CC BY
57
Геометрия срединных поверхностей оболочек
КЛАССИФИКАЦИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
С.Н. КРИВОШАПКО, д-р техн. наук, профессор В.Н. ИВАНОВ, канд. тех. наук, профессор Российский университет дружбы народов, г. Москва
Циклическая поверхность образуется движением окружности переменного или постоянного радиуса по произвольному закону в пространстве (рис. 1). Уравнение циклической поверхности в векторной форме имеет вид
г = г(и,у) = р(и) + Я(и)е(и, V), (1)
где г(и,г) - радиус-вектор циклической поверхности; р(и) - радиус-вектор
направляющей кривой {линии центров образующих окружностей); Я(и) -закон изменения радиуса образующих окружностей; е(и,у) - вектор-функция окружности единичного радиуса в плоскости образующей окружности с нормалью и(к) (рис.2); е0(и), go(u) - орты прямоугольной системы координат в плоскости образующей окружности; V - полярный угол в плоскости образующей окружности. Коэффициенты основных квадратичных форм циклической поверхности, заданной векторным уравнением (1), получены В.Н. Ивановым в виде [1]:
E = s2+ 2s\te)R' + (tg)R(e'ogo)- R(tn)(en')\+ R12 +R2 \e'Qg0)2 + (en1 f J
g = R2 , о-=+r' Г + к")- R(en' )f ;s=У [
L = |(te)s + R' Jr, - \s(tn) - Rien1 ))г2 }/cr, N = - «(en' )]/ cr;
Tx=s\tn) + s2k(nv) + 2R\en')-I^(enll) + 2{e'çig(i)(gnl)\, s' =ds/du; T2 =S/(te)+S2k(ev)-R[(e'0go)2 + (en/)2] +R" ;
M = R{[(tn)s - (я|')ф^0) - [('Ф + R!\gn')/?)/cr; где t = p '/s; f, v - единичные векторы касательной и нормали к линии центров.
e{u,v) = cosve0(«)+ sinv^0(«) g(u,v) = -sinve0(«) + cosvgo(M) e0(u) X g0(u) = e(u,v) x g(u,v) = n(u)
Рис.2
Циклические поверхности - это одни из самых распространенных поверхностей, принимаемых за модельные поверхности оболочек в строительстве и машиностроении.
При работе над статьей были просмотрены все доступные в России материалы, содержащие информацию о геометрии, расчете и применении циклических поверхностей. На основании этого исследования составлена классификация циклических поверхностей, представленная на схеме 1.
Классификация циклических поверхностей включает в себя как наиболее известные группы так и отдельных представителей циклических поверхностей. Подразумевается, что некоторые циклические поверхности, не вошедшие в классификацию, должны занять место в соответствующих пустых ячейках. Некоторые циклические поверхности одновременно входят и в другие классы поверхностей. Например, подгруппа циклических поверхностей «Поверхности вращения» одновременно составляет отдельный класс одноименных поверхностей.
Рассмотрим хотя бы по одному представителю из каждой группы и подгруппы рассматриваемых поверхностей. Из циклических поверхностей широко используются поверхности вращения, круговые винтовые поверхности и трубчатые поверхности с произвольной линией центров.
Круговая винтовая поверхность с образующей окружностью, лежащей в соприкасающейся плоскости винтовой линии центров окружностей (рис. 3), задаваемая параметрическими уравнениями [3]
LZ
х = *G9,v) = (a + r cos 5) cos v-r sin 8 sin p sin v,
j> = y(9,v) = (a+r cos i9)sin v + r sin <9sin /?cosv, z = z(3,v) = pv-r sinocos/?, где 19 - центральный угол образующей окружности;
О < 5 < 2я\ 0 < у < 2тг, г - радиус образующей окружности; /? - угол между бинормалью винтовой линии и плоскостью z = О, причем
\%Р = -—, s\kP = -=JL===, cos/?= Р /? = ^ + arctg —,
Р {р^а* Jpt+V 2
стоит особняком. Она не входит ни в одну подгруппу циклических поверхностей. Ее обычно причисляют к группе «Круговые винтовые поверхности», которая входит в класс «Винтовых поверхностей».
Каналовой поверхностью называется поверхность, одно семейство линий кривизны которой состоит из окружностей. Плоскость каждой такой окружности пересекает поверхность под постоянным углом. Это положение следует из второй формулы Форсайта: «Если плоскость пересекает поверхность под постоянным углом, то линия их пересечения есть линия кривизны поверхности». Нормалия каждой круговой линии кривизны будет конусом, а одна полость эволюты ка-наловой поверхности вырождается в кривую Г, которая представляет собой геометрическое место вершин этих конусов. Каналовые поверхности являются также поверхностями Петерсона, которые обладают сопряженной сетью конических или цилиндрических линий.
Как видно из схемы 1 наиболее известными представителями Качаловых поверхностей являются поверхности вращения, а наименее известными эпитрохоидальные поверхности (рис. 4):
= 0 // = 0,3 // = 0,5 ц- 0,7
Рис.4
7 9
х = x(a, v) = 2R(a)cos" veos а, у = y(a,v) = 2R(a)cos vsina, z = z(a, v) = R(a) sin 2v, где R(á) = a(l+/icosa) - радиус образующей окружности, а - угол между осью Ох и плоскостью образующей окружности; О < а < 2л; v = у/2 - угол между радиус-вектором поверхности и плоскостью неподвижной окружности; -к/ 2 < v<7i/ 2. При этом способе задания исходят из того, что поверхность образовывается вращением подвижной окружности с радиусом а вокруг ее касательной в точке касания с неподвижной окружностью с радиусом Ъ = а. Образующие окружности поверхности лежат в плоскости одного пучка. Начало координат помещено в двойную коническую точку эпитрохоидальной поверхности.
Циклические поверхности вращения образовываются вращением произвольно расположенной окружности относительно оси вращения. Плоские сечения этих поверхностей - бициркулярные эллиптические и рациональные кривые четвертого порядка, имеющие исключительно важное значение в технике [5]. Наиболее интересными являются плоские сечения с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Например, на торе - это сечения Персея. Каждой циклической поверхности вращения общего вида можно подобрать некоторый органически с ней связанный параболоид вращения, называемый параболоидом Персея. Всякая плоскость, касательная к параболоиду Персея, пересекает циклическую поверхность вращения по кривой, имеющей две взаимно-перпендикулярные оси симметрии. Такие кривые называют сечениями Персея.
Векторное уравнение линии центров образующих окружностей: bh(u) = b(i cos и + / sin и), где b - радиус линии центров. Положение образующей окружности определяем с помощью углов Эйлера: в - угол между вектором Л(н) и следом пересечения плоскости с образующей окружностью радиусом а и координатной плоскости хОу (угол поворота вокруг оси Oz); со - угол между плоскостью с образующей окружностью и осью вращения.
Циклические поверхности вращения можно задать как в векторной форме
г = r(u, v) = bh(u) + ае(и, v), где р(и) = -isinw + j cos и, e(u,v) = /i(cosí?cos v — sin 0 sin <y sin v)+
p(sin 0 eos v + cos #sin®sinv) + Ä COS Oi sin V , так и параметрическими уравнениями (рис. 5): z(u, v) = a cos со sin v; x(u, v) = b eos и + a[(cos в cos v - sin в sin со sin v)cos и -
- (sin в cos V + cos в sin (ú sin v)sin и], y(u, v) = b sin и + a[(cos в cos v - sin в sin <o sin v)sin и +
+ (sin в COS V + COS^SÍnfflSÍn v)cos и J
b = 2\a= 1; 0=ш = О (круговой тор)
b = 2; a = 1; со = я/3 0=0 Рис. 5
6 = 2; or = 1; 0=71/2 © = 0
Циклическая ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр - плоскость» имеет неподвижный аксоид в виде кругового цилиндра и плоскость в качестве подвижного аксоида. Поверхность образовывается произвольно расположенной окружностью, жестко связанной с катящейся без скольжения плоскостью. Циклическую ротативную поверхность с аксоидами «цилиндр - плоскость» можно называть также регулярной циклической цилиндрической ротативной поверхностью.
Формы задания поверхности 1) Параметрическая форма задания (рис. 6; 7): х = х(и, <р) = R(cos <р + ф sin <р) + (Ь + г cos и) cos ф, у = у(и, (р) = /?(sin (р-ср COS (p) + (b + r cos и) sin (р, z = z(u) = a + rsinu,
где R - радиус неподвижного цилиндра, г - радиус образующей окружности, лежащей в плоскости X\0\Z\, X\ = b, Z| = а - координаты центра образующей окружности в подвижной системе координат (рис. 6). Параметрические уравнения образующей окружности, заданной в подвижной системе координат, имеют вид:
Х\(и) = b + reos«, Yi = 0, Z|(m) = а + rsinw. Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:
A = r, F = -rRcpúnu, В2 =(6 +г cos и)2 +R2<p2,
Рис. 6
г (b + rcosu)
Га
М = --
N =
2В2 -F2 г cos u[R2(p2
■ R(p sin и cos и U2B2-F2
■ R(b + r cos u) + (b + r cos u) ]
h2B2-F2
Поверхность задана в неортогональной несопряженной системе криволинейных координат и, <р. На рис. 7 показана циклическая ротативная поверхность с аксоидами «цилиндр - плоскость»,
для которой r = R = a-b= 1м; 0 < и < 2к\ 0 <ср< In.
Если образующая окружность лежит в плоскости YiO¡Z, (рис. 6), то ротативная поверхность будет задаваться параметрическими уравнениями: х = х(и, ср) = R(cos ср + ср sin ср) + (b + г cos и) sin (р, у = у{и,ср) - R(sin <р - <р cos <p)-(b +г cos и) cos <р, z = z(u) = a + rsinw, где R - радиус неподвижного цилиндрического аксоида, г - радиус образующей окружности, лежащей в катящейся плоскости Y\o{Z\, Yt = b, Zt = a - координаты центра образующей окружности в подвижной системе координат. Параметрические уравнения образующей окружности, заданной в подвижной системе координат, имеют вид: Xt = 0, К,(м) = b + reos«, Z\(u) = а + rs'mu. При этом варианте расположения образующей окружности будет получаться резная поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и меридианом в виде окружности, которую также можно называть циклической цилиндрической улиткой вращения.
Из трубчатых поверхностей, в качестве примера, рассмотрим трубчатую поверхность на сфере.
Линия центров трубчатой поверхности на сфере расположена на сферической поверхности. Единичные нормали е0 к линии центров совпадают с нормалями к сферической поверхности. Векторное уравнение окружности единичного радиуса, расположенной в нормальной плоскости линии центров трубчатой поверхности будет иметь вид:
е(и, v) = cosve0 + sinvg0, где e0 = efí(u) - (icosи + jsinu)cosco + Asincu, причем со =pu\ p = const; g0 = ga(u) = [eQ'/s x e0]; s = [co/2 + cos2a>]'2.
Формы задания трубчатой поверхности на сфере: 1) Векторная форма задания (рис. 8): r(u,v) = ае0(и) + be(u,v), где а -радиус опорной сферической поверхности, на которой лежит линия центров; b = const - радиус образующей окружности трубчатой поверхности.
а=10; ¿=1,5; р—\\ /=1; а = 10; Ъ = \\р = 2; а = 10; Ь = 1; р = 1/10; а) -л<и<л\ б) t=\\-к<и<71\ в) í = 3; -5л<и<5ж
Рис. 8
2) Параметрическая форма задания (рис. 8):
х = х(и, v) = (а + 6 cos v) COS СО cos и +—sin v(sin CO COS О) cos и - со' sin и),
s
у - у(и, v) = (a + b cos v) cos со sin и + — sin v(sin CO COS со sin и + 00' cos и),
s
z = z(«,v) = (a + fecosv)siníy-(b/s)sinvcos2 со, где со-ри, со' = р, V - угол, отсчитываемый в нормальной плоскости линии центров трубчатой поверхности на сфере. Коэффициенты квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:
А = s(a + b cos v) + 6
1 +
со
L = A
scos V +
1 +
CO
sin со sin v, F = О, В = b,
2
Sin CO sin V
M = 0, N=b, к, = ka = L! A¿
■ К =1 Ib.
Можно принять, что а = ах + Ы, где а, - радиус выбранной сферы. При / = 1 трубчатая поверхность лежит на внешней поверхности выбранной сферы (рис. 8, а, б), при / = -1 трубчатая поверхность касается внутренней поверхности сферы с радиусом ая. Если принять ( > 1, то трубчатая поверхность будет находиться вне выбранной сферы (рис. 8, в), а при / < -1, трубчатая поверхность будет помещаться внутри этой сферы, не касаясь ее. При I = 0 выбранная и опорная сферы совпадают. Все трубчатые поверхности, показанные на рис. 8 совместно с выбранными сферами радиусом а„ имеют 0 < V < 2к.
В научно-технической литературе описаны 43 поверхности вращения, среди которых есть привлекательные с точки зрения практического применения, но мало известные инженерам поверхности.
К числу таких поверхностей можно отнести поверхность вращения «Груша» (рис. 9), которая образовывается вращением кривой [6]
Ь2у2 = г\а-г) вокруг своей координатной оси Ог. Формы задания поверхности вращения «Груша»: 1) Параметрическая форма задания (рис. 9): х = х{г,[1) = Кг^п/?; у = yiz.fi) = г(г)соф\ г = г,
где г = ф) = г^г(а-г)/ь ; а и Ь - произвольные константы; 0 < г < а; 0 < г < Зл/Зл2 /(166). Параллель г = За/4 с г=гтт = Зл/За2 /(166)
является геодезической линией.
2) Неявная форма задания: z\a - г) - Ь2(х2 + у2) = 0, то есть рассматриваемая поверхность вращения является алгебраической поверхностью четвертого порядка.
Наиболее распространенный тип пространственных природных систем - скорлупы-оболочки. Это - раковины моллюсков, панцири насекомых, скелеты морских ежей. Одна из совершенных природных форм - скорлупа
птичьего яйца.
Уравнение математической модели меридионального сечения птичьего яйца можно получить, исследуя замкнутые двухфокусные кривые четвертого порядка. Например, Г.В. Брандт [7] считает, что форма яйца хорошо описывается неявным уравнением четвертого порядка:
z2+y2 = 3х(2а-х)\\-с2/(x + a)2\l4 , Рис 10
где 2а - длина большой оси (ось вращения поверхности); с - межфокусное расстояние; (а - с)!2 - расстояние от начала координат до первого фокуса меридиональной кривой.
Параметрические уравнения поверхности вращения «Яйцо» можно представить в виде [7]:
X = х, у- у(х, (р) = r(x) COS <Р, Z- z(x, <р) = r(x) sin (р,
где r(x) = I.....х(2а - х)
1
а2 ß2 (х + а)2
ß = с/а - коэффициент, характери-
зующий форму меридиана. На рис. 10 -/? = 0,75 (перепелиное яйцо).
В 2004 году была открыта циклическая поверхность Вирича [8], которую можно включать как в группу каналовых поверхностей, так и в класс поверхностей Иоахимсталя. Циклическая поверхность Вирича является замкнутой поверхностью с тремя плоскостями симметрии. Поверхность образовывается окружностями переменного радиуса, лежащими в плоскостях пучка, проходящих через фиксированную прямую. Фиксированная прямая пучка плоскостей с окружностями проходит через точку пересечения трех плоскостей симметрии перпендикулярно одной плоскости симметрии, в которой расположена плоская линия центров образующих окружностей.
Формы задания циклической поверхности 1) Параметрическая форма задания [8] (рис. 11): 0 < ? < 2п\ 0 < V < 2тг;
X = x{t,v) =
/(vXl + cos/)+(¿2-с2)
1 - cosí
"Too"
cosv,
y = y(t,v) = -
f{v\l + cost)+(d2 - с2)
1-cosi
sin V,
z = z(t,v) = -
где /(v) =
m-
d2-c2
/(v)
sm t.
ab
"Ja2 sin2 v + b2 cos2
a=l,5 м;й = 3м;с = 2м;^ = 4м Рис. 11 ( 0 < t < 2тг; О < v < 2ж )
sin
a, b, с, d- константы.
Представленная информация по классификации циклических поверхностей может помочь исследователям разобраться во всем многообразии этого класса поверхностей и возможно даст толчок к их расширенному практическому применению.
Литература
1. Ivanov V.N. The problems of the geometry and the architectural design of shells based on cyclic surfaces// Spatial Structures in New and Renovation Projects of Buildings and Construction. Theory, Investigation, Design, Erection. -Vol. 2,- M.: CSRCR, 1998. - P. 539-546 (библ.: 20 назв.).
2. Иванов В.H. Циклические поверхности: геометрия, классификация, конструирование оболочек// Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строит, и машиностроительных конструкций сложной формы. - М.: Изд-во РУДН, 2001,- С. 126-134 (библ.: 18 назв.).
3. Люкшин B.C. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов. - М.: Изд-во «Машиностроение», 1968. - 372 с.
4. Krivoshapko S.N., Gil-oulbe Mathieu. Geometrical and strength analysis of thin pseudo-spherical, epitrochoidal, catenoidal shells, and shells in the form of Dupin's cyclides// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-Walled Civil-Engineering and Machine-Building Constructions of Complex Forms. - M.: Izd-vo. RUDN, 2001. - P. 183-192.
5. Асеев В.И., Асеев В В. Циклические поверхности вращения. - Материалы научн.-техн. конф. Новомоск. фил. Моск. хим.-технол. ин-та. - Новомосковск, 6-11 февр. 1984, ч. 3. - М„ 1984. - С. 174-178. - Библ.: 4 назв. - Рук. деп. в ВИНИТИ 28 ноября 1984., № 7581-84 Деп.
6. Gustavo Gordillo. A collection of famous plane curves// http://curvebank.calstatela.edu/famouscurves/famous.htm . - August 14,2001.
7. Брандт Г. В. Исследования уравнения поверхности оболочки, образованной двухфокусной кривой// Сб. тр. ВЗПИ. Сер.: Строительство и архитектура. - М.: ВЗПИ, 1973. - С. 76-86.
8. BipuH С. О. Параметризащя цикгпчноТ поверхш// Геометричне та комп'ютерне моделювання. - XapKie: ХДУХТ, 2004. - Вип. 7. - С. 88-92.
