Калибровочно-инвариантная регуляризация КХД на световом фронте в пространстве с поперечной решёткой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2010. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ФИЗИКА

УДК 539.12.01

М. Ю. Малышев, Е. В. Прохватилов

КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КХД НА СВЕТОВОМ ФРОНТЕ В ПРОСТРАНСТВЕ С ПОПЕРЕЧНОЙ РЕШЁТКОЙ*

Введение. Квантование теории поля на световом фронте (СФ) [1], т. е. на гиперплоскости х+ =0 в координатах

х^ = (х° ± ж3)/\/2, ж^ = ж1, ж2,

где х0,х1,х2,х3 - лоренцевы координаты и х+ играет роль времени, требует специального подхода к регуляризации теории. Оператор Р- импульса на СФ (генератор сдвига вдоль оси х-) неотрицателен для состояний с неотрицательной энергией и квадратом массы:

Р- = (Ра ~ Рз)/^2 > 0 для ра > 0, р1 > 0.

Окрестность его минимального собственного значения, р- = 0, соответствует и «ультрафиолетовой», и «инфракрасной» области импульсов в лоренцевых координатах. При квантовании теории поля на СФ появляются особенности при значениях импульса р- ^ 0. Поэтому регуляризация этих особенностей затрагивает не только ультрафиолетовую, но и инфракрасную область импульсов, что влияет на правильное описание вакуумных эффектов.

Простейшие способы введения регуляризации особенностей при р- ^ 0 - это:

1) ограничение \р-\ (|р-| > е > 0);

2) так называемая «DLCQ»-регуляризация («DLCQ» расшифровывается как «дискретизованное» квантование на СФ).

Фактически вводится ограничение пространства по х-, \х- \ ^ Ь, и на функции поля накладываются периодические граничные условия. Это ведёт к дискретизации спектра Р_: п = 0,1,2,.... Фурье-мода поля с р- = 0 (которая далее именуется

«нулевой модой») здесь чётко отделена от других мод. Как правило, нулевая мода не является независимой динамической переменной и должна быть выражена через ненулевые моды посредством имеющихся в такой формулировке канонических связей (этот вопрос был подробно изучен для интересующей нас калибровочной теории поля в работах [2, 3]).

* Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования России № РНП.2.1.1/1575. © М. Ю. Малышев, Е. В. Прохватилов, 2010

Оба способа вводят нарушение лоренцевой инвариантности, а первый способ также нарушает калибровочную симметрию для калибровочных полей в квантовой хромодинамике (КХД). Это ведёт к затруднениям при перенормировке теории, а также к возможной неэквивалентности результатов, полученных при квантовании на СФ и на пространственно-подобных поверхностях в лоренцевых координатах. Указанная проблема рассматривалась в рамках теории возмущений [4, 5]. Точные результаты во всех порядках теории возмущений были получены в работе [6]. Было показано, что для восстановления симметрий, нарушенных регуляризацией, и эквивалентности теории возмущений, порождаемой гамильтонианом на СФ, и обычной ковариантной теории вому-щений необходимо ввести в регуляризованный гамильтониан формализма на СФ дополнительные «контрчлены», аналогичные обычно вводимым при перенормировке теории.

Однако для КХД возможны эффекты, не описываемые теорией возмущений по константе взаимодействия, такие как наличие «вакуумных конденсатов». Формальное отбрасывание нулевых мод (например, при первом способе регуляризации) ведёт к исчезновению таких конденсатов. Чтобы их сохранить, требуется учитывать в гамильтоновом подходе на СФ нулевые моды и некоторую нетривиальную динамику нулевых мод, которая могла бы моделировать вакуумные эффекты в КХД [7, 8, 11, 12, 16]. Для этого наиболее удобна регуляризация, включающая дискретизацию импульса ри, тем самым, чёткое отделение нулевой моды. Кроме того, регуляризация должна, по возможности, сохранять калибровочную симметрию и остатки лоренцевой инвариантности. В работах [9-11] уже предлагались возможные способы такой регуляризации путём введения поперечной (т. е. по координатам х1,х'2) пространственной решётки. Однако рассмотрение ограничивалось «светоподобной» калибровкой А- = 0 для вектор-потенциала калибровочного поля А^. К тому же использованная параметризация полей на рёбрах решётки с помощью комплексных матриц вводила лишние степени свободы, что усложняло применение данного формализма.

В настоящей работе предлагается новый способ параметризации калибровочных полей на поперечной решётке, допускающий отдельное рассмотрение нулевых мод этих полей, и обсуждается возможность придать регуляризации калибровочно-инвариантный вид.

Параметризация калибровочных полей на поперечной решётке. Исходная форма лагранжиана КХД в непрерывном пространстве имеет для глюонных калибровочных полей следующий вид:

где ц, V - векторные (пространственно-временные) индексы,

Рцу = д\1А — ^А\1 — *д[А^ А]

и вектор-потенциалы глюонного поля АДх) описываются N х N эрмитовыми матрицами, преобразующимися при преобразованиях П(х) калибровочной группы БИ(М) следующим образом:

Здесь П(х) - унитарные N х N матрицы, соответствующие такому преобразованию. Этот лагранжиан калибровочно-инвариантен.

&=~\ъ

(1)

(2)

Для регуляризации ультрафиолетовых расходимостей и сохранения при этом калибровочной инвариантности часто вводят решётку в пространстве и во времени, описывая калибровочные поля унитарными матрицами, отнесёнными к рёбрам решётки [13].

Однако применение гамильтонова подхода на СФ связано с сохранением непрерыв-

+ — 12 ности координат х+ ,х и введением решётки только по поперечным координатам х ,х2.

Кроме того, при квантовании полей на СФ обычно используют калибровку Л- = 0, которая оставляет явной только симметрию относительно калибровочных преобразований, не зависящих от х-. Если использовать для параметризации поперечных компонент векторного поля унитарные матрицы, то построение соответствующего гамильтониана на СФ с применением метода [15] не удаётся [14].

Чтобы обойти эти трудности, в настоящей статье предлагается следующее: с самого начала ввести некоторое калибровочно-инвариантное разделение поля на части, одна из которых связана с нулевыми модами, а другая - с ненулевыми модами; далее, параметризовать унитарными матрицами на рёбрах решётки только часть, связанную с нулевыми модами, а часть, связанную с ненулевыми модами, описывать эрмитовыми матрицами в узлах решётки.

С этой целью, помимо обычных компонент калибровочного поля Л+ и Л-, отнесённых к узлам решётки и преобразующихся при калибровочных преобразованиях согласно (2), рассмотрим комплексные N х N матрицы следующего специального вида:

Мц(х) = (I + ідаЛц(х))Цц(х), ц = 1, 2, (3)

где Ац(х) - эрмитовы N х N матрицы, отнесённые к узлам решётки, иц(х) - унитарные N х N матрицы, отнесённые к рёбрам (х — аец, х) решётки, а - параметр решётки (длина ребра), ец - единичный вектор вдоль оси хц, д - константа взаимодействия в КХД. При этом пока не вводится никакой фиксации калибровки.

Потребуем, чтобы при калибровочных преобразованиях эти матрицы преобразовывались следующим образом:

Ац(х) ^ П(х)л4ц(х)П+(х), иДх) ^ П(х)Цц(х)П+ (х — аец). (4)

Тогда преобразование матриц Мц(х) имеет вид:

Мц(х) ^ И(х)Мц(х)П+(х — аец).

При построении решёточного приближения к калибровочным теориям поля обычно используют унитарные или комплексные матрицы именно с таким законом преобразования [10, 13]. Заметим, что при указанном законе преобразования матриц Ац(х) их эрмитовость сохраняется при калибровочных преобразованиях.

Доопределим теперь части, связанные с нулевой и ненулевыми модами, с помощью оператора Б-, действующего на введённые нами матрицы следующим образом:

Б-Ац (х) = д-Ац(х) — ід[Л-(х),Ац (х)],

В-ІІц(х) = д-ІІц(х) — ід Л -(х)ІІц (х) + ідЦц(х) Л- (х — аец). (5)

Используя закон преобразования введённых выше матриц относительно калибровочных преобразований, легко показать, что это определение оператора Б- калибровочно-инвариантно.

Тогда для части, отвечающей нулевой моде, положим

Б-Цц(х) = 0, (6)

а часть Ац(ж), отвечающую ненулевым модам, доопределим так, чтобы в ней был исключен вклад, удовлетворяющий равенству D_ Ац(ж) = 0. Смысл этого утверждения становится ясным, если перейти к калибровке А_ = 0, где это соответствует обычному отделению нулевой и ненулевых мод в фурье-разложении полей по ж-.

К тому же с помощью оператора D_ вводимое обычно ограничение импульсов, имеющее в калибровке А_ = 0 вид \p_\ ^ Л, можно расматривать как соответствующее калибровочно-инвариантное ограничение на собственные значения оператора D_. Покажем, что если потребовать, чтобы в калибровке А_ = 0 при а ^ 0

tf,*(x) ^ exp igaAцо(ж) ^ (I + *даАцо(ж)).

где Ацо(ж) - нулевая мода поля Ац(ж) в непрерывном пространстве, и при этом поле Ац(ж) переходило в часть, отвечающую ненулевым модам поля Ац(ж), то для произвольного поля А_ матрица Мц(ж) при а ^ 0 связана с полем Ац(ж) в непрерывном пространстве следующим образом:

Мц(ж) ^ (I + igaAц(ж) + O((ag)2)). (7)

В самом деле, при а ^ 0 имеем :

Мц(ж) ^ П(ж; A_)(I + igaA^(x))A- =о^+( ж — аец; А_) ^

^ П(ж; А_)(1 + igaA^^(ж))A- =о^+(ж; А_) — aQ^; А_)дцО,+ (ж; А_) ^

^ (I + igaAц(ж)), (8)

где П(ж; А_) - матрица калибровочного преобразования, переводящего поле, отвечающее калибровке А_ (ж) = 0, в поле А_(ж).

Определим теперь поля Оцу(ж) как решёточные аналоги полей iFflv(ж):

GMV (X) =----2 [Щ* (х) МУ (х - ае1') - МУ (х) Щ* (х - аеу) ]. (9)

да

Пока компоненты поля А_(ж) и А+(ж) относятся к узлам поперечной решётки и остаются такими же, как и в непрерывном пространстве, можно ввести поля О+ц, О_ц, G+______

следующим образом:

G+-(ж) = iF+-{ж), G_M = — D-Mp,

да

G+Ax) = —[3+Мм(ж) - {д(А+(ж)Мр(ж) - Мм(ж)А+(ж - оем))]. (10)

да

Как и выше, нетрудно показать, что при а ^ 0 имеем Оцу(ж) ^ iFцv(ж). Аналогичные соотношения получаются и для компонент О+ц. О_ц.

При калибровочных преобразованиях имеем

О±ц(ж) ^ П(ж) О±ц(ж) П+(ж — аец).

Оцу(ж) ^ П(ж) ОцУ(ж)П+(ж аец aev) . (11)

Эти равенства дают возможность сформулировать теорию в координатах СФ, регуля-ризованную калибровочно-инвариантным образом, и моделировать непертурбативные

вакуумные эффекты с помощью введённого выше аналога нулевых мод поля. В частности, из этих величин можно построить гамильтониан на СФ по аналогии с тем, как это было сделано в работе [10]. Кроме того, теперь возможно для построения гамильтониана на СФ применять метод работы [15] даже при условии А_ = 0, вводя ещё решётку по ж+, дополнительную калибровку, соответствующую А+о = 0 (А+о - нулевая мода А+), и строя «трансфер-матрицу», которая определяет гамильтониан в пределе бесконечно малого параметра решётки по ж+.

Авторы выражают благодарность В. А. Франке и С. А. Пастону за обсуждение работы.

Литература

1. Dirac P. A. M. Forms of relativistic dynamics // Rev. Mod. Phys. 1949. Vol. 21. N 3. P. 392-398.

2. Franke V. A., Novozhilov Yu. V., Prokhvatilov E. V. On the light cone formulation of classical Nonabelian gauge theory // Lett. Math. Phys. 1981. Vol. 5. N 4. P. 239-245.

3. Franke V. A., Novozhilov Yu. V., Prokhvatilov E. V. On the light cone quantization of Nonabelian gauge theory // Lett. Math. Phys. 1981. Vol. 5. N 5. P. 437-444.

4. Burkardt M., Langnau A. Hamiltonian formulation of (2 + 1)-dimensional QED on the light cone // Phys. Rev. (D). 1991. Vol. 44. N 4. P. 1187-1197.

5. Burkardt M., Langnau A. Rotational invariance in light-cone quantization // Phys. Rev. (D). 1991. Vol. 44. N 12. P. 3857-3867.

6. Пастон С. A., Франке В. A. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лоренцевых координатах // Теор. мат. физика. 1997. Т. 112. № 3. С. 399-416.

7. Прохватилов E. В., Франкe В. A. Приближённое описание КХД конденсатов в светоподобных координатах // Ядерн. физика. 1988. Т. 47. № 3. С. 882-883.

8. Прохватилов E. В., Франкe В. A. Предельный переход к координатам светового фронта в теории поля и КХД гамильтониан // Ядерн. физика. 1989. Т. 49. № 4. С. 1109-1117.

9. Franke V. A., Novozhilov Yu. V., Paston S. A., Prokhvatilov E. V. Quantization of field theory on the light front // hep-th/0404031. 47 p.

10. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Калибровочно-инвариантная регуляризация квантовой теории поля на световом фронте // Теор. мат. физика. 2004. Т. 139. № 3. С. 429-448.

11. Носов Е. Э., Прохватилов Е. В. Описание вакуумных эффектов в гамильтоновом подходе к КХД при квантовании на световом фронте // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2009. Вып. 1. С. 3-17.

12. Franke V. A., Paston S. A., Prokhvatilov E. V. QED (1 + 1) on the light front and its implications for semiphenomenological methods in QCD (3 + 1) // hep-th/0610160. 9 p.

13. Wilson K. G. Confinement of quarks // Phys. Rev. (D). 1974. Vol. 10. N 8. P. 2445-2459.

14. Grunewald D., Ilgenfritz E. M., Prokhvatilov E. V., Pirner H. J. Formulating light cone QCD on the lattice // hep-th/0711.0620. 48 p.

15. Creutz M. Gauge fixing, the transfer matrix, and confinement on a lattice // Phys. Rev. (D). 1977. Vol. 15. N 4. P. 1128-1136.

16. Dalley S., McCartor G. Spontaneously broken quark helicity symmetry // Ann. Phys. 2006. Vol. 321. P. 402-420.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.