CC BY
32
Потоковая матрица
0 0 5 5 15 0 0
0 0 10 15 5 0 0
0 0 0 5 0 10 0
0 0 0 0 0 10 15
0 0 0 0 0 10 10
0 0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0 0
Поскольку элементы / = 1, 2; ] = 6, 7,
то величину потока нельзя увеличить, даже если мощности источников и стоков будут не ограничены. Это означает, что любой путь, ведущий из источника в сток, содержит дугу с нулевой пропускной способностью («насыщенную» дугу). Множество таких дуг образует
минимальный разрез Я, Я , отделяющий источники от стоков. В случае необходимости, минимальный разрез Я, Я легко находится с
помощью матрицы В . Действительно, вершины множества и все вершины ], для которых
ХОТЯ бы ДЛЯ ОДНОГО 7 е > О, относятся к
_*
множеству Я, остальные (с!,, =0 \ZieS) -
к множеству Я . В рассматриваемом примере Я = {1, 2, 3, 4, 5}, Я = {6, 7}, минимальный раз-
рез R, R ={(3, 6), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7)}
имеет пропускную способность, равную 55 единиц и равную величине максимального суммарного потока из источников S = {1, 2} в сток T = {6, 7}.
В Ы В О Д
Разработан новый алгоритм нахождения максимального потока в многополюсной сети, который основан лишь на матричном ее описании и не требует графического представления последней. В силу этого программная реализация данного алгоритма является очень простой, и он может быть использован при решении широкого круга проблем, математические модели которых могут быть сформулированы в терминах теории графов.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Floyd, R. W. Aigorithm 97: Shortest Path. Communication of ACM / R. W. Floyd - 1962. - № 5 (6). - 345 p.
2. Корзников, А. Д. Моделирование и оптимизация процесса перемещения грузов в логистической транспортной системе / А. Д. Корзников, В. А. Корзников // Вестник БНТУ. - 2003. - № 6. - С. 54-60.
3. Форд, Л. Р. Потоки в сетях / Л. Р. Форд, Д. Р. Фал-керсон. - М.: Мир, 1963. - 276 с.
4. Veinott, A. F. Integer Extrime Points / A. F. Veinot, Jr. and G. B. Dantzig // SIAM. Revjew. - 1968. - No 10 (3). -Р. 371-372.
Поступила 22.04.2013
УДК 517.977
УПРАВЛЯЕМОСТЬ СУЩЕСТВЕННО РАЗНОТЕМПОВЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Канд. физ.-мат. наук, доц. КОПЕЙКИНА Т. Б.1}, ГРЕКОВА А. В.2)
1 Белорусский государственный технологический университет, 2Белорусский национальный технический университет
В [1] была рассмотрена проблема управляемости разнотемповой сингулярно возмущенной динамической системы (РСВДС):
х = Аих + Аиу + Auz + Biii; ji у = А21х + А22у + A23z + В2и; \x2z = А31х + А32у + A33z + В3и,
(1)
Наука итехника, № 5, 2013
малый положительным параметр:
С М-0 ,, Ц°«1; хе R"' - вектор медлен-
где ц це Сц"
ных переменных; 1'е 11"-. ге 11"' - векторы быстрых переменных с различными скоростями У = ОЦ)>.1 ¿ = 0(/\12^ В}, -
заданные постоянные матрицы соответствующих размеров; ие Яг - вектор-функция управляющих воздействий, выбираемый из класса кусочно-непрерывных функций, пх + п0 + щ < г; х, у, £ - производные соответствующих вектор-функций по времени t, t > 0.
С помощью перехода в + и2 + и3 -мерное пространство состояний системы (1) и применения для нее метода определяющих уравнений [2], состоящего в построении по исходной системе дифференциальных уравнений системы матричных алгебраических рекуррентных уравнений, в [1] были получены эффективные алгебраические условия полной, относительной управляемости, выраженные в терминах параметров А1}, В}, РСВДС (1).
В данной статье проблема управляемости рас-сматривается для более общего вида РСВДС:
х-Аих + Аиу + Аиг + Дм; ¡I01 у = А21х + А22у + А2Ъг + В2и; (2) ц^г = А31х + АЪ2у + А33г + Въи,
где а < (3, а, |3 - целые положительные числа.
В (2) х - ^-вектор медленных переменных по сравнению с векторами уе Я"1, ге Я" быстрых переменных, входящих в систему (2) с существенно различными скоростями у = о(/ца
¿ = О (/цр . Поэтому систему (2) назовем существенно разнотемповой сингулярно возмущенной динамической системой (СРСВДС). Отметим, что системами с малым параметром при старшей производной описывается, например, процесс обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа; движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость; поведение тонких и гибких пластин и оболочек и др. В [2, 3] обоснована математическая модель движения многоопорной машины как объекта управления сингулярно
возмущенной системой. Рассмотрена модель половины большегрузного автомобиля [4], имеющая четыре степени свободы. В системе активной подвески автомобиля комбинируется классическая пассивная система станины и кузова автомобиля массой т с активной системой, состоящей из жестких тел передних и задних колес массой т и тг. Для большегрузного автомобиля т^+тг«т3, так что тг +тг
|1 = —:-«0,001, в связи с чем модель системы активной подвески может быть рассмотрена как динамическая система в двух шкалах времени: медленной и быстрой, т. е. как сингулярно возмущенная система управления. Многие задачи гидродинамики, динамики полета, химической кинетики, автоматического управления и регулирования описываются РСВДС, в которые малый параметр входит в качестве множителей с различными степенями при переменных состояниях системы.
Впервые проблема управляемости разно-темповых сингулярно возмущенных систем была рассмотрена в [5], где достаточные условия полной управляемости получены на основе разложения пространства состояний системы в прямую сумму подпространств меньшей размерности. В данной статье исследование полной и различных видов относительной управляемости СРСВДС (2) с постоянными коэффициентами проводится с помощью метода пространства состояний и дальнейшего развития метода определяющих уравнений [2] на более общие, чем РСВДС (1), системы вида (2).
Рассмотрим вопрос об управляемости РСВДС (2) с начальными условиями:
А' 0,|Я = х0; у 0,ц -у0; г 0,ц =г0. (3)
Определение 1. РСВДС (2) полностью
управляема при заданном ц, если для любых 1 + л2 + «з -векторов "4,, у0, г0 и , у1, г1 _ существует такой момент времени t1, > 0, и допустимое управление и(/), что соответствующая им в силу (2), (3) траектория ХСх0,и((у0,и(0,Ц^С?а,удов-
летворяет условиям:
Наука итехника, № 5, 2013
х 0; А'0,г/(0,М- =х0, ;<0; у0, и(0,\л) = у0,
г 0=г0, х^; х0,м(0,Ц) = *ь
Введем вектор и-' е Н"'1 "!. матрицы
е М "1+'ь-+щ х , Я(ц) е М '
И, хг
( А лп Л 2 /1 ^
W = У ; = А21/ ца
Z V У /31V А32/ЦР
В1
В2
(4)
При этом система (2) принимает вид й- = Ж,ц)и' + В{\х)и
(5)
с начальным условием и1 0, ,и =м/0.
Согласно критерию Калмана [6], система (5) полностью управляема тогда и только тогда, когда
= (6)
Критерий (5) с матрицами (4) являются труднопроверяемыми, так как в знаменателях матриц, входящих в левую часть (6), присутствуют большие степени малого параметра. Целью исследований является получение необходимых и достаточных условий управляемости РСВДС (2) в терминах ее параметров ,
вг 7,7=1Д
Пусть р = ШЖ - оператор дифференцирования функции по времени Тогда система (2) может быть записана в виде:
px{t) = Anx{t) + Auy{t) + Auz{t) + Bjiiit); \iapy(t) = A21x(t) + A22y(t) + A23z(t) + B2u{t); (7) \fipz{t) - A^xit) + Ai2v(t) + Ai3iz(t) + B3u(t).
Каждому вектору-функции х(1:), г(/),
) из (7) поставим в соответствие постоянные матрицы с двумя индексами 7, к\ Х'к е М"'х'.
Наука итехника, № 5, 2013
Y^M'b-Xr
Z;eM"iXr, U'k^MrXr,
оператору
дифференцирования р - оператор Д+ сдвига на единицу нижнего индекса к, малому параметру ц - оператор Д+ сдвига на единицу верхнего индекса т. е. = 0к+1, А+0'к = Ок+1.
В силу этих соответствий из (7) получаем систему алгебраических рекуррентных по к и 7 матричных уравнений:
Х'к+1 =А\Х'к + AnYl + AuZ'k +BiU'k;
= A21X'k + A^Yl + A23Z'k + lUJ'k-Z:+i = A»Xi + A32Yl + A»Zi + BJJl.
(8)
которые будем решать с начальными условиями:
Uq = /■; ; U\ = 0r при к Ф 0 или i ± 0;
У — п
л 0 ~~ и^хг
Y' = 0
1к хг
для любого /;
при £ = 0 или 7 = 0,1, ..., а-1;
(9)
4 = °„3ХГ при £ = ° ИЛИ 7=0,1, ..., (3-1.
Уравнения (8) назовем системой определяющих уравнений для РСВДС (2). Решением (8),
(9) является тройка матриц Х'к, У к, Х1к , каждую из которых назовем компонентой решения. Из системы (8) в силу начальных условий (9) получаем дополнительные свойства компонент решения Х'к, УЦ, :
х:=0„1>;гпри7>(3 к-1 +1; г; =0„2Хгпри7>(3 к-1 +1 + а;
4=0„зХГПрИ7>р^ + 1,
или, что то же самое:
.V: = 0,.
У'+а = о
1к w;j,,xr>
При />Р к-\ +1.
(10)
Доказательство этих соотношений проводится методом математической индукции и в данной статье опускается.
Лемма. Для любого целого / > 0 справедливо равенство
' /р М. у'+а 72. 7,+Р л
;+1
'/+1
7-
17, Ц
+р
(ii)
Доказательство проведем методом математической индукции. При 1 = 0 из (8) в силу
начальных условий (9) следует, что Х°=В1, У," = В2. 21=ВЪ. С другой стороны, из (4)
имеем 5(|1) = соI
= со1
Г ъ В2 В3 Л
А - -О
1 |1а |1Р
Значит, A B =
V
доказано.
Ya 7 Р
Y° h_
1 ц-
Равенство (11) для 1 = 0
Предположим далее, что равенство (11) верно для некоторого 1 = у, т. е.
Aj(\L)B(\L) = coI
fi х' ft Yi+a ■'P 7'+p
E-I - * , , 1 Ж-' 1 , , 1 ж—\ r I
S j+1 у J+1 V1 11' ^ 11'+<* ^ 11'
J+1
у—о Ц /-о M-
+P
Докажем его для 1 = у + 1. Рассмотрим произведение
ЧиЖ^ А(ц) AJ V)BV) =
UXAuX%x+ A„Xj+1 +A^ +A^ >...+
И
A21 a + ...+ 2a A21Xj°+1 + A22Yj4-1 a+r A21Xj+1 + A22Yj+1 + A23Zj+1 J" —+
— A31X/+ 1 + A32-Yj+1 Jr...+
, X j+1
a+P ™ 21 j+1 22 j+1 23 j+1
j+1 + A32Yj+1 + A33Zj+1 >." +
« ^ . L AnXp ^ fp ^ 7? ^
I 1 Л WP+i . л 7УР+1 , I 1 4 7«+УР+1 , 1 1 /I 7УР+Р
|1;P+1 ;+1 13 ^a+yp+l + ••• + p+/p
+ ..a+;p+l + ^ +•••+ 2a+;p+l A23Z"+VM + - + a+p+p;
M1 и и
p+jp+1 У+1
oc+P+jP+1 33 >+1
+ ... + -
J_ /( 7ЛЗ+Р
X'
X1
j+2 '
j +2
у a. AJ +2
ya ya+1 у 2
*j+2 ! *j+2 Yj+ 2 2 2 + 1'+2 |ia |J,a+1 .. .. na+P .. ii01 .. i|2a+jP .. iia+P+JP
j
AJ+2 | + Xj +2
j
jj + ...+ ^ +... +
j
j
r2a
у a+P Ya+ft y2a+ jP ya+P+jP
¡1
1
Zj+^ 1 Zj+2 ^ +Zj+2
V-
2P
11 ^ 11-
jj
jP
Zj+ 2
^ jp
jtPX'' о у1 X j+2
^ и7
¿=o Му 1 j+2
io
— II
o
V У
j+2
что совпадает с (11) при 1 = у + 1. Лемма доказана.
Используя равенство (11), необходимое и достаточное условие (6) полной управляемости системы (2) может быть представлено в виде
rank
■Ф w л,
sp yj+a
j+a
Ц'
iP 7y+p
y+P
5 = 0,77j -1
= Щ +Пп +л3.
(12)
Наука итехника, № 5, 2013
0
Полученное условие затруднительно для проверки, так как в нем присутствуют слагаемые с большими отрицательными степенями малого параметра ц. Выведем условие полной управляемости РСВДС (2), не содержащее ц. Для этого представим матрицу левой части (12) в виде произведения
трех матриц:
£ = роя
где
P =
E„
0 n^x n 0n>x n3
e_ О
nn
E„
PeM
Пу+П2+Щ х Щ+П2+Щ
Q =
Xk
7'+P Zk
R =
k = 1, ^+n2+n3, / = 0,P k
l = 0, nx+n2 + n3 -1
Так как det P = -
1
a +|3«2
Ц
k = 0,(3 l Ф 0 для любого |i > 0,
то rcinkS = rank POR =rank OR <rank 0,R , т. е. rankS не превосходит rank Q и rank R. Поскольку rank О <nx+n^ +n3, rank R<r(nx + + «2 + «з), то rank S < rank О <nx+n0 Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Для полной управляемости
РСВДС (2) при любом цеСи0^, Ц°«1 необходимо и достаточно, чтобы
rank
XL
k = 1, пх + пп + пъ; / = 0, (3 к -1
= п1+п~>+щ. (13)
Определение 2. РСВДС (2) называется
х-управляемой ^-управляемой, ^-управляемой) при заданном ц, если для любого +п2+щ -вектора и любого пг-вектора х1 (п2 -вектора уг, п-, -вектора ) существует такой момент времени > 0 и допустимое управление ), что соответствующая им в силу (2),
(3) траектория х г1;х0,г/(/"),|Я ,у ,
г t;z0,u(t),jl удовлетворяет условиям: х(0;
•*"о= х0, у 0;у0,7/(0,11 =у0, г 0;г0,г/(Г),
\1 = г0, х 7/(0,1^ У ^;у0,и(0,И =У,
г 1/(^,11 .
Наука итехника, № 5, 2013
ОеМ
1\+П2+Щ X-
г п1+п1+пъ (3 т\+п2+пъ—I +2
г i\ +п2 +щ Р i\ +п2 +щ -1+2
2
2
/Г /7| П^ I П:.
Пусть Н\ — Е,х, 0,пХ„2, 0,пХщ , Н2 — 0„2ХН1, Е„2, 0и2хн3 , Нз — 0??¡х^, 0;73хл2 ' ^т ~ заданные П\ х щ+п2 + щ -, п2х щ+п2+щ - И Щ X щ + + п2+п3 -матрицы соответственно.
Теорема 2. Для х-управляемости РСВДС (2) при любом ц е ¡1° , «1 необходимо и достаточно, чтобы
rank Х'к, к = \,пх +пп +п3; i = 0,(3 к-1 =«j.(14)
Доказательство. Согласно определению 2, х-управляемость РСВДС (2) означает относительную Н\-управляемость, т. е. управляемость любого начального состояния x0,y0,z0 е
(Е М"'1 "2 "' этой системы в любое конечное состояние //| и1 4 = X,. Необходимое и достаточное условие ^-управляемости системы (5) согласно [7] имеет вид
rank HxB(\i),HxA(\i)B(\i), ...,НхАп^'ь-+щ-\\1)В(\1) = = rankHl. (15)
В силу леммы, теоремы 1, вида матрицы Иг и равенства гапкН1=п1 условие (15) принимает вид (14). Теорема доказана.
Аналогично доказываются критерии j-уп-равляемости и z-управляемости РСВДС (2).
Теорема 3. Для v-управляемости РСВДС (2) при любом и е и" , «1 необходимо и достаточно, чтобы
0
nn
2 "1
2'ч"3
0
nn
31
1
k
к
к
rank
k = \,nx + п2 + и3;
i - 0,(3 k — \ =п2.
(16)
Теорема 4. Для ^-управляемости РСВДС (2) при любом це С-М-" , М-" «1 необходимо и достаточно, чтобы
rank Y'k+Р, k = 1, пх + п2 + п};
i = 0,(3 к — \ =пъ.
(17)
Определение 3. РСВДС (2) называется {XV}-управляемой ({хг}-управляемой; -{^[-управляемой) при заданном ц, если для любого ^1+л2 + «з -вектора и любых «1-вектора х и п2-вектора у (п!-вектора х и п3-вектора г1; п2-вектора у и п3-вектора г1) существует такой момент времени 11,11 > 0, и допустимое управление и(/), что соответствующая им в силу (2), (3) траектория X< х0, и(г),ц <у0, и(0, ( г0, и(г),^ удовлетворяет условиям:
хС;х0,г/(0,цЭ=х0, v(0;у0, n{t),\y =у0, z 0;z0,?<(i),H =z0,x(t1;x0,n(t),V) = У 'i;>V,,?/(/),Ц = Jb х<;х0,м(0,цЭ=х1,г(/11; Л, z{ti,z0,u(t), Ц =z1).
Пусть (i\ — | E
/?l + /72 " /J| X/73
], G2 =
/7
J—J VX
0,
0,
, G3=[0
772 +"3 X77i ? ^ 772 +773 3cl~
данные С: + п^ ^ ^ 1 + «т + п\+пз х (+ +Пг+Щ - и + и, ^ + и., + и, -матрицы соответ-
ственно.
Теорема 5. Для {ху ¡-управляемости РСВДС (2) при любом ,и е , |а° «1 необходимо и до-
статочно, чтобы
гапк
yi+a 1к
к = \,пу+п2+п3, / = 0,(3 к — \
— щ +п2.
(18)
Доказательство. Согласно определению 3, {ху}-управляемость РСВДС (2) означает относительную Gi-управляемость, т. е. управляемость любого начального состояния x(hy(hz0 е этой си-
стемы в любое конечное состояние . Необходимое и достаточное условие Gi-
управляемости системы (4) согласно [7] имеет вид
rank = rank Gx.
В силу леммы, теоремы 1, вида 0\ и равенства гапкС1 = п1+п0 это условие принимает вид (18). Теорема доказана.
Аналогично доказываются критерии {хг}-управляемости и {хг}-управляемости. Теорема 6. Для {хг}-управляемости РСВДС (2) при любом |ае См-° • Ц° «1 необходимо и достаточно, чтобы
гапк
Z
7+Р
к = \,п1+п2+пъ, / = 0,(3 к — \
= пх +пъ.
(19)
Теорема 7. Для {уг}-управляемости РСВДС (2) при любом |а е , «1 необходимо и достаточно, чтобы
Наука итехника, № 5, 2013
rank
7;+Р
k = \,n1+n2+ni, 7 = 0,(3 k-1
n2 +n3.
(20)
Следствие 1. Если РСВДС (2) полностью управляема для некоторого це , Ц° «1, то она х-управляема, ^-управляема, г-управ-ляема и {ху ¡-управляема, {хг}-управляема, {уг} -управляема для этого же значения малого параметра.
Доказательство следует из того, что выполнение условия (13) немедленно влечет выполнение условий (14), (16)—(20).
Следствие 2. Если РСВДС (2) {^-управляема ({.^¡-управляема, {^{-управляема) для некоторого |Л,е , «1, то онах-уп-равляема и ^-управляема (х-управляема и г-уп-равляема, ^-управляема и г-управляема) для этого же значения малого параметра.
Обратные утверждения места не имеют.
Замечание. Рассмотрим РСВДС (2) с а,Ре , т. е. систему с рациональными степе-
ТТ т о Р
нями малого параметра. Пусть ос = —, р =—,
п д
где т, п, р, ц - целые положительные числа. Покажем, что исследование управляемости РСВДС (2) с такими показателями малого параметра ц можно свести к рассмотренному случаю. Положим а' = дт, [У = пр. V = , тогда РСВДС (2) может быть представлена в виде:
Пример. Рассмотрим РСВДС пятого порядка с двумя рациональными степенями малого
параметра ц, це «1:
х = —2х + - г2 + Ъи\
1/3 • 1/3 •
ц у^х + г^и; ц у2=у2-г2; ¡1 'г1=х + у1—и; |1 ~г2=-х + г1+и.
Рассматриваемая система принимает вид (2),
где у -
z =
V У
A13=H -Г; В1 = 4:; А21 =
; An = i2j Au = i (Г;
'О
0
v у
; Аг -
^0 0Л о 1,
v у
Аз =
г\ оЛ Г1л
f\ ол о о
V У
0 -1
В, =
о
v у
Аз 1 =
A33 -
^0 0Л
1 0
V У
Вз =
' 1 Л
-1
V У
A32 =
'-О
1
V У
. Полагая
V = а' = 5; (3' = 6, перейдем к целым степеням малого параметра. Начальные условия: х 0,У =х0; у 0,у = у0', где
У0
щим уравнениям (8) и вычислив компоненты Х'кЛ, 2'к решения с начальными условиями (9), получим
/■ \ У 001 л ¿С 11 . Перейдя к
; z0 =
^02 ;
х = Аих + Аиу + Auz + Дм; V01' у = А2,х + A22v + A23z + В2и; v13 z = А31х + A32v + A33z + В3и,
rank
XV
ri+5
zi
к = 1,5: 7 = 0.6 к-I
= 5 .
где а' и (3' - целые положительные. Следовательно, при достаточно малом V = все ранее доказанные утверждения справедливы и для РСВДС с рациональными степенями малого параметра.
Наука итехника, № 5, 2013
Следовательно, по теореме 1 рассматриваемая система полностью управляема при любом
В Ы В О Д
Впервые исследована проблема управляемости существенно разнотемповых сингулярно возмущенных динамических систем, т. е. си-
к
z
z
к
стем трех дифференциальных уравнений, в которые малый параметр входит с различными степенями в качестве множителя при производных. Использование метода определяющих уравнений [7], разработанного в [1, 2] для таких систем, позволило, не решая сложную систему дифференциальных уравнений, получить эффективные алгебраические условия полной, относительной управляемости РСВДС, выраженные непосредственно через их параметры. Рассмотренный пример РСВДС пятого порядка с рациональными степенями малого параметра иллюстрирует эффективность предлагаемого метода исследования управляемости.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Копейкина, Т. Б. Управляемость разнотемповых сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений / Т. Б. Копейкина // Труды БГТУ. Физ.-мат. науки и информатика. - 2011. - № 6. - С. 7-11.
2. Копейкина, Т. Б. О критериях управляемости линейных стационарных сингулярно возмущенных систем /
Т. Б. Копейкина // Труды Института математики НАН Беларуси. - 2006. - Т. 14, № 2. - С. 71-82.
3. Копейкина, Т. Б. Об управляемости активной подвески большегрузного автомобиля / Т. Б. Копейкина // Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика): тез. докл. Междунар. науч.-технич. конф., Минск, 16-20 мая 2005 г. / Бел. нац. техн. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси; редкол.: Р. Ф. Габасов [и др.]. - Минск: БНТУ, 2006. - С. 42-44.
4. Salman, M. A. Reduced order design of active suspension control / M. A. Salman, A. Y. Lee, N. M. Boustany // Transaction of the ASM. Journal of Dynamics Systems, Measurement, and Control. - 1990. - Vol. 112, № 4. -P. 604-610.
5. Курина, Г. А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем / Г. А Курина // Математические заметки. - 1992. - Т. 52, вып. 4. - С. 56-61.
6. Калман, Р. Е. Об общей теории систем управления / Р. Е. Калман // Труды I Междунар. конгресса ИФАК по автоматическому управлению. - М.: Наука, Изд-во АН СССР, 1961. - С. 521-547.
7. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. Кириллова. - М.: Наука, 1971. -508 с.
Поступила 29.06.2012
итехника, № 5, 2013
