Уравнения Швингера-Дайсона для n = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145

УРАВНЕНИЯ ШВИНГЕРА-ДАИСОНА ДЛЯ N = 1 СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ ЯНГА-МИЛЛСА

А. А. Солошенко*^, К. В. Степаньянц

(.кафедра теоретической физики) E-mail: stepan@phys.msu.su

Для N = 1 суперсимметричной теории Яига-Миллса построены уравнения Швин-гера-Дайсона.

Введение

Исследование структуры квантовых поправок в суперсимметричных моделях квантовой теории поля является интересной и весьма нетривиальной задачей. Несмотря на то что многие вопросы уже давно детально исследованы [1], до сих пор остается ряд проблем, которые так и не нашли своего решения. К ним относится, например, строгий вывод точной во всех порядках ¡3-функции. Ее вид был угадан в работе [2] на основе исследования структуры инстантонных вкладов.

Многочисленные петлевые вычисления (например, [3-5]), которые, как правило, проводились с использованием размерной редукции и схемы минимальных вычитаний, показали, что точная ¡3-функция может быть получена, если специальным образом подобрать схему вычитаний. Проводились также двухпетлевые вычисления с помощью дифференциальной перенормировки [6]. При использовании регуляризации высшими ковариант-ными производными [7-9] оказалось возможным достаточно легко получить схемно независимую функцию Гелл-Манна-Лоу. (Вычисления были проведены вплоть до трехпетлевого приближения [1012].) При этом была установлена интересная закономерность: все интегралы, которые определяют эту функцию, являются интегралами от полных производных. Впервые такая закономерность была замечена в работе [12]. Впоследствии в абелевом случае ее частично удалось объяснить, используя метод, основанный на подстановке решений тождеств Уорда в уравнения Швингера-Дайсона [13, 14]. При этом точная ¡3-функция получается, если предположить справедливость некоторого нового тождества для функций Грина, которое не следует из калибровочной инвариантности или суперсимметрии. Это тождество является нетривиальным в трех и более петлях. Ряд проверок [15, 16] показал его справедливость как в абелевом, так и в неабелевом случае. Кроме того, вычисления в неабелевых калибровочных теориях [17] показа-

ли, что даже в чистой теории Янга-Миллса при использовании регуляризации высшими ковариант-ными производными все интегралы, определяющие функцию Гелл-Манна-Лоу, являются интегралами от полных производных. Тем не менее остается вопрос о том, как можно вычислять вклад калибровочного суперполя и духов точно во всех порядках теории возмущений? По аналогии со вкладом суперполей материи было бы разумно предположить, что это можно сделать с помощью уравнений Швингера-Дайсона и тождеств Славнова-Тейлора. При этом первым шагом должно стать построение уравнений Швингера-Дайсона для N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Этой цели посвящена настоящая работа.

N = \ суперсимметричная теория Янга-Миллса и ее квантование с помощью метода фонового поля

N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса в суперпространстве описывается следующим действием:

1

5=2^Retr

d4x d2ÖWaCabWb,

(1)

где С — матрица зарядового сопряжения, суперполе

1

представляет собой суперсимметричный аналог тензора напряженности калибровочного поля, V — вещественное скалярное суперполе, а В — суперсимметричная ковариантная производная. В наших обозначениях калибровочное суперполе V раскладывается по генераторам калибровочной группы ТА как V = е УАТА, где е — константа связи.

Действие (1) инвариантно относительно калибровочных преобразований

-2V

где А — произвольное киральное суперполе.

Объединенный институт ядерных исследований, лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова. 141980, г. Дубна Московской обл., Россия.

Для квантования этой модели удобно использовать метод фонового поля. Это связано с тем, что метод фонового поля позволяет проводить вычисления эффективного действия, явно не нарушая фоновую калибровочную инвариантность. В применении к суперсимметричному случаю он может быть сформулирован следующим образом [1, 18]: осуществим в действии (1) замену

,21/

Ж

■en+e2Ven,

(2)

где П — фоновое скалярное суперполе. Получившаяся теория будет инвариантна относительно фоновых калибровочных преобразований

V ->■

eiKene-ik;

JKye-iK.

eiK+en+e-iK

(3)

где К — произвольное вещественное суперполе, а А — произвольное киральное суперполе.

Построим киральные ковариантные производные

D

-Я"1

De

D

>uDe

При действии на некоторое поле X, которое преобразуется по закону эти ковариантные производные будут меняться точно так же. Тогда несложно убедиться, что после замены (2) действие (1) перейдет в

^¿trRe

d4x d26 Wa W„

64e2

trRe

d4x d4B

\6(e Dae ) Wa +

+ (e-2VDae2V)D2(e-2VDae2V) , (4)

где

Wa = -enD2{

ii, n

Dae

-a

При этом ковариантные производные поля V, лежащего в присоединенном представлении, определяются стандартным образом.

Мы будем фиксировать калибровку добавлением слагаемых

1 ' ~ ^ d4xd4в{VD¿D¿V + VD¿D¿V

Sgf —

32е2

trRe

(5)

Соответствующее действие духов Фаддеева-Попова будет

5§/г = / dAx d4в(c+c+)VAd [(с+с+) + сШ УАё(с-с+)] ,

(6)

где индекс Ай означает, что суперполе V раскладывается по генераторам присоединенного представления калибровочной группы, а поля с и с являются фоновыми киральными полями. (Мы не раскладываем их по генераторам, а рассматриваем как столбцы, которые нумеруются индексом, соответствующим калибровочной группе.) Кроме того,

процедура квантования также требует добавления действия для духов Нильсена-Каллош:

56 = -Дг [ d4x d4в ь+епмепм Ь0, (7)

4е2

где ¿о — антикоммутирующее киральное суперполе в присоединенном представлении калибровочной группы [1].

Построим производящий функционал следующим образом:

z\j,m =

Dji х

(8)

х exp < iS + i

d4xd4ej(V'[V, fl) - V)+i Sources

где

S = S + Sgf + Sgfi + Si,;

e2V = en+en, а через Sources обозначены дополнительные источники, которые по тем или иным соображениям желательно ввести. С помощью функционала Z[J, J7] можно построить производящий функционал для связных функций Грина и эффективное действие. Вычисляя слагаемые, которые соответствуют двухточечной функции Грина фонового поля, можно получить выражение для функции Гелл-Манна-Лоу.

Заметим, что при построении производящего функционала мы пока не вводили регуляризацию. Поэтому приводимые далее рассуждения имеют достаточно формальный характер. Для того чтобы вычислять точную функцию Гелл-Манна-Лоу с помощью метода, предложенного в работе [13], необходимо использовать регуляризацию высшими производными, которая позволяет осуществлять дифференцирование по параметру регуляризации А. Детально такая регуляризация описана в работе [17]. Ее влияние на дальнейшие результаты мы пока не исследуем.

2. Уравнения Швингера-Дайсона

Несложно убедиться [14], что уравнения Швингера-Дайсона в методе фонового поля записываются в виде

5Г ' 5-S\V,V^}), (9)

SVr

svr

где угловые скобки означают обычное функциональное усреднение, а в окончательном результате необходимо положить поле V (аргумент эффективного действия) равным 0. Явное выполнение дифференцирования по полю V приводит к сложным и громоздким выражениям. Однако мы хотим только построить метод вычисления величины (I 5Г

din A SVjtSVA

(10)

Р=о

поэтому в уравнении (9) можно оставить только те слагаемые, которые дадут в нее вклад. В частности,

поскольку функция Грина (10) очевидно пропорциональна 5АВ, то можно отбросить все слагаемые, в которые входят

[Р¥,Я¥], (11)

где Р и 0 — некоторые операторы, которые не содержат квантовое поле V. Поэтому ковариантные производные и фоновую напряженность калибровочного поля можно заменить следующими выражениями:

Оа^Оа+[ОаУ,]-, £)а Ьа - [А, V, ] ; \¥а^1-В2оа¥.

После этого уже можно провести дифференцирование в формуле (9). При этом необходимо помнить, что зависимость действия духов от фонового поля связана с тем, что духи (а также антидухи и духи Нильсена-Каллош) являются фоново киральными полями и могут быть представлены в виде

с = еПмс0\ с+ = е^{2лас+,

где поля Со и Сд уже являются обычными киральными или антикиральными полями. Пренебрегая слагаемыми вида (11), после несложных преобразований получаем, что

5Г/55 55Д

5¥ \5¥ 5¥ ё¥ 5¥ /' { }

где

^ = (13)

Ш = Тб~е{гТЛ ([У> ^^ - [У' ^^ +

+ 2[£>21/,£>21/]); (14)

<15)

(16)

где (ТА)вс = —¡¡Авс — генераторы присоединенного представления калибровочной группы, а -тензор напряженности, построенный по полю V', который удовлетворяет тождеству Бьянки [1]:

_ |Га; е-2У'Вае2У'}=Ьа{е-2У'^'ае2У'),

где ¥>: = -ОЦе2У'Вае-2У')/8.

В уравнении (12) содержатся корреляторы, которые достаточно сложно вычислить точно во всех порядках теории возмущений. При этом наибольшую сложность представляет нелинейный оператор, который стоит в правой части формулы (13). Однако при калибровочных преобразованиях он меняется по закону

tr TADa{e2V'w'e-2V') ^

^ (e-iA+M)AB tr TBDa{e2V'W'e-2V'), (17)

что при переходе к квантовой теории существенно ограничивает структуру его вакуумного среднего. Возможно, что для вычисления этого вакуумного среднего необходимо, как и при исследовании вклада суперполей материи, ввести некоторые дополнительные источники, которые позволили бы записать рассматриваемый оператор в несколько более простом виде. В настоящее время эта работа находится в стадии исследования.

Заключение

Построенные в этой работе уравнения Швинге-ра-Дайсона для N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса можно рассматривать в качестве исходной точки для исследования вклада калибровочных полей и духов в функцию Гелл-Манна-Лоу точно во всех порядках теории возмущений. Такое исследование должно также использовать тождества Славнова-Тейлора. Однако для его проведения необходимо преодолеть сложности, связанные с бесконечным числом эффективных диаграмм Фейнмана, которое следует из неполиномиальности действия.

Литература

1. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию, М., 1989.

2. Novikov V., Shifman М., Vainstein A., Zakharov V. // Phys. Lett. 1985. 166B. P. 329.

3. Avdeev L., Tarasov O. // Phys. Lett. 1982. 112B. P. 356.

4. Jack I., Jones D., North C. // Nucl. Phys. 1996. B473 P. 308.

5. Jack I., Jones D., North C. // Phys. Lett. 1996. 386B. P. 138.

6. Mas J., Perez-Victoria M., Seijas C. // JHEP. (2002). 0203. P. 049.

7. Славное A. // ТМФ. 1975. 23. C. 3.

8. Bakeyev Т., Slavnov A. // Mod. Phys. Lett. 1996. All. P. 1539.

9. West P. U Nucl. Phys. 1986. B268. P. 113.

10. Soloshenko A., Stepanyantz K. // E-print: hep-th/ 0203118.

11. Солошенко А., Степаньянц К. // ТМФ. 2003. 134. С. 429.

12. Солошенко А., Степаньянц К. // ТМФ. 2004. 140. С. 437.

13. Степаньянц К. // ТМФ. 2005. 142. С. 37.

14. Степаньянц К. // ТМФ. 2007. 150. С. 442.

15. Пименов А., Степаньянц К. // ТМФ. 2006. 147. С. 290.

16. Степаньянц К. // ТМФ. 2006. 146. С. 385.

17. Pimenov A., Stepanyantz К. // E-print: hep-th/ 0707.4006.

18. Gates J., Grisaru M., Rocek M., Siegel W. // Front. Phys. 1983. 58. P. 1.

Поступила в редакцию 07.09.2007