CC BY
31
Сер. 4. 2009. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 530.145
М. С. Карневский, С. А. Пастон
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В СВЕТОПОДОБНОЙ КАЛИБРОВКЕ ДЛЯ МОДЕЛИ ЯНГА-МИЛЛСА НА ПОПЕРЕЧНОЙ РЕШЁТКЕ*
Введение. Проблема нахождения спектра масс связанных состояний в КХД до сих пор остаётся до конца не решённой. Тот факт, что константа связи не является малой при низких энергиях, заставляет разрабатывать непертурбативные методы расчёта. Одним из главных таких методов являются расчёты на четырёхмерных решётках, однако полученные этим способом результаты не обеспечивают достаточно высокой точности, поэтому представляет интерес изучение других возможных подходов к проблеме. Одним из таких подходов является каноническое квантование теории в координатах светового фронта (СФ): х^ = (х° ± ж3)/а/2, х1, х2, где координата хЛ играет роль времени [1]. В результате квантования строится канонический гамильтониан на СФ, после чего задача сводится к вычислению его спектра. Преимуществом такого подхода является простой вид вакуумного состояния: физический вакуум совпадает с математическим. Следует отметить, что этот факт является строго верным только после введения соответствующей регуляризации. Подробно метод квантования в координатах СФ изложен, например, в обзоре [2].
К сожалению, в результате квантования в координатах СФ может получиться теория, не эквивалентная исходной теории в лоренцевых координатах [3, 4]. Это связано с наличием в теории сингулярности при нулевом значении светоподобного импульса р-, регуляризация которой приводит к нарушению лоренц-инвариантности. Существует возможность восстановить потерянную эквивалентность, по крайней мере, во всех порядках теории возмущений по константе связи, исправляя «наивный» гамильтониан на СФ добавлением к нему некоторых контрчленов. Затем такой «исправленный» гамильтониан можно будет применять для расчётов вне рамок теории возмущений. Общий метод получения «исправленного» гамильтониана на СФ путём анализа фейн-мановской теории возмущений во всех порядках дан в работе [4]. Примером удачного применения этого метода вместе с численным расчётом спектра гамильтониана методом дискретизованного квантования на СФ (ДКСФ, [2]) является исследование двумерной модели - массивной модели Швингера [5, 6]. Непертурбативно вычисленный, с использованием «исправленного» гамильтониана на СФ, спектр масс теории с хорошей точностью совпал с результатами расчётов на решётке в обычных координатах в широкой области изменения массы фермиона. В то же время использование «наивного» гамильтониана на СФ даёт хорошие результаты только при малых массах фермиона [6].
Построение «исправленного» гамильтониана на СФ для четырёхмерной неабелевой калибровочной теории, в частности для КХД, оказывается весьма трудной задачей. Такой гамильтониан для КХД был построен в работе [9], однако при его построении
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России, грант № РНП.2.1.1/1575.
© М. С. Карневский, С. А. Пастон, 2009
была нарушена калибровочная инвариантность, что привело в процессе перенормировки к появлению большого числа контрчленов с неизвестными коэффициентами. Следует также отметить, что, в отличие от двумерных моделей, в которых в рамках ДКСФ пространство состояний оказывается конечномерным (например, [6]), в четырёхмерной теории это не так, поскольку дополнительно имеются направления х^х2. Это сильно затрудняет вычисление спектра гамильтониана.
Решить сразу обе эти проблемы - нарушение калибровочной инвариантности и бес-конечномерность пространства состояний - можно введением в теорию решётки по поперечным направлениям х1,х2. В этом случае при обычном способе введения решётки компоненты калибровочного поля в направлении 1, 2 заменяются относимыми к рёбрам решётки унитарными матрицы. Унитарность этих матриц делает действие теории неполиномиальным относительно независимых переменных, что чрезвычайно усложняет анализ фейнмановской теории возмущений. Поэтому кажется более перспективным считать эти матрицы произвольными комплексными (об использовании этой идеи для четырёхмерной решётки обзор [7]), т. е. использовать предложенный в работе [8] метод поперечной решётки. В таком подходе действие оказывается полиномиальным и анализ теории возмущений упрощается, но зато в теории появляются дополнительные, нефизические степени свободы.
Для того чтобы применить к теории с поперечной решёткой метод построения «исправленного» гамильтониана на СФ, нужно прежде всего сформулировать фейнма-новскую теорию возмущений в присутствии решётки. Далее, необходимо выбрать действие таким образом, чтобы функции Грина теории в лоренцевых координатах в пределе стремления к нулю постоянной решётки а совпали с функциями Грина обычной КХД, а нефизические степени свободы отключились. При этом необходимо провести процедуру перенормировки теории при снятии решёточной регуляризации. Затем можно будет методом [4] построить «исправленный» гамильтониан на СФ, который будет соответствовать, по крайней мере в рамках теории возмущений (во всех порядках) по константе связи, обычной КХД. Такой гамильтониан может быть использован для непертурбативного вычисления спектра масс теории. Главным его преимуществом по отношению к гамильтониану, построенному в работе [9], будет конечномерность пространства состояний в рамках метода ДКСФ. Кроме того, при использовании решётки можно надеяться на меньшее количество неизвестных коэффициентов, поскольку вместо нарушения калибровочной инвариантности имеется лишь частичное нарушение лоренц-инвариантности.
Метод поперечной решётки, сочетающий использование гамильтониана на СФ и введение поперечной решётки, является весьма плодотворным для описания КХД [10]. Однако обычно в этом подходе замена унитарных матриц на произвольные комплексные понимается как переход к новым переменным, представляющим важные степени свободы на достаточно грубой решётке [11]. При этом, как упоминается в [12], переход к малым значениям постоянной решётки а оказывается не совсем ясным. Кроме того, обычно используется «наивный» гамильтониан на СФ, так что построение «исправленного» гамильтониана, соответствующего перенормированной теории с отключающимися в пределе а ^ 0 нефизическими степенями свободы может позволить получить новые интересные результаты.
В данной работе делается только первый шаг на пути к построению «исправленного» гамильтониана на СФ теории на поперечной решётке, причём вместо КХД рассматривается чистая теория неабелевого калибровочного поля, т. е. модель Янга-Миллса. А именно, записывается действие теории на решётке, формулируется фейнмановская
теория возмущений и анализируются все не содержащие расходимостей фейнмановские диаграммы. Для таких диаграмм удаётся показать, что при определённых ограничениях на зависимость от а параметра теории т, играющего роль массы нефизических степеней свободы, эти диаграммы или совпадают с соответствующими диаграммами непрерывной теории, или стремятся к нулю, что соответствует отключению нефизических степеней свободы. Этот результат верен также и для содержащих расходимости диаграмм, но после применения к ним некоторой процедуры вычитания, в результате которой индексы ю, станут отрицательными.
Полное рассмотрение содержащих расходимости диаграмм требует аккуратного построения процедуры перенормировки теории. В данной работе мы приводим только схему такого построения, полный анализ будет проведён в следующей работе. Обсуждается проблема продольных ультрафиолетовых (УФ) расходимостей теории - тех, которые остаются после введения поперечной решётки.
Следует отметить, что в работе в качестве калибровочной группы рассматривается и(Ж), а не БиN). В конечном итоге это не существенно, по крайней мере в отсутствии фермионов, поскольку в этом случае абелева и неабелева составляющие калибровочного поля не взаимодействуют в пределе а ^ 0. Сразу использовать группу Би(Ж) напрямую не удаётся, поскольку оказывается, что тогда нефизическая степень свободы, соответствующая абелевой составляющей поперечного калибровочного поля, будет иметь пропагатор, плохо убывающий при больших импульсах.
Действие теории на поперечной решётке. Сформулируем калибровочную теорию в четырёхмерном пространстве-времени, в котором два пространственных направления заменены квадратной решёткой. Следуя работам [8, 13, 14], выберем переменные теории таким образом, чтобы действие по ним было полиномиальным. При этом компоненты калибровочного поля вдоль непрерывных координат хс, 0,0,... = 0, 3 рассматриваются обычным образом, и мы их относим к узлам поперечной решётки. Компоненты же поля вдоль дискретных поперечных координат хк, к,1,... = 1, 2 описываются для случая и (Ж)-теории произвольными комплексными матрицами N х N Мк (х), которые отнесены к рёбрам решётки. Матрица Мк (х) относится к ребру, соединяющему узлы х — вк и х и соответствует положительному направлению вдоль оси хк. Вектор вк связывает соседние узлы решётки, он направлен вдоль оси хк, причём \вк\ = а, где а - постоянная решётки. Матрицы Мк(х) рассматриваются в качестве независимых переменных. Они не считаются подчинёнными условию унитарности, что и позволяет сделать действие полиномиальным. Матрица М+(х) относится к тому же ребру что и Мк (х), но соответствует противоположному направлению.
Любому замкнутому направленному циклу по рёбрам решётки можно сопоставить след произведения матриц Мк (х), расположенных на этих рёбрах, упорядочив матрицы в согласии с последовательностью рёбер в цикле справа налево, например:
Тг {М2(х)М1(х — в2)М+(х — в1)М+(х)} .
Отметим, что цикл, состоящий из одного и того же ребра, пройденного в противоположных направлениях, не отвечает единице, так как матрицы не унитарны.
Калибровочные преобразования, осуществляемые унитарными N х N матрицами и(х), действуют на отнесённые к узлам решётки продольные компоненты Ас (х) калибровочного поля как обычно:
А'с(х) = и(х)Ас(х)и+ (х) И—и(х)дс(х)и+ (х),
а на матрицы Мк (х) следующим образом:
М'к(х) = и(х)Ми(х)и + (х - вк).
(1)
Всякий след матрицы, соответствующей некоторому циклу, инвариантен относительно этих преобразований.
Установим связь матричных переменных Мк(х) с остающимся в непрерывном пределе а ^ 0 калибровочным полем Ак (х), состоящем из соответствующих группам Би N) и и(1) неабелевой и абелевой частей. А именно:
где I - единичная матрица, а Ак (х), Вк (х) - эрмитовы матрицы. Поле Вк(х) является вспомогательным нефизическим полем, которое должно отключаться в непрерывном пределе.
При наличии решётки поперечные компоненты тензора напряжённости О^, можно определять разными способами. Чисто продольные компоненты Осо относятся к узлам решётки и имеют обычный вид
они относятся к ребру, тому же, что и Мк (х) и при калибровочном преобразовании преобразуются по формуле, аналогичной (1). Для чисто поперечных компонент напряжённости Окі будем использовать два представления. Первое из них
Мк(х) = I + да (Вк(х) + іАк(х)) = I + даУк(х),
(2)
Ооп(х) = дсАп(х) - дсАп(х) - ід[Ас(х), Ап(х)].
(3)
Смешанные компоненты Оск определим как
( X — ек X
да2
(5)
•-
\Х — Ск — Єї х — Ск
антисимметрично по перестановке к,1 и имеет закон преобразования
о(ы (х) = и(х)о(ы (х)и +(х - ек - е1).
В качестве второго представления возьмём выражение
которое можно изобразить в виде
( X — Ск X
X — Ск X \
XX — Єк — Єї x Сї
г(2)(т) = — кк да2 І X - 2ек
X — Ск
X — Ск
Оно не является антисимметричным (вместо этого оно удовлетворяет условию О= = — Ок^+) и имеет закон преобразования
ОЫ] (х) = и(х - ек)0{ы (х)и+(х - е1).
В качестве затравочного действия теории возьмём следующее выражение:
Jії2Xі (Ь\ + Ь2 + Ьз + Ьт).
(7)
где
Ь\ — —— іг {Сс:о&С П) — їг ((ЗозСоз), ^2 — — їг (С^,кСс к)
С,Б
С,к
^3 - -Т (Си)+Си) +
к,1
2
',(2)+о(2) кі Окі
Ьт
4д2а2
£ tr ((Мк(х)М+(х) - I)2) .
(8)
Такой вид действия был предложен в работе [13].
Обсудим симметрии действия (7). Легко проверить, что каждое из его слагаемых инвариантно относительно калибровочных преобразований. Полной лоренц-инвариант-ностью рассматриваемое действие, естественно, не обладает из-за наличия решётки. Вместо этого, прежде всего, остаётся инвариантность относительно лоренцевых бустов в плоскости непрерывных координат х0,х3. Кроме того, имеется инвариантность относительно дискретной группы поворотов на четверть оборота в плоскости х1,х2, переводящей решётку в себя. Чтобы это увидеть, достаточно заметить, что вклад в действие величины Ь1 представляет собой сумму по узлам, вклады Ь2 и Ьт представляет собой сумму по всем рёбрам (с учётом суммирования по к), а величину Ьз можно записать в виде
X X — е1
Ьз = -
1
2д2а4
/ X — С1 •>€—
XX — Сі —
X X — Сі x
+
+
+
2
X — Сі X
) Д (
—С і— С2
X — С2 X — Сі — С2 X — С2 X — С1 — С2 X — С2
\
X — Сі X
—5*
+
/X — Ск
X — 2Ск
4д2а4
X — Ск
2
X — 2Ск
X — Ск
, (9)
X
2
1
указанная инвариантность которого после суммирования по х^ очевидна.
Полезно сформулировать закон преобразования полей под действием такой дискретной группы. Очевидно, что при замене координат, при которой новые координаты х' получаются из старых координат х поворотом осей 1, 2 на четверть оборота по часовой стрелке, имеют место соотношения:
1' 2 2' 1
х = —х , х = х , в1 = —в2, в2 = в1,
М1 (х') = М+(х + е2), М2(х') = М1(х). (10)
Отсюда, вследствие представления (2), легко найти закон преобразования полей:
А[(х') = —А2(х + е2), А'2(х') = А1 (х),
В'1 (х1) = В2(х + е2), В2(х1) = В1(х). (11)
Эти формулы будут полезны в дальнейшем. Отметим, что в пределе а ^ 0 поле Ак преобразуется так, как должен преобразовываться при соответствующем повороте обычный вектор, и, в частности, при повороте на половину оборота меняют знак. Для поля
же Вк закон преобразования оказывается другим и при повороте на половину оборота
оно не изменяется.
Рассмотрим теперь, во что переходит действие (7), если взять наивный непрерывный предел а ^ 0. Для этого сначала рассмотрим, во что в этом пределе переходят определённые формулами (3)-(6) компоненты напряжённости. Если через обозна-
чить обычное выражение напряжённости калибровочного поля
= д\1Ау — дУА\1 — гg[Aц, Av\,
то мы имеем:
ОсБ = РсБ, Оск ------► Оск = Рск — гБсВк,
а—►О
Ок1} —^ Ок1} = — г (БкВ1 — В1Вк) + гд[Вк, В1\,
а— 0
Оы —> О\2 = Fkl — г (БкВ1 + В1Вк) — гд[Вк, В1\, (12)
а— 0
где
БцВк(х) = дцВк(х) — гд[Ац(х), Вк(х)\.
Отметим, что поля Ац и Вк не бесследовые, они содержат как неабелевы, так и абелевы составляющие.
Взяв предел для величины Ьт при фиксированном параметре т, имеем
Ьт * Ьт = т } ^ (Вк Вк ) .
а— 0
к
Подставляя эти выражения в формулы (7), (8), получаем
БМ г]Ах 11 + {П»Вк){1РВк) - д2[Вк, В^Ви, В,] - т2ВкВку (13)
Здесь и далее по повторяющимся дважды индексам подразумевается суммирование.
Такой вид наивного непрерывного предела действия позволяет надеяться, что если играющий роль массы поля Вк параметр т стремится к бесконечности при а ^ 0, то
поле Бк в таком пределе будет отключаться. Легко заметить, что согласно (13), неабелева (бесследовая) и абелева (пропорциональная единичной матрице) части поля Ац не взаимодействуют друг с другом и их вклады в действие имеют обычный вид. Поэтому можно надеяться, что функции Грина полей Ац рассматриваемой теории будут в непрерывном пределе воспроизводить функции Грина совокупности обычных неа-белевого и абелевого калибровочных полей. Для того чтобы проверить это в рамках теории возмущений по константе связи д, необходимо сформулировать правила Фейнмана для теории на поперечной решётке со вспомогательным полем Б к, и провести процедуру перенормировки.
Фейнмановская теория возмущений при наличии поперечной решётки. Будем строить фейнмановскую теорию возмущений в пространстве с поперечной решёткой. Для этого введем некоторые обозначения, удобные при работе с решёткой. Определим дискретную производную вдоль направлений х1 ,х2 двумя способами:
4ф(ж) = - (ф(ж) - ф(ж - ек)), дкц(х) = - (ф(ж + ек) - ф(ж)) . (14)
а а
Обе эти формулы в непрерывном пределе переходят в обычную производную. Легко
проверить, что выполняются тождества
[дг, дк] = [ди дк] = [дг, дк] = 0, а также верна формула, дающая дискретный аналог интегрирования по частям:
^ {дк/(х)^ д(х) = — ^ I(х) (дкд(х)) • (15)
X^ X^
Для полей, заданных в координатном пространстве на поперечной решётке, импульсное пространство по направлениям &1,&2 имеет конечный размер 2п/а, и поля в импульсном пространстве являются периодическими функциями. Связь между функциями ф(х) и ф(к), соответствующими координатному и импульсному пространству, даётся формулами
ф(к) = а2 J д2х11 е-гкц Х"ф(х),
1 рж/а рж/а
ф(х) = 77^7 / /
т. е. часть интегралов Фурье заменяется рядами Фурье. Здесь и далее предполагается, что при поднимании или опускании индексов к,1, ••• изменяется знак, т. е. кцхц = кс хс + кх1 = кс хс — кх1.
Как видно из формулы (16), при переходе в импульсное пространство дискретные дифференцирования (14) переходят в операторы умножения
д1 -+ - (1 - е~*к'а) = гщ, д,^- (е^“ - 1) = ш*, (17)
аа
где «*» означает комплексное сопряжение. Поскольку при таком переходе дс ^ гкс, удобно ввести обозначение ис = кс, тогда можно писать дц ^ гиц. Заметим, что
щ = тП{км/2) _ (18)
а/2 а——о
ф [к+—~ ) = ф(к), аа
дк2 /" д2кцегкцХ^ф(к),
(16)
Обозначим также:
Сформулируем фейнмановскую теорию возмущений по д, беря в качестве независимых переменных поля Ац и Бк (в соответствии с (2) это эквивалентно использованию в качестве независимых переменных поля Ас (х) и комплексного матричного поля Мк(х)). Перепишем действие (7) в терминах этих полей. Для этого, прежде всего, запишем выражения (4)—(6) для компонент напряжённости, используя дискретные производные.
Например, выражение (4) можно записать как
где Ук (х) определяется формулой (2). Видно, что это выражение отличается от предель-
последним слагаемым. Это слагаемое, имея лишний множитель а, исчезает в непрерывном пределе. В дальнейших рассуждениях для слагаемых такого рода будет важна только их структура, но не точное выражение, поэтому мы будем записывать их символически, опуская значки и числовой коэффициент. Более того, далее для удобства будем через V без индекса обозначать любую линейную комбинацию всех компонент полей Ац, Бк. Тогда формулу (20) можно записать как
где символ || соответствует значениям индекса 0, 3, а ^ - значениям 1, 2. Аналогичным образом можно получить, что
где пара чисел (^, 5) принимает значения (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3,1). Здесь использована упомянутая выше символическая запись, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, а через дц, Iц, обозначены соответствующие величины,
Оск(х) = дсАк(х) - дкАс(х) - ід[Ас(х), Ак(х)] - іБсБк(х) - даУк(х)дкАс(х), (20)
ного значения Ос,к (х) из формулы (12) (в котором под дк нужно понимать дк) только
Оск(х) = О ск(х) + даУд±Аь
(21)
(х)= О^ (х)+даУд±У,
Сы(х) = (х) + даУд±У + да2 (д±у] 2 ,
(22)
где в величинах со шляпками под дк понимается дк. Далее, величину Ьт можно записать в виде
Используя формулы (21)—(23), действие (7) можно записать в виде
вм = я2 ]С/(*г + ФМІЇРВк) - д2 [Вк, В^Вк, В,] - т2ВкВ^ +
+ да ІТ (УдУ)(ё± Ац)^ + ^ д^+Ь-2а^+2Ь-А И (уНд^У)8) +
в которых дифференцирование в поперечных направлениях дк заменено дискретным дифференцированием дк.
Для дальнейшего построения теории возмущений необходимо фиксировать калибровку. Поскольку в дальнейшем предполагается использовать рассматриваемую формулировку калибровочной теории для построения гамильтониана на СФ, будем применять светоподобную калибровку А_ = 0. Как известно, такая калибровка не приводит к появлению духов Фаддеева-Попова и может быть введена путём добавления к действию члена, который при наличии поперечной решётки можно записать как
^ = -2а2 ^I#х" ^ (Л нЦАц) , (25)
Х±
где пц - светоподобный вектор, лежащий в плоскости непрерывных координат хс, п_ = 1, п+,к = 0,а Л - вспомогательное эрмитово матричное поле (не бесследовое), рассматриваемое как дополнительная независимая переменная. Будем считать, что этот член добавлен к действию (24).
Выделим из действия Б = Бм + Бсвободную часть Бо, квадратичную по полям А^ Бк :
Б0 = а2^1 1 + (4^)2 - 2Л“п^“ +
(дцБ%)(дЦБ%) - ш2Б1 Б% , (26)
где Аа, Б£, Ла - коэффициенты разложения соответствующих матриц по базису эрмитовых матриц Х“/2, а = 0,1,2,..., обладающих свойствами: Х° = \]2/М/, ^(Х1) = = ^(Х2) = ... =0, tr (ГХЪ) = 25аЪ, [Х“, ХЪ] = 21! аЬс^°, где /аЪс - структурные константы, /0Ъс = 0. Проводя интегрирование по частям и его дискретный аналог (15), а затем обращая квадратичную форму и переходя по формулам (16) в импульсное пространство (используя также (17) и обозначения (19)), несложно получить выражения для пропагаторов:
А^Чк)_________(а - + 2к пЛ (27)
[)~ |М|2+*0^ к2 + г0 “ )’ [ }
А(АЛ)аЬ(к) = 2капа, Д(ЛЛ)“Ь = 0, (28)
д(вв)аЬ(к) -___гЬаЪь1™__ (29)
1т [)-\ч\2-т2 + г& [ }
где все появившиеся полюса записаны с использованием предписания Мандельста-ма-Лейббрандта [15, 16], позволяющего совершать в диаграммах переход к евклидову пространству; п+ = 1, п_,к = 0. Отметим, что свёртка А(ЛЛ)аЪ поля Ла с самим собой
л (АЛ)аЪ
оказывается равна нулю, зато отлична от нуля недиагональная свёртка АЦ поля Ла с А^ Остальные недиагональные свёртки равны нулю.
Результат вычитания из действия Б свободной части Бо является действием взаимодействия, слагаемые которого дают вершины фейнмановских диаграмм. Будем называть «лишними» вершины, соответствующие последним четырём слагаемым (24), поскольку они имеют дополнительный множитель а и, следовательно, исчезают в наивном
непрерывном пределе а ^ 0. Кроме них действие взаимодействия содержит обычные, с точностью до замены дц на дц, члены третьего и четвертого порядка самодействия поля А?:
а также члены взаимодействия полей а? и Б а и самодействия поля Ба:
Отметим, что поскольку /0Ъс = 0, в эти выражения не входят абелевы составляющие полей, вследствие чего их взаимодействие с остальными полями обеспечивается только за счёт «лишних» вершин.
Продольные ультрафиолетовые расходимости. В этом пункте мы предлагаем схему рассуждений, позволяющую использовать аналог тождеств Уорда при анализе расходимостей, несмотря на то, что поперечная решётка не обеспечивает полной УФ-ре-гуляризации теории.
Проанализируем, какие УФ-расходимости имеются в рассматриваемой теории. Ясно, что пока постоянная решётки а конечна, расходиться могут только фейнмановские интегралы по продольным компонентам импульсов ко,кз, поскольку область интегрирования по поперечным импульсам к\, к2 при этом конечна. Поэтому при конечном а УФ расходиться будут только диаграммы, содержащие в качестве поддиаграмм (или совпадающие с ними) однонеприводимые диаграммы с Юц ^ 0, где Юц - индекс УФ-рас-ходимости в подпространстве ко,кз. Подсчитав вклады в Юц от пропагаторов (27)-(29) и вершин, определяемых выражениями (30), (31) и тремя последними слагаемыми формулы (24), несложно найти все такие однонеприводимые диаграммы. Это все диаграммы с одной вершиной и закороченными линиями, а также двуххвостая глюонная петля, в которой линиям могут соответствовать поля Ац или Б к.
Таким образом, введение поперечной решётки не приводит, как и следовало ожидать, к полной УФ-регуляризации теории, однако УФ-расходящимся остаётся только конечное число диаграмм. Для дальнейшей работы с теорией возмущений необходимо ввести дополнительную регуляризацию, делающую теории полностью конечной. Если пытаться сформулировать теорию в форме, позволяющей проводить каноническое квантование в координатах СФ, то, к сожалению, дополнительную регуляризацию не удаётся ввести без нарушения калибровочной инвариантности. Самое простое - это взять гамильтониан взаимодействия в нормально упорядоченной форме, что приведёт к исчезновению всех диаграмм с закороченными линиями, а для регуляризации глюонной петли ввести в квадратичную часть действия высшие нековариантные производные с параметром регуляризации Л, как это было сделано в работе [9]. Будем называть результат теорией в «первой» форме. Ясно, что «первая» форма теории не обладает калибровочной инвариантностью, что чрезвычайно усложняет анализ расходимостей, поскольку нельзя сформулировать аналог тождеств Уорда.
Для преодоления этой трудности предлагается поступить следующим образом. Рассмотрим промежуточную форму (назовем её «второй» формой) теории, в которой в дополнение к поперечной решётке в качестве дополнительной регуляризации вводится сохраняющая калибровочную инвариантность размерная регуляризация с параметром е.
(30)
Ввести размерную регуляризацию при наличии поперечной решётки можно по методу, изложенному в [17], согласно которому интегрирование по поперечным направлениям к\, к2 импульсного пространства должно делаться в последнюю очередь, а квадрат продольной части импульса кЦ после поворота Вика «продолжается» до квадрата бесконечномерного вектора.
Рассмотрим предел е ^ 0 для диаграмм «второй» формы теории. Для всех диаграмм, кроме диаграмм с закороченными линиями или с поддиаграммами вида двуххвостой глюонной петли, возьмём предел е ^ 0, в котором они будут иметь конечное значение, совпадающее со значением соответствующих диаграмм «первой» формы теории в пределе Л ^ то. Для диаграмм типа двуххвостой глюонной петли, а также для диаграмм с одной вершиной и закороченными линиями вычислим их значения и проведем вычитание по минимальной схеме, т. е. отбросим полюса по е, получив в пределе е ^ 0 «перенормированные» значения диаграмм (кавычки здесь подчеркивают, что это не полная перенормировка, поскольку всё делается при фиксированном параметре решётки а, обеспечивающем частичную УФ-регуляризацию теории). В диаграммах, в которых такие диаграммы встречаются в качестве поддиаграмм, будем использовать «перенормированные» значения. В результате мы получим значения всех диаграмм теории в пределе снятия размерной регуляризации. Назовем их совокупность «третьей» формой теории. По построению диаграммы «третьей» формы теории будут удовлетворять некоторому аналогу тождеств Уорда, что помогает анализировать их расходимости в пределе а ^ 0.
Теперь нужно добавить к действию «первой» формы теории контрчлены, компенсирующие расходимости диаграмм типа двуххвостой глюонной петли при Л ^ то и фиксирующие их конечные в этом пределе части так, чтобы они совпали с полученными с помощью размерной регуляризации «перенормированными» значениями, соответствующими «третьей» форме теории. Такие контрчлены не будут содержать дифференцирований, поскольку для указанных диаграмм Юц =0. Аналогично нужно поступить для диаграмм с одной вершиной и закороченными линиями с той разницей, что в «первой» форме теории они равны нулю, и значит, контрчлены будут содержать только конечную по Л часть. Важно, что диаграмм, для которых предлагается сделать такую процедуру, конечное (и не слишком большое) число. В результате получится, что все функции Грина «первой» формы теории (с учётом добавленных контрчленов) в пределе Л ^ то будут совпадать с соответствующими функциями Грина «третьей» формы теории.
Далее в настоящей работе мы будем исследовать только «третью» форму теории, т. е. будем считать что продольные расходимости уже устранены калибровочно инвариантным способом. Необходимо в первую очередь показать, что её функции Грина совпадают (после перенормировки) с перенормированными функциями Грина непрерывной теории, а нефизические поля отключаются.
После того, как это будет сделано, будет иметь смысл точно сформулировать «первую» форму теории, выбрав некоторую калибровочно неинвариантную продольную регуляризацию и вычислив необходимые диаграммы (см. выше). Функции Грина такой теории (с учётом добавленных контрчленов), при последовательном взятии пределов (сначала Л ^ то, затем а ^ 0), также будут совпадать с перенормированными функциями Грина непрерывной теории. Именно «первую» форму теории можно использовать для построения «исправленного» гамильтониана на СФ (см. введение) и проведения непертурбативных расчётов. Её точная формулировка выходит за рамки настоящей статьи.
Анализ нерасходящихся диаграмм. Покажем, что все не содержащие УФ-расходимостей диаграммы с внешними линиями типа А? в непрерывном пределе а ^ 0 (при этом т ^ то) либо совпадают с соответствующими диаграммами непрерывной теории, либо исчезают, что соответствует отключению нефизических степеней свободы.
Будем анализировать однонеприводимые диаграммы фейнмановской теории возмущений с описанными выше пропагаторами и членами взаимодействия. Будем считать, что сделан поворот Вика ко = гк4, т. е. совершён переход к вычислению диаграмм в евклидовом пространстве, а также введена дополнительная размерная регуляризация. Отметим, что после перехода к евклидову пространству связанный с калибровочным условием вектор п)1 становится комплексным: п4 = г/л/2, п3 = — 1/л/2, а входящий в пропагаторы (27), (28) вектор и1 оказывается комплексно сопряжённым к нему: и1 = и1*.
Важную роль при анализе диаграмм теории возмущений играет индекс УФ-расхо-димости Ю. В рассматриваемой теории из-за необычного вида пропагаторов и наличия «лишних» вершин его необходимо определить специальным образом. Рассмотрим произвольную многопетлевую диаграмму, символически записывая её в виде
В ^ д,к¥ (к). (32)
Найдем главный член асимптотики её подынтегрального выражения Г (к) при а ^ 0 при фиксированном т. Он будет иметь вид тУта'1аР(к), где Р(к) - обычное фейнма-новское подынтегральное выражение (вследствие формул (18), (19)), а ут и уа - некоторые неотрицательные числа, зависящие от вида диаграммы (они определяются количеством и типом «лишних» вершин). Предположим, что при а ^ 0 параметр т растёт как 1/а с точностью до логарифмических поправок (можно показать, что если этого предположения не сделать, то не удаётся достичь результата, сформулированного в конце этого пункта). Обозначим через ю' определяемый обычным способом индекс УФ-расходимости интеграла ^йкГ(к). Тогда будем называть обобщённым индексом расходимости данной диаграммы величину
Ю = Ю' + Ут — Уа. (33)
Далее будет видно, что именно эта величина определяет сходимость диаграмм в пределе а ^ 0 (напомним, что величина п/а играет роль обрезания по поперечным импульсам). Поскольку из-за нарушения лоренц-инвариантности расходимость в поперечных направлениях к\, кц может оказаться сильнее общей расходимости, полезно ввести также обобщённый индекс расходимости в поперечном направлении:
Ю± = Ю1 + Ут _ У а. (34)
Будем изучать поведение диаграмм при а ^ 0 и сделанном выше предположении
о поведении т(а). Ограничимся в этом пункте классом диаграмм с внешними линия-
ми, соответствующими полю а?, для которых обобщённые индексы ю, ю^ < 0 (равно как и продольный индекс Юц < 0) как для самой диаграммы, так и для любой её поддиаграммы. Поскольку Юц < 0, можно считать, что для таких диаграмм дополнительная размерная регуляризация снята. Отметим, что из ю, ю^ < 0 следует: ю, ю^ ^ — 1.
В качестве первого шага рассмотрим диаграммы, в которых отсутствуют как пропа-гаторы поля б?, так и «лишние» вершины. Отметим, что множество таких диаграмм
совпадает с множеством всех диаграмм, присутствующих в соответствующей непрерывной теории калибровочного поля с группой и(М). Для них уа = ут = 0, а значит, ю' = ю < 0 и ю^ = < 0. Подынтегральные выражения Г (к) таких диаграмм пред-
ставляют собой произведение пропагаторов (27) и вершинных множителей вида (см. определение в формулах (17), (18)) из вершин (30). Здесь к условно обозначает сразу все импульсы интегрирования. Разобьём соответствующий диаграмме интеграл на два слагаемых
в подынтегральное выражение, которое совпадает с обычным для непрерывной теории видом, а остаётся только в пределах интегрирования: импульс каждой линии ограничен условиями \к\,2\ ^ п/а. Поскольку все индексы ю', ю^, Юц < 0 (как для всей диаграммы, так и для её поддиаграмм), это слагаемое имеет конечный предел при а ^ 0, совпадающий с результатом вычисления соответствующей диаграммы непрерывной теории.
Теперь покажем, что второе слагаемое разложения (35) исчезает в пределе а ^ 0. Поскольку величины Г (к) и Р(к) представляют собой дроби, их разность можно привести к общему знаменателю. Числитель получившегося выражения можно представить в виде суммы, в каждом слагаемом которого можно выделить разность вида (щ — к^)п, п ^ 1. Поскольку импульсы линий ограничены условиями \к\,2 \ ^ п/а, для этой разности можно сделать оценку
где величина Г(к) имеет обычный фейнмановский вид, т. е. не содержит параметра а, а интеграл от неё имеет на п большие индексы ю', ю^, чем исходная диаграмма (увеличение индексов и появление множителя ап является следствием использования оценки (36)). Поскольку указанные индексы исходной диаграммы были отрицательны, такие индексы для правой части оценки (39) будут меньше либо равны п — 1, а значит, при а ^ 0 интеграл можно оценить как 1/ап-1. С учётом выделённого множителя ап это означает, что левая часть (39) исчезает в пределе а ^ 0, что и предполагалось показать.
В результате получаем, что диаграммы из рассматриваемого класса, в которых отсутствуют как пропагаторы поля Ва, так и «лишние» вершины, при а ^ 0 стремятся к значениям диаграмм соответствующей непрерывной теории калибровочного поля с группой и(М).
В
/
Зк Г (к)
/■
Зк ^(к) + Зк Г (к) — Р(к)) ,
/■
(35)
где Р(к) - предел Г (к) при а ^ 0. В первом слагаемом параметр а уже не входит
(36)
для остальных величин щ, стоящих в числителе, оценку
(37)
а для стоящих в знаменателе - оценку
(38)
Это позволяет получить оценку
(39)
В качестве второго шага рассмотрим оставшиеся диаграммы из указанного в начале пункта класса, т. е. такие, в которых присутствует хотя бы один пропагатор поля Ва или хотя бы одна «лишняя» вершина. Покажем, что такие диаграммы исчезают при а ^ 0. Если в диаграмме присутствуют пропагаторы поля Ва (пусть их число равно в ^ 0), сделаем для них всех в подынтегральном выражении оценку их евклидовой формы:
Для оставшейся части подынтегрального выражения сделаем, как и раньше, оценку (37) для величин п\, стоящих в числителе и оценку (38) для стоящих в знаменателе. В результате, значение диаграммы можно будет оценить как
где Р(к), как и раньше, имеет обычный фейнмановский вид.
Проанализировав вид «лишних» вершин в формуле (24), легко заметить, что разность ут — уа меньше либо равна числу вершин, соответствующих предпоследнему слагаемому (24) (вклад этой вершины в ут — уа равен единице, а остальных «лишних» вершин - меньше либо равен нулю). К указанной вершине должен подходить по крайней мере один пропагатор поля В^, в результате чего число таких вершин меньше либо равно удвоенному числу пропагаторов поля Ва (поскольку у рассматриваемого класса диаграмм внешние линии соответствуют только полю А^, но не Ва). В результате для характеристик диаграммы возникает неравенство
Будем нумеровать индексом г различные поддиаграммы (включая всю диаграмму) рассматриваемой диаграммы, обозначая относящиеся к ним характеристики через Ут, Уа, Р* (внешние по отношению к поддиаграмме линии считаем к ней не относящимися). Неравенство, аналогичное (42), нельзя написать для произвольной поддиаграммы, поскольку у неё могут быть соответствующие полю Ва внешние линии, но его можно написать для характеристик части диаграммы, не вошедшей в поддиаграмму, куда внешние линии поддиаграммы включаются:
Для всех поддиаграмм рассматриваемого класса диаграмм выполняются неравенства ю*, ю^ ^ —1, а значит, в соответствии с формулами (33), (34) верны неравенства
Индексы расходимости ю', ю^ оценивающего интеграла в формуле (41) на 2Р больше, чем у исходной диаграммы (32), поскольку в них не дают вклада Р-экземпляры оценённых формулой (40) пропагаторов. То же верно и для поддиаграмм. Это означает, что оценивающий интеграл, в свою очередь, можно с точностью до логарифмических поправок оценить как
1
(40)
\и\2 + т2
т2
(41)
Ут
(42)
(43)
(44)
Здесь берётся максимум по всем поддиаграммам, включая полную диаграмму, и используется формула (44). Подставляя оценку (45) в (41), получаем оценку для значения диаграммы в виде
max^(ma)Ym 2во,2в Ym+Ya, max ((ma)Ym 2вa1+2($ в) (Ym '!т)+('!а Ya)^.
Используя неравенство (43), эту оценку можно заменить на
(ma)Ym 2в max (a2e Ym+Ya
Ранее было предположено, что параметр m растёт как 1/a с точностью до логарифмических поправок. Используя это предположение и неравенство (42), можно заключить, что либо значение диаграммы стремиться к нулю, либо
2Р — Ym + Ya = 0; (46)
означает, что она ведет себя как (ma)Ya. На данном (втором) шаге рассуждений мы предполагаем, что в диаграмме присутствует хотя бы один пропагатор поля Ba (тогда в > 0) или хотя бы одна «лишняя» вершина (тогда Ya > 0). Но если в > 0, то из (46) следует, что и Ya > 0 (учитываем, что Ya не может быть равно нулю при Ym = 0). Поэтому заключаем, что если верно равенство (46), то Ya > 0, а значит значение диаграммы будет всегда стремиться к нулю при a ^ 0, если дополнительно предположить, что при этом произведение (ma) логарифмически стремится к нулю. Этого можно достичь, если, например, положить
т(а) = 1 t , (47)
a In —
где ц - параметр размерности массы.
Таким образом, можно заключить, что при выполнении (47) все диаграммы рассматриваемого в данном пункте класса (с внешними линиями типа A£, для которых ю, < 0 для всей диаграммы и всех её поддиаграмм) при a ^ 0 или исчезают,
или стремятся к значениям диаграмм соответствующей непрерывной теории калибровочного поля с группой U(N).
Найдем общий вид таких диаграмм. Если проанализировать вклады в определённую формулой (33) величину ю от пропагаторов (27)-(29), вершин из выражений (30), (31)
и «лишних» вершин из (24), то видно, что все пропагаторы внутренних линий (про-
д (АЛ)аЬ \ 0
пагатор может относиться только к внешним линиям) дают вклад «—2», все
трёххвостые вершины - «+1», а четырёххвостые - «0». Отсюда с помощью стандартных рассуждений можно заключить, что для одночастично неприводимых диаграмм верна обычная для непрерывной теории формула
ю = 4 — L,
где L - число внешних линий диаграммы. Можно также показать, что для величины ю^ верна оценка
ю^ ^ ю + L — — 2п = 4 + L — — L — 2n,
где n - число петель диаграммы, а L — - число внешних линий, соответствующих полю A (одночастично неприводимые диаграммы с такими внешними линиями не дают
вклада в функции Грина, но дают вклад в вершинные части Г, в терминах которых удобно формулировать аналог тождеств Уорда для рассматриваемой теории, что будет необходимо при доказательстве перенормируемости теории). Используя эти формулы, получаем, что к рассматриваемому в данном пункте классу относятся диаграммы с внешними линиями типа А^ для которых Ь > 4 и Ь— ^ 2п как для самой диаграммы, так и для всех её поддиаграмм. Именно для таких диаграмм верен полученный результат.
Кроме того, полученный результат верен также и для содержащих расходимости диаграмм после применения к ним некоторой процедуры вычитания, в результате которой индексы ю, ю^ станут отрицательными.
Схема процедуры перенормировки. Для того чтобы найти точную форму теории на решётке, которая в непрерывном пределе а ^ 0 превращается в обычную калибровочную теорию (содержащую как неабелеву, так и абелеву части), остаётся провести процедуру перенормировки, т. е. найти вид контрчленов к действию (7), обеспечивающих сокращение расходящихся частей всех диаграмм. В этой статье мы ограничимся лишь описанием схемы такой процедуры. Напомним, что, как сказано выше, мы исследуем калибровочно инвариантную «третью» форму теории, в которой продольные расходимости уже устранены.
Перенормировка неабелевой калибровочной теории (без введения решётки) в светоподобной калибровке А— =0 с использованием размерной регуляризации была проведена в работе [18] (также [19]). Из-за нарушения калибровкой лоренц-инвариантности при анализе расходимостей диаграмм возникает дополнительная трудность: расходимость по поперечным импульсам р\,р2 может оказаться хуже, чем полная расходимость диаграммы (например, вид пропагатора (27)). В результате расходящиеся части диаграмм могут, в принципе, содержать неполиномиальные по импульсам части [18].
Для проведения перенормировки теории с использованием решёточной регуляризации, прежде всего, нужно сформулировать процедуру вычитания. С её помощью нужно получить зависимость расходящихся частей диаграмм от внешних импульсов. В теории возмущений решёточная регуляризация сводится к появлению поля Вк, модификации пропагатора поля А^ (такой, что при а ^ 0 он возвращаются к обычному виду), добавлению некоторого числа вершин и обрезанию по поперечным импульсам. Это позволяет ожидать, что в основном расходящиеся части диаграмм являются полиномами не выше второго порядка по внешним импульсам, порядок которых определяется обычными размерными соображениями. Исключения могут возникнуть только для небольшого числа диаграмм, в которых присутствует расходимость по поперечным импульсам.
Далее, поскольку теория обладает калибровочной инвариантностью (еще раз отметим, что продольные расходимости устранены калибровочно инвариантным способом), можно сформулировать для неё аналог тождеств Уорда. Если записать их в терминах вершинной части Г[А^,Вк] (являющейся производящим функционалом для одночастично неприводимых функций Грина), то в них войдут, в частности, одночастично неприводимые диаграммы с внешними линиями, соответствующими полю А— . Именно поэтому при формулировке теории, в отличие от работы [4], не было сразу положено А— = 0, а вместо этого вводилось поле Л (25), несмотря на то, что указанные диаграммы не дают вклада в полные функции Грина поля А^.
Кроме калибровочной симметрии, приводящей к выполнению аналога тождеств Уорда, необходимо также при анализе расходимостей диаграмм учесть оставшиеся не нарушенными пространственные симметрии. Это вращательная симметрия в продольном пространстве кз,к4 (для евклидовой формы теории), а также симметрия
относительно дискретной группы поворотов на четверть оборота в поперечном пространстве к1,к2, (9)—(11). Следует учесть, что из-за фиксации калибровки расходящиеся части могут содержать постоянные векторы nц, пц, входящие в пропагатор (27), однако только в комбинации, инвариантной относительно умножения пц на число с одновременным делением Пц на это число (такой инвариантностью обладает пропагатор (27)).
Можно ожидать, что использование аналога тождеств Уорда даст такие ограничения на вид расходящихся частей диаграмм, что компенсирующие расходимости контрчлены будут калибровочно инвариантны. Кроме того, эти контрчлены должны не нарушать имеющиеся пространственные симметрии. Предварительный анализ показывает, что в процессе перенормировки это приводит к обычному перерастяжению полей Ac , Ak, Bk (причём независимому для их абелевой и неабелевой частей) и перенормировке константы связи д, а также к появлению в действии (7) ренормировочных коэффициентов перед разными частями слагаемых L3 (9) и Lm. Возможно появление в действии и ещё нескольких удовлетворяющих всем симметриям членов, в частности, содержащих векторы пц,Пц, как это было обнаружено в [18]. Таким образом, при перенормировке теории на поперечной решётке возникнет некоторое количество неизвестных коэффициентов, что является следствием нарушения полной лоренц-инвариантности решёткой и появлением нефизических полей. Точный вид всех возникающих контрчленов может быть получен только после полного построения процедуры перенормировки теории с поперечной решёткой.
Литература
1. Dirac P.A.M. Forms of relativistic dynamics // Rev. Mod. Phys. 1949. Vol. 21. P. 392-399.
2. Brodsky S. J., McCartor G., Pauli H. C., Pinsky S. S. The challenge of light cone quantization of gauge field theory // Part. World. 1993. Vol. 3. P. 109-124.
3. Burkardt M., Langnau A. Hamiltonian formulation of QED in (2+1)-dimensions on the light cone // Phys. Rev. (D). 1991. Vol. 44. P. 1187-1197; Iidem Rotational invariance in light cone quantization // Ibid. P. 3857-3867.
4. Пастон С. А., Франке В. А. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лоренцевых координатах // Теор. мат. физика. 1997. Т. 112. № 3. С. 399-416. (arXiv: hep-th/9901110).
5. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Гамильтонов формализм на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, эквивалентный лоренц-ковариантному подходу // Там же. 2002. Т. 131. № 1. С. 84-97. (arXiv: hep-th/0302016).
6. Они же. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах светового фронта // Ядерн. физика. 2005. Т. 68. № 2. С. 1-12. (arXiv: hep-th/0501186).
7. Pirner H.-J. The color dielectric model of QCD // Prog. Part. Nucl. Phys. 1992. Vol. 29. P. 33-86.
8. Bardeen W. A., Pearson R. B. Local gauge invariance and the bound-state nature of
hadrons // Phys. Rev. (D). 1976. Vol. 14. N 2. P. 547-551.
9. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. К построению гамильтониана КХД в координатах светового фронта // Теор. мат. физика. 1999. Т. 120. № 3. С. 417-437.
10. Burkardt M., Dalley S. The relativistic bound state problem in QCD: transverse lattice methods // Prog. Part. Nucl. Phys. 2002. Vol. 48. P. 317-362.
11. Dalley S. Transverse lattice // Nucl. Phys. roc. Suppl. 2000. Vol. 90. P. 227-232.
12. Idem. Introduction to transverse lattice gauge theory // AIP Conf. Proc. 1999. Vol. 494.
P. 45-64.
13. Franke V. A., Paston S. A., Prokhvatilov E. V. Lattice gauge theories with polynomial action and their canonical formulation on the light front // arXiv: hep-th/9803035.
14. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Калибровочно-инвариантная регуляризация квантовой теории поля на световом фронте // Теор. мат. физика. 2004. Т. 139. № 3, С. 429-447.
15. Mandelstam S. Light cone superspace and the ultraviolet finiteness of the N = 4 model // Nucl. Phys. (B). 1983. Vol. 213. P. 149-168.
16. Leibbrandt G. Light-cone gauge in Yang-Mills theory // Phys. Rev. (D). 1984. Vol. 29. N 8.
P. 1699-1708.
17. Collins J.C. Renormalization. An introduction to renormalization, the renormalization group and the operator product expansion. Cambridge: Univ. Pr., 1984.
18. Bassetto A., Dalbosko M., Soldati R. Renormalization of the Yang-Mills theories in the
light-cone gauge // Phys. Rev. (D). 1987. Vol. 36. N 10. P. 3138-3147.
19. Bassetto A., Nardelli G., Soldati R. Yang-Mills theories in algebraic noncovariant gauges: Canonical quantization and renormalization. Singapore: World Scientific, 1991.
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
