Поверхности конгруэнтных сечений на круговом цилиндре Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Ггометрия срединных поверхностей оболочек

ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЭНТНЫХ СЕЧЕНИИ НА КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ

С.Н. КРИВОШАПКО, д-р техн. наук, профессор Российский университет дружбы народов, Москва

Поверхностью конгруэнтных сечений называется поверхность, несущая на себе непрерывное однопараметрическое семейство плоских линий. Получается такая поверхность в результате перемещения какой либо плоской линии (образующей). Выделение рассматриваемых поверхностей в отдельный класс упростило изложение методов построения этих поверхностей средствами начертательной геометрии. Простейшими видами поверхностей конгруэнтных сечений являются поверхности плоскопараллельного переноса относительно плоскости проекций. Поверхности вращения также могут быть причислены к классу по-

~~ ____.___________ ____~____у. г>„--------------------- * 4________________—„

о^рдпи^ I^FI ivuni jn i nDiA №чы1ии. х cjnoic пиасрлпиыпи ¿viunjtbu i шдлиди 1 под

определение поверхностей конгруэнтных сечений. Все циклические поверхности с образующей окружностью постоянного радиуса можно включать в класс поверхностей конгруэнтных сечений. Ротативные поверхности входят в одну из групп поверхностей конгруэнтных сечений.

Винтовые поверхности (рис. 1) образовываются винтовым движением какой-либо линии. Следовательно, они могут быть включены в класс поверхностей конгруэнтных сечений на круговом цилиндре.

В наш век инновационных идей создаются конструкции и изделия, немыслимые с точки зрения недалекого прошлого. Архитекторы и инженеры-механики требуют создания и исследования новых форм и поверхностей, описываемых аналитическими уравнениями, для внедрения их в различные отрасли науки и техники. В данной статье предлагаются для Рис. 1 изучения новые типы поверхностей конгруэнтных сечений, в которых образующая кривая на фронтальной проекции совершает колебательные движения маятникового типа относительно вертикальной оси Оу (рис. 2).

Предположим, что центр окружности постоянного радиуса г перемещается в плоскости хОу по неподвижной окружности радиусом R и одновременно перемещается вдоль оси z (рис. 2). Образованную таким образом циклическую поверхность с плоскостью параллелизма хОу можно назвать прямой круговой поверхностью на цилиндре. Параметрические уравнения прямой круговой поверхности на цилиндре можно записать в виде (рис. 2): х = x(t,fi) = Rsma + г sin /? = R sin (с + bs'mt) + r sin Д y - y(t, P) = R cos a + r eos /? = R cos(c + b sin/) + r cos f}, z = z(t) = at, (1) причем a = с + b sin где a - изменяющийся по заданному закону угол (рис. 2); fj - центральный угол образующей окружности, отсчитываемый от оси у в сторону оси х, 0 < /3 < 2л-; t — переменный параметр; а - константа, определяющая длину циклический поверхности в направлении оси z; b - амплитуда синусои-

Рис.:

Рис.3.

ды, по закону которой изменяется угол а (рис. 3); с - константа, определяющая положение синусоиды а - a(t) - с + ¿sin/ в направлении оси а.

На рис. 4 показана циклическая поверхность с плоскостью параллелизма, для которой /? = Зм;/-=1м;0</?< 2 л; 0 < / < Ъл.

Рис.4

Рис. 5

л/4 <а < л/4, следовательно с = 0;

Рис. 6

Пусть угол а изменяется в пределах Ъ - ж/4 (рис. 3). Если длина поверхности в направлении оси z равна 6 м, тогда z = at = аЗж = 6 или а = 2/п.

На рис. 5 циклическая поверхность имеет те же геометрические параметры R - 3 м; г = 1 м;но-я-/2</?<я72; 0<а<л/2, то есть с = я/4; b = ж/А. Если положить Az = 6 м, тогда при условии, что Зяг/2 < t < 9л/2, имеем аЗж = 6 м или а = 2/гг.

Рассмотрим еще один вариант циклической поверхности (рис. 6) с R = 3 м; г - 1 м; л/2 < Р < Зя72; -яг/2 < а < л-/2,следовательно, с = 0; Ъ - ж/2. Пусть Зя/2 < t < 11л/2 , тогда при Дг = 6 м получаем а = 3/(2ж). Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности (1) записываются в виде:

A2 =b2R2 cos2 í +a2, F - rbRcos/соз(с + £>sin/ -/?), В = г, L = [arW?{ sin tsin(c + bsin t - /?) - bcos21 cos(c + bsin t - /?)]/«Ja2B2 - F2 , M= 0,

N-~ar2/yjA2B2-F2 .

Координатные линии /? совпадают с образующими окружностями (*-/?sinor)2 +(y-/?cosa)2 =r2 постоянного радиуса г, центры которых лежат на окружности радиусом R. Коэффициенты квадратичных форм показывают, что координатные линии t, 0 являются неортогональными (F * 0), но сопряженными (М = 0). Координатные линии t, ¡5 не совпадают с линиями кривизн.

Если образующая кривая задана в местной системе декартовых координат ХоУ, то параметрические уравнения поверхностей конгруэнтных сечений на круговом цилиндре можно записать в виде (рис. 7):

Рис.

ГИС. S

x = x{t,X) = Rsma + Х\ у = y(t,X) = Rcosa + Г; z = z(t) = at, где a-c + bsint. На рис. 8 показана поверхность с образующей параболой Y = h~(h/l2)X2, для которой R = 3 м; h = 2 м; / = 0,5 м; - / < X </; 0<t <3тг. Угол а изменяется в пределах - л !2<а<п 12, следовательно с = 0; b = %!2. Длина поверхности в направлении оси z равна 6 м, поэтому

У

О

Рис.9

z = at- аЗ% = 6 или а = 21%.

Если предположить, что местная подвижная ось У образующей кривой совпадает по направлению с радиус-вектором

R неподвижной окружности с радиусом R, то параметрические уравнения новой поверхности конгруэнтных сечений примут вид (рис. 9):

х = x(t, X) = (R + Y) sin а + X eos a; y- y(t, X) = (R + Y) eos a-X sin a;

z = z{t) = at, где a = c + bsmt. (1)

На рис. 10 показана поверхность с образующей параболой Y = h-(h/ 12)Х2, для которой R - 3 м; h = 2 м; / = 0,5 м; - / < X < /; 0 < t < Ъл .

Угол а изменяется в пределах -п/2<а<ж 12, следовательно с = 0; Ъ = я/2. Длина поверхности в направлении оси zравна6 м, поэтому z - at- аЗж = 6 или а = 21%.

Если в формулах (1) положить а = t, то получим параметрические уравнения закрученных поверхностей с конгруэнтными эллипсами в параллельных плоскостях, выведенные В.Н. Ивановым [1]. Одна из этих поверхностей представлена на рис. 11.

Литература

Рис. 11

1. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности: Научное издание. - М. «Наука», 2006. - 538 с.