Представление резольвенты одного класса интегральных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ац - соответствующие алгебраические дополнения для Ац , ^ определяются из системы

(г,-1)£(*,Д/у) = Д,1 й1йк.

7=1

Не вдаваясь в подробности [2], отметим, что случай а\+а2+...+ак = 1 снижает порядок алгебраической кривой (8) на 1. Случай, когда оператор А - вырожденный ранга 0 < $ < к, если применить известную теорему о структуре вырожденного линейного оператора [3], приводит к алгебраической кривой типа (8), но порядка 5.

Анализируя уравнение (8), можно видеть, что для уравнения (4) с рациональными коэффициентами при значениях к \ п получаются рациональные решения и таким образом открывается возможность отыскания диофантовых решений алгебраических уравнений определённого класса с помощью рекуррентных последовательностей.

Случай, когда 0= 0, в принципе, рассматривается аналогично, но несколько иначе, так как представление (6) будет иным (см. [2]).

В заключение отметим, что алгебраические образы рекуррентных уравнений (4) при к= 2 - это конические сечения (в зависимости от дискриминанта О), включая вырожденные случаи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1983.

2. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности и их пространственные алгебраические образы. Саратов, 2000. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 10.05.00. № 1352-В00.

3. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.

УДК 517.984

В. А. Халова

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

В пространстве ¿2 [0,1] рассмотрим оператор вида

= х е [0,1], (1)

к = 1

где Ло/ = а, ](х - 0/(0сИ + а2' /(1 - х - *)/(0А, (/.V,) = |/(0^«А, 0 0 о

■ Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.

gk{x)eC2[0,1], vi(x) е С2[0,1], последовательности , ли-

нейно независимы, 3 = а^ - а2 Ф 0.

В настоящей статье получена явная формула резольвенты оператора вида (1), которая может быть использована при изучении спектральных разложений таких операторов.

Обозначим ЯХ=(Е- ХА)'1 А и К'Ц = (Е- АА0)-1 соответственно резольвенты Фредгольма оператора А и оператора А0.

Рассмотрим следующую краевую задачу в пространстве вектор-функций:

(2) (3)

г^п)(х)-ХОг(х) = ВР(х), иj (г) = Рги) (0) + Qz<■j) (1) = 0, у = 0,1,

где й =

с?! = а] л-а

0

о а.

\(с11 (¿1

2 и2

2>

г)

й2 = ах -а2,

-а.

Р =

2)

2

0

б =

о

~<*2

о

г(х) = (г1(х),22(х)) , г1(х) = г2( 1-х),

ВД = (х),^2 (х))г, ^ (х) = /(*), Р2 (х) = /(1 - х).

Обозначим и =

ип иУ

¡7,, и у

12

4^21 ^22

> и у {к,(хД)}2 - фундамен-

тальная система решений однородного матричного уравнения (2),

щ8) =

. Аналогично рассуждениям работы [1] получаем

ЛЕММА. Если X таково, что II 1 существует, то краевая задача (2) -(3) разрешима и ее решение имеет вид

2(хД) = -(К[(х,Х)У2(х,\))и~1 )их(8(х,1,Х))ВГ(1)Ж + ]8(х,1,\)ВР№, (4)

о о

1

где ^(х^,Х)ВР{1)Ж - некоторое частное решение уравнения (2), а IIх (•) о

означает, что краевые условия (3) применяются по переменной х.

ТЕОРЕМА 1. Если X таково, что £/-1 существует, то существует, и имеет место формула = гг(х,Х) +г2(х,Х), где г1(х,к),22(х,Х) -

компоненты решения (4).

Пусть оператор (1) обратим. Тогда [2] отличен от нуля определитель

Л = НЫ"*-,' где Ц = 0<г,</2<1, к = \^п,

Уи* =Р5*,УцЦ = ^ + 1<Л+1 <...<у'„ </я, £ = 1,?и, 5 -фиксированное целое число, такое, что 0 < « < 2, 5,- • - символ Кронекера.

139

Обозначим Sf(x) = /(1 - *), Т = щЕ - a2S, D = —, N^ = &TR£,

dx

Nx= D'TRX, gk(x) = D2Tgk{x), Ay - алгебраические дополнения элементов определителя Д,

j m ___

Q(A.) = det||cow|^=i, сорм=5w£А^.Д(О)Д^ , p = \,s, ц = 1 ,m,

ТЕОРЕМА 2. Если Q(a.) * 0, то RK существует и имеет место формула

= Rlf(x) + 1 £ (х)Д^ х

x(t< /(0)Qw(X)+ I fe/.v^Jn^)}, (5) Lp = 1 /> = S + 1 J

Q.p]i (к) - алгебраические дополнения элементов определителя .

Доказательство. Пусть y = R\f ■ Тогдау(х)-ХАу(х) = Af(x). Отсюда

D2Ty(x)-№(x,\)= £(4i,vk)D2Tgk(x), (6)

к=1

m

0'WO)=2>,v4)2>'Zfct(O), / = 0,1, (7)

*=i

где

Ч/(хД) = ?.>■(*) +/М- (8)

Умножая (6) скалярно на Vj, j = \,m, получим

m _

= j = l,m. (9)

t=l

Возьмем , ц = 1,5 соотношения из (7) и добавим к ним ,

ц = 5 + 1,т соотношения из (9). Определитель этой системы есть Д*0. Поэтому по формулам Крамера

(V.vt) = -Д

£Д^7>(0) + X A^D2Ty,vh)

Ц = 1 Ц = Л-1

, k = l,m. (10)

Подставляя (10) в (6) и учитывая (8), получим

140

D2Ty(x)-Vky{x) =

£А^7>(0) + ¿ A^(D2Ty,Vj)

H=J+1

Применяя к обеим частям Rx, и учитывая, что Р Ф 0 и

У(х) = Rx/(X). получим

1 m

= + — (X) X

P'Ajfc-i

í m

ц=1 n=j + l

Из (11) имеем

(П)

/(0) = N° ДО) + — X < g* (0) х " Р'Аа=1 '

Д0) + £ A^(NK2f,Vji¡)

Ц = 1 Ц=5 + 1

ka/.v,, )= (<2/,vy,)+ Д £(<2g*, v,p )>

, p = l,í,

(12)

, p = s + \,m. (13)

Ц = 1 H=í + 1

Определитель системы (12) - (13) есть П(А). Найдя отсюда NKí m, u = l,í и [n^j/jV^ j, \i = s + \,m по формулам Крамера и подставив их в (11), придем к (5). Обратно. Пусть Q(X) Ф 0. Тогда непосредственной проверкой получаем, что правая часть (5) есть R}.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости интегральных операторов с переменным пределом интегрирования // Интегральные преобразования и специальные функции. 2001. Т. 2. № 1. С. 60 - 72.

2. Халова В. А. Задача обращения одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 125- 127.