CC BY
24
Сер. 4. 2009. Вып. 2
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 530.145
С. А. Пастон
АНАЛИЗ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ В КЭД-2 В РАМКАХ ФОРМАЛИЗМА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА *)
Введение. Двумерная квантовая электродинамика (КЭД-2) с ненулевой массой фермиона, называемая также массивной моделью Швингера, является достаточно простой моделью, на которой можно изучать сложные эффекты, присущие реалистичным калибровочным теориям в четырёх измерениях, в том числе квантовой хромодинамике. Это связано с тем, что, являясь двумерной абелевой калибровочной теорией, КЭД-2 обладает многими интересными чертами, в том числе такими, как топологический 8-вакуум и конфайнмент. Краткий обзор основных результатов, касающихся свойств массивной и безмассовой моделей Швингера, а также соответствующие ссылки, можно найти, например, в работах [1, 2].
Изучать КЭД-2 помогает, в частности, возможность перейти с помощью процедуры бозонизации к эквивалентной ей скалярной теории типа модели Бше-СоМоп [3]. После такого перехода масса фермиона М становится константой взаимодействия бозонной теории, и при М = 0, т. е. для случая безмассовой модели Швингера, эквивалентная бозонная теория оказывается свободной. Нетривиальность квантового вакуума в КЭД-2, связанная с инстантонами (топологический 8-вакуум), в бозонизованной форме теории учитывается явно путём появления параметра 8 в члене взаимодействия [3, 2].
Одним из непертурбативных методов исследования, позволяющих проводить вычисление спектра масс квантовой теории, является гамильтонов подход в координатах светового фронта (СФ), базирующийся на простом описании вакуумного состояния. В рамках этого подхода сначала проводится построение корректного гамильтониана на СФ, для чего анализируется теория возмущений (ТВ) во всех порядках, а затем вычисляется спектр этого гамильтониана (обзор [4]). Тривиальность вакуума при квантовании на СФ приводит к тому, что все эффекты, являющиеся вакуумными при обычном подходе, должны порождаться гамильтонианом. В частности, параметр 8 должен стать его обычным параметром. При построении гамильтониана на СФ с помощью анализа бозонизованной формы КЭД-2, когда ТВ строится по безразмерной величине М/е (где е - константа связи теории), это происходит автоматически, поскольку 8 явно входит в действие.
Применяя к бозонизованной форме КЭД-2 метод [5] построения корректного гамильтониана на СФ и проведя процедуру, обратную к бозонизации, можно построить гамильтониан теории на СФ в фермионных переменных [6]. С его помощью удаётся провести непертурбативное вычисление спектра масс теории [7]. При 8 = 0 в широкой области (от 2-10 до 28) значений отношения М/е результаты такого вычисления с хорошей точностью совпадают с результатами вычислений на решётке [8]. Однако при прочих значениях параметра 8, в частности в выделенном для теории [3] случае
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России, грант № РНП.2.1.1/1575
© С. А. Пастон, 2009
8 = п, вычисление даёт хорошие результаты только при небольших значениях M/e, а при больших значениях спектр гамильтониана оказывается неограниченным снизу. Объяснением такого эффекта может являться наличие в теории фазового перехода при 8 = п и M/e « 0, 3 (например, [1]), поскольку построение гамильтониана на СФ проводилось путём анализа всех порядков ТВ по M/e, а значит, выше точки фазового перехода гамильтониан может становиться некорректным.
Поскольку даже учёт всех порядков ТВ по M/e (обычно именуемой киральной ТВ) не даёт возможности проводить вычисления в области, лежащей выше точки фазового перехода, следует заключить, что бозонизованная форма теории, для которой M/e является константой связи, оказывается непригодной для анализа теории в этой области с использованием ТВ.
В исходной же, фермионной, форме теории величина 8 является характеризующим вакуум параметром, её можно ввести в действие только в виде поверхностного члена, т. е. добавив к плотности лагранжиана полную дивергенцию (например, [2]). В результате оказывается очень сложным учитывать величину 8 в вычислениях. В работе [2] это удаётся сделать только в рамках киральной ТВ, что очень близко к использованию бозонизации. Если же мы хотим построить корректный гамильтониан на СФ для теории прямо в фермионных терминах, то обязательно необходимо научиться так переформулировать фермионную теорию, чтобы характеризующий вакуум параметр 8 явно появился в плотности лагранжиана, причём не в виде полной дивергенции.
В настоящей работе предлагается способ это сделать, анализируя функциональный интеграл (производящий функционал для функций Грина) для евклидовой формы теории. Совершаемые над функциональным интегралом преобразования не являются достаточно строгими (как, впрочем, часто бывает вне рамок ТВ, а ТВ по константе связи в данной модели плохо определена из-за существенных инфракрасных расходимостей), однако полученный с их помощью результат оказывается хорошо знакомым [3]: в окончательной формулировке теории параметр 8 входит в лагранжиан как определённым образом нормированная величина внешнего постоянного электрического поля, обязательно лежащая в диапазоне от —п до п. При этом в такой формулировке интегрирование в функциональном интеграле должно вестись уже по классу хорошо убывающих полей, т. е. соответствующих нулевому топологическому числу (точное определение ниже).
Поэтому можно надеяться, что эта новая формулировка соответствует теории, в которой вакуум нужно считать тривиальным, а все вакуумные эффекты учтены с помощью модификации действия. А значит, если удастся построить ТВ по константе связи (например, как-то регуляризовав инфракрасные расходимости), то с её помощью можно будет проводить вычисления, учитывающие вакуумные эффекты. В частности, можно будет пытаться построить корректный гамильтониан на СФ и провести непер-турбативный расчёт спектра масс в области, лежащей выше точки фазового перехода. Однако эти вопросы, равно как и интереснейший вопрос о возможности повторить рассуждения с целью учёта вакуумных эффектов в действии для четырёхмерных теорий, выходят за рамки данной статьи.
Топологические эффекты в евклидовой форме КЭД-2. Будем формулировать КЭД-2 в евклидовом пространстве таким образом, чтобы в теории возникали топологические эффекты, присущие четырёхмерной неабелевой калибровочной теории.
Рассмотрим, какую асимптотику может иметь калибровочное поле Aц (ц, V,... = = 1, 2) при больших значениях координат х. Будем, как обычно, считать, что при х2 ^ ^ ж поле стремится к чисто калибровочному. Для простоты предположим, что
вне некоторого большого круга, при х2 > Д2, поле чисто калибровочное, т. е. может быть получено из нулевого поля калибровочным преобразованием, определённым в этой области.
Абелево калибровочное преобразование имеет вид:
\|/(.г’) = м(.г’)\|/(.г’), А'^(х) = Ац(ж)-- и+(х) д^и(х), (1)
где параметр преобразования - единичное по модулю комплексное число
и(х) = вш(х). (2)
Для калибровочного преобразования, определённого вне большого круга, т. е. в неодносвязной области, величина а(х) может являться многозначной функцией, имеющей при обходе вокруг большого круга скачок 2пп, где п - целое число. При этом параметр преобразования и(х) будет однозначной функцией, не имеющей вне большого круга особенностей. Понятно, однако, что продолжить эту функцию внутрь большого круга, т. е. на всё пространство, без особенностей нельзя. Поэтому обычные калибровочные преобразования, определённые во всем пространстве, соответствуют однозначным функциям а(х). В отличие от обычных, преобразования с многозначными функциями а(х) со скачком 2пп называют большими калибровочными преобразованиями, поскольку их нельзя сделать сколь угодно малыми.
Отметим, что относительно определённых вне круга радиуса Д больших калибровочных преобразований оказываются инвариантны не только величина напряжённости поля в этой области, но и значение петель Вильсона, обходящих круг, если их определить формулой
Именно так определяется петля Вильсона, когда необходимо использовать V-экспоненту, т. е. в неабелевых теориях, поскольку величина —гвА^ является связностью (ко-вариантная производная, соответствующая преобразованию (1) есть Б = 9^ — гвА^).
Таким образом, поле, являющееся чисто калибровочным вне большого круга, даётся в этой области формулой
ДДж) = ^ айап(.г-), (4)
где а” (х) - многозначная функция, имеющая при обходе вокруг большого круга скачок 2пп. При обычном калибровочном преобразовании, определённом во всем пространстве, выражение (4) изменяется путём добавления к функции а” (х) произвольной однозначной функции. Поэтому функцию а”(х) в (4) всегда можно обычным калибровочным преобразованием привести к виду пф(х), где ф(х) - полярный угол точки х, понимаемый как многозначная функция. Легко показать, что после такого преобразования калибровочное поле вне большого круга будет даваться формулой
л , N п п х^
Ап(х) = - <9цф(ж) =----, (5)
в в х2
где е^ - единичный антисимметричный тензор, £12 = 1.
Для того чтобы не было необходимости использовать понятие большого круга, определим множество рассматриваемых конфигураций калибровочного поля следующим образом. Будем считать, что поле Лц(х) всегда может быть приведено обычным калибровочным преобразованием к форме, в которой оно представляет собой сумму выражения (5) с каким-то целым п и функции ДДж), убывающей быстрее, чем 1/л/х2. Таким образом данное множество разбивается на нумеруемые целым числом п классы, в каждом из которых поле можно привести к виду:
ЛцП)(х) = п^(х) + Лц (х), (6)
/ \ 1 Ху . .
^\Х\Х) = 9 7 (')
е х2
где функция Лц(х) содержит полюс, в точности компенсирующий полюс, присутствующий в первом слагаемом в (6), так что ЛцП)(х) полюса не имеет (предполагается, что калибровочное поле должно быть непрерывной функцией). Описанное разбиение на классы, естественно, соответствует классификации отображений рассматриваемой калибровочной группы и(1) на окружность, являющуюся окрестностью бесконечности двумерного евклидова пространства. Отметим, что в четырёхмерной неабелевой теории указанное убывание функций Лц (х) есть результат требования конечности действия, в то время как в данном случае это убывание приходится постулировать, для того чтобы можно было рассмотреть топологические эффекты.
Поле, приводимое к виду (6) будем называть калибровочным полем с топологическим числом п. Легко проверить, что выполняются хорошо известные формулы для топологического числа
П = ^7Г / = ^Х
с
где Дцу = дцЛм — ду Лц, а С - граница области, размер которой стремится к бесконечности.
Найдём поведение в импульсном пространстве калибровочного поля с топологическим числом п, для чего проанализируем результат преобразования Фурье от выражения (6):
4")(*0 = (2^)2 /<{2х е~*кх4П)(*) = пЫЮ + МЮ, *й(*0 = 2^ . (9)
где Ац(к) - результат преобразования Фурье от функции Лц(х). Из сделанного предположения об убывании функции Лц в х-пространстве следует, что Лц(к) не имеет особенностей первого или более высокого порядка. Это означает, что калибровочное поле с топологическим числом п можно определить как поле, приводимое обычным калибровочным преобразованием к форме, в которой оно в импульсном пространстве имеет в нуле полюс первого порядка вида пЬц(к), а её прочие особенности, если они есть, имеют более низкий порядок. Видно, что при этом п представляет собой (с точностью до множителя) вычет в этом полюсе. Такое определение поля с заданным топологическим числом окажется полезным в дальнейшем.
Будем использовать введённое множество полей со всеми целыми топологическими числами п в качестве области интегрирования в функциональном интеграле, задающем производящий функционал для функций Грина.
Производящий функционал для функций Грина. В псевдоевклидовом пространстве действие КЭД-2 имеет вид:
6,РЕ = I С12х (--^тпРтп + V (гутВт - М) у) , (10)
где ^ - двухкомпонентный спинор, т, п,... = 0,1,
т0 = ( 0 — ), т1 = ( 0 0 ). (11)
Не нарушая локальности и других принципов, ограничивающих выбор действия, к вы-
ражению (10) можно добавить ещё одно слагаемое - псевдоевклидовый аналог величины (8) с произвольным вещественным коэффициентом 8, который называют вакуумным параметром или вакуумным углом. Это так называемый топологический член (например, [2]), он соответствует добавлению полной дивергенции к плотности лагранжиана, но его влияние на теорию нетривиально, если поля убывают недостаточно быстро. В результате действие примет вид:
6',РЕ = I с12Х (--^РтпР™п + ¥ ^тВт _ щ ¥ + ЕтпР^ ; (12)
где £тп - единичный антисимметричный тензор псевдоевклидова пространства, £01 = 1.
Запишем соответствующее выражение для действия евклидовой формы такой теории (сигнатуру считаем положительной):
Б' = j с1~Х ^ — (*Уц-Оц + М) \|/-----------, (13)
где
71 = 71 = -71 = ( -0^ , 72 = — *Уо = ( 1 —1 ) , УцУ* + ^Уц = —25^. (14)
Появление множителя ’ в последнем слагаемом (13) связано с тем, что при евклидовом развороте компонента напряжённости ^01 приобретает такой множитель, а компоненты единичного антисимметричный тензора £тп - нет, он по определению переходит в уже введённый раньше единичный антисимметричный тензор £^ евклидова пространства. Если использовать в качестве допустимых в евклидовом пространстве калибровочные поля из описанного множества, то топологический член даёт вклад и, используя формулу (8), действие (13) можно записать в виде:
Б' = J с12х + ¥+ (*Уц-°ц + м) (15)
Отметим, что евклидово действие не является вещественным, в то время как псевдо-евклидово действие (12) - вещественно.
Будем использовать лоренцеву калибровку
дА = 0. (16)
Заметим, что первое слагаемое формулы (6) удовлетворяет этому условию. Поэтому поля из описанного множества, удовлетворяющие выбранной калибровке, будут иметь вид выражения (6), в котором величина Ац(ж) удовлетворяет условию (16).
Рассмотрим производящий функционал Я К, К+] для функций Грина изучаемой
теории в лоренцевой калибровке. В соответствии с вышесказанным, интегрирование по Ац в определяющем его функциональном интеграле должно проводиться по множеству полей, т. е. должно представлять собой сумму по всем целым п от интеграла по полям с равным п значением топологического числа:
Я [7ц, К,К+] =
= ^ВуВу+ ВА<Т>^П 8(дЦА(цп)^ ^(Мп)+К+у+у+К) , (17)
где .1ц, К, К+ - источники для фотонного и фермионных полей, фермионные поля у, у+ являются грассмановыми переменными, и N - нормировочный множитель. Перепишем формулу (17) в виде:
Я[7ц,К,К+] = УВуВу+е-^ Л(у+ (<7цдЦ+м)у-К+у-у+К)у[^, 0], (18)
где
1%,9] = ВА^ ^П§(^АйП))^ е /*Чі^")^")+Лі4">)) (19)
п(п) л (п)
г^ - напряженность, составленная из поля А^ , и
^ = е^+Уц¥ - (20)
Из формулы (19) явно следует, что производящий функционал Z[^,К, К+] является периодической функцией параметра 0 с периодом 2п, что оправдывает использование в отношении его термина «угол».
В выражении (19) интегрирование ведется по функциям А^і)(х), заданным в координатном пространстве. Предположим, что в функциональном интеграле можно сделать замену переменных, соответствующую переходу к интегрированию по функциям А^), заданным в импульсном пространстве:
4гЧк) = (2^)2 /^е-^4’1)(х), (21)
при этом изменится нормировочный множитель. Тогда (19) можно переписать как
У [^, 0] = N ^ єіп0[ЮАІП)(к) Щ 8(&Ап)(й))) е~ 1 44 ^Л^)(к)’^(к) , (22)
к2
-^(Дь :/ц) = ^А^А^ + з^А^, (23)
где учтена вещественность величины АЦп) в ж-пространстве, (■■■)* означает комплексное сопряжение, а Зц(к) - фурье-образ функции ]ц(ж).
Функциональный интеграл (22) обладает замечательным свойством: поскольку показатель экспоненты не содержит дифференцирований по к, функциональный интеграл
формально факторизуется. Будем считать, что это позволяет записать его в виде произведения двух функциональных интегралов, в которых аргументы функций ограничены условиями к2 > |Л,2 и к2 < |Л,2, но с другим нормировочным множителем, зависящем, вообще говоря, от величины |Л,. Запишем такую факторизацию, указывая область изменения аргументов функций на месте области интегрирования:
/
У ^ 0] = Nеіп0
ОА(П\к) ЩЬ(кАГ(к))\ е
-[а2к * Л\г) (к), К (к)
у к2 >|12
-/а2к * л\Г)(к),^(к)
(24)
у к2 <|12
Здесь ц - произвольный положительный параметр, который может быть сколь угодно малым. Поскольку номер п топологического класса, в который входит функция АЦп)(к), влияет только на её асимптотику при к ^ 0, результат вычисления первого функционального интеграла в (24) не должен зависеть от п. Поэтому можно вынести этот интеграл из-под знака суммы и убрать в нём с полей пометку (п):
У Ь'ц, 0] = N"
[ В А^(к)(П §(кА(к))) е- / а2к *(Л(к)^(к)^| X0], (25)
\к2 >^2 V к ) )
где
X в] = ^ еіп0 / БА<п'(к/ П 8<МГ (к))) е-1'<2л *(Л")(‘>,* (и>,
п к2<ц2 ' к '
(26)
Будем изучать величину X[]ц, 0]. В соответствии с формулой (9), интегрирование в (26) должно проводиться по функциям, имеющим определённый полюсной вклад в нуле. Разумно предположить, что такое интегрирование можно совершить, сделав сдвиг переменной интегрирования на имеющую соответствующий полюс функцию, т. е. перейдя к интегрированию по величине Ац(к), не имеющей особенностей первого или более высокого порядка (см. после формулы (9)). Тогда, учитывая, что кцЬц(к) = 0, можно написать
X 0]= ( ВА^к)( П 5(кД,(к))^ е-/а"к * (Л(к),*(к)) ^ еіп0Еп
к2<ц2 \ к / п
(27)
где
Еп = ехр
а2 к
22
п2к
г*(к)^(к) + пк2і*(к)ДДк) + п*(к)^(к)
(28)
Рассмотрим входящий в это выражение интеграл, предполагая, что параметр стремится к нулю (как говорилось выше, его можно выбрать любым). Будем считать, что
х
2
фермионные поля, равно как и источник J убывают в координатном пространстве, т. е. при больших х, достаточно быстро, чтобы определяемая формулой (20) величина j в импульсном пространстве была аналитической функцией в нуле, а значит:
jX (k) = j0 + *jjY kv + jva kv ka + •••• (29)
Это позволяет вычислить главный вклад интеграла от третьего слагаемого в (28)
при X ^ 0. Он пропорционален |!2, а поправки к нему - порядка |!4. Интеграл от второ-
го слагаемого при X ^ 0 убывает быстрее чем |!2, поскольку величина А^(к) не имеет в нуле особенности первого или более высокого порядка. Интеграл же от первого слагаемого можно вычислить точно. В результате получаем
Rn = exp O'ijVuv + £(ц))) , (30)
где £(ц) ^ 0 при |Х ^ 0. Если ввести обозначения
ц2
° = 8я?’ 6 = К€ + ’ (31)
то (30) можно записать как
Rn = e-a(n2+2bn), (32)
причём а и b - вещественные величины, а > 0, и при (X ^ 0 величина а убывает, а b стремится к конечному значению
д e (
Ъ = 7lejyvenv = -*яе envTT^in(A-) = — d2x Ejjv X^jv(x). (33)
^ dkv k=o 4п J
Входящая в (27) бесконечная сумма выражается через тэта-функцию Якоби
V е4"еД„ = yV"0e-°("2+2b"> =в3(9 + 2ШЪ —• (34)
V 2п п
nn
Для того чтобы проанализировать это выражение при а ^ 0 воспользуемся известным свойством тэта-функции Якоби:
ЄзМ*) = \/^е-і,ю‘/тЄз(^ -I), (35)
— А р—гку2/т ~ v
в результате чего получим
^^ЄІП0ДП = і — eab2 е-(Є-2го?ї)2/(4а)е-іЬ(Є-2го?ї) (gg)
Данное выражения явно периодично по 0 с периодом 2п. Обозначим через [0] разность
0 — 2л/, где / - целое число, такое, что —л < 0 — 2л/ ^ п. Ясно, что можно в формуле (36) заменить 0 на [0]. Ограничимся случаем |[0]| < п. Тогда при а ^ 0 главным членом ряда в (36) будет член с т = 0, он будет вести себя как е~[0] /(4а).
Сделаем оценку для суммы К остальных членов ряда
\К\
Е
т=0
е — ([©] — 2пт)2/ (4 а) ^,—гЬ([0]- 2пт)
^ ^ е— ([0]— 2пт) /(4а) т=0
оо оо
]Г е—(2пт—[0])2/(4а) Е е — (2пт+[0])2/(4а). (37)
= 1 т=1
Оценим первую из этих двух сумм. Для этого заметим, что при т ^ 1 можно написать (2пт — [0])2 ^ (2пт — п)2 = п2 (4т2 — 4т +1) = п2 +4п2т(т — 1) ^ п2 +4п2(т — 1). (38) Тогда
о о 2 2 е—п2/(4а)
п2+4п2(т — 1)^ /(4а) е
е-(2пт-[е])2/(4а) ^ ^ £-(гс2+4гс2 (т -1) )/(4а) = _£_______ _____ ^ Ое^ ^4а\ (39)
т=1 т=1
где использовано, что е п /а < 1/2. Рассуждая аналогично для второй суммы в правой части (37), получаем оценку
\К\ < 4 е—п2/(4а). (40)
Это означает, что сумму (36) можно записать в виде
/Я пЬ2
■ е
£У»еД„ = ^еаЬ2 ^е-»[0]е-[0]2/(4о)+Д^ =Ме-т (41)
где
й=2У2ке е_2кАв]2/п2 Д
и |(ц) — 0 при ц —— 0.
Предположим, что в пределе ц — 0 при подстановке в выражение (27) формулы (41) в ней достаточно учесть только её асимптотическое значение в этом пределе. Последнее не зависит от Лц(к), поэтому его можно вынести из-под знака функционального интегрирования в (27), в результате чего получится
X [^, 0]= N е—Ь[0] I БА^к)! П §(кЛ(Ш е— / аЧ * (Мк),*(к)). (43)
к2<ц2 ' к '
Величина N не зависит ни от полей, ни от источников, поэтому её можно включить в нормировочный множитель. Отметим, что она убывает при ц — 0. Подставляя формулу (43) в (25) и объединяя произведение двух функциональных интегралов (с областями изменения аргументов функций к2 > ц2 и к2 < ц2) в один функциональный интеграл, получаем
У Ь'ц, 0] = NN БЛц (к) 5(кцЛц (к))^ е— / а2к *(Мк),ик)), (44)
где интегрирование ведётся по функциям, не имеющим особенностей первого или более высокого порядка, а значит, имеющих нулевое топологическое число. Теперь сделаем обратный переход к интегрированию по функциям, заданным в координатном пространстве. В результате получим
У\3р, Q]=Njo Ay, 8(с)цАц) j exp j £x Qf^v-Fhv + inAi + env xyjvjj, (45)
где использована формула (33). Подставляя найденное выражение в формулу (18), имеем
и функциональный интеграл берётся по функциям Лц(х), убывающим быстрее чем 1/%/ж2, т. е. имеющим нулевое топологическое число.
Присутствующий в (46) множитель, представляющий собой стоящую вне интеграла экспоненту от линейной функции источника ,1ц, даёт вклад только в одноточечную связную функцию Грина, причём этот вклад представляет собой линейную функцию х. Это означает, что указанный множитель не влияет на физическое содержание теории, и его можно отбросить.
Таким образом, теория с действием (15), для которой предполагается, что калибровочное поле может иметь любое топологическое число (т. е. в функциональный интеграл дают вклад поля с любыми целыми значениями топологического числа), оказывается эквивалентной теории с действием (47), в которой калибровочное поле имеет нулевое топологическое число, т. е. убывает достаточно быстро при больших х.
Как уже подчёркивалось, доказательство указанной эквивалентности не является достаточно строгим, оно содержит предположения о допустимости некоторых операций с функциональным интегралом. К сожалению, неясно, как аккуратно проверить допустимость этих операций. Обычную проверку с помощью ТВ в данном случае сделать не удаётся, поскольку ТВ по константе связи в данной модели плохо определена из-за существенных (т. е. имеющих место при любых значениях внешних импульсов) инфракрасных расходимостей. Эти расходимости возникают из-за того, что в данной двумерной теории присутствует безмассовое поле - калибровочное.
Однако, в какой-то мере, оправданием для проведённых рассуждений можно считать тот факт, что полученный результат (включая числовой коэффициент) оказался уже известным - полученным ранее из совершенно других соображений. Это факт будет обсуждаться в следующем пункте.
В приведённых выше рассуждениях было использовано условие \[0]\ < п, что, вследствие периодичности исходной теории по 0, эквивалентно отбрасыванию единственного случая: когда [0] = п, т. е. 0 = п + 2пк, где к - целое число. В этом особом случае в ряде (36) возникают два члена с одинаковой главной асимптотикой при а — 0, это члены т = 0 и т = 1. Они будут вести себя как е—п /(4а), а сумму остальных членов ряда можно оценить (делая оценку, аналогичную (37)) как 4е—(3п) /(4а). В результате, для случая [0] = п вместо (41) получаем
^У'П0ДП = J-еаЬ'2 ((е-'т + ет) е-ге2/(4“) + o(e-(3,t>2/(4o>)) =
П
= J (е^е + е^е) (i + |(^)) . (48)
Это приводит к изменению формулы (46): производящий функционал Z[ J^K, K+] уже нельзя, вообще говоря, записать в виде стандартного функционального интеграла с некоторым простым действием. Вместо этого, Z[J^, K, K+] записывается в виде полусуммы двух таких интегралов, один из которых совпадает с (46), а второй - получается из (46) заменой [e] на — [е].
Однако, если предположить, что величина Z[J^, K, K+] непрерывна по е, в том числе и при е ^ п, и учесть её периодичность по е, то два упомянутых интеграла будут давать одну и ту же величину, и формула (46) окажется верна и в случае е = п.
Обсуждение полученного действия. В результате манипуляций с функциональным интегралом евклидовой теории возникло выражение для действия (47), переход к которому эквивалентен (со сделанными выше оговорками) учёту топологических эффектов. Перейдём теперь к псевдоевклидовой форме теории и запишем соответствующее псевдоевклидово действие:
S',,PE = j d2x (~±FmnFmn + \jf (iymDm - M) у - [0]£ em„ хтщп^ ■ (49)
Отметим, что это действие вещественно и калибровочно инвариантно. Его последний член нарушает явную трансляционную инвариантность. Однако изменение действия при преобразовании трансляции xm ^ xm + am можно скомпенсировать фазовым преобразованием фермионного поля (без изменения калибровочного поля Am)
\|/ -*■ ехр [9]^ £тпатх’^ \|/, (50)
так что в целом трансляционная инвариантность теории не нарушается.
Легко заметить, что последний член действия (49) можно интерпретировать как наличие внешнего электрического поля с потенциалом
АГ = -[9]—emnxm (51)
4п
и постоянной напряжённостью
1 e
Fext = - гтп {дтАТ - дпА%?) = [9] —. (52)
Такой результат в точности совпадает с предложенной С. Коулменом (S. Coleman) [3] интерпретацией вакуумного угла е как величины внешнего постоянного электрического поля с множителем 2п/е.
Коулмен рассматривал теорию в калибровке Ai = 0. Внешнее постоянное электрическое поле возникло как произвольная константа при решении уравнений движения. Затем был проанализирован процесс рождения электрон-позитронных пар, расходящихся на большое расстояние и частично компенсирующих таким образом внешнее поле. В результате было получено, что пары будут возникать до тех пор, пока результирующее внешнее поле не окажется в диапазоне \Fext| ^ е/2, откуда сделан вывод
о том, что «физика должна быть периодической функцией Дех* с периодом е». Это позволяет ввести имеющий характер угла параметр 8 = 2пДех*/е.
Отметим, что использованный в настоящей работе способ рассуждений полностью отличен от использованного Коулменом, но даёт идентичный результат относительно интерпретации угла 8 как внешнего электрического поля. И, кроме того, мы получаем, что после введения этого внешнего поля в действие уже не нужно учитывать топологические эффекты, т. е. достаточно ограничиться быстро убывающими калибровочными полями.
При сравнении теорий с действиями (15) и (47), эквивалентность которых утверждается в данной работе, возникает вопрос о нулевых модах оператора Дирака Бу + М во внешнем поле в пределе М ^ 0. Дело в том, что, как известно (например, [2]), при М = 0 оператор Дирака имеет \п\ нулевых собственных значений, если внешнее поле имеет топологическое число, равное п. В результате, для теории с действием (15) после функционального интегрирования по фермионным полям вклад конфигураций калибровочного поля с п = 0 будет исчезать для вакуумных и бозонных функций Грина, но может не исчезать для некоторых фермионных функций Грина. В теории же с действием (47) в функциональном интеграле учитываются только конфигурации поля с нулевым топологическим числом, однако действие имеет дополнительный член (последнее слагаемое), эквивалентный наличию постоянного внешнего электрического поля (52), пропорционального [8]. Пока неясно, свидетельствует ли такое отличие между двумя теориями, эквивалентность которых утверждается, о разрушении этой эквивалентности, или нет. Для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо дополнительное исследование, возможно, опирающееся на анализ правильно сформулированной теории возмущений. Такое исследование выходит за рамки настоящей работы.
Возможность избежать перехода в импульсное пространство. Было бы интересно в дальнейшем попытаться повторить использованный в данной работе способ рассуждений в более реалистичных неабелевых четырёхмерных теориях, в особенности в КХД. Препятствием этому является использование в рассуждениях перехода в импульсное пространство (формула (22)), которое оказалось просто сделать только благодаря квадратичности действия по калибровочному полю. Но в неабелевых калибровочных теориях такой квадратичности уже нет, поэтому полезно научиться проводить аналогичные рассуждения прямо в координатном пространстве, без перехода в импульсное. Попробуем это сделать.
Изменим даваемое формулой (7) определение величины ^. Пусть теперь
11 / х2 \
! , (53)
где в - параметр размерности длины, и д(у) - некоторая положительная, монотонно убывающая, непрерывная функция, обладающая свойствами:
уд(у) -----> 1, 9(0) = 1, д'(0) = 0. (54)
V—
Здесь штрих означает дифференцирование. Поскольку при х асимптотика ново-
го определения величины ^ совпадает с асимптотикой старого, можно снова сказать, что поле Лу(х) всегда может быть приведено обычным калибровочным преобразованием к форме, в которой оно записывается в виде формулы (6). Ясно, что параметр в может быть выбран произвольно, поскольку его изменение можно скомпенсировать изменением функции Ад (ж) с сохранением её убывания быстрее чем 1 /л/х2. Отметим,
что первое слагаемое формулы (6) и с новым определением Ьу удовлетворяет калибровочному условию (16).
Теперь, используя новое определение величины Ьу, повторим проведённые рассуждения вплоть до формулы (19). Затем предположим, что в этой формуле функциональное интегрирование по полям с определённым топологическим числом п можно заменить интегрированием по полям Да(.г’) (убывающим быстрее чем 1/%/ж2), т. е. можно сделать сдвиг переменной интегрирования:
У %, 8] = N Б Лу (П 8(0,Д^ х
х ехр |т9 - с12х + Ац)^(«'#ц + ЛО + ^)) } • (55)
Здесь учтено, что Ьу удовлетворяет используемому калибровочному условию. Если выделить в показателе выписанной экспоненты все зависящие от п члены, то будет:
1%,е] = мIвАу (Пб^д^
(56)
где
Д„=ехр| J (IV (д(г’) + гг/-
^ о
-£ + (57)
и величина Дуу - это составленная из поля Ау напряжённость. Здесь было частично проведено интегрирование для одного из слагаемых.
Как было сказано выше, параметр в является произвольным. Используя свойства (33), исследуем, что будет происходить, когда он стремится к бесконечности. Интеграл / д?х £уу -Руу равен нулю, поскольку л4у имеет нулевое топологическое число, поэтому получаем
Д„ =ехр|-^5^-^5 (ь + ад)}, Х= , (58)
где величина Ь определена формулой (33) и ^(в) ^ 0 при в ^ ж. Представляя величину Кп в виде (32), получаем
а=-^-, Ъ= Гб + ^в)) ---->%Ъ. (59)
в2е2% ав2е2 V / я—то
При в ^ж величина а стремиться к нулю, так что далее можно повторить все рассуждения, приведённые после формулы (32) и получить окончательный вид действия (47) с единственным отличием: перед содержащим множитель [8] слагаемым будет стоять лишний коэффициент %.
Это означает, что если % = 1, то данный способ рассуждения приводит к неверному результату. Более того, зависимость результата от формы функции д(у), которая определяет величину %, говорит о недопустимости каких-то сделанных предположений. Несмотря на общую нестрогость проводимых операций с функциональным интегралом, можно указать наиболее слабое место в рассуждениях - это предположение о допустимости взятия предела в ^ ж под знаком функционального интеграла. Действительно, предполагается что поля Ау(х), по которым ведётся интегрирование в функциональном интеграле (55), убывают быстрее чем 1/л/х2 и не зависят от п, но с ростом в начало области, в которой начинается указанное убывание, стремится к бесконечности. Поэтому здесь явно отсутствует равномерная сходимость, необходимая для взятия предела под знаком интеграла. Такая ситуация отличается от имевшей место ранее при использовании перехода в импульсное пространство. Тогда устремляемый к нулю параметр не участвовал в выделении из калибровочного поля части, зависящей от топологического числа п (ср. формулы (7) и (53)).
Таким образом, при проведении рассуждений без перехода в импульсное пространство на результат влияет способ выделения зависящей от п части из калибровочного поля. Интересно, что правильный результат можно получить, если воспользоваться жёстким способом разделения, соответствующим введённому ранее понятию большого круга. Действительно, если выбрать функцию д(у) в виде
в результате чего при x2 > s2 определяемая формулой (53) величина ty будет чисто калибровочным полем (и совпадёт в этой области с (7)), то, как показывает простое вычисление, коэффициент % окажется равен единице. Возможно, этот факт послужит при попытках развивать аналогичный изложенному в данной работе подход в неабелевых четырёхмерных теориях.
Литература
1. Byrnes T., S'riganesh P., Bursill R. J., Hamer C. J. Density matrix renormalization group approach to the massive Schwinger model // Phys. Rev. (D). 2002. Vol. 66, P. 013002-(1)-013002-(14).
2. Adam C. Massive Schwinger model within mass perturbation theory // Ann. Phys. 1997. Vol. 259. P. 1-63.
3. Coleman S. More about the massive Schwinger model // Ann. Phys. 1976. Vol. 101. P. 239-267.
4. Franke V. A., Novozhilov Yu. V., Paston S. A., Prokhvatilov E. V. Quantization of field theory on the light front // Focus on quantum field theory / Ed. by O. Kovras, New York: Nova Science Publishers, 2005. P. 23-81.
5. Пастон С. А., Франке В. А. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лоренцевых координатах // Теор. мат. физика. 1997. Т. 112. № 3. С. 399-417.
6. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Гамильтонов формализм на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, эквивалентной лоренц-ковариантному подходу // Там же. 2002. Т. 131. № 1. С. 84-97.
7. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах светового фронта // Ядерн. физика. 2005. Т. 68. № 2. С. 292-303.
8. Sriganesh P., Hamer C. J., Bursill R. J. A new finite-lattice study of the massive Schwinger model // Phys. Rev. (D). 2000. Vol. 62. P. 034508-(1)-034508-(9).
при v ^ i,
при v ^ i,
(60)
Принято к публикации 23 октября 2008 г.
