Управляемость разнотемповых сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

Т. Б. Копейкина, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник (БГТУ)

УПРАВЛЯЕМОСТЬ РАЗНОТЕМПОВЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается проблема управляемости разнотемповой динамической системы, состоящей из трех векторных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

х = А11 х + А12 у + А13 г + В 1и

ду = А 21х + А 22 у + А 23г + В2и (1), в которые в качестве множителей при производных входят

i32 y + A 33 z + B 3u

д Z = A 31x + A 3

различные степени малого параметра д. С помощью метода пространства состояний доказан удобный в технических приложениях критерий, а также достаточные условия полной управляемости системы (1), которые выражены через решения рекуррентных матричных алгебраических уравнений, называемых определяющими уравнениями системы (1).

The controllability problem of time-invariant multi-temps singularly perturbed dynamic systems (1) is considered in this paper with the help of state space method. Some criteria as well as algebraic sufficient conditions of complete controllability are obtained. These criteria are obtained in terms of the solutions of the defining equations which are recurrence matrix algebraic equations.

Введение. При исследовании различных свойств многомерных и многоконтурных систем управления наиболее важными являются управляемость и наблюдаемость (неуправляемость и ненаблюдаемость могут быть причиной неустойчивости системы и отказа ее работы). Проблеме управляемости стационарных сингулярно возмущенных систем (СВС), т. е. объектов, поведение которых описывается системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и малым параметром при части производных, СВС с запаздыванием (СВСЗ) были посвящены работы [1-5] автора.

Многие задачи динамики полета, химической кинетики, автоматического управления и регулирования описываются разнотемповыми СВС (РСВС), в которые малый параметр входит в качестве множителей с различными степенями при переменных состояния системы. Впервые проблема управляемости разнотемповых СВС была рассмотрена в [6], где достаточные условия полной управляемости получены на основе разложения пространства состояний системы в прямую сумму подпространств меньшей размерности. В данной работе для исследования полной управляемости РСВС с постоянными коэффициентами с помощью метода пространства состояний развивается и метод определяющих уравнений, предложенный автором в [1] при изучении управляемости сингулярно возмущенных систем. Отметим, что впервые понятие определяющего уравнения для исследования управляемости линейных динамических систем управления с запаздывающим аргументом по состоянию и управлению было предложено и использовано в [7].

Постановка задачи. Определения. Рассмотрим проблему управляемости РСВС диф-

ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

x = A11 x + A12 y + A13 z +

Д y = A 21 X + д2 Z = A 31 x -

•.У +

2y

■ A 23 z "

+ .A 33 z

B i u, B„

(1)

B 3 u

(2)

с начальными условиями

х(0, д) = х0, у(0, д) = Уо, г(0, д) = г0,

где х(0 е Я"1; у(0 е Я"2; г(() е Я"3; и(() е Яг; и - вектор-функция управляющих воздействий из класса кусочно-непрерывных функций, называемых далее допустимыми управлениями; д - малый

положительный параметр, де(0, д0], д0 << 1; х е Я"1 — вектор медленных переменных; у е Я"2, г е Я"3 - векторы быстрых переменных с

существенно различными скоростями y = O

( 1 >

( Л \

z = O

2

V Д /

B,, i, j = 1,3 - заданные по-

стоянные матрицы соответствующих размеров; "1 + "2 + "3 < г; х, у, г - производные соответствующих вектор-функций по времени I, ^ > 0.

Определение. РСВС (1) полностью управляема при заданном д, если для любых ("1 + "2 + "^-векторов {х0, у,, [х^ у,

существуют момент времени ^ > 0, и допустимое управление и($) такие, что соответствующая им в силу (1), (2) траектория {х(Г; х0, и (0, д), у (п у0, и (0, д), г (Г; ¿0, и (0, д)} удовлетворяет условиям

x(0; x0, u(t), ц) = x0,y(0; y0, u(t), ц) = y0, z(0; Z0, u (t), ц) = Z0,

x(t{; X0, u (t), ц) = Xj, y(tj; У0, u (t), ц) = уг, z(t{; Z0, u (t), ц) = Zj.

(3)

Метод исследования. Вспомогательные результаты. Для вывода необходимых и достаточных условий управляемости РСВС (1) введем расширенный вектор w = (х, у, г )'е е Я"1+"2+"3 - вектор состояния РСВС (1), (п1 + + п2 + п3) х (" + п2 + ") -матрицу Л(ц), ("1 + + п2 + п3) х г -матрицу В(ц):

( \ ( \

А(ц) =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

И И ц.

A31 A32 A33

ц2 ц2 ц2

B1

B2

, B(ц) = ц

B3

ц2

(4)

В силу (4) РСВС (1) примет вид

W = Л(ц^ + В(ц)и (5)

с начальным условием

w(0, ц) = Wo. (6)

Согласно критерию Калмана [8], система (5) полностью управляема в том и только том слу-

чае, если

rank{А(ц) 5(ц), k = 0, n1 + n2 + n3 -1} =

= n1 + n2 + n3.

(7)

Критерий полной управляемости (7) для РСВС (1) содержит в знаменателе большие сте-

/ "1 + п2 + п3-1 \

пени (до порядка ц 1 2 3 ) малого параметра ц и на практике является труднопроверяемым. Цель данной работы - получить эффективные необходимые и достаточные условия управляемости РСВС (1), выраженные в терминах ее параметров Л7]-, Ву, 7, у = 1,3 и не содержащие малый параметр ц. ^ ё

Пусть р =--оператор дифференцирования функций по времени т. е. для любой дифференцируемой функции / ^) справедливо

ё/

р/ (7) -—. Тогда РСВС (1) с помощью оператора р может быть представлена в виде

px(t) = A11 x(t) + А12 y(t) + А13 z(t) + B1u(t), ц py(t) = A21X(t) + A22 y(t) + A23 z(t) + B2u(t), (8) ц2 pz (t) = A31x(t) + A32 y(t) + A33 z(t) + B3u (t).

Каждой вектор-функции х(7), у(7), г((), и (7), входящей в РСВС (8), поставим в соответствие постоянные матрицы

Xk

:Rn1xr, Yl е Rn2xr, Z\ e Rnx

nrxr

Rr

с двумя индексами к, 7, а оператору р и малому параметру ц - операторы сдвига Д+, Л+ на единицу вправо соответственно нижнего и верхнего индекса у этих матриц:

x(t) ^ Xl, y(t) ^ Yk, z(t)

(9)

и ^) ^ ик, р ^Л+, ц ^Д+.

Таким образом, согласно (9), для некоторой матрицы б: Л+^ = ^ Д+бк = 0+1, а выражению ц2 рг($) соответствует операторная

форма Д+ (Л+ (Д+2к)) - ^к+2.

В силу соответствий (9) с учетом свойств операторов Д+, Д+ РСВС (8) может быть представлена как алгебраическая система рекуррентных по к, 7 матричных уравнений:

Xk+1 = AnXk + A12Yk + AZ + BUk,

Y+ = A21X + a^Y + AZ + BU

k

(10)

Z'k+f = A^k + A32Yk + AZ + BUk,

которые при 7, к > 0 будем решать с начальными условиями

U0 = Er, Uk = 0r, k Ф 0 л i Ф 0,

Xk = 0щ:

r, Yk = 0n2xr, Zk = 0n3xr, k < 0, i < 0.

(11)

Алгебраические уравнения (10) назовем определяющими уравнениями РСВС (1), тройку

матриц {Х'к, Угк+Х, Zk+2}, 7, к > 1 - решением определяющих уравнений (10), а каждую из матриц Х'к, Гкг+1, Zk+2 - компонентой решения определяющих уравнений (10).

Лемма. Для любого целого I > 0 справедливо равенство

A' (ц) Bfo) =

X;

l + 1

( 2l i .

i=0 ц

2l i+1

Z1;+1

i=0 ц 2l Z i+2 IZl+1

Л

i+2

vi=0 ц j

(12)

Доказательство леммы проведем методом математической индукции по индексу I. При I = 0 равенство (12) справедливо, так как с одной стороны, в силу (4) имеем

( л

в, Вх

В(ц) = ц

Вз ц2

V

С другой стороны, из правой части (12) при I = 0 следует тождество

( Л г Л

докажем его для I = ] +1. Для этого рассмотрим произведение Л1+1(ц)В(ц), которое представим в виде

Л1+1(ц) В(ц) = Л(ц)( Л1 (ц) В(ц)) =

(4), (13)

X" В1

1 у; В2

ц (10), (11) Ц

Л В3

21 ц2

Л11 Л12 Л13

Л21 Л22 Л23

Ц Ц Ц

Л31 Л32 Л33

2 2 2

1X

I

1+1

=0 ц

21 У' +1

I 1:1+1

г =0 Ц

1+1

21 7г+2

171+1

г+2

Vг=0 Ц У

Предположив, что (12) выполняется для некоторого I = 1, т. е.

г 21 X1 Л

I ^+1

Л] (ц)В(ц) =

=0 ц

21 V1 +1

1У1±

¿и ц г+1

1=0 ц

2 1 7г+2 I 71 +1

¿.и 1+2

Vг=0 ц У

Лц I

2> X '

1+1

21 V

21 7

=0 ц

Л 21X1 ,

"Л121 1+1 + Л131 г+2

г=0 ц г=0 ц

г+2 ^ 1+1

Л 21Уг+1 Л 217

21 I 1+1 | 22 I 1+1 + 23 I

1 +1

ц г=0 ц Л 21 Xг ,

Л31 I 1 +1

ц2 г=0 цг

ц г=0 М

ц г=0 ц

Л 21 7г'+1 Л 21 7г+2

Л32 V1 1+1 + Л33 У1 1+1

2 ^ г+1 2 ^ г+2

ц г=0 ц ц г =0 ц

(13)

В каждой матричной строке полученной (п1 + п2 + п3) х г -матрицы соберем слагаемые при одинаковых отрицательных степенях малого параметра ц и получим:

Лц X1+1 +1 ((11X1+1 + Ли1+1) + -1 ((11 ^ + Л12112+1 + Л13 ) + - +

ц ц

4*. X 0+1 + ^ (Л21X1+1 + Л22) + 4 (Л21X 0+1 + Л22У2+1 + Л23 72+1) + - + ц ц ц

Лц X 0+1 + ц15- (Л31X1+1 + Л3211+1 ) + (Л31X 0+1 + Л32У2+1 + Л337О+1) + - + +__^(л X2;' + Л У21 + Л 721 ) i 1 (л У2;+1 + Л 721+1) i 1 Л 72у+2

+ ..21 И"Л1+1 + Л12У1 +1 + Л1371 + м21+ЛЛ12У1+1 + Л1371+1 )+ 21+2 Л1371+1 Г1 г1 г1

м^1+Т(Л21 ^^ + Л22У12+;1 + Л237у+1 ) + "27+7(Л22У/+1+1 + Л23) + Л237]+1 2

¿г

21 + Л У21

1+1 + Л32У ] +1

Л3372++1 )+ м21+3 (Л32У1

21+1 + Л 7 21'+1 1+1 + 1+1

) + 1 Л 7 21+2 )+ м 21+ 4 Л3371+1

м

(10),(11)

1

Xl0+ 2 + _ Xl+ 2 Ц

!У! +—У2 -

1+2 2 1+2 ц 1 ц21

-1- 7 2 +

2 71 + 2 + 3 7 1+2

V ц ц

1

X

2(1+1)

2(1+1^ 1+2

1

2(1+1)+И 1+2

у 2(1+1)+1

1 7 2(11+1)+ 2 ,2(1+1)+2 ^ 1+2

Г 2(1+1) xi Л

г=0 ц

2(1+1) уг'+1

I У+2

г +1

=0 ц

2(1+1) 7г'+2

Е1+2 г+2

V г=0 ц У

что совпадает с (12) при I = у + 1. Лемма доказана.

Основные результаты. Используя равенство (12) леммы при I = 0,1,...,п1 + п2 + п3 -1, представим необходимое и достаточное условие (7) полной управляемости РСВС (1) в виде

rank

2 Vi

X10, II^ i=0 ц

Y1

L. у

,, ' i+1

ц i=0 ц

2 ii+1

2

2(щ + n2 + Пз-1) Xi

Ещ +n2 +n3

i=0 ц 2(nj + n2 +n3-1) Yi

+ n2 +n3 i+1

i=0 ц

i+2

Z2 2 7

2 ' Zu i+2 '

ц i=0 ц

2(n1 + n2 + n3-1) Zi

Ещ + n2 +Пз i+2

i=0 ц

= n1 + n2 + n3.

(14)

Таким образом, доказана теорема 1. Теорема 1. Для полной управляемости

РСВС (1) для любого |е(0, |0], |0 << 1, необходимо и достаточно, чтобы

rank

s+1

2s 1

У

j=0 цj

2s

Z1 yj+1

■ ■ j+1s+

j=0 ц

2s

Y-— ZJ+2

j+2 s+1

j=0ц

s = 0, n + n + n -1

= n1 + n2 + n3.

(15)

Условие (15) представляет компактную форму записи условия (14), но оно не является эффективным, так как содержит отрицательные степени малого параметра ц и потому достаточно большие по абсолютной величине слагаемые. Представим (15) в другом виде. Пусть S - матрица в левой части (15), т. е.

f

S =

2s 1

У Ш XS+1

\

j=0 ц

2s

2s 1 _

У-jTj s = а n + n2 + Пз -1

j=0 ц

2s

25 1

У-— 7*+2

¿а ц 1+2 Л 5+1

V1=0 ц

Преобразуем левую часть критерия (15), представив его в виде произведения трех матриц: (п1 + п2 + п3) х (п1 + п2 + п3)-матрицы Р,

(п1 + п2 + п3) х г (п1 + п2 + п3)2-матрицы б

и г (п1 + п2 + п3)2х г (п1 + п2 + п3)-матрицы Я:

Р =

0

Щ хщ

Пз хщ

Щ хП2

En

М-

^Пз хП2

П хП3

п хп3

E ц.

Q =

X

YJ+1, k = 1, п

,i = 0,2(k -1)

7i+2

R =

Ц.

l = 0, n1 + n2 + n3 -1, k = 0,2l

где Е1 - единичная I х I -матрица. Поскольку 1

det Р = ■

И

П2 + 2пз

Ф 0 для всех ц >0, то, соглас-

но [9], гапк {РбЯ} = гапк {бЯ}. Из [9] также

следует, что так как ранг произведения двух прямоугольных матриц не превосходит ранга любого из сомножителей, то гапк {бЯ}<

< {гапк б, гапк Я}. В силу представления матрицы Я в блочно-диагональной форме нетрудно заметить, что гапк Я = г(п1 + п2 + п3). Таким образом, из (15) получим следующую цепочку соотношений:

П + п2 +

п3 = rank S = rank {PQR} = rank {QR} < rank {Q, r(n1 + n2 + n3)}. (16)

Поскольку г (п1 + п2 + п3) > п1 + п2 + п3 для любого г > 1, то из (16) следует гапк б > что для (п1 + п2 + п3) х г (п1 +

> п1 + п2 + п3,

+ п2 + п3) -матрицы б возможно лишь при условии гапк б = п1 + п2 + п3. Таким образом, доказан основной результат данной работы - критерий полной управляемости РСВС (1).

Теорема 2. Для полной управляемости

РСДУ (1) при любом I е (0, |0 ], |0 << 1, необходимо и достаточно, чтобы

rank Q =

= rank

Xk

ii+1 1k '

vi+2

k = 1, n + n2 + n3, i = 0,2(k -1)

= n + n2 + n3.

(17)

Из критерия (17) следует ряд достаточных условий полной управляемости РСДУ (1). Так, например, при г > 1 справедливо следствие 1. Следствие 1. Если

rank

v0 v0 v0

X\ , X 25 X ,

"\ + n2 + "3

Y1 Y1 Y1

r?2 у2 Z\ , Z2 , .

"\ + "2 + "3 2

= "\ + n2 + n3,

П1+ П2 + П3

то РСВС (1) полностью управляема для любого

ме( 0, м0 ], м0 << 1.

Из теоремы 2 при к = 2, п1 + п2 + п3 нетрудно доказать следствие 2.

Следствие 2. Если хотя бы для одного

к, к = 2, п1 + п2 + п3,

rank

XL

Yk+ , i = 0,2(k -1)

= "\ + n2 + n3,

то РСВС (1) полностью управляема для любого

ме( 0, м0 ], м0 << 1.

В частном случае этого следствия при г =

= k = п

П3 получим достаточное условие

полной управляемости РСВС (!) в виде

rank

X"\ + n2 + n3 -\

n\ + n2 + "з

y"\ + n2 + ПЗ n\ + n2 + "з

Zn\ + n2 + Пз +\ n\ + "2 + "з

= П\ + "2 + "з,

(\8)

которое для (п1 + п2 + п3) х г -матрицы, входящей в условие (18), очевидно, может выполняться лишь при условии г = п1 + п2 + п3 и означает невырожденность данной матрицы.

Заключение. Заметим, что из основного результата данной работы - критерия полной управляемости РСВС (1) нетрудно получить условия относительной управляемости [7] этой сис-

темы (x -управляемости, y -управляемости, z -управляемости), выраженные непосредственно через ее параметры - матрицы A , Bj, i, j = \,3.

Литература

L Копейкина, Т. Б. О критериях управляемости линейных стационарных сингулярно возмущенных систем / Т. Б. Копейкина // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. - 2006. -Т. М, № 2. - С. 7\-82.

2. Копейкина, Т. Б. Определяющие уравнения в проблеме управляемости стационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / Т. Б. Копейкина // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. - 2009. -Вып. XVII. - С. П-В.

3. Kopeikina, T. B. Some approaches to the controllability investigation of singularly perturbed dynamic systems / T. B. Kopeikina // Systems Science. - Ш5. - Vol. 2\ № L - P. П-36.

4. Копейкина, Т. Б. Об управляемости линейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / Т. Б. Копейкина // Дифференциальные уравнения. - \989. - Т. 25, № 9. -С. Ш8-Ш8.

5. Копейкина, Т. Б. Управляемость стационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / Т. Б. Копейкина, А. С. Гусейнова // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. - 2008. - Вып. XVI. - С. 9-М.

6. Курина, Г. А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем / Г. А. Курина // Математические заметки. -\992. - Т. 52. - Вып.4. - С. 56-6L

7. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. - М.: Наука, \97L - 508 с.

8. Калман, Р. Е. Об общей теории систем управления / Р. Е. Калман // Труды I Международного конгресса ИФАК по автоматическому управлению. - М.: Наука: Изд-во АН СССР, \96L - С. 52^547.

9. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гант-махер. - М.: Наука, \967. - 576 с.

Поступила 01.03.2011

УДК 519.624

И. Ф. Соловьева, кандидат физико-математических наук, доцент (БГТУ)

ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК ПОГРЕШНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Для решения граничных задач с пограничным слоем предлагается вариант метода дифференциальной ортогональной прогонки. Этот метод позволяет перейти от исходной граничной задачи к совокупности задач Коши. Для решения задач Коши в настоящее время существует целый арсенал хорошо работающих методов. Для каждой задачи Коши получена оценка погрешности. Эти оценки погрешности используются для получения оценки погрешности искомого решения и его градиента.

In the present work boundary problems with small paramétré are considered at the senior derivative and with boundary thus boundary or internal transitive layers. For the decision of these problems the variant of a method of differential orthogonal prorace is offered. This method allows to pass from an initial boundary problem to set of problems of Koshi. For the decision of problems of Koshi now there is a whole arsenal of well working methods. For each problem of Koshi the error estimation is received. These estimations of an error are used for reception of an estimation of an error of the required decision and its gradient.

Введение. Область применения граничных задач с малым параметром при старшей производной и с возникающими при этом пограничными либо внутренними переходными слоями все время расширяется: они широко распространены в механике, физике, динамике жидкостей и т. д. Эти задачи очень сложны в вычислительном отношении, кроме того, они требуют более детальной информации о поведении решения вблизи граничных точек. Для решения этих задач нужны методы с хорошими возможностями настройки и регулировки вычислений и с более общими предположениями на входные данные задачи.

Постановка задачи. Рассмотрим двухточечные граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром в > 0 при старшей производной вида

гу" ( x) + a( x) y' ( x) - b( x) y( x) = f ( x), y(0) = A, y(l) = B, 0 < x < 1;

¡-гу' ( x) + b( x) y( x) = f ( x),

[y(0) = A, y(1) = B, 0 < x < 1, s > 0.

(l)

(2)

Предположим, что задача (1) имеет один, а задача (2) - два пограничных слоя.

Задачи вида (1), (2) являются математическими моделями диффузионно-конвективных процессов или родственных им физических явлений. Диффузионным членом является член, включающий производную второго порядка, а конвективный член включает производную первого порядка. Задачи такого вида называются сингулярно возмущенными. Их решение может быстро изменяться вблизи граничных точек, т. е. мы имеем пограничный слой. Причина трудностей решения задач с пограничным

слоем заключается в неустойчивости численного процесса.

Для численного решения граничных задач вида (1), (2) с пограничным слоем предлагается метод дифференциальной ортогональной прогонки [1]. Этот метод дает возможность приме -нить единый подход к решению граничных задач с одним и двумя пограничными слоями.

Алгоритм метода дифференциальной ортогональной прогонки.

1. Рассмотрим, например, граничную задачу вида (2). Представим ее в виде системы дифференциальных уравнений

yi = y2,

f (x) , b(x)

у 2 =-

+ —- y1, 0 < x < 1, s > 0

с граничными условиями вида

Ji(Q) = A, y2(Q) = B.

(3)

(4)

2. При решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) используем процедуру введения множителей т2 (х, в) > 0, т1 (х, в) > 0, регулирующих поведение функций у(х) и у'(х), т. е. самого решения и градиента решения вблизи пограничных слоев, где, как правило, решение и особенно градиент решения неограниченно возрастают [1].

3. Исходную граничную задачу представляем в виде совокупности трех соответствующих задач Коши для функций х), и(х), v(x), причем для функций б(х) и и(х) имеет место прямой ход прогонки, а для функции v( х) - обратный:

Q' =

шп

Ш'

2m

sin 2Q -

ш2 b

ш

v Ш1 г

Ш

cos2 Q,

2 J

(5)

п

Q(0)=-;