия и конструирование оболочек на основе поверхностей с системой координатных линий в плоскостях пучка// Пространственные конструкции зданий и сооружений: Сб. статей. - М.: ООО «Девятка Принт», 2004. - Вып.9. - С. 26-35 (библ.: 13 назв.).

4. Skidan I. General analytical theory of applied formation// The 10th International Conference on Geometry and Graphics. -Vol. 1. - July 28 - August 2, 2002, Kyiv, Ukraine. -Kyiv, 2002. P. 104-107 (библ.: 4 назв.).

THE CLASSIFICATION OF RULED SURFACES

S.N. Krivoshapko

Working out the classification of ruled surfaces the author presented several

new ruled surfaces and determined their coefficients of the fundamental forms. 20