Класс и рациональные точки алгебраических многообразий, порожденных линейными рекуррентными уравнениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

14. Лебедь Г. К. О тригонометрических рядах с коэффициентами, удовлетворяющими некоторым условиям // Мат. сб. 1967. Т. 74, № 1. С. 100—118.

15. Волосивец С. С. О некоторых условиях в теории рядов по мультипликативным системам // Analysis Math. 2007. Vol. 33, № 3. С. 227—246.

УДК 511.216; 514.753.32; 511.512 В. Е. ФИРСТОВ

Класс и рациональные точки алгебраических многообразий, порожденных линейными рекуррентными уравнениями

В работах [1,2] установлена связь между линейными рекуррентными уравнениями 2-го порядка с коническими сечениями и их рациональными точками. Проведенное исследование показало, что данный результат обобщается на алгебраические многообразия произвольного порядка.

1. Принцип построения алгебраических многообразий

на основе линейных рекуррентных уравнений

Общая схема построения алгебраических многообразий на основе линейных рекуррентных уравнений реализуется следующим образом. Рассмотрим рекуррентное уравнение к-го порядка общего вида

ип+к = а\пп+к-\ + а,2Пп+к-2 + ... + акип, п,к е N (1)

с характеристическим уравнением

гк - а\хк-1 - а2 гк~2 - ... - ак = 0, (2)

где а1,... ,ак е Я,ак = 0. Дискриминант Б характеристического уравнения (2) определяется квадратом определителя Вандермонда

В = П - Ъ )2 , (3)

к>т>] >1

где 21..., 2к — корни уравнения (2).

Пусть {ап1} , {ап2} ,..., {апк} — семейство последовательностей, порожденных уравнением (1). В линейном (вообще говоря, унитарном) пространстве выберем произвольный нормированный базис (е1); (ё2); ...; (ёк), с помощью которого определим систему координат Ох1х2 ... хк и в этой системе определим вектор-функцию

пк

гП = (а]ё]). (4)

г=1 ]=1

Поведение функции (4) зависит от дискриминанта (3) и расположения последовательностей {ап1}, {ап2},..., {апк}, определяемое векторами аТ(аи; «21;...; ан); о2(«12; «22;...; о^);...; Щ (а1к; а2к;...; акк). Поэтому исследование функции гП сводится к анализу ситуаций, возникающих по указанным факторам.

2. Случай ненулевого дискриминанта характеристического уравнения

В этом случае В = 0 и уравнение (2) не имеет кратных корней. Тогда члены последовательностей {ап1} , {ап2} ,..., {апк} можно определить выражением [3]:

аП = ЛгП, (5)

где аП (ап1; ап2;...; апк); 2П (¿П-1,2П-1,..., 2п-1); А — некоторый линейный оператор, действующий в данном пространстве. Матричные элементы А/], 1 < I; ] < к оператора А определяются значениями ап1; ап2;...; апк при п = 1, к. Рассмотрим случай:

|А| = 5 = 0; а + «2 + ... + а,к = 1.

(6)

Тогда система векторов а1, а2,... ,Щ линейно независима и тем же свойством обладает выделенное семейство последовательностей {0,1} , {ап2} ,... , {апк} , причем 1 не является корнем уравнения (2). Используя (4), (5), для вектор-функции гП с координатами (хп1; хп2;...; хпк) можно записать:

гп = AZn, (7)

или в координатах:

п к

Хп, = £ = Е , - 1 ) ,1 = 1, к, (8)

¿=1 1=1 1

где Z Г; 1;... "¡П-;). После обращения (7), (8) и последующего линейного преобразования имеем:

_ 1 к _

^ = ^Е^а,), I = 1Л (9)

3=1

где А, — алгебраические дополнения для матричных элементов А,; хЩ = хп, + Ь,; Ь, определяются из системы

к

(г1 - 1) ^(ЬА/,) = А. (10)

,=1

Перемножая по отдельности левые и правые части системы (9), получаем параметрическое семейство многообразий к-го порядка вида:

к

П

(* - 1)^2(хпзА3) ,=1

Ак [(-1)к+1а^п, (11)

1=1

то есть в данном случае образ функции гп — это некоторое счетное множество точек, каждая из которых (в зависимости от п € N) располагается на соответствующем многообразии семейства (11). Если применить к координатам (11) преобразование

П гр

X, = [(-1) йк Г1 X, (12)

то образы гп "укладываются"на многообразии к-го порядка вида:

П

/=1

(2/ - 1)£(Х,А])

]=1

= 1.

Таким образом, в рассмотренном случае образ вектор-функции представляет счетное множество точек алгебраического многообразия к-го порядка вида (13).

Пример 1. Рассмотрим рекуррентное уравнение 3-го порядка вида

Мп+3 = 10Мп+2 - 31Мп+1 + 30Мп.

(14)

Корни характеристического уравнения для уравнения (14): 21 =2, 22 = 3, 23 = 5, так, что вектор 2Л в (5) имеет координаты (2п-1; 3п-1; 5п-1). Оператор А, для определенности, зададим матрицей

А=

/

V

111 121 1 1 2

\

/

(15)

с определителем А = 1. Вектор в (7) для этого примера имеет координаты (2п - 1; 1 (3п - 1); 1 (5п - 1)). Далее, действуя в соответствии с методикой (7) - (13), получаем:

3хп1 хп2 хп3 — 2

< -2ЖПТ + ХЛ2 = 3п -4хпТ + 4ХПЗ = 5п,

(16)

где хп] = хп] + , ] = 1; 2; 3 и = 4, ¿2 = |, ¿3 = 2. Из системы (16) следует параметрическое семейство уравнений 3-го порядка:

8 (3Хп1 - Хп2 - Хп3) (Хп1 - Хп2) (Хп1 - Жп3) = 30п.

(17)

Преобразование X] = 30 з жп]- приводит семейство (17) к поверхности 3-го порядка вида

8(3X1 - Х2 - Х3)(Хт - Х2)(Х1 - Х3) = 1,

(18)

полученной на основе рекуррентные последовательности {0,1}; {0,2}; {ап3}. Члены этих последовательностей определяются координатами вектора аП (ап1; ап2; ап3) в соответствии с (5) при данных А и ¿П.

Таким образом, в рассмотренном примере образ вектор-функции гП представляет счётное множество точек (Х1; Х2; Х3) на поверхности (18). Важно отметить, что при значениях пМ3 получаются рациональные значения координат, т. е. решения уравнения (18) в духе Диофанта. Например, при п = 3; 6 рациональными решениями (18), соответственно,

являются тройки- ( 211; 53 ; 14( 17339 ; 18797; 8241 \ являются тройки. ^220; 54; ; (ч1ёбооГ; 1Ш7; 8Ш") .

Пример 2. Рассмотрим рекуррентное уравнение 3-го порядка вида

мп+3 = 2мп+2 - мп+1 + 2мп. (19)

Корни характеристического уравнения для уравнения (19): = 2, ¿2,3 = ±г, и вектор ¿П в данном примере имеет координаты (2П-1; гп; — гп), а последовательности {ап1}; {ап2}; {ап3}. Из уравнения (19) выделим с помощью оператора А с матрицей (15) согласно (5). Тогда, действуя как и в предыдущем примере, получим систему:

г

3хп1 хп2 хп3 — 2

< —(г — 1)ХЩ + (г — 1)ХП2 = гп (20)

^ (г + 1)ХЩ — (г + 1)ХП3 = (—г)п,

где Хп1 хп1; хп2 хп2 2 (1 + г); хп3 хп3 2 (1 г).

Из системы (20) после умножения следует:

2 (3хп1 хп2 хп3) (хп1 хп1хп2 хп1хп3 + ХП2ЖП^ = 2П. (21)

Преобразование Х? = 2—3, ] = 1; 2; 3 семейство (21) переводит в поверхность 3-го порядка вида:

2(3X1 — Х2 — Х3)(Х? — Х1Х2 — Х1Х3 + Х2Х3) = 1. (22)

Как видим, в данном примере образ ГП представляет счётное множество точек (Х1; Х2; Х3) на поверхности 3-го порядка (22). Легко убедиться, что координаты этих точек мнимые, причем, Х1 — вещественная

координата, а Х2; Х3 — комплексно сопряженные. Например, при п = 3 решением уравнения (22) является тройка ; ; .

Замечание. В случае нарушений условий (6) наблюдаются вырожденные случаи, которые подробно исследованы в [4] и сопровождаются понижением размерности многообразия.

3. Случай кратных корней характеристического уравнения

Рассмотрим рекуррентное уравнение (1) и пусть соответствующее характеристическое уравнение (2) имеет дискриминант О = 0, то есть оно имеет кратные корни г1;...; гд с кратностями т1; т2;...; тд, так, что т1 + • • • + тд = к, д < к. Действуя аналогично п.2, вводится вектор-функция вида (4) и для определения ее координат хп1; хп2;...; xnk члены последовательностей {ап1} , {ап2} ,..., {апк} также определяются выражением (5), где теперь, согласно [3], вектор ¿п имеет координаты

Й-1; (п - 1К"1;...; (п - 1)т1-1гп"1;...;

*п-1; (п - 1К"1;...; (п - 1)т"Ч"1), (23)

а вектор ап (ап1; ап2;...; апк) и линейный оператор А имеют тот же смысл, что и в п.2. Матричные элементы А/,, 1 < I; 1 < к оператора А определяются значениями ап1; ап2;...; апк при п = 1, к. Кроме того, будем рассматривать невырожденный случай, определенный условиями (6), поскольку вырожденный случай здесь не дает ничего нового [4] и, по сути, наблюдается та же картина, что и в замечании п.2.

Для определения координат функции поступим следующим образом.

Так как, согласно (4), хп, = ^п=1 , 1 = 1,к, то последовательности {хп1} ; {хп2} ;...; {хпк} удовлетворяют следующему рекуррентному уравнению (к + 1)-го порядка [3]:

^п+к+1 = (1 + «1)^п+к + («2 - «■О'Уп+к-! + ... + («к - ак-1)^п+1 - а,кУп (24)

с характеристическим уравнением

— (1 + «1)2* — (а-2 — а^/"1 — ... — (а* — а*— )2 + а* = 0. (25)

Уравнение (25) имеет корни ¿1;...; с кратностями т1; т2;...; и корень = 1. Поэтому выражение для ГП имеет вид:

ГП = Т2П + т (26)

или в координатах

mp q

Xnj = ЕЕ [T/j(n - 1)1-1p] + , j = I,*, (27) l=lp p=1

где mp = m«, = I при p = I; при p > I, = I + mp-1; значения Tj и Tk + I; j определяются по значениям xnj при n = I, k + I с помощью (5), (23); T — линейный оператор с матричными элементами Tj, rang = = rang A = k; т (Tk+1;1,... , Tk+1;k). После обращения (26) имеем

^^ T-I-1

T-1 (rn - i) , (28)

откуда, после перемножения координат zn, получается

k

П

l=1

E )

j=1

= ¿k(n - I)w [(-I)k+1a^n-1, (29)

где й — определитель матрицы оператора Т; —- алгебраическое дополнение для матричного элемента Т/?; = — Тк+1;?; ы = ^ Тор(т 1) ^ N. Из уравнения (29) видно, что в рассмотренном слу-

р=1

чае образ функции ГП —- это некоторое счётное множество точек, каждая из которых, в зависимости от п/Х, располагается на соответствующей поверхности семейства (29).

Применяя к координатам (29) преобразование

X = (n - I)-k [(-I)k+1ak] ^, n > I, (30)

образы гп укладываются на некоторой к-мерной поверхности к-го порядка вида:

П

/=1

к

Е х,) ,=1

= 1. (31)

Пример 3. Рассмотрим рекуррентное уравнение 3-го порядка вида:

Ип+3 = 7Мп+2"16Мп+1 + 12Мп. (32)

Корни характеристического уравнения для уравнения (32) г1 = 2, т1 = 2; г2 = 3, т2 = 1. Вектор ¿п в данном примере имеет координаты (2п-1; (п - 1)2п-1; 3п-1), а последовательности {ап1} ; {ап2} ; {ап3} из уравнения (32) выделим с помощью оператора А с матрицей (15). Для определения координат (хп1; хп2; хп3) функции имеем следующее рекуррентное уравнение 4-го порядка:

8ип+3"23уп+2 + 28ип+1"12уп, (33)

откуда

Хп, = [Т, + Т2,(п - 1)] 2п-1 + Т3,3п-1 + Т4,, 1 = 1; 2; 3, (34)

где значения Т/,, I = 1,4, определяются по значениям ап, с помощью (5),

(23).

Далее, используя методику (27)—(31), получаем следующее семейство уравнений 3-го порядка:

1 (3ХЩ - Хп2 - Хп$) ^ХЩ - 2Хпё^ (Хп3 - ХЩ) = (п - 1)12п-1, (35)

где хп1 = хп1 - 1, хп2 = хп2 - 2, хп3 = хп3. С помощью преобразования

1 . _ п-1_

-у

п,;

X, = (п - 1) 3 12 3 хп,; п > 1,

семейство (35) переходит в поверхность 3-го порядка вида:

1 (3X1 - Х2 - Х3) (х - 1 хЛ (Х3 - Х1) = 1. (36)

Как видим, в данном примере образ гп представляет счётное множество точек (Х1;Х2;Х3) на поверхность 3-го порядка (36), причем, при значениях (п - 1)М(3/)3,/1^ получаются рациональные решения (36).

Таким образом, показано, что всякое линейное рекуррентное уравнение вида (1) порождает класс вполне определенных алгебраических многообразий и, кроме того, определяет топологию рациональных точек на этих многообразиях.

Библиографический список

1. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности при обобщенных пифагоровых построениях и их общая связь с коническими сечениями. Деп. в ВИНИТИ 10.05.2000, № 1351-В00.

2. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора. Саратов : Научная книга, 2005.

3. Гелфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М. : Наука, 1967.

4. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности и их пространственные алгебраические образы. Деп. в ВИНИТИ 10.05.2000, № 1352-В00.

УДК 517.51

С. С. ВОЛОСИВЕЦ, Т. В. ИОФИНА

Сильная аппроксимация функций по мультипликативным системам в равномерной и гельдеровых метриках

Введение

Пусть {рп}^=1 — последовательность натуральных чисел, такая что 2 < р < N, г € N. Положим по определению то = 1, тп = р1р2...рп при п е N.