CC BY
8
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ПСЕВДО-ТОРСОВЫХ ГЕЛИКОИДОВ
ХАЛАБИ С.М., канд. техн. наук,
Российский университет дружбы народов (Москва)
Целью данной работе явилось численного исследование компонентов напряженно-деформированного состояния тонких упругих оболочек в форме псевдо-развертывающегося геликоида.
При равномерном винтовом движении прямолинейной образующей по заданной винтовой направляющей будет образовываться винтовая поверхность, которая может быть задана параметрическими уравнениями [3]: х - x(u,v) - a cos v-Msin v, у = у(и, v) = a sin v + «cos v, z = z(v) = bv, (1)
Угол q> между прямолинейной образующей и и соответствующей касательной к винтовой направляющей / определяется по формуле:
f.i = tanp = ft/a. Значения коэффициентов основных квадратичных форм:
A:=l, F=a, B2=a:+b2+u\L=0,
jV = —= aM. Jb2+u2 4ъ2+иг
Углы х между координатными линиями и и v определяются по формуле: cos / = а/В. Винтовая поверхность (1) представляет собою поверхность отрицательной гауссовой кривизны, так как K = -b2/(b2 +и2)< 0. Наиболее полная информация о предложено авторам аналитическом методе расчета тонких упругих длинных псевдо-развертывающегося геликоидов дана в работе [3]. В этой работе система 20 расчетных уравнений А.Л. Гольденвейзера [2] (уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения) применительно к тонким упругим оболочкам в форме непологого псевдо-развертывающегося геликоида (1) сведена для одномерной задачи к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений.
aF2l {a)f U + F22 (a)a2U + Ою{а)уг W + Gn W f\ W + Gn{a) d W + da da da da
+G,з(a)W + G14(a^-jV + Gls(a)£ V + f\ U + Gl6(a)v -da da da
a{B(a)Y + X) =a 0>Аа)+РгМ
О,(а) й V + С2(а)к + + С4(а)- ^ Ш + Г + С6(а>Г +
аа ¿а3 ¿аг Л*
+ С5(а) (1 Жв9(а)и + Су{а) с1 - V+ вя(а) 4 и + с/а с1а аа
+ а2{в(а)Х + а¥) =()
(/9(а)+/4з(а)+/5з(а))б(а) '
017(а> + + С19(а)/ Ж + ■ + а2 ^ и +
с?а3 </а2 ¿а аа4 т(ог) ¿от3
¿аг «а лг(аг) ¿а1
+ а
U + G2]ia)fiV+,f]aЧJ- aJr0. (2)
т(а;) исс <1а т(а) к59(а)
Здесь - вектор внешних поверхностных сил, разложенный
по осям основного триедра, который образовывается тройкой единичных векторов
еи=г„/А=г„, е~гг/В, 1 (г„ х г„), (3)
АВ
и введены безразмерные параметры
«-Л, и^. К = пг^, (4)
а а В т
где и=и(и,у)= ииеи^и^и7п - вектор упругого смещения срединной поверхности оболочки.
Для приближенного решения системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно параметров перемещений и, V, Ш перепишем их в виде:
йг „ „ , ч й , ч„ „ / ч </3 .„ „ , ч йг
и = аГ21(а)—С/С16(а)К +С10(аг)—^ + С,, (а)—г-Ж + в13(а)¥ +
2" --1 ~ 0\Г"/ , 3" ' "иг; , 2
йа аа йа <1а
+ Оп{а)±-Ш + Г22(аУи + - ^^^
¿ог 22 15 (¡а {р><{а)+ Р?.?{аЬ Р2»{а))'
»2 I |2 I
Л* аа (1а аа
^ ( \г, ^ / \ ^ I \ Л г, а2(в(а)х + а¥) + 09 [ар + С3 (а)—у 1Г + С8 (а)—1/+ , , > 1 ) ' Д , г,
¿а3 ¿а (/9 (а)+/43 (а)+/53 (а))5(а)
4 3 2
(¡а с1а аа аа аа
т(а) аа т{а) кЬ9\а)
Известные функции С,-, fj, рк, /•'„, являющиеся коэффициентами
дифференциальных уравнений, полностью приведены в кандидатский диссертации Халаби С. М.
Используя векторную символику, представленные выше уравнений (3) можно записать в виде системы восьми обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
у'=/(а,у).
(6)
Для численного решения этой системы можно применить метод Рунге - Кутта, который обладает значительной точностью и легко реализуется на ЭВМ по методике, изложенной в версии Майгсас! 12.
Перемещения, внутренние усилия и моменты для рассматриваемого случая показаны на рис.2, рис.3. Для вычисления внутренних усилий и моментов использовались формулы
В а2а(а2 + т2) аЪ\а2 +2т2 + ут2 )
— V. +---Ь----1уг +-*------л
N=0
-Уг + т
(уВ-т) т
тгВ
т3В
аа2В
УВ
Уб+—Уг+ з т т
аи
(у-1)
В2т
■Уъ
г, аЬВ
т
С
ш2(у~\)+Вх(уВ~т)
тВ
'-у6+{
ВМ« '(-1)
У'а + В^з)
ат
С 2ь(т2у~В2)
ат
Уз
2 аъа
т
а{1 + и)
з ......:. •>'>.
т
Уъ>
т
М„ = -О
ааь{гп2 + 4га2 -Зют2) (Зу- 1)й
2 тгВ2
2 тВ
аЬу (Зу 1)
>'5 ' , .У? > У О
т 2т
О
а3Ьа[4т2+ 9т2-т2) 2т,тВ2 +а2а[т2 ■ а2у) ^ -\----------1у1+---->----------, ^ У 4
2 т5В2
а2т3
-о
— ссВ2аг{т2 -а2у\п 1 + 2ш2В4т2 +Ь2а2(\-у) Л 2...Ут+ ^ 4 п2 2 Уз
а от
2т*Вга2
В2т2 аа(а2 -ут2) | Ь2а2(1 -у)^ | {гв2тх аа(а2-уш2)
2 2 а т
т
2 тъВ2
а2т2
ат
(Г
-й
Ь(у-3)В1 ааь{т2 + 4ш2 -Ъш2)
\\
2 тВ
2 от3б3
>"5 +
В1
а2т2
аЬ
У1 + — У 2 т
Мт =-0(1-
аъЬа(4а2 +9т2 - ут2)^ | ¿>(у-3) 2от5Я2
а2Ьа{.
2т
■[За2 -2от2) 2 т3б3
■У] +
36
¿V
2шВ тВ 2т В
-р(1-у{а2ьа(т2+4а2)+т
2тъВъ
2тВ
У5-
(7)
Необходимо отметить, что в формулах (7) используются так называемые псевдо- усилия и псевдо - моменты, т.е. вектор внутренних усилий и вектор моментов раскладывается по осям основного триедра (3) (рис.2).
Рис. 2
Между внутренними усилиями и моментами, входящими в уравнения (7), и внутренними усилиями () и моментами
и, А/_„, М_т>М_т), получаемыми путем разложения векторов внут-
ренних усилий и моментов по осям ортогонального триедра (рис.2), существуют следующие отношения [2]:
N-u =Nu&™%, N_v=Nvsinz, S_u = S + Nu cos S_v = S + N v cos x,
M-uv = Muv sin X> M-m = Mvu sin Z> M-uv = Mu + Muv C0S X,
m_v = mv - Mvu cos x, Q-u = Qu. Q-y = Qv ■ (8)
В формулах (7) S_u * S_v и M_uv Ф M_m, так как угол между координатными линиями и и s не равен 90° (х * я /2).
Например, для длинных псевдо-торсовых геликоидов с геометрическим параметрам а - 5м . Проведем расчет одного витка винтового пандуса с внутренним радиусом R¡= 10 м и внешним радиусом R2 = 16,85 м т.е.
и\ = >/-а2 = 8,66м, и2 = а2 = 16,091л* и построены соответствующие эпюры изгибающих и крутящих моментов, нормальных и касательных сил. Пандус защемлен вдоль своих винтовых краев. Материалом пандуса был взят железобетон с модулем упругости Е = 325-Ю5 КПа и коэффициентом Пуассона v = 0,17. Толщина оболочки h =0,1м, внешняя распределенная вертикальная нагрузка /V=1000 кг/м2, компоненты внешней поверхностной нагрузки на винтовую оболочку приняты в виде (нагрузка типа собственного веса).
L
х=0, У = 103—, Z = 103—. (9)
В В
На (рис.3) (рис.10) представлены все сравнительные эпюры перемещений, внутренних усилий и моментов при условиях Ь=0м, Ь=1м, Ь=2м, а все остальные условия соответствуют представленным выше. Параметр b влияет на шаг псевдо-торса (Ь=2лЬ).
j.73z a j-2i&
Рис. 3
•з-кг
1.6 18
И.732
.5.79810 ,
UuO Uni IJu?.
.Чч?
2 .19810 '
4-10
210"
•210"
1.6 18
.1.732
600;
.451 547
SO
SI
S 2
S3
400
200
200
•400
■600
600.56Ô
1.6 1.8 .1.733
2.2 2.4 2.6 2.8 a
2 2.2 2.4
Рис.4
2.6 2.8
3.2 3 3 218
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
a 3-21Í
3.2
3-218
J.417* lO^j
J 54 477j
36 924
jm0.414,
- 288.337.
400
1(< IK
j.732.,
2.2 2.4
Рис. 6
2,8
3 2 3.4
J-218,
0 01
j 243x 10"
- m uvo
- m_uvl
-O.Ol
- m_uv2 m. uv3
-0.02
Рис. 9
Рис. 10
Литература
1. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. -М.: ГИТТЛ, 1953,- 544 с.
2. Кривошапко С.Н. Тонкие упругие винтообразные оболочки с развертывающейся срединной поверхностью// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2000. -Вып.9. -С.7-13.
3. Халаби С.М. К расчету винтовых псевдо-торсовых оболочек// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М.: Изд-во АСВ, 2001. -№ 2. -С.26-34.
ANALYSES OF THE HELICQIDAL PSEUDO-DEVELOPABLE
SHELLS
S.M. Halabi
In this article, the author wrote about the result he got during the research of that surface. The present article concerns the theory used to get the latest result.
