Упрощенный метод вычисления суперграфов, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145

УПРОЩЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ СУПЕРГРАФОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ДВУХТОЧЕЧНУЮ ФУНКЦИЮ ГРИНА КАЛИБРОВОЧНОГО ПОЛЯ

Е.А. Андрияш, А. Б. Пименов, К. В. Степаньянц

(.кафедра теоретической физики) E-mail: stepan@theor.phys.msu.su

Предложен новый способ вычисления суперграфов, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля, который позволяет значительно упростить проведение вычислений. Метод иллюстрируется на примере двухпетлевых диаграмм в N = 1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными.

Введение

Исследование квантовых поправок в суперсимметричных теориях представляет собой интересную, а во многих случаях и весьма нетривиальную задачу. Учитывая, что в настоящее время существуют косвенные экспериментальные доказательства существования суперсимметрии [1], особенную актуальность приобретает вопрос о построении простого и эффективного метода вычисления квантовых поправок. Существенным упрощением для суперсимметричных теорий является использование метода суперграфов, который сохраняет суперсимметрию на каждом шаге вычислений. Однако во многих случаях даже вычисление суперграфов представляет значительную сложность. Поэтому было бы желательно попытаться каким-то образом упростить вычисления.

В настоящей работе мы рассматриваем диаграммы Фейнмана, которые определяют двухточечную функцию Грина калибровочного поля и, в частности, /3-функцию. Такие вычисления во многих случаях представляют значительный интерес, например при исследовании проблемы аномалий [2] или проверке [3-5] так называемой точной /3-функции Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова [6]. Для рассматриваемых диаграмм мы предлагаем способ вычисления суперграфов, значительно упрощающий технику расчета. Предлагаемый метод применим как для суперсимметричной теории Янга-Миллса, так и для суперсимметричной электродинамики. Однако для простоты изложения мы будем формулировать и применять этот метод для N = 1 суперсимметричной электродинамики.

1. N = 1 суперсимметричная

электродинамика и ее регуляризация с помощью высших производных

N = 1 суперсимметричная электродинамика в суперпространстве описывается следующим дейст-

вием:

SQ = ¿ Re Jd4x d20 WaCabWh +

Jéx d4B [ф*е2Уф + ф*е~2Уф) + (1)

Jd4x d26 тфф + ^ Jd4x d2ë тф*ф*.

При этом ф и ф — киральные суперполя, которые в качестве компонент содержат скалярные и епи-норные поля и в рассматриваемой модели имеют одинаковую массу m, V есть вещественное скалярное суперполе, которое в качестве одной из компонент содержит калибровочное поле Ам, а суперполе Wa представляет собой суперсимметричный аналог тензора напряженности калибровочного поля и в абелевом случае определяется как

Wa = ^D(l^l5)D[(l+l5)DaV), (2)

где

D = (з)

— суперсимметричная ковариантная производная. Через СаЬ в формуле (1) обозначена матрица зарядового сопряжения.

Для регуляризации модели (1) мы будем использовать метод высших ковариантных производных. (В принципе можно было бы использовать и метод размерной редукции [7], но поскольку этот метод является математически противоречивым [8], то мы предпочтем использовать непротиворечивую регуляризацию высшими производными.) При регуляризации высшими производными действие модели модифицируется следующим образом:

Sg —)■ S = Sg + 5л = = ¿Re Jd4xd26WaCab (l + Щ Wb+

+ 1 jd4xd40 («ф*е2Уф+~ф*е-2У~ф) + (4)

Jd4x d20тфф + ^ Jd4xd2вmф*ф*,

где Л — параметр регуляризации, который имеет размерность массы. При этом поскольку в абелевом случае суперполе Ша является калибровочио инвариантным, то в регуляризующем слагаемом стоят обычные, а не ковариантные производные.

Квантование модели (4) может быть выполнено стандартным образом [9] при использовании метода суперграфов. Мы не будем останавливаться на деталях метода, заметим лишь, что калибровочную инвариантность удобно фиксировать добавлением следующих слагаемых:

% =

64е2

d4xd40 I VDZDZ I 1

2n2

д2п Л2»

F+

(5)

где

/Я = !/.)( 1 = (6)

поскольку после добавления таких членов квадратичная по суперполю V часть действия будет иметь наиболее простой вид

gauge + <5gf = / V9 ( 1 + ~д2п ) ^ (7)

$2п

Л2»

В рассматриваемом здесь абелевом случае диаграммы, содержащие духовые петли, отсутствуют.

Тем не менее хорошо известно [10], что добавление слагаемого с высшими производными не ре-гуляризует остаточные однопетлевые расходимости, для регуляризации которых необходимо добавлять в производящий функционал детерминанты полей Паули-Вилларса:

Я [ DVD<t>D4>\\ {det PV{V,Mi))Ci х

J г (8)

х exp (i(Sien + Sgf + Sources)).

При этом перенормированное действие 5геп определяется формулой

'^Vei I —

4е2

Z3(e, А//г) Re f d4x d20 WaCab (1 + — ) Wh

d2n A2n

+Z(e,A/n)^ I d4xd4e(<f>*e2V<

l*e-2V

+ -j d4xd2вmфф + -j d4xd2вmф*ф*, (9)

где учтено, что в силу теоремы о неперенормировке [9] в теории возмущений отсутствует перенормировка массового слагаемого. Действие для членов, фиксирующих калибровку дается формулой (5), детерминанты Паули-Вилларса определяются как

(det PV(V,M)Y

= /

БФБФ exp (iSpv), (Ю)

где

1

SpV = Z(e, A/n)j j d4xd40 (Ф*е2УФ + Ф*е-2У'

~ id4xd29M+ ^ I d4x d20 МФ*Ф*

2 J 2

а коэффициенты Cj удовлетворяют условиям

i- J>M2 = O.

(Н)

(12)

Далее мы будем предполагать, что Л/; = щА, где щ — некоторые постоянные. Члены с источниками в формуле (8) записываются в виде

Sources = ld4xd40JV

d4xd20

d4xd2в(j*ф* +]*ф*У (13)

Вставка детерминантов Паули-Вилларса позволяет сократить остаточные расходимости во всех од-нопетлевых диаграммах, в том числе в диаграммах, содержащих контрчленные вставки.

Для получения эффективного действия необходимо вычислить все одночастично неприводимые диаграммы в рассматриваемом порядке теории возмущений, выражения для которых строятся при помощи правил Фейнмана, которые для рассматриваемой теории могут быть сформулированы следующим образом.

1. Внешним линиям соответствует множитель

д j (Рреу

Е

(2тг)/

-v(pev)x-

х/щг^)---^)4* [I>

(14)

где индекс Е нумерует внешние импульсы.

2. Каждой внутренней линии суперполя V соответствует пропагатор

8е2 4

(к2 + ¿0) (1 + (^1)пк2п/А2п)^ ^ ~62)' (15)

3. Каждой внутренней линии ф — ф* или ф — ф* соответствует пропагатор

—D2D284(01 ^e2).

(16)

16(£2 + Ю)"

(Заметим, что действие рассматриваемой теории квадратично по суперполям материи, что позволяет сформулировать более простые правила Фейнмана по сравнению с правилами Фейнмана для модели Весса-Зумино.)

4. Поля Паули-Вилларса присутствуют только в замкнутых петлях. При этом каждой внутренней линии Ф — Ф* или Ф — Ф* соответствует пропагатор

—D2D2s4(e1^e2),

Щк2 -М2 + ¿0)

(17)

а каждой внутренней линии Ф — Ф или Ф* — Ф*

М;

1)284{в г^в2)

ф2 + ¿0) Л/;

[ -

4(к2 -М2 + ¿0)

о28\9 х-02)

(18)

соответственно. Также для каждой замкнутой петли полей Паули-Вилларса необходимо добавить ^^ ц.

г

5. Каждой замкнутой петле соответствует интегрирование по петлевому импульсу / .

6. Каждая вершина дает интегрирование по соответствующей антикоммутирующей переменной в: ¡ё4в.

7. Для каждой диаграммы необходимо определить числовой коэффициент, который может быть найден, например, при помощи разложения производящего функционала (8) в ряд по теории возмущений.

2. Упрощенный метод вычисления суперграфов

Используя антикоммутационные соотношения для суперсимметричных ковариантных производных, несложно свести произвольную диаграмму, дающую вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного поля, к виду

= <18х1<18х2У(х1)х

х (д2П1/2Р(д2)8812 + С(92)^2) У(х2),

(19)

где Р{д2) и С{д2) — некоторые функции. В импульсном представлении это может быть переписано в более привычной форме:

ЛЛАА, =

й4р

ё4вУ(^р,в)х

(2тг)4 ~ " ' 4 (20)

х(д2П1/2Р(р2) + 0(р2))У(р,в).

При этом первое слагаемое в этом выражении представляет собой калибровочно инвариантную часть амплитуды (которая удовлетворяет суперсимметричному тождеству Уорда), а второе — неинвариантную. Конечно, после суммирования всех возможных диаграмм данного порядка теории возмущений все неинвариантные члены должны сократиться.

Суть предлагаемого в работе метода состоит в том, что в исходном выражении для суперграфа, которое строится в соответствии со сформулированными выше правилами Фейнмана, мы производим замену произведения У{х\)У{х2) на следующее выражение:

У(х1,в1)-У(х2,в2)^ —> -2У(хъ в1)д2п1,2у{х1, вг) • ¿«2.

(21)

На языке диаграмм описанная процедура эквивалентна ампутации внешних фотонных линий и соединению ранее содержавших их вершин некоторым эффективным «пропагатором» (крестиком условно обозначается вершина, куда мы «сдвигаем» аргументы волновых функций):

ЛЛЛЛ/4*

(22)

Этому «пропагатору» необходимо сопоставить эффективное правило Фейнмана:

12-

При этом, как оказывается, выражение для инвариантной части диаграммы не изменится, а неинвариантная часть исчезнет. Действительно, совершим замену (21) в амплитуде (19). Тогда

= -2 / й8х1й8х2 х

(23)

х («П 1/2Р(д2) + 88120(д2)) 882. Второе слагаемое тождественно обращается в нуль:

<?х2 [Угд^Уг] (С(д22)8812) 6*12 = = Iё8Х1 й8х2 х (24)

х {о(д2)б412) ё42 ■ б4(в1 - в2)б4(в1 - е2) = о.

Для преобразования первого слагаемого в (23) воспользуемся известными тождествами:

д22П1/2 = д2

о2Щ

ЩЩ

16 16 5 (25) 84(вг - в2)02Г)284(в1 - 02) = 484(вг - в2). (26)

Тогда окончательно получаем, что рассматриваемая диаграмма, содержащая эффективный «пропагатор», оказывается равной

= / ё4в

й4х\ й4х2 X

(27)

х [У(хъв)д2П1/2У(хъв)] 8412Р(д2)8412.

Итак, мы видим, что описанный метод позволяет вычислить инвариантную часть исследуемого суперграфа (что и нужно при конкретных расчетах). При этом процедура вычисления значительно упрощается за счет того, что теперь в подынтегральном выражении появляется дополнительная дельта-функция 882, а волновые функции, соответствующие внешним фотонным линиям, оказываются сдвинутыми в одну точку суперпространства, что существенно облегчает снятие производных Б2 и I)2 с дельта-функций в подынтегральном выражении амплитуды.

3. Двухпетлевая двухточечная функция Грина калибровочного поля для N = 1 суперсимметричной электродинамики

В качестве иллюстрации предлагаемого метода вычислим двухпетлевые диаграммы с двумя внешними фотонными линиями и сравним полученные результаты с вычислениями, проведенными в соответствии с общими правилами Фейнмана в работе [3].

Следует сразу отметить, значительное число диаграмм немедленно оказываются равными нулю, что говорит о том, что эти суперграфы несут чисто неинвариантный вклад. В частности, равными нулю оказываются диаграммы, имеющие внешние фотонные линии, выходящие из одной вершины типа Ф^2Ф:

= 0.

(28)

В нуль обращаются также диаграммы, содержащие вершины типа Ф^3Ф:

= 0.

(29)

Зануляются также диаграммы, в которых вершины соединены фотонным пропагатором. В частности,

(30)

В двухпетлевом приближении нетривиальный вклад дадут следующие диаграммы:

'ЧААЛ/^^^^^^ААЛЛ/

(31)

В новом формализме им соответствуют диаграммы:

^■у. £0. (32)

Вычислим в качестве примера первую диаграмму, изображенную на рисунке (32). В соответствии с новыми правилами Фейнмана она дает следующий вклад:

= /<*8ж3 (И^Щ/зИ) X

4 (д2 + т2) 4 (д2 + т2)

8

2\°13"

2е

4 (д2 + т2)

д2

1

д2п Л2»

А82-<*13- (33)

Переписывая выражение (33), явно выделяя в ¿8 части, относящиеся к пространственным и антиком-мутирующим в переменным, с использованием формулы (26) получим, что рассматриваемая диаграмма может быть записана в виде

= ^2 [й4в \й4хх й4х2й4хъ (У(х1,в)д1и1/2У(х1,в))х

1

д2 + т 1

т2

:ё4(х 1 -х2)

92

8 (®1 ^з)

ё4(х2 -х3) х

6 (х 1 -ж2) X

х64(х 1-®з). (34)

Переходя затем в импульсное представление, переписываем это следующим образом:

= ^2

2г

к2( 1 + ("1)

П ¡¡2п Л2»

х__

(д2 — т2) ((к + д)2 — т2) ((р + д)2 — т2) Вычисления оставшихся диаграмм производится аналогично. Соответствующие результаты приведены в Приложении и совпадают с результатами работ [3, 4]. Суммарный двухпетлевой вклад в эффективное действие оказывается равным

(АГ)2_1ООР^2 х(У(р,в)д2 П1/2У(-р,в))

к2 (1 + (-1)

(д2 — т2) {{к + д)2 — т2) {{р + д)2 — т2) 2 т2

(д2 — т2)2 {{к + д)2 — т2) {{р + д)2 — т2)

2-рПх

^2 { + + (Р+1)2 +12

х [(д2 — т2) ((к + д)2 — т2) {(р + д)2 — т2) х

х ((к +р + д)2 — т2)]^1 + +т2 [(д2 — т2) ((к + д)2 — т2) ((р + д)2 — т2) х

х ((к + р + д)2 ^ т2)]'1) . (36)

Его дальнейшее вычисление сводится к вычислению обычных интегралов и может быть найдено в [3, 4].

Таким образом, предложенный метод позволяет получить те же самые результаты, что и стандартное вычисление суперграфов, но со значительно меньшими техническими сложностями.

Заключение

В настоящей работе предложен метод вычисления суперграфов, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля, который позволяет существенно упростить наиболее технически сложные части вычисления. Это упрощение связано с тем, что в диаграмме появляются две лишние совпадающие точки вместо внешних линий. Однако недостатком предлагаемого метода является то, что он не позволяет вычислять неинвариантные части диаграмм. Несмотря на то что результат для суммы диаграмм всегда является инвариантным, сокращение неинвариантных членов часто используются для проверки правильности вычислений. Однако, по нашему мнению, технические упрощения в высших петлях оказываются столь существенными, что позволяют забыть об этом недостатке.

Несмотря на то что предложенный метод был сформулирован и проиллюстрирован на примере N = 1 суперсимметричной электродинамики, ре-гуляризованной высшими производными, он также применим и к суперсимметричным теориям Ян-га-Миллса и не чувствителен к регуляризациям. В частности, его можно использовать в теориях, регуляризованных как размерной редукцией, так и регуляризацией высшими производными или неинвариантными регуляризациями [11, 12].

Приложение

Приведем выражения для оставшихся двухпетлевых диаграмм в импульсном представлении:

'd4pd4kd4q

12 (У(р,в)д2П1/2У(-р,в))х

1

(q2 — т2) ((k + q)2 — m2) ((p + q)2 — m2) 2m,2

(q2 — m2)2 ((k + q)2 — m2) ((p + q)2 — m2)

• (37)

x (v(p,e)d2n1/2v(^p,e)) ——-—-

x (j [(k+p+q)2 + (k + qf + (p + qf + <?2] - Ir -p2} x

[(g2 — m2) ((k + q)2 — m2) ((p + q)2 — ш2) x

x [(k + p+q)2 — m2)] * —

—2m2 [(g2 — m2) ((к + q)2 — m2) ((p + q)2 — ш2) x

x ((k+p + q)2 -m2)}'1). (38)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-00126).

Литература

1. Nilles Н.Р. // Phys. Rept. 1984. НО. Р. 1.

2. Novikov V.A., Shifman М.А., Vainstein A.I., Zakharov V.l. // Phys. Lett. 1985. 157В. Р. 169.

3. Soloshenko A.A., Stepanyantz K.V. // E-print hep-th/0203118.

4. Солошенко A.A., Степаньянц K.B. // ТМФ. 2003. 134. C. 429.

5. Солошенко A.A., Степаньянц K.B. // ТМФ. 2004. 140. C. 437.

6. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainstein A.I., Zakharov V.l. // Phys. Lett. 1985. 166B. P. 329.

7. Siegel W. // Phys.Lett. 1979. 84B. P. 193.

8. Siegel W. // Phys. Lett. 1980. 94B. P. 37.

9. Уэст П. // Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М„ 1989.

10. Славное A.A., Фаддеев Л.Д. // Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М., 1988. И. Славное A.A., Степаньянц К.В. // ТМФ. 2003. 135. С. 265. 12. Славное A.A., Степаньянц К.В. // ТМФ. 2004. 139. С. 179.

Поступила в редакцию 28.04.04