CC BY
7
Новое соотношение, связывающее функции Грина N = 1 суперсимметричной электродинамики
К. В. Степаньянца, Е.С. Шевцова
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: "[email protected]
Статья поступила 07.09.2008, подписана в печать 12.11.2008.
Для N = 1 суперсимметричной электродинамики показано, что если функция Гелл-Манна-Лоу совпадает с точной /3-функцией, предложенной Новиковым, Шифманом, Вайнштейном и Захаровым (НШВЗ), то сумма некоторых эффективных диаграмм с трех- и четырехточечными вершинами равна нулю.
Ключевые слова: уравнения Швингера-Дайсона, суперсимметрия, функция Гелл-Манна-Лоу.
УДК: 530.145. PACS: ll.30.Pb.
Введение
В N = 1 суперсимметричных теориях Новиковым, Шифманом, Вайнштейном и Захаровым (НШВЗ) [1] было предложено точное выражение для /3-функции теории. Для N = 1 суперсимметричной электродинамики, которую мы будем рассматривать в этой работе, оно записывается в виде
/?(«) = —(1-7(«)).
ж
(1)
полнительным ограничениям на трех- и четырехточечные функции Грина. Такая переформулировка в перспективе, возможно, позволит найти способ его доказательства.
N = 1 суперсимметричная элежтродинамижа
В этой работе будет рассматриваться безмассовая N = 1 суперсимметричная электродинамика:
где 7(а) — аномальная размерность суперполя материи. Точная НШВЗ /3-функция неоднократно проверялась вычислениями по теории возмущений. Как правило, при этом вычислялась /3-функция, определенная как производная константы перенормировки при использовании размерной редукции и М5 схемы [2]. При этом результат совпадает с НШВЗ /3-функцией только в двух петлях. Начиная с трехпетлевого приближения возникают различия, которые можно удалить, если специальным образом подстроить схему перенормировки [3]. В работе [4] при использовании регуляризации высшими производными было показано, что в N = 1 суперсимметричной электродинамике функция Гелл-Манна-Лоу совпадает с точной НШВЗ ¡3-функцией вплоть до трехпетлевого приближения. При этом было установлено (см. также [5]), что интегралы, определяющие /3-функцию, сводятся к интегралам от полных производных и могут быть легко вычислены. То же самое свойство справедливо и в неабелевых теориях [6, 7], при использовании упрощенного варианта регуляризации высшими ковариантными производными и специальной схемы перенормировки, восстанавливающей тождества Славнова-Тейлора в каждом порядке теории возмущений [8]. Частично эта закономерность была объяснена в работах [9, 10]. В них исследовался вклад в /3-функцию, который дают суперполя материи. При этом было показано, что при подстановке в уравнения Швингера-Дайсона решений тождеств Уорда получается вклад, соответствующий НШВЗ /3-функции, и еще некоторое дополнительное слагаемое. Явные вычисления [4, 11] свидетельствуют, что в низших порядках это дополнительное слагаемое всегда равно нулю и является интегралом от полной производной, что позволяет предположить существование некоторого нового тождества для функций Грина [9], которое не следует ни из каких известных симметрий теории. В настоящей работе мы исследуем новое тождество и получаем, что оно ведет к до-
50 = 4^2 Re
d4x d2eWaCab 1
й4хй4в{ф*еа ф + ф*е^а ф). (2)
При этом фиф — киральные суперполя материи, а V — вещественное скалярное калибровочное суперполе. Суперполе Ша представляет собой суперсимметричный аналог тензора напряженности калибровочного поля. Мы будем предполагать, что теория регуляризована с помощью метода высших производных [12], причем для сокращения остаточных однопетлевых расходимостей используется регуляризация Паули-Вилларса [13]. Детали этой регуляризации в применении к N = 1 суперсимметричной электродинамике можно найти, например, в работах [4, 9, 14]. Важно отметить, что в регуля-ризованной теории существует единственный параметр регуляризации Л, который имеет размерность массы. Квантование рассматриваемой модели проводится стандартным образом с использованием техники суперграфов, описанной в книге [15]. Поскольку мы рассматриваем абелев случай, то диаграммы с духовыми петлями отсутствуют. Также в производящий функционал мы добавляем слагаемое
d4x й4в(ф1е2Уф + ф*0е^2¥ф + э. с.),
которое представляет собой действие для дополнительных источников фо и фо. (Важно заметить, что они не предполагаются киральными.) Вводить такие источники не обязательно, однако их наличие оказывается очень удобным при исследовании уравнений Швинге-ра-Дайсона.
Производящий функционал для связных функций Грина и эффективное действие определяются на основе функционала 2 стандартным образом [5].
10 ВМУ. Физика. Астрономия. № 3
Точная функция Гелл-Манна-Лоу
В работах [9, 10] подробно описано получение двухточечной функции Грина калибровочного поля с помощью метода, основанного на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора в уравнения Швингера-Дай-сона. Кратко этот метод можно сформулировать следующим образом: уравнения Швингера-Дайсона для калибровочного поля в рассматриваемой теории записываются в виде
¿Г
8УХ
= ~{ф*е2¥ф + ф*0е2¥ф + ф*е2¥ф0 - ф*е~2¥ф
ф*0е-2'гф-ф*е-2Ц0) = 1(
2/ г2г
\5]-;5ф*0
1фн
8Г
5фЪ
,5Т_
+ 1фо-^ - (ф^-ф, /->■/))• (3)
Для того чтобы упростить это выражение, воспользуемся тождеством
ф+е2¥ф = В
= П2(-
В2
V 16с>2
ф+е2¥ф
2 Ва
а / ^и
ВаВ2
ф+е2¥ф
1632
которое следует из антикиральности поля ф*. (Здесь В и £1 - соответственно правая и левая суперсимметричные ковариантные производные.) Принимая во внимание, чему равны производные по дополнительным источникам фд, с помощью этого равенства можно переписать уравнения Швингера-Дайсона для калибровочного суперполя в виде
ЗТ_2(2(Р2 6
6УХ
т
8Г
VIЩ <У; 6ф*0х
.2Е>а{°хаЩ б 5Т
\Щ 6/; 6ф*0х
6 о 5Г ,» <5Г , ¿Г 1 , - . -ч —+ФохТ1г+Фохтт~ ) Фо<1 /].
Ш2 8}; х6ф
Ох
'6ф,
Ох
' 'Цох
(4)
И2 6Г
8Г
2 6ф*х 6ф*
С его помощью можно легко убедиться, что третье слагаемое в формуле (4) не дает вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного поля, поскольку величина
О2
т2 8% хбф
:х0
_ С
1691 т
X =у
Л2 Л2
х х с8
' т2 ху
X =у
—
Щху
X =у
исчезает при дифференцировании по Уу. Поэтому
52Т 6Ух5Уи
2 6 I 5Уи
. 416%5Я5ф'х0
О О2
20а ^уха^х
5 8Г
(<НФ)
16д2 61; 8ф*м,
Далее мы увидим, что все слагаемые, у которых на внешней линии стоит О2 в пределе нулевого внешнего импульса, оказываются равными нулю. Выражая производные по источникам через производные по полям, а затем осуществляя коммутирование
~_5_ _5_
М/'У;
переписываем результат в виде суммы четырех эффективных диаграмм
Щ 81;
5,-; 51',/
62Т 5Ух5Уи
2 ВаВ2
2 ВаВ2
В2
В2\
V
в2
1УУ
V
(При этом мы формально полагаем константу перенормировки суперполя материи Z = 1. Зависимость от Z можно легко восстановить, что также подробно описано в работах [5, 9, 10].)
Результат вычисления первой, третьей и четвертой диаграмм дает вклад, который соответствует точной НШВЗ /^-функции, тогда как вторая выражается через некоторую функцию, которая не может быть определена из тождеств Уорда. Это можно сформулировать в виде следующего уравнения [5]:
с1
62Т
где предполагается, что производные по источникам должны быть выражены через производные по полям. (При этом через V обозначен аргумент эффективного действия, соответствующий калибровочному полю.) Заметим, что в силу уравнений Швингера-Дайсона для суперполей материи при фо = 0 справедливо равенство
й 1пА 5Ух5Уу й
р=о
й\п А
1 6?Г2 ('П р
й\п А
О"
1ПС]<92П1/24,
б3Г
ВхаВ; 169| 5Гх5фЪг5Уу
вхав2
Ш2 8]*8ф1г8Уу
(5)
р=о
где П]/2 — суперсимметричный поперечный проектор, а в(а0,А/р) — функция Грина суперполя материи, которая определяется равенством
г2г
л2 л2
и*их-0(сР)8*
16
ху ■
(6)
бф+бфу
Если второе слагаемое в формуле (5) оказывается равным нулю (о чем свидетельствует целый ряд явных вычислений), то [5] точная функция Гелл-Манна-Лоу, которая определяется равенством
д
8{й{а, ////?)) = 11/Р)< (7)
совпадет с точной НШВЗ /^-функцией (1). Поэтому наибольший интерес представляет вычисление второй диаграммы или, эквивалентно, слагаемых во второй строчке формулы (5). При этом предположительно
г ¿1пЛ -г
А
о2
1631
<У*6фу5У„
РхаЩ
т2
Рт
= 0. (8)
р=о
В этой работе мы постараемся переписать левую часть этого равенства в виде суммы некоторых других эффективных диаграмм, которые выражаются через трехи четырехточечные функции Грина.
Ограничения на трех- и четырехточечные функции
Грина
Рассмотрим два слагаемых во второй строчке формулы (5) и перепишем их, используя уравнение Швинге-ра-Дайсона (3). Тогда трехточечная вершинная функция с полями ф, ф^ и V, которая присутствует в формуле (5), может быть представлена в виде
б2
5Г _ 2 52
8УХ г 8фу8ф1г
8 8Т 5Г
' 1ФX
8'1* 8ф
Ох
8ф
' 1Ф*0х
Ох
8 Г
8ф
(фч^ф и т.д.)
0.г
8ф\8ф*т8фъ8ф*т' Круги среднего размера обозначают вершины
г3г г3г
8фх8фиЩ
или
8ф\8ф,
02
Х\
(Р.Кх
<52Г Р2 5ф%5ф\) 8д? 8ф,8ф
Зх
'Ох
= Уг
т2
1 г:
Зх ■
Заметим, что в рассматриваемой вершине на величину А' действует оператор ЩО2. (Для того чтобы в этом убедиться, необходимо подставить явное выражение для пропагатора кирального суперполя. Еще более просто использовать графическое представление рассматриваемых выражений и правила Фейнмана.) При этом с помощью правила Лейбница несложно убедиться, что
02ГХ = О:
2Г)2
16 д2
1)41 =
1632
1 кя
Зх '
2 ОаА(ОхаУх)
т
1632
Зх
(9)
Выражая производные по источникам через производные по полям, а затем выполняя дифференцирование, получаем, что это выражение может быть графически представлено в виде суммы диаграмм
При этом большой круг с четырьмя исходящими линиями соответствует вершине
Важно заметить, что на каждой внешней линии присутствует по крайней мере одна производная Оа , действующая на калибровочное суперполе V. Дело в том, что при вычислении двухточечной функции Грина калибровочного поля в пределе р0 все диаграммы, в которых имеется третья степень правой ковариантной производной (а их достаточно много), оказываются равными нулю в силу антикоммутационных соотношений для ковариантных производных.
Следующим шагом в формуле (9) мы прокоммутируем ОаУ и ковариантные производные, а затем применим к результату оператор О2. При этом можно отбросить все слагаемые, которые содержат вторую степень правой суперсимметричной ковариантной производной Оа, поскольку соответствующий вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного поля будет пропорционален как минимум третьей степени этой производной. В результате получится, что
0202Х ((Оха Ух)81) +
После проведения этой операции и подстановки результата в левую часть формулы (8), получается что последняя может быть графически представлена в виде суммы следующих диаграмм:
52Д
Примыкающие к этим двум кругам маленькие круги обозначают линии, которые соответствуют дифференцированию по фо. Двойные линии обозначают точные пропагаторы.
Для того чтобы упростить выражение для вершинной функции, рассмотрим следующее выражение:
11 ВМУ. Физика. Астрономия. М 3
(^l)abD2D2q^/Aq2
D"D,,V
D,D2
DrD2
(Символы около пропагаторов обозначают, какие комбинации производных соответствуют каким линиям.)
Фактически это можно интерпретировать как переформулировку одного из результатов работы [16], в которой новое тождество представлено (в обозначениях работы [16]) в виде равенства нулю суммы двух эффективных диаграмм
DYlbDV
qj4q2(I0)
Заключение
В работе [9] было показано, что функция Гелл-Ман-на-Лоу совпадает с точной НШВЗ /^-функцией только в том случае, если справедливо некоторое тождество, которому должны удовлетворять функции Грина. В настоящей работе мы показали, что это тождество представляется в виде равенства нулю суммы некоторых эффективных диаграмм. Эти диаграммы выражаются через трех- и четырехточечные функции Грина, содержащие дополнительные источники фо. Поэтому равенство нулю этих диаграмм накладывает некоторые нетривиальные ограничения на соответствующие функции Грина. Если
же полученные в этой работе ограничения на трехи четырехточечные функции Грина не выполняются, то функция Гелл-Манна-Лоу будет отличаться от точной НШВЗ /3-функции. Этот результат, возможно, будет полезен для доказательства тождества (8), а следовательно, и строгого вывода точной НШВЗ /3-функции методами теории возмущений.
Списож литературы
1. Novikoü V., Shifman M., Vainstein A., Zakharov К // Phys. Lett. В. 1985. 166. P. 329.
2. Avdeev L., Tarasov O. // Phys. Lett. В. 1982. 112. P. 356; Jack L, Jones D., North С. // Nuel. Phys. В. 1996. 473. P. 308; Phys. Lett. В. 1996. 386. P. 138; E-print: hep-ph/9603386.
3. Jack L, Jones D„ North С. // Nuel. Phys. B. 1997. 486. P. 479.
4. Soloshenko A.A., Stepanyantz K.V. E-print: hep-th/0304083 (сокращенная версия: Солошенко A., Степаньянц К. // ТМФ. 2004. 140. С. 437.)
5. Пименов А.Б., Солошенко A.A., Степаньянц К.В., Шевцова Е.С. // Изв. вузов. Физика. 2008. № 5. С. 5.
6. Пименов А.Б., Степаньянц К.В. // ТМФ. 2008. 156. С.270.
7. Пименов А.Б., Степаньянц К.В. // ТМФ. 2008. 155. С.398.
8. Slavnov A.A. // Phys. Lett. В. 2001. 518. P. 195; Славное A.A. Ц ТМФ. 2002. 130. С. 3; Славное /4./4., Степаньянц К.В. II ТМФ. 2003. 135. С. 265; 139. С. 179.
9. Степаньянц К.В. // ТМФ. 2005. 142. С. 37.
10. Степаньянц К.В. // ТМФ. 2007. 150. С. 442.
11. Пименов А.Б., Степаньянц К.В. // ТМФ. 2006. 147. С. 290.
12. Славное A.A. // ТМФ. 1975. 23. С. 3.
13. Славное A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М., 1988.
14. West P. H Nucí. Phys. В. 1986. 268. Р. 113.
15. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию, М., 1989.
16. Степаньянц К.В. // ТМФ. 2006. 146. С. 385.
New relation restricting Green functions of N = 1 supersymmetric electrodynamics K.V. Stepanyantz", E.S. Shevtsova
' Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: " [email protected].
For the N = 1 supersymmetric electrodynamics, it is shown that if the Gell-Mann-Low function coincides with the exact NSVZ ;?-funetion, then the sum of some effective diagrams with three- and four-point vertexes must be equal to zero.
Keywords: the Schwinger-Dyson equations, supersymmetry, the Gell-Mann-Low function.
PACS: 11.30.Pb.
Received 7 September 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).
Сведения об авторах
1. Стенаньями Константин Викторович — к.ф.-м.и., донент; тел.: 939-53-89, e-mail: stepan(f';phys.msu.ru.
2. Шевцова Екатерина Сергеевна — аспирантка; тел.: 8(499)193-86-02, e-mail: shevtsova-katya(f';yandex.ru.
