К расчету винтовых псевдо-торсовых оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

К РАСЧЕТУ ВИНТОВЫХ ПСЕВДО-ТОРСОВЫХ ОБОЛОЧЕК

С.М. ХАЛАБИ, магистр технических наук, Российский университет дружбы народов (Москва)

В 2000 году автор [4] впервые получил параметрические уравнения для поверхности псевдо-развертывающегося геликоида, а затем были опубликованы тезисы докладов различных научных конференций и статьи в сборниках трудов, где автор рассказывал о дополнительных результатах, полученных в процессе исследования данной поверхности. В настоящей статье приведены как ранее полученные результаты, так и результаты полученные в последнее время.

Пусть в качестве направляющей кривой / будет винтовая линия постоянного шага L=2nb на цилиндре радиусом а. За прямолинейную образующую примем прямую линию, один конец которой находится на кривой /, а сама образующая все время должна оставаться параллельной плоскости хОу, причем будем считать, что проекция прямолинейной образующей на плоскость хОу будет совпадать с проекцией соответствующей касательной к винтовой направляющей на эту же плоскость. Таким образом, прямолинейная образующая при своем движении не будет пересекать ось геликоида.

При равномерном винтовом движении прямолинейной образующей по заданной винтовой направляющей будет образовываться винтовая поверхность, которая может быть задана параметрическими уравнениями: х = x(u,v) = acosv-í<sin v , у = y(u,v) = asinv + ucos v,

z = z(v) = bv, (1)

где u,v - криволинейные координаты на выбранной поверхности, причем \и\ есть расстояние от винтовой направляющей до соответствующей точки на поверхности, взятое вдоль прямолинейной образующей, v- угол, отсчитываемый от оси Ох в направлении оси Оу. Координатные линии и (v=const) совпадают с прямолинейными образующими поверхности (1), а линии v (u-const) являются винтовыми равноотстоящими (эквидистантными) по отношению к направляющей линии / (и=0) линиями.

Угол <р между прямолинейной образующей и и соответствующей касательной к винтовой направляющей / определяется по формуле:

¡л = tan <р = Ь/а.

На рис.1 показана винтовая поверхность (1), для которой: я =2л/; L=4m; 0<v<6n, 0<и<5м.

На рис.2 изображен один полный виток изучаемой поверхности (1) с геометрическими параметрами:

а=1м; ь=4м; о<у<2п> 0<и<5м и ъ=1/(2я). Используя формулы дифференциальной геометрии, находим значения коэффициентов основных квадратичных форм:

<Лз2 =А 2с1и2+2Рйидм+В2сЬ>2, с!2гп =Ьс1и2+2Мс1ис!\<+Ыс1\'2, А2=1, Г=а, В2=а2+Ь2+и2,

М=-~г=г, Х = - I (2)

Гь

2+и2

Гь

2+и2

Значения коэффициентов основных квадратичных форм поверхности показывают, что исследуемая поверхность является линейчатой (¿=о) поверх, ностью с неортогональной несопряженной (м^о) системой криволиней. ных координат и у

гзглг-Рис. 1

Рис. 2

Углы у между координатными линиями и и у определяются по фор.

муле:

а

АВ В

Винтовая поверхность (1) представляет собою поверхность отрица. тельной гауссовой кривизны, так как

К

Н

ш -м2 а2В2-Р2

М •

в2 -

'(Ь2+м2)2 <0'

Определим также среднюю кривизну поверхности (]):

Л, + к2 _ ЬВ1 -2МР + ,УА2 _ -аМ

аЬ

Л2В2 -¥2

,2 ,2 2 , 2ч3/2

Ь +и (о +и )

(3)

(4)

Последняя формула показывает, что рассматриваемая винтовая поверхность, в отличие от прямого геликоида, не является минимальной поверхностью.

Главные кривизны и к2 есть корни квадратного уравнения

1-кА1 М-кР М -кр N -кВ2

-к М -кА

М -ка аМ -кВ:

= {Ь2 + и2)к2 +аМк-М2 =0,

которые в развернутом виде записываются как

а + у[а2 +4Ъ2 +4и2 , К =-—-^ гт^-Ь\

к2 =

а-4а2 + 462 +4и:

. 2 чЗ/2

Ь.

(5)

2 (Ь2+и2)3'2 ' ' 2 (Ь*+и2)3

Используя значения главных кривизн (5) можно также получить вели чины гауссовой (3) и средней (4) кривизн рассматриваемой поверхности.

При необходимости определения компонентов напряженно-деформированного состояния тонких упругих оболочек в форме рассматри ваемой винтовой поверхности необходимо использовать систему двадцати расчетных уравнений (уравнения равновесия, геометрические и физически» уравнения), приведенную в монографии А.Л. Гольденвейзера [3] для произ вольной косоугольной системы криволинейных координат.

Выпишем необходимые для проектирования рассматриваемых тонко стенных винтовых конструкций геометрические параметры:

а V - — _ 0. _ ^ _ а'Ь 1 - М _ ~Ъ

соэ х = — ; ^п X В

в я,.

я„

в1

тВ Яи

АВ тВ

т = V»2 +Ь2 Символы Кристоффеля имеют вид:

11 1

= 0;

1

1111 _ ||12|| -аи

12

22 1

-В2 и

т

22 2

аи

21| || 11| т~ т~

Выпишем систему 20 уравнений А.Л. Гольденвейзера [3] примени тельно к тонким упругим оболочкам в форме псевдо-развертывающегося ге ликоида (1):

Уравнения равновесия:

т ди т т

в т т1

т ди тВ т оу В т т

+ ВУ + Х :=0

Вт т аи сп>

В ди т ду В т

В ди тВ т ду В т

т с . аЬ

о ю/Г

тВ

(Му -Ми):=0

Геометрические уравнения: а

— I

В

ей

-В ду{ т(д_

в

^ ^ I/ ^ 2 »

В'

тВ1

к„ :=-

ди

аи

т

ди

и-т V* а-и

В3 1 тВ2

а д В ду V- ; в2 ■и, - а'ь ■и 1 т2 В "

т

■ В3 ду

■и,

2 В1

В ду "

. — и И- а и Ь и

Аи ") 2 т2В3 "

А,. :=

1А

5

1.(9.1/ -а. —и ] + — ■{/

т 1<5у я., * ) .„2

9м у

и 5

2- В "

г/.

Ьи

+ 4---II -

2В4 " Ь2-а2 ' 2т3б3

аи-Ь 2 т2 В3

и.

т П д и _д_и | +____

2-В2\в'ду " ди У)+т-В ди

и, +

б2-а2 2т3 В3

иТ

о + —

ди аЬи

а д

В ди

1(д т\

— ( В — У,

т\ ди

аЬ т2 В

и.,

ду ди ) т

тВ4 ду

т2 В4

■и-Ьи

2 а2 +тВ

2 о4

\ т В

Ьа д

Ь д

В ду в ду

Физические уравнения: а

ЕИ В 1 - V т

. ЕЙ В а

¿ш ; :=-ег--сиг+У£и

т ) 1 т\ т

5„ := -5„

ЕЙ

2(1-У2)

В2+а2

т

т

М

■Ек* В

т

121

т

ЕЙ"

М«V \ —(В1Сиу -а /с,);

12(1+ т

М

¿7г

(8)

12(1+ у ) т

В дальнейшем рассмотрим одномерную задачу, то есть будем считать что внешняя нагрузка, внутренние усилия, моменты, деформации и перемеще ния не зависят от координаты V.

После подстановки геометрических уравнений (7) в физические уравне ния (8) получим следующие выражения для определения внутренних усилий 1 моментов:

:= С НУ=С

В <Ши и(а2 +ут2) аь(а 21т2 +ут2)

тъВ

т*В

т. (}и

а(уВ-т) (¡Цу уВ (Ши иВ ц | ац(г-1)

тВ

йи

т

с1и

т

В2т

и,

аЪВ +—-С/г

т

\ 4 + , 2ь(т2у-В2)

т

с1и В

т с1и

т

т

М„ =-£)

■О

иь[т2 + 4из2 -3ии2_|^ + аЬи{^уа2 +9ут2 -т2)

2 тъВъ

2т5 В2

уВ2 Л1 „ Ь(Зу -1) Л 1Г и(т2-а2у) <1 Т1

----- -■{/„ + -:-1 — и,

2 ? т с!и'

и„

аЬу й

2 тВ Ни

т

йи

т

2тАВг

М,

-О

и (а 2 — ут21

й Ъ(у-Ъ) <1 иь{т2 +4уд2 -3ш2)

С/ „

т

йи

■и, +-

2т В с1и

ЪпъВъ

2 Г, 2

т ои

Ьи(за2 -2т2)

2 тъВъ

и„

2 „3

ЪаЬ (I „, аиЬут2 +4а2

---£/ +--/

2тВ2 ¿и

2тъ В4

и„

Ь а

. (9)

[тВ йи 2т В ) Уравнения равновесия после некоторых преобразований примут вид: 2 ^ .... „0 , .. *-(]}*-а2т2)с1

и В' (I аи аВ с1 Л, и „ Ь

— +--+-Nu +--N и--

т т (1и тВ т ¿и т В2т3

а'Ь й

т 2 Ь .

т

ЪВ Ли

М„„ -

аЪ тВ

N„ +

аъЪи тъВъ В2 ¿2

М,п,+ВУ + Х = О,

-М„ +

и(2т2 -а2)

Ат1~а2)±м Л

тъ В

(¡и

т (1и

-М

т

ёи

-М„ -

Ь2

Ь4+а2Ь2

V]

В2тъ

М„

В

-м,

м„ +

и (I

-м„

т ди7

-М,.„ +

---М,, + т2 = О,

т ди

В~ Л и аВ (I „ т аи т т аи

и иЬВ иЬВ иЬ ,,

— +--М„---М„---М„„ -

т

ат

ат

тВ

т аи тВ

(10)

После подстановки уравнений (9) в уравнения (10) и введения безразмеренных параметров:

" ,, ии а = —, 1/ = — а а

В т

(И)

получим систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно параметров перемещений и, V, IV,

Теория пологих оболочек (// = 0). Для приближенного решения системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно параметров перемещений С/, V, № перепишем их в виде:

(¡а2

и = аР1Х (а)-у-и + (а)а2и +С10 (а)— Ж+ (а)

йа

(Iа

■ УУ +

йа1

+ С12 {а)~ IV + Си (а)У + С15 У + С]6 {а)У аа аа

а(в{а)У + Х)

{рАа)+ Р22{<*)+ РгА01))'

,2 л -3 л 2

V = С] («)— V + вг (а)У + (а)-- (Г + в4 (а)—- IV + С9 [а%] +

¿а1 ' ' '¿а3 ~^"'да2

+ С5(а)— IV + 06(а)¥ + С8(а)— и +

йа

а2(в{а)х + а¥)

¿а

(/9(«)+/4з(«)+/5з(«М«)'

йа

^ + (а) ¡у + 0 + с +

(/а ¿сГ ¿а

+ С23(а)-1к + а4

аа т

¿а2 Р2{а) й

(а) с1а

и ++Оы{а> -

т

(а)

(12

¿59 (а)'

Изестнне функции рк, , являющиеся коэффициентами

дифференциальных уравнений, полностью приведены в кандидатский диссертации Халаби С. М. 2005г.

Воспользовавшись векторными обозначениями, запишем вышеприве денную систему дифференциальных уравнений в форме:

у' =/(а, у ¡)

где

" (/" /, -У 2

/7' /2 /2 и"

.Уз ^ /з У4 IV'

У 4 _ /4 _ Уп _ IV"

У 5 К /5 Уь V

К' /б Л V"

У1 IV" /7 ■Ув IV'"

У*. IV' /в к У

/2 = (а)у2 + Р22 (а]а2У1 + С10 {а)у% + С,, (а)У1 + С]2 {а)у4 + Си(а)у3 +

+ сМу6+СМУ5- , / +

(РвИ+^Н+РгвИ)

/б = С, («К + С2 (а)у5 + О, (а)у8 + С4 (а)у7 + С9 (а)У1 + С5 (а)у4 + 06 {а)уъ

/¡г си{а)Ун +с1в(«)>'7 +С,д{а)у4 +С20(а)у3 + С23(а)у6 +

+ а

Р2{<*)

т{а)

+

Ус +

я?

{а)° У1 к59(а)'

4 V

а /

В дальнейшем для численного решения системы восьми обыкновенны> дифференциальных уравнений первого порядка можно применить метод Рунп - Кутта. Этот метод обладает значительной точностью и легко реализуется н; ЭВМ по методике, изложенной в версии МагЬсас! 2000.

Численные значения внутренних усилий и моментов можно вычислит! по формулам (9 ), которые предварительно необходимо записать в виде:

N.. := С

В а2а(а2 +ут2) аь{а2 +2 т2 +ут2

т

-У 2 +

тгВ

У\+-

тЪВ

У 3

N. =С

(уВ-т) уВ ад В аи(у-1),, аЬВ

---УЬ + — У2 +--Т~У\ + \ иV Т УЗ

у т т Вт тл ,

/

5 = -

аа2{у-\)+В\(уВ-т)

\

тВ

В2(у- 1) , Ла2а + в\в) 2 аЪа а(1 + к)

---'-У 6 -У 5--г-Л--

ат ат т* т

У 5

-У2

С 2Ь\т2у-В2

2 т

~ г

У 3>

-я

а

аь(т2 +4уд2 -Зия2) (Зу- 1)й1 И 2 тВ

2 тъВ2

аЪу (Зу-1)

>'з--~Уг+И -

т' 2т

Уь

д3Ьа(4уд2 +9ут2 -т2) 2т5 В2

У\ +"

2ут\тВА +а2а\т2 -а2у)

- У А

д2т3

-О

м„ =-О

уВ2 аВ2а2(т2-а2у]п\ + 2ут2В4т2 + Ь2а2{\~у) У1 +-\-1----~ Уъ

а т

2 т4В2а2

В2т2 аа{а2 - ут2) 62д2(1 -у)

-О

\ //

Л

2 2 а т

т

2 п?В2

УЗ +

^ 2В2т\ аа\а" - \т

а2т2

1 \\

Ь{у-Ъ)В\ ааь(т2 +4ш2 -З^;2)^

2 тВ

2

У 5

В'

ат

аЬ

У4 +

2

а т т

-D

baUa2 + 9m2 -m2) b(v-3) Л —л-¿v. + —

2m

Muv=-D{ 1-v

2m5ß2

а2Ьа{за7

-2m2 )

2m3B3

3b b

b2a3

—ГТ^з

2m В

,, I a2ba\m2 +4a2) 3 bB\ -D{l-v\-1——-' +--

{ 2m В 2тВг

В качестве внешней поверхностной нагрузки X, У, 2, будем рассматри вать только нагрузку типа собственного веса, действующую в направлени! неподвижной оси ог, то есть вдоль оси псевдо-торсового геликоида. В это!^ случае будем иметь

и

Х = 0, Y

(is;

где pz - вес 1 м оболочки.

Литература

1. Krívoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells// Appliec Mechanics Reviews, Vol.52, No5, May 1999.-P.161-175.

2. Кривошапко C.H. Торсовые поверхности и оболочки.-М.: Изд-во УДН 1991.-288с.

3. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -М.: ГИТТЛ, 1953. 544 с.

4. Халаби С.М. Об одном классе винтовых линейчатых поверхностей// Строи тельная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. на

учн. трудов, вып.9. -М.: Изд-во АСВ, 2000. - С.88-90.

5. Халаби С.М. Кандидатская диссертация на тему «Напряженно-деформиро ванные состояния псевдо-развертывающего гилекоида». 2005 г.

ANALYSES OF THE HELICOIDAL PSEUDO-DEVELOPROPELE SHELLS

S.M. Haiabi

In 2000, the author [4] first of all derived geometrical the helicoida pseudo-developropele surfaces and decribeted them in thesis of conferences and ii article of scientific journal. In those articles, the author wrote about the result he go during the research of that surfaces. The present article concerns the theory used tc got the latest result.