Управляемость существенно разнотемповых сингулярно возмущенных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРУДЫ БГТУ. 2012. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 17-20. 17

УДК 517.929

Т. Б. Копейкина, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник (БГТУ)

УПРАВЛЯЕМОСТЬ СУЩЕСТВЕННО РАЗНОТЕМПОВЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Исследуется проблема управляемости разнотемповой динамической системы (РДС), состоящей из трех векторных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в которые в качестве множителя при производной входит малый параметр д с существенно различными степенями а, в, а < р. С помощью перехода в пространство состояний исследуемой системы и введения для нее определяющих уравнений (т. е. системы матричных алгебраических рекуррентных уравнений) доказаны удобные для использования в технических приложениях критерии полной, различные виды относительной управляемости РДС, выраженные через компоненты решения определяющих уравнений.

The controllability problem of time-invariant multi-temps singularly perturbed dynamic systems with the help of state space method is considered in this paper. System under consideration consists of three vector differential equations with small parameter multiplying state derivatives in different degrees а, р, а < р. Some criteria as well as algebraic conditions of complete controllability and different types of relative controllability are proved. These criteria are obtained in terms of the solutions of the defining equations which are recurrence matrix algebraic ones constructed in virtue of the view of the system under consideration.

Введение. В работе автора [1] была рассмотрена проблема управляемости разнотемповой сингулярно возмущенной динамической системы (РСВДС):

x = A11 x + A12 y + A13 z + B1 u,

ДаУ = A21 x + A22 y + A 23 z + B 2 u, дe z = A31 x + A32 y + A33 z + B3 u,

(2)

x = A11 x + A12 y + A13 z + B1u,

Д y = A21x + A22 у + A23z + B2U,

д2 z = A31x + A32 y + A33 z + B3u,

(1)

где д - малый положительный параметр, д е

(г\ о "I 01 т\п\

0, д I, д 1; х е к - вектор медленных переменных; у е КП2, г е Кп' - векторы быстрых переменных с различными скоростями

где а < Р, а, Р е Z+, Z+ - множество целых положительных чисел. В (2) х - п1-вектор медленных переменных по сравнению с п2- и п3-векторами у, г быстрых переменных, которые входят в систему (2) с существенно различными

ми скоростями y = O

( 1 >

д

z = O

(1 >

v ДР,

Поэто-

у = O

(1 ^

д

z=O

(1л 2

v д /

B,, i, j = 1,3 - задан-

ные постоянные матрицы соответствующих размеров; п1 + п2 + п3 < г; х, у, г - производные соответствующих вектор-функций по времени I, ^ > 0. С помощью перехода в (п1 + п2 + п3)-мерное пространство состояний РСВДС (1) и применения метода определяющих уравнений, предложенного автором в [2] и состоящего в построении по исходной системе дифференциальных уравнений системы матричных алгебраических рекуррентных уравнений, в работе [1] были получены эффективные алгебраические условия полной, относительной управляемости, выраженные в терминах параметров Л7]-, В, 7, ] = 1,3 РСВДС (1).

В данной работе проблема управляемости рассматривается для более общего вида РСВДС:

му систему (2) назовем существенно разнотемповой сингулярно возмущенной динамической системой (СРСВДС). Отметим, что системами с малым параметром при старшей производной описывается, например, процесс обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа; движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость; поведение тонких и гибких пластин и оболочек и др. Многие задачи гидродинамики, динамики полета, химической кинетики, автоматического управления и регулирования описываются РСВС, в которые малый параметр входит в качестве множителей с различными степенями при переменных состояния системы.

Впервые проблема управляемости разно-темповых сингулярно возмущенных систем была рассмотрена в [3], где достаточные условия полной управляемости получены на основе разложения пространства состояний системы в прямую сумму подпространств меньшей

размерности. В данной работе исследование полной и различных видов относительной управляемости СРСВДС (2) с постоянными коэффициентами проводится с помощью метода пространства состояний и дальнейшего развития метода определяющих уравнений [2] на более общие, чем РСВСДС (1), системы вида (2).

Постановка задачи. Определения. Рассмотрим проблему управляемости СРСВДС дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (2) с начальными условиями

х(0, ц) = х0, у(0, ц) = у00, г(0, ц) = г0, (3)

где х(1)е Я"1; у(1)е Я"2; г(1)е Я"3; и(1)е Яг; и - вектор-функция управляющих воздействий из класса кусочно-непрерывных функций, называемых далее допустимыми управлениями; хх, у, г - производные соответствующих вектор-функций по времени 1, 1 > 0.

Определение 1. СРСВДС (2) полностью управляема при заданном ц, если для любых ("1+ "2 + "з)-векторов {Х0, У0, У1, су-

ществуют момент времени 11, ^ > 0, и допустимое управление и (1) такие, что соответствующая им в силу (2), (3) траектория

{х(1; Х0, и(1), ц), у(1; У0, и(1), ц), г(1; ¿0, и(1), ц)}

удовлетворяет условиям

х(0; Х0, и( 0, ц) = Х0, у(0; у0, и(1), ц) = у,,

г(0; ^0, и( 0, ц) = г), х( Ч; х0,и ( 0, ц) = х1, у ( Ч; у0 , и ( 0, ц) = у1,

г( и(0, ц) =

(4)

Определение 2. СРСВДС (2) называется х-уп-равляемой (у-управляемой; ^-управляемой) при заданном ц, если для любых ("1 + "2 + "3)-век-торов {х0, у0, г0}, {х1, у1, г1} существуют момент времени 11,11 > 0, и допустимое управление и (1) такие, что соответствующая им в силу (2), (3) траектория

{х(г; х0, и( 1), ц), у(1; у0, и (г), ц), г (1; и (г), ц)}

удовлетворяет условиям

х(0; х0, и ( г), ц) = х0, у(0; у0, и( 0, ц) = у0, г(0; и( 1), ц) = г>, х( у0, и( 1), ц) = х1,

у( ь; г0, и( 0, ц) = л;г( Ч; ^ и( 0, ц) = г1.

(5)

Цель работы - получить эффективные, удобные в приложениях условия полной управляемости, х-управляемости, у-управляемости, г-уп-равляемости, выраженные через параметры Ау, Б}, /, у = 1,3 СРСВДС (2).

Метод исследования. Вспомогательные результаты. Для вывода необходимых и достаточных условий управляемости СРСВДС (2) введем расширенный вектор й = (х, у, г)' е е я"+" - вектор состояния СРСВДС (2), ("1 + "2 + "3) X ("1 + "2 + "3)-матрицу А(ц), ("1 + + "2 + "3) X г-матрицу Б(ц):

( \

А(ц) =

А„ А12 А13

А21 А22 А23

ца ца ца

А31 А32 А33

цв цв цв

Б(ц) =

(6)

Б,

Бг ца

Б1

\ цр /

В силу (6) СРСВДС (2) принимает вид

й = А(ц)й + Б(ц)и (7)

с начальным условием

^(0, ц) = (8)

Согласно критерию Р. Калмана [4], система (7) полностью управляема в том и только том случае, если

га"к{А(ц) Б(ц), к = 0, "1 + "2 + "3 -1} =

= "1 + "2 + "3.

(9)

Непосредственное применение критерия полной управляемости (9) для СРСВДС (2) с матрицами (6) дает в знаменателе большие показатели степеней малого параметра ц, что делает входящие в (9) элементы бесконечно большими и затрудняет проверку данного критерия. Поэтому получим эффективные необходимые и достаточные условия управляемости СРСВДС (2), выраженные в терминах ее параметров Ау, Б}-, /, у = 1,3 и не содержащие малый параметр ц. Для решения поставленной задачи введем

оператор р =--оператор дифференцироваЛ

ния функций по времени 1. Тогда для любой дифференцируемой функции /( 1) справедливо

Л/

тождество р/ ( 1) = —. С помощью оператора р Л

СРСВДС (2) может быть представлена в следующем эквивалентном виде:

рх( 1) = А11 х( 1) + А12 у( 1) + А13 г( 1) + Б1и( 1), ца ру(1) = А21х(0 + А22 у(0 + А23 г(0 + Б2и( 1), (10) цр рг (1) = А31х(1) + А32 у(1) + А33 г (1) + Б3и (1).

Как и в работе [1], каждой вектор-функции х(1), у(1), г( 1), и (1), входящей в СРСВДС (10), поставим в соответствие постоянные матрицы

Управляемость существенно разнотемповых сингулярно возмущенных динамических систем 19

x(t) ^ X'k е R"1*r, y(t) ^ Тк е R"2*

z (t )

Z е Rn3*r,

u (t) ^ Uk е Rr

(11)

с двумя индексами к, 7, а оператору дифференцирования р и малому параметру д - операторы сдвига Д+, Д+ на единицу вправо соответственно нижнего и верхнего индекса у этих матриц:

р ^Д+, д ^Д+. (12)

Таким образом, согласно (11), (12), для некоторой матрицы Q1k применение операторов Д+, Д+ дает Д+^ = Qk+l, Д+Qk = Qk+1, а, например, выражению дв рг^) соответствует

операторная форма (Д+)в Д+= 21к'+1.

В силу соответствий (11), (12) с учетом свойств операторов Д+, Д+ СРСВДС (10) может быть представлена как алгебраическая система рекуррентных по к, 7 матричных уравнений:

XL = A„ Xk + Aurk + A13 Zl + BUk, Г+а = A21 Xk + A22Tk + A23 Zk + BUk, (13)

Zifc+f = A31 Xk + A32Yk + A33Zk + B3Uk,

которые при 7, к > 0 будем решать с начальными условиями

и0 = Ег, ик = 0Г, к Ф 0 V 7 Ф 0;

X0 = 0n1*r, V i;

Г = 0„2*r, k = 0 v i = 0,1,..., а-1;

(14)

27 = 0п3ХГ, к = 0 V 7 = 0,1,..., в-1,

где Ег - единичная (г Х г)-матрица; 0п Хг -прямоугольная (п Х г) -матрица с нулевыми

элементами.

Уравнения (13) назовем системой определяющих уравнений для СРСВДС (2). Решением системы (13) с начальными условиями (14) для любого 7, к > 0 является тройка постоянных матриц {Х'к, УЦ, Х'к}, 7, к > 1, каждую из которых назовем компонентой решения. Из (13) в силу (14) получаем дополнительные свойства компонент Хгк, У к, 2гк решения {Хк, 7к, 2к}, 7, к > 1:

Хк = 0п1хг, 7 > в(к -1) + 1,

П = 0п2хг, 7 > в(к -1) + 1 + а,

2к = 0п3хг, 7 >вк + 1,

или, что то же самое,

Xi = 0 гг+а = 0 7i+P = 0

k ~ ^xr' k ~vn2xr> -^k ~vn3xr>

i >P(k-1) + 1.

(15)

Доказательство этих соотношений можно провести методом математической индукции и в данной работе опускается.

Лемма. Для любого целого I > 0 произведения матриц А(д), В(д) из (6) удовлетворяет равенству

( в' V'

V Х'+1

7=0 д7

в' у7 +а

А'(д)В(д) = . (16)

7=0 д

в' 27 +в +1 7+2

V7=0 д J

Доказательство этой леммы проводится по схеме доказательства леммы из работы [1, с. 8-10] методом математической индукции по ', но с соответствующими изменениями в силу более общего, чем (1), вида СРСВДС (2). Поэтому здесь это доказательство опускается.

Основные результаты. Используя равенство (16) леммы при I = 0,1,..., п + п2 + п3 - 1, необходимое и достаточное условие (9) полной управляемости СРСВДС (2) может быть представлено в виде

■в -у 7

V X ■+!

rank

i=0 д

sp yi+a

Z1s+1 i+a

i=0 д

sp 7i+p V s+1

s = 0, n1 + n2 + n3 -1

i=0 д

i+p

= n1 + n2 + n3.

(17)

Условие (17) представляет компактную форму записи критерия (9), однако оно не является эффективным, так как содержит в знаменателях большие степени малого параметра д и потому достаточно большие по абсолютной величине слагаемые, что затрудняет проверку критерия полной управляемости. Получим другое представление условия (17), не содержащее малый параметр д. Для этого введем в рассмотрение три матрицы:

0^Xn 2 0^ХПз

P =

0

0

v 0пзхп1 0пзхп2 епз j

Я =

XI

•г+Р

к = 1, "1 + "2 + "3, г = 0, в(к -1)

Г Е.

Я =

—г-, I = 0, "1 + "2 + "3 -1

|Ик

к = 0, в I

где Р е Я("1+"2+"з)х("+"2+"з)

е е Я

( "1 + "2 + "3 )х-

г("1 + "2 + "3 )(в( + "2 + "3-1 )+2)

+ " + " )(в(" + " + " -1 )+2)

Я е Я

-хг ("1 + "2+"3 )

Тогда нетрудно заметить, что матрица 5 в левой части условия (17) может быть представлена в виде

5 =

Г в* У]

И У

в * у]+а £ ^

л

]+а

=0 И

в * 7]+в £

* = 0, "1 + "2 + "3 -1

у+в

=РЯЯ.

=0 И

Очевидно, что для любого И> 0, det Р =

1 -Ф 0. В силу представления матри-

а"1 +в"2

И

цы Я в блочно-диагональной форме нетрудно заметить, что гапк Я = г (п1 + п2 + п3). Таким образом, получаем следующую цепочку соотношений:

п1 + п2 + п3 = гапк 5 = гапк {РЯЯ} = = гапк {еЯ} < гапк {Я, г(п1 + п2 + п3)}. (18)

Поскольку г (п1 + п2 + п3) > п1 + п2 + п3 для любого г > 1, то из (18) следует гапк Я > > п1 + п2 + п3, что для матрицы Я возможно лишь при условии гапк Я = п1 + п2 + п3. Таким образом, доказан основной результат данной работы - критерий полной управляемости СРСВДС (2).

Теорема 1. Для полной управляемости СРСВДС (2) при любом ие(0, |И0], |И0 «1, необходимо и достаточно, чтобы

гапк

XI

,к = 1, п1 + п2 + п3, г = 0, Р(к -1)

7г+Р к

= п1 + п2 + п3.

Из теоремы 1 по аналогии с [1] следует доказательство критериев х-управляемости, у- и г-управляемости СРСВДС (2).

Теорема 2. Для х-управляемости (у-управ-ляемости; г-управляемости) СРСВДС (2) при любом |е(0, |0], |0 1, необходимо и достаточно, чтобы

гапк{Х'к, к = 1, п1 + п2 + п3, г = 0, в(к -1)} = п1, (гапк(+а, к = 1, п1 + п2 + п3, г = 0, в(к -1)) = п2,

гапк(7к+в,к = 1, п1 + п2 + п3,г = 0, в(к-1)) = п3).

Заключение. Приведенная схема доказательства критерия полной управляемости СРСВДС (2) с целыми показателями малого параметра | при производных позволяет получить условия управляемости этой системы с рациональными степенями малого параметра.

Литература

1. Копейкина, Т. Б. Управляемость разнотем-повых сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений / Т. Б. Копейкина // Труды БГТУ. - 2011. - № 6: Физ.-мат. науки и информатика. — С. 7-11.

2. Копейкина, Т. Б. О критериях управляемости линейных стационарных сингулярно возмущенных систем / Т. Б. Копейкина // Труды Института математики НАН Беларуси. - 2006. -Т. 14, № 2. - С. 71-82.

3. Курина, Г. А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем / Г. А. Курина // Математические заметки. -1992. - Т. 52, вып. 4. - С. 56-61.

4. Калман, Р. Е. Об общей теории систем управления / Р. Е. Калман // Труды I международного конгресса ИФАК по автоматическому управлению. - М.: Наука: Изд-во АН СССР, 1961.- С. 521-547.

Поступила 01.03.2012

2

2