Асимптотика решения нелинейного дифференциального уравнения в окрестности точки ветвления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 1. С. 92-103

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 518.517

О разветвляющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка

Н. А. Сидоров*

Иркутский государственный университет

Д. Н. Сидоров"!"

Институт систем энергетики СО РАН

Аннотация. С помощью методов аналитической теории ветвления решений нелинейных уравнений и теории дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой строятся семейства решений дифференциальных уравнений п-го порядка в окрестности точек ветвления.

Ключевые слова: нелинейное дифференциальное уравнение, диаграмма Ньютона, жордановы формы, оператор Эйлера, ветвление, сжатые отображения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

^(х(и)(г),х(и-1)(г),х(1)(^),х(^),^} =0, 0 < г < р, (1)

где непрерывная функция ^(хи,хи-1, ...,х1,х,г) определена в окрест-

N

ности нуля. А именно, ^ — ^ Ггк (х)гЙ + К(х,г),

\г\+к=1

(х) — Ргп,гп-1,...,г1 ,го хП-.х1 х'°, |г| — ги + ги-1 + ••• + г1 + г0-

Функция Е(х,г) удовлетворяет оценке |Л(х,г)| — о((|х| + |£|^)• Требуется построить решение уравнения (1) удовлетворяющее условиям: ггх(г )(г) ^ 0 при г ^ 0, г — 0,1, Так как таких решений

может быть несколько, то введем:

Определение 1. Если решение х(г) представимо в виде

х — г (хо + ^(г)), (2)

* Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

^ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 09-01-00377 и Минобрнауки 111-02-000/705

где е — ^ — рациональное положительное число, х0 — 0, е, х0 определяются неоднозначно, функция -и(г) ^ 0 при г ^ 0 и может зависеть от свободных параметров, ггх(г)(г) ^ 0 при г ^ 0, г — 0,п, то точку г — 0 назовем точкой ветвления малого решения уравнения (1).

Классы дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), не разрешенных относительно старших производных, в последнее время привлекали внимание многих математиков. Различные подходы и библиографию в этой области можно найти, например, в монографиях [5, 8] и др. Построение решений в окрестностях точек ветвления представляет особый интерес в ряде приложений (см., например, [4, 5, 6]).

Цель работы - построение малых решений уравнения (1) на основе аналитической теории ветвления (см. [1, гл. 9]) и теории дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой (см. [4], [2, гл. 9] и [3, гл. 4]). Для вычисления главного члена ££хо решения (2) используется метод диаграммы Ньютона (см., например, [1, гл. 9] и монографию [8]). Определение функции -и(г) в решении (2) сводится к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений вида

£Й)и — М (г-1^(и-1), •••,^(1),М1/'5), (3)

где С — ги—п + аи-1(е)ги-1 —П-1 + ••• + а0(е)— дифференциальный оператор Эйлера. Строятся с-параметрические семейства решений -и(г, с) ^ 0 при г ^ 0 уравнения (3). Структура семейства -и(г, с) зависит от корней характеристического полинома

£(А) — А(А—1)...(А—(п—1))+аи-1(е)А(А—1)...(А—(п—2)) + ...+й0(е) (4)

дифференциального оператора Эйлера и от вида нормальной жордано-вой формы матрицы А, определяемой через коэффициенты оператора Эйлера.

На этой основе предложен способ построения асимптотики функции V в виде логарифмо-степенных сумм типа Фукса-Фробениуса (см.

[3], гл. 4 ). Асимптотика затем используется в методе последовательных приближений в качестве начального приближения. В аналитическом случае соответствующее решение (2) раскладывается в ряд по степеням г1/в, г 1пг, гКвХ* еов( 1тАг 1пг), гКеЛ4 8т( 1тАг 1пг), где Аг - корни характеристического полинома (4) ЯвАг > 0.

В п. 1 строится главный член ££х0 решения (2) и проведена редукция к уравнению (3) для определения функции V в представлении (2).

В п. 2 рассмотрен способ построения асимптотики параметрических семейств решений уравнения (3) и приводятся теоремы существования малых решений уравнения (1).

1. Редукция к системе дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой

N

Введем обозначение FN(x,t) = Fik(x)tk и условие:

|i|+k=1

A) существуют рациональные числа е = s > 0, в = ri такие, что разложение FN можно перегруппировать к виду

F N (x,t) = ^ Fifc (x)tk

e|i|+k-¿1— 2Í2 — ...- nin>0

и при этом

B) |R(t£ x,t)| = o(te) при Vx из окрестности нуля.

В конкретных случаях числа е, в легко вычислить, нанеся на координатную плоскость целочисленные точки (|i|,k — il — 2i2 — ••• — nin), отвечающие ненулевым |i| — однородным формам F¿k(x) и построив по этим точкам диаграмму Ньютона. Искомое е полагаем равным tan ф, где ф— угол наклона одного из отрезков диаграммы с отрицательным направлением оси абсцисс. Соответствующее в будет равно ординате точки пересечения продолжения этого отрезка с осью ординат. В отличии от задач, рассмотренных в ([1], гл. 9), в может оказаться отрицательным. В последнем случае условие B) выполняется автоматически в силу оценки R(x, t) = [(|x| + |t|)N]• Условие B) выполняется, очевидно, и при любых положительных в, если диаграмма Ньютона лежит ниже прямой, проходящей через точки (0, N), (N, 0). Так как диаграмма Ньютона может иметь несколько отрезков, то выбор е, в может оказаться неоднозначным.

Введем дифференциальные операторы Эйлера k-го порядка:

¡k (u) = tku(k) + ck etk—Vk—^ + c| е(е — 1)tk—2u(k—2) + •••

+е(е — 1)^(е — (k — 1))u, k = 1,n

и обозначение ¡o(u) = u для симметрии в последующих выкладках, заметив, что (t£u)(k) = ts—k¡k(u)- Тогда в силу условия А) после замены x(t) = t£u(t) получим разложение

F(x(n), •••,x(1),x,t) = te ^ F¿k(¡n(u), •••, ¡o(u)) +

e|i|+k—¿i —2Í2 — ---—nin=0

+r(tnu(n), •••, tu(1), u, t)•

В силу выбора чисел е, в справедлива оценка

|r(tnu(n),-,tu(1),u,t)| = o(t6 )• (5)

Для определения коэффициента Жо в искомом решении (2) введем полином

Ф(гп(ж),...,го(ж))= ^ (1п(ж),...,1о(ж)),

в|г|+к-¿1 — 2г2-...-пгп=^

где теперь 1к(ж) = е(е — 1)...(е — (к — 1))ж, к = 1,п. Пусть наряду с условиями А) и В) выполнено условие:

С)полином ф(1п(ж), 10(ж)) имеет корень ж0 = 0, причем =

0.

Тогда уравнение (1) заменой (2) и сокращением на приводится к уравнению относительно функции г(£) :

А^г) + ••• + Ло*о(г) + Р...,^^(1),^,^1/5) = 0. (6)

Здесь А = д0 , * = 0, п, |Р| = о(1) при £ ^ 0, /¿(г) — дифференциальные операторы Эйлера.

Так как А = 0, то подставляя в (6) дифференциальные операторы /¿(■и) получим уравнение

Г^п)(£) + а„_ 1 (е)£га_ М”-1) (¿) + ... + ао (е)г(*)+

+А—1Р (Г^СО,...,^1),^),^) =0, (7)

где ага—1(е) = с^е + А_1Ап—1, ага—к(в), к = 2,...,п— определенные полиномы порядка к от в.

Таким образом, для определения функции V(¿) получено уравнение (7) с дифференциальным оператором Эйлера £(£—)г п-го порядка в главной части. Отметим, что характеристический полином £(А) (см.

(4) во введении) является характеристическим полиномом именно этого дифференциального оператора Эйлера. Так как выполнена оценка |Р| = о(1) при Ь ^ 0 и любых г, то из уравнения (7) элемент ¿гаг(га) определяется в окрестности нуля методом последовательных приближений как функция от г(Ь), ¿г(1),..., ¿га—1г(га—1), ¿1/в.

В результате задача определения функции г сводится в нашей постановке к решению уравнения вида (3).

Отметим, что в уравнении (3) функция М и ее первые производные по г, ¿г(1), ■ ■ ■ , 1г(п 1) в нуле равны нулю. Уравнение (3) заменой

г = г1, ¿г(1) = г2, ..., ¿га_1г(га—1) = гп сводится к системе п нелинейных дифференциальных уравнений с особой точкой первого рода при Ь = 0 :

= Аг + / (г,Ь1/й). (8)

Здесь г = (г1,..., г„У,

А =

0

0

0

1

1

0

00

0 ... .

1 ... .

2 ... .

0 ... и — 2

-ао(є) -аі(е) -а2(є) ... -ап-2(є) и - 1 - ап-і(е)

(9)

f = (0,..., 0, М(^п, ^п-1, ..VI, ¿1/5))7, М(0,..., 0) = 0,

^1 = ...=^п=*=0

0, * = 1, п.

Таким образом, вычисление функции г в представлении искомого малого решения (2) уравнения (1) свелось к построению решения г ^ 0 при Ь ^ 0 из системы (8).

Замечание 1. Легко проверить справедливость тождества ёе^—АЕ + А) = (—1)”Е(А), где £(а) = А(А — 1)...(А — (п — 1)) + а„_1(е)А(А — 1)...(А — (п — 2)) + ... + ао(е) - характеристический полином дифференциального оператора Эйлера £, стоящего в главной части уравнения (3). В силу структуры матрицы А УА имеем

гапк(—АЕ + А) > п — 1.

Если гапк(—АЕ + А) = п — 1, то вектор е, удовлетворяющий однородной системе Ае = Ае, имеет жорданову цепочку длины р, где р-кратность корня А характеристического полинома Р(А).

2. Построение асимптотики и теоремы существования малых

решений уравнения (1)

Теорема 1. Пусть выполнены условия А), В), С). Фиксируем N > «||А|| и предположим, что среди корней характеристического полинома (4) нет чисел |, і = 1,^ Тогда уравнение (1) имеет решение

вида

N

х(г) = 53 хгг *+ + о(г(г^ )/в). (10)

і=0

Доказательство. Выберем числа г/«, х0 в соответствии с условиями А), В), С) и будем искать решение уравнения (1) в виде х = ¿г/5(ж0 + ■и(г)). Здесь -и(г) первая компонента вектора V, удовлетворяющего системе (8). Вектор V ищем в виде

N

^ = 53 ^^ ¿(г), (11)

і=0

где Ш ^ 0 при Ь ^ 0.

Подставляя (11) в (8) и учитывая, что в силу условия теоремы 1 ёе^пЕ — «А) = 0 при п € N определим рекуррентным образом коэффициенты гг из линейных систем

^Е — А^г = Шг(г_1, ..^гг—1), * = 1,Ж. (12)

Правые части в (12) строятся методом неопределенных коэффициентов. Так как гг = (гг1,..., ггга/, то в решении (10) полагаем жг = гг1,* =

1, ...,Ж. Для определения вектор-функции г(Ь) получается система

= (—уЕ + а)й + ^г,^), (13)

где ||д|| = 0(Ь1/в) при | |г|| < г, 0 < Ь < р,

||^(г«1,Ь1/5) — ^(г«2,Ь1/5)|| < 1||гё1 — ^21|.

Остается показать, что система (13) при достаточно большом N имеет единственное решение г ^ 0 при Ь ^ 0. Это решение можно найти из эквивалентного интегрального уравнения

6

г(ь) = у т—1 ехр

N Ь

(----Е + А) 1п -

8 Т

д(г(т ),т 1/5)^т = Ф(г,Ь) (14)

методом последовательных приближений при нулевом начальном приближении го = 0. Действительно, так как N > £||А||, 1п(Т) > 0 при т < Ь, signт = sign— то существует постоянная С, такая, что при т < Ь справедлива оценка

|| ехр[(—уЕ + А)1п(Ь/т)]||£(Дп^Дп) < С (Ь/т)_т+||А|1. (15)

Поэтому при N > «|| А|| справедлива оценка

/N С

т—1 ехр[( уЕ + А)1п(Ь/т)]^тЦцяп^яп) <

Фиксируя 9 € (0,1), выберем N таким, чтобы

с1

N

< 9. (16)

Введем пространство С[о,р] непрерывных вектор-функций г(Ь) с нормой

||г|| = тах |гг(Ь)|.

о<*<р, 1<г<п

В этом пространстве зададим множество 5 = {||г|| < г, |гг(Ь)| < гЬ1^,

* = 1,.., п}. Будем искать малое решение г(Ь) уравнения (14) в 5. При достаточно большом N в силу оценки (16)

||Ф(г1,Ь) — Ф(г2,Ь)|| < 9||г1 — г2||.

Поэтому оператор Ф сжимающий при ||г|| < г. Далее, при ||г|| < г

||ф(w,-)|| < ||ф(г,Ь) — ф(0,Ь)Н + <

< qr + max || / т exp

0<t<p J 0

t

N t

(-----E + A) ln -

s т

g(w(T),т 1/s)dT11Rn <

< qr + N—ш 0max ||q(0,T 1/S)||R"

N — ||A|| 0<T<p

Так как д(0,т1/s) ^ 0 при т ^ 0, то при заданных q, N можно подобрать р > 0 так, чтобы выполнялось неравенство

max ||g(0,т 1/s)||rn < (1 - q)r.

N — ||A|| 0<т<p

Поэтому оператор Ф переводит шар ||w|| < r самого в себя. Более того,

|«w,i)|| = O(t1/s),

так как c

|^(w,t)||< n — ||A||||q(w.tv,)||.

где

||g(w,t1/s )|| = O(t1/s).

Поэтому сжимающий оператор Ф переводит множество S пространства C[0,p] в себя, а система (13) имеет единственное решение W ^ 0 при t ^ 0, если N достаточно велико. □

Решая конкретные уравнения в условиях теоремы 1 решение можно искать непосредственно в виде ряда (10), сходящегося в аналитическом случае в окрестности нуля.

Если условия теоремы 1 ослабить, допустив, что характеристический полином L(A) имеет корни вида i/s, то результат получится более интересным. А именно, уравнение (1) в этом случае будет иметь с-параметрическое семейство решений вида (10), коэффициенты которого, начиная с некоторого i, будут функциями от ln t, зависящими от p произвольных постоянных, где р-кратность корня i/s характеристического полинома. Укажем способ построения семейства малых решений в этом случае.

Введем вспомогательную линейную систему

% = + /«, (17)

где В - постоянная матрица, /(г) - полином порядка т. Рассмотрим построение полиномиальных решений этой системы. Если ёе! В = 0, то система (17) в классе полиномов имеет единственное решение V = аггг. Коэффициенты ат, ат-1,..., ао вычисляются в указанном порядке методом неопределенных коэффициентов.

Если ёе! В = 0, то для построения решения системы (17) в классе полиномов удобно использовать нормальную жорданову форму матрицы В. Действительно, пусть ТВТ-1 = 7, где 7 = {А1Е1 + Н1,..., А&Е + Я} - нормальная жорданова форма, АгЕг + Яг- жордановы клетки рг-порядка. Среди Аг могут быть одинаковые числа. Пусть гапкВ = г. Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что А1 = ... = Ап_г = 0, Аг = 0, * = п — г + 1,..., к. В этом случае справедлива

Лемма 1. Пусть гапкВ = г и пусть вектор /(г)- полином порядка т. Тогда система (17) имеет полиномиальное решение порядка т + тах(р1, ...,рга_г), зависящее отр1 + ...+рп_г произвольных постоянных.

Доказательство. Полагая в системе (17) и = Т-1ш и умножая результат на Т приведем систему к виду

^77

— = ^ + Т/(г). (18)

В соответствии со структурой матрицы .] систему (18) разобъем на к независимых подсистем

= (АгЕ + Яг)7г + Рг(г), * = 1, ..., к.

Так как А1 = ... = Ап_г = 0, то координаты векторов 7г, * = 1, ...,п — г вычисляются последовательным интегрированием рг раз правых частей. Интегрирование ведется от нуля до г. Поэтому векторы 7(г), * =

1..., п — г оказываются полиномами т+рг-го порядка и зависят от рг постоянных интегрирования. Остальные векторы 7(г), * = п — г + 1, ...,к, однозначно строятся методом неопределенных коэффициентов в виде полиномов порядка т, так как ёе!(АгЕг + Яг) = 0 при * = п — г +

1...., к. □

С помощью леммы 1 доказывается

Теорема 2. Пусть выполнены условия A), B) и C). Пусть среди чисел 1, 2, ••• N , где N < s||A||, есть корни характеристического полинома L(A) и l/s - наименьший среди них. Тогда уравнение (1) имеет

решение вида

i-i , N

x(t) = 53 +53 Xj(ln t)t(r+i)/s + o(t“^). (19)

i=0 i=i

Доказательство. Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, но при этом необходимо учитывать, что коэффициенты решения (19) зависят от ln t. Поэтому применяя метод неопределенных коэффициентов кроме алгебраических систем

0E - Ajvi = mi(vi, ...,vi-i), i = 1, ...,l - 1

получим системы дифференциальных уравнений (z = ln t) dv * i

г-“ = (—E + A)vi + m*(vi,..., vi-i), i = l, l + 1,..., N. dz s

Так как det(sE — A) = 0 при i = 1,l — 1, то v1, ...,vl-1 определяются однозначно и от z не зависят.

По условиям теоремы 2 det(—S E+A) = 0. При этом в силу замечания 1 rank(—S E + A) = n — 1. Соответствующий собственный вектор имеет жорданову цепочку длины pi, где pi - кратность корня S характеристического полинома L(A). Поэтому на основании леммы 1 vi(z) будет полиномом pi-го порядка и зависит от pi произвольных постоянных интегрирования. Коэффициенты vi+i(z),..., vn(z) также строятся в виде полиномов z, порядки которых устанавливаются согласно лемме 1. В этих коэффициентах могут появиться новые произвольные постоянные, если l/s - не единственный корень характеристического полинома L(A) среди чисел (l/s, (l + 1)/s,..., N/s). □

3. Возможные обобщения: построение решений в случае комплексных корней характеристического полинома

Если среди корней характеристического полинома есть корни A, возможно комплексные с положительными вещественными частями, не входящие в множество (l/s, (l + 1)/s,..., N/s), то класс малых решений уравнения (1) не исчерпывается построенными в теоремах 1 и 2 и может быть расширен в классе комплекснозначных функций. Так как коэффициенты характеристического полинома L(A) вещественные, то у полинома L(A) наряду с корнем A будет сопряженный корень A. Поэтому частичные суммы соответствующих разложений малых решений могут содержать функции вида tReA cos( ImA ln t), tReA sin( ImA ln t).

Рассмотрим процесс построения малых решений в этом случае.

Введем вектор А = (А1,...,Аг), где Аг - корни характеристического

полинома, ЯвА» > 0. Предположим, что отобраны корни А», для кото-1

рых Аг = ^2 ш? А? + ш при натуральных ш, т?. Пусть для простоты

•7 = 1,.?=»

функция Я(ж, Ь) в уравнении (1) бесконечно дифференцируема в окрестности нуля и в замене (2) в = 1. Будем искать решение редуцированной системы (8) в виде

ГО ОО

V = 53 ^0? (1п Ь)Ь7 +53 %• (1п ^)^(А,г)+7. (20)

7=1 7=0, |г|>1

Заметим, что во второй сумме нет целых показателей аргумента Ь в следствии выбора вектора А. Методом неопределенных коэффициентов приходим к рекуррентной последовательности линейных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов 1п Ь) :

“¡г7 = (-^Е + + ш^^ъ..., V0j-l), 2 = 1,2,...

¿V ■ •

= ((-(А, г)+2)Е+А)%- +т,у(V™), |г|+в < |г|+2, г = 1,2,..., 2 = 0,1,...

Отметим, что Шго = 0 при |г| = 1 ив силу замечания 1 гапк(—(А, г)Е + А) = п — 1 при |г| = 1. Поэтому коэффициенты зд при |г| = 1 определяется с точностью до произвольной постоянной как решения соответствующих однородных систем

( — (А г)Е + А)-уг0 = 0, |г| = 1.

Остальные коэффициенты (г) разложения (20) тоже строятся в виде полиномов г возрастающих порядков на основании леммы 1.

В результате получим семейство малых решений уравнения (1)

Коэффициенты ^ являются функциями 1п Ь и зависят от I свободных параметров, где I- количество корней с положительными вещественными частями характеристического полинома £(А) с учетом их кратности. Как и в теореме 1 с помощью принципа сжатых отображений устанавливается, что частичные суммы формального решения (21) являются асимптотическими приближениями семейства малых решений вида (2) уравнения (1). В аналитическом случае ряд (21) будет сходиться в окрестности нуля.

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

^(1 + ф)2 - 1 —2 = j (1 + ф),

возникающее при анализе одной модели магнитной изоляции ваккум-ного диода. Здесь ф— потенциал электрического поля, j — сила тока (см. [6] и appendix A в [5]).

Будем искать малое непрерывное решение уравнения (22) с условиями ф(0) = 0, ф;(0) =0. В этом примере диаграмма Ньютона имеет один отрезок с вершинами в точках (3/2, —2), (0, 0). Замена (2) принимает

( \3/2

вид ф(ж) = ж4/3(фо + v(x)), где фо = ( 4^72j) , v(x) удовлетворяет

уравнению вида

с дифференциальным оператором Эйлера 2-го порядка в главной части, М(0, 0) = 0, М^(0, 0) = 0. Соответствующий характеристический полином Л2 + 5Л+2 = 0 имеет два отрицательных корня Аі = -2/3, Л2 = —1. Поэтому на основании теорем 1 и 2 уравнению (22) при любом і удовлетворяет в окрестности точки х = 0 ровно одно малое вещественное

В заключение отметим, что изложенный подход и результаты из [1], [4, гл. 9, п.33], [8] позволяют развить теорию малых, а также неограниченных и обобщенных решений классов нелинейных интегро-диффе-ренциальных уравнений типа Вольтерра в банаховых пространствах в окрестности точек ветвления решения. Некоторые результаты в этом направлении изложены в [5, гл. 6] и [7].

1. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М : Физматлит, 2007. - 488 с.

2. Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. - Минск : Наука и Техника, 1972. - 663 с.

3. Колдингтон, Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Колдингтон, Н. Левинсон. - М : И.Л., 1958. - 474 с.

4. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решения нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М : Наука, 1969. - 529 с.

5. Sidorov, N. Lyapunov-Schmidt methods in nonlnear analysis and applications /N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev.- Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 2002. - 547 p.

M (v,x1/3)

Список литературы

6. Abdallah, N. B. Mathematical models of magnetic insulation / N. B. Abdallah, P. Degond, F. Mehats. Rapport interne No. 97.20, MIP. - Universite Poul Sabatier, Toulouse, France, 1997.

7. Сидоров, Н. А. О ветвлении решений дифференциальных уравнений с вырождением. / Н. А. Сидоров // Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9., № 8. - C. 1464-1481.

8. Брюно, А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. / А. Д. Брюно. - М : Физматлит, 1998. - 288 с.

9. Sviridyuk, G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht: VSP, 2003. - 228 p.

N. A. Sidorov, D. N. Sidorov

Branching solutions of nonlinear differential equations of n-th order

Abstract. Analytical theory of branching solutions of nonlinear equations and theory of differential equations with singular point are employed for construction of solutions of differential equations of n-th order in the neighborhood of branching points.

Keywords: nonlinear differential equations, Newton diagram, Jordan forms, branching

Сидоров Николай Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики,экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664000, Иркутск, ул. К.Маркса, 1 тел.: (3952)242210 (sidorovisu@gmail.com)

Сидоров Денис Николаевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт систем энергетики СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова 130, тел.: (3952)428440 (sidorovdn@mail.ru)

Nikolai A. Sidorov, Professor, Irkutsk State University, 1, K.Marks St., Irkutsk, 664003, Phone: (3952)242210

Denis N. Sidorov, Senior Research Fellow, Energy Systems Institute SB RAS, 130, Lermontov Str., Irkutsk, 664033, Phone: (3952)428440