Описание вакуумных эффектов в гамильтоновом подходе к КХД при квантовании на световом фронте Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2009. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ФИЗИКА

УДК 539.12.01

Е. Э. Носов, Е. В. Прохватилов

ОПИСАНИЕ ВАКУУМНЫХ ЭФФЕКТОВ В ГАМИЛЬТОНОВОМ ПОДХОДЕ К КХД ПРИ КВАНТОВАНИИ НА СВЕТОВОМ ФРОНТЕ *)

Введение. Квантование теории поля на световом фронте (СФ) означает её квантование на гиперплоскости х+ =0 в предложенных Дираком [1] координатах СФ:

хЛ = (ж0 ± ж1)/^,

где х+ играет роль времени.

Теория поля, квантованная на СФ, имеет формально очень простое описание квантового вакуумного состояния. Возбуждённые, в том числе связанные состояния, могут быть описаны в пространстве Фока на СФ над этим вакуумом. Это объясняется тем, что оператор импульса на СФ (генератор сдвига вдоль оси х_) неотрицателен для состояний с неотрицательной энергией и квадратом массы:

Р-= {Ро - Р\)/у/2 ^ 0 для ро > 0, р1 > 0.

Подобно обычному пространственному импульсу, он является кинематическим (квадратичным по полям и не зависящим от константы взаимодействия) генератором [1]. Тогда вакуумное состояние может быть рассмотрено как собственное состояние этого оператора Р_, отвечающее его минимальному собственному значению р- = 0, а операторы поля записаны в представлении Фока над этим вакуумом. Это можно увидеть на примере обычной теории скалярного поля Ф(х), квантуемого на гиперплоскости х+ = 0. В координатах СФ производная по «времени» д+Ф входит в плотность лагранжиана линейно в виде д+Ф(х)д_Ф(х), так что импульс, канонически сопряжённый с Ф(х), оказывается связанным с «пространственной» производной д_ Ф(х). Это есть связь 2-го рода. Чтобы избежать данной связи, достаточно перейти к новым каноническим переменным с помощью следующего преобразования Фурье по координате х_:

СЮ

ФИ = / (а{р-,х±)е~гр~х +э.с.). (1)

о

Подставляя это выражение в лагранжиан и в действие, можно убедиться, что переменные а(р_, хЛ) и ш+ (р_, хЛ) при р_ > 0 канонически сопряжены и независимы, так что их квантовые коммутаторы имеют вид:

[а(р_,х^),а(р'_ ,х'^)\ =0,

*) Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования России, № РНП.2.1.1/1575 © Е. Э. Носов, Е. В. Прохватилов, 2009

Оператор Р- приобретает следующую форму:

Р- = йх / й2х^(д-Ф)2 = й2х^ йр-р-а+(р-,х^)а(р-,х±)

> 0. (3)

0

Тогда формально «физический» вакуумный вектор состояния |0) может быть определён как состояние с минимальным импульсом Р_:

Именно эта простота описания вакуума есть главное преимущество квантования на СФ.

Вводя пространство Фока на СФ с базисом {а+....а+| 0}}, можно пытаться решать задачу о спектре масс связанных состояний в этом пространстве:

Массы т получаются по формуле т2 = р2 = 2р+р_. Такой подход актуален для описания спектра масс в квантовой хромодинамике (КХД), когда теория вомущений по константе взаимодействия не применима, но возможны приближённые, например, численные методы решения указанного аналога стационарного уравнения Шредингера на СФ с гамильтонианом Р+.

Основные трудности метода квантования на СФ связаны с сингулярностями, обусловленными переходом на СФ, который является характеристической поверхностью для уравнений поля. Это ведёт к особенностям при значениях импульса р_ ^ 0, что видно уже на примере скалярного поля.

Простейшие способы введения регуляризации данной особенности:

а) ограничение 1р_1 (|р_| > £ > 0),

б) так называемая DLCQ-регуляризация («дискретизованное» квантование на СФ).

Фактически вводится ограничение пространства по х_, 1х_1 ^ I, и на функции поля накладываются периодические граничные условия. Это ведёт к дискретизации спектра Р_: п = 0,1,2,.... Фурье-мода поля с р- = 0 (которая далее именуется

как «нулевая мода») здесь чётко отделена от других мод. Как правило, нулевая мода не является независимой динамической переменной и должна быть выражена через ненулевые моды посредством имеющихся в такой формулировке канонических связей (этот вопрос был подробно изучен для интересующей нас калибровочной теории поля в работах [2, 3]).

Оба способа вводят нарушение лоренцевой инвариантности, а способ ( а) также нарушает калибровочную симметрию для калибровочных полей в КХД. Это ведёт к затруднениям при перенормировке теории, а также к возможной неэквивалентности результатов, полученных при квантовании на СФ и на пространственно-подобных поверхностях в лоренцевых координатах. Указанная проблема была решена в рамах теории возмущений [4] (точные результаты во всех порядках теории возмущений были получены в работе [5]). Было показано, что для восстановления симметрий, нарушенных регуляризацией, и эквивалентности теории возмущений, порождаемой гамильтонианом на СФ, и обычной ковариантной теории вомущений необходимо ввести в регуляризо-ванный гамильтониан формализма на СФ дополнительные члены, типа контрчленов, вводимых при перенормировке теории.

а(р-, х^ )|0} = 0, р- > 0.

(4)

Р+|Ф} = р+^}, Р-1*> = р-^}, Р±^} =0.

(5)

Однако для КХД возможны эффекты, не описывыаемые теорией возмущений по константе взаимодействия, такие как «вакуумные конденсаты». Формальное отбрасывание нулевых мод (например, при регуляризации (а)) ведёт к исчезновению таких конденсатов. Поэтому требуется ещё учитывать в гамильтоновом подходе на СФ во-можно нетривиальную динамику нулевых мод.

В качестве наводящего соображения мы будем использовать результаты, полученные в простейшей модели калибровочной теории поля, (1+1)-мерной квантовой электродинамике (КЭД (1+1)) [6, 7]. В этой модели имеются нетривиалные вакуумные эффекты, не описываемые теорией возмущений по константе взаимодействия. С другой стороны, существует эквивалентная формулировка этой модели с помощью скалярного поля, с самодействием, не полиномиальным по полю, причем роль константы этого взаимодействия играет параметр, пропорциональный массе фермиона. Поскольку исходная константа в двумерной электродинамике имеет размерность массы, так что безразмерный параметр здесь - только отношение этой константы к массе фермиона, то область больших значений исходной константы взаимодействия эквивалентна области малых значений массы фермиона, и теория возмущений по массе фермиона справедлива как раз в области, где теория возмущений по исходной константе некорректна.

В следующем разделе приводится краткое описание результатов, полученных для КЭД (1 + 1) при квантовании на СФ.

КЭД (1+1) на световом фронте. В лоренцевых координатах (1 + 1)-мерного пространства-времени плотность лагранжиана КЭД (1+1) имеет следующий вид:

где |Л, V = 0,1, ^ = д^А, — д,А^= д^ — ієЛ^, М - масса фермионного поля у,

е - константа взаимодействия;

Переписывая этот лагранжиан в координатах СФ и переходя к каноническому формализму на СФ, получаем после разрешения канонических связей следующее выражение для гамильтониана (в калибровке А- = 0):

где ^+, ^_ - компоненты биспинора, причем величина ^_, как и = -д_А+, фигурирующие в лагранжиане, в данной формуле для гамильтониана отсутствуют, так как выражены через независимые канонические переменные посредством канонических связей:

Построение фейнмановской теории возмущений по константе е наталкивается на сильные инфракрасные расходимости, что усложняет сравнение ряда теории возмущений при квантования на СФ и ряда обычной ковариантной теории возмущений в лорен-цевых координатах. Поэтому вначале предлагается рассмотреть квантование на СФ для эквивалентной (бозонной) формулировки данной модели в терминах скалярного

(6)

(7)

Р+

! ах ^е2 (д-1[^++^+])

(8)

Р+- = -\/2ед_1 (\|/++\|/+), у_ = -^=д_1у+.

(9)

поля [7]. В этой формулировке мы имеем следующую плотность лагранжиана в лорен-цевых координатах:

1 l\/f <yyi ,__ \

-5? = -9„ф9йф - -т2ф2 Н--------- : cos ( 0 + %/4тсф ) (10)

2 2 2п V /

где т = е/л/к, 0 - параметр, характеризующий квантовый вакуум в КЭД (1 + 1), C - постоянная Эйлера, а символ : : отвечает нормальному упорядочению операторов поля в представлении взаимодействия. Здесь масса M фермиона играет роль константы взаимодействия, а e - фиксированный параметр. Скалярное поле ф(х) описывается в исходной формулировке КЭД (1 + 1) компонентой плотности фермионного тока с учётом «ультрафиолетовой» перенормировки теории [Т].

Каноническое квантование на СФ этой теории скалярного поля было рассмотрено при регуляризации вида \p-j ^ Є > 0, в рамках которой был развит метод сравнения теории возмущений, порожденной квантованием на СФ, и обычной ковариантной теорией возмущений в лоренцевых координатах (во всех порядках теории возмущений по M) [б, Т]. Было показано, что найденное различие этих теорий возмущений может быть сгенерировано простой добавкой контрчлена к каноническому гамильтониану на СФ. Это делает квантовую формулировку на СФ эквивалентной обычной во всех порядках теории возмущений по M [б]. Исправленный таким способом гамильтониан на СФ имеет следующий вид:

Р+ = J dx- Q т2 : ф2 : : cos (о + ^4Йф) -

-I ,ЬГ1 "^SF^Fl ^ "О • HD

где 0 - параметр, заменяющий исходный параметр 0. Этот новый параметр характеризует фермионный конденсат, как будет пояснено ниже.

Используя формулы связи скалярного бозонного поля и поля фермионов на СФ [Т, 8], мы можем переписать этот гамильтониан снова в терминах фермионных полей на СФ и сравнить с тем выражением, которое было получено раньше в каноническом формализме на СФ. При этом приходится переходить от указанного выше способа регуляризации сингулярностей, связанного с исключением мод в окрестности нулевой моды поля ф, к варианту DLCQ-регуляризации: ограничению jx- j ^ L, при котором вводятся периодические по x- граничные условия для поля ф и ещё дополнительно исключается нулевая мода этого поля, а на вводимые фермионные поля накладываются антипе-риодические по x- граничные условия, чтобы нулевые моды этих фермионных полей тоже отсутствовали. Конкретно, используется следующая формула для фермионного поля, точнее, для той его компоненты, которая остается независимой при квантовании на СФ [б, Т]:

\|1+(х) = ' 1 . e-iV4Йф(Ж) (12)

V2La/2

где символ нормального упорядочения относится к операторам рождения и уничтожения бозонов скалярного поля ф, а Q - аналог оператора заряда в теории с фермионами:

L

Q = \/2 J clx~ : \|/_|_+(ж)\|/_|_(ж) : . (13)

б

Здесь символ нормального упорядочения относится уже к операторам рождения и уничтожения фермионов на СФ. В бозонной формулировке этот оператор не фигурирует, так как бозонное скалярное поле описывает только физическое подпространство исходной теории с фермионами, на котором Q = 0. Переменная ю определена как канонически сопряжённая с зарядом Q, имеющим целочисленный спектр:

М]*+=о = г, е-іюQeiю = Q + 1. (14)

Опишем определение оператора ю более детально. Сначала выразим поле ^+(ж) через операторы рождения и уничтожения фермионов:

1 І \ " , \ " ,_і_

¥+(х) = (^Е Ьпе-^(п-і)х~ + Е 3+е^(п+^х~ ] . (15)

^ Є 1 2>

п>0

Для этих операторов выполняются (при х+ = 0) канонические перестановочные соотношения, характерные для канонического квантования на СФ в рамках DLCQ:

{Ьи, ь+,} = {Зи, з+} = Ъии', {Ьи, ъп>} = {Зи, Зи} = о. (16)

Эти соотношения следуют из формулы (14), поскольку данная конструкция фермион-ного поля удовлетворяет каноническим перестановочным соотношениям на СФ по построению. Кроме того, данное определение операторов рождения и уничтожения фермионов согласуется с выражением для импульса Р-, минимум которого определяет вакуумный вектор |0):

Р- = ЕЬ^Ь”Х + Е^”]“ + ^

п>1 ^ ’ п^0 ^ ’

т. е.

Ьи10) = 3и10) =0. (18)

Для оператора заряда Я получается следующее выражение:

Я = Е Ь+Ьи - £ 3+ 3и. (19)

и^1 и^0

Тогда можно дать точное определение оператору вга посредством следующих формул:

еш\у(х)е~ш = е'тх \|/(ж), еш\упе~ш = \|/п+ь (20)

вш| 0) = Ь+| 0), в-ш| 0) = 3+1 0), (21)

где ^и - моды Фурье поля ^(х), например, Ьи или 3+и. Это соответствует интерпретации вакуумного вектора | 0) как состояния «заполненного моря Дирака», определяемого следующими формулами:

| 0) = З0З1 ...| 00), Ф(х)| 00 )=0. (22)

Используя формулу (14), можно переписать найденное бозонное выражение для гамильтониана Р+ следующим образом [6, 7]:

P+ = j dx (e2 (a_1[\|/++\|/+])2 - ^L-\|/+ + cLV+ -

-L

_ eMeC^^ (^e-'4M/e,Q)+i^x-{Q-1/2) ei°)y+ _|_g_ c_>

L

= J dx- ^e2 (ar1[\|/++\|/+])2 - ^-\|/++az1\|/+ -

^-ЩМ/е, e)+iix~Q emd+ + c j ^ (23)

-L

eMeC

4п3/2

Новый параметр e(M/e, Є) есть некоторая функция от исходных параметров, которая определяется всем рядом теории возмущений по M и которая взаимосвязана с величиной фермионного конденсата [б]:

~ 2п3/2

sin 8 = -—рг(^| : : 1^} = (^1 : sin(A + 8) : \С1), (24)

e eC

где jn) обозначает вектор состояния, описывающий физический вакуум в рамках обычного квантования полей ^ и ф в лоренцевых координатах.

Можно показать, что

B(M/e, -e) = -B(M/e, e), ё(M/e, 0) = 0, ё(M/e, п) = п. (25)

Члены в выражении (23), пропорциональные Me±i0, не присутствуют в каноническом выражении для гамильтониана на СФ. Они зависят от параметра конденсата Є и определяются только «инфракрасными» модами do ,d+ в зарядово нейтральной комбинации eirad+ и d0e-ira.

Связанные состояния с Q = 0 и заданными значениями p- = (nK)/L, K = 1, 2,..., можно описать в пространстве Фока на СФ, используя пары операторов рождения, b+d+, действующие на вакуумный вектор |0). При конечных значениях K > 0 получаем для гамильтониана P+ на подпространстве состояний с p- = (nK)/L конечномерные матрицы в прстранстве Фока (так как полный импульс p- = (nK)/L складывается из дискретных положительных значений импульсов отдельных квантов для каждого базисного вектора рассматриваемого подпространства Фока, что ограничивает число таких базисных векторов).

Определяя численными методами собственные значения таких матриц, получаем спектр масс:

2nK

m2 = 2P-P+ = —-—(26)

L

Экстраполяция результатов при разных K в область K ^ ж даёт «точный» спектр масс.

В работе [9] продемонстрировано совпадение с результатами расчётов на решётке в лоренцевых координатах [10, 11] для Є = 0 при любых M/e и для Є = п при малых M/e (для других зачений M/e может существовать область фазового перехода, где точность определения спектра масс ухудшается; аналогичная картина наблюдается и при расчётах на решётке в лоренцевых координатах).

Попробуем восстановить лагранжеву форму теории, для которой каноническое квантование на СФ даёт найденный гамильтониан (23). При этом полезно снова ввести поле ^_, связанное на СФ с полем канонической связью, так чтобы в лагранжиане присутствовали обе компоненты этих полей, образуя биспинор ^ = (у!). В первоначальной канонической формулировке КЭД (1 + 1) на СФ связь имеет следующий вид:

а/2 с) \|/ -М\|/+ = 0, (27)

будучи компонентой уравнения Дирака в калибровке Л- = 0. Здесь нулевая мода не доопределена, хотя именно с этой модой может быть связано описание вакуумных эффектов.

В рамках DLCQ-формулировки с антипериодическим по х- полем ^ нулевые моды формально отсутствуют, однако, моды поля ^+, наиболее близкие к нулевым, входят в член гамильтониана, определяющий вакуумный конденсат. Поэтому принимается следующая форма аналога вышеуказанной связи (которая как раз и ведёт к нужному выражению для гамильтониана):

с

- М\|/+ + -11—е-і(га-е)е-і£ж“№-і/2) = о. (28)

2п3/2

Чтобы данная связь получалась из канонического формализма для некоторого лагранжиана, достаточно взять первоначальную плотность лагранжиана КЭД (1+1) в координатах СФ и добавить к ней новый член вида:

*¥І-4л7е_і(и_ЄЬі^ж_(д_1/2) + э- с- (29)

Такой лагранжиан порождает нужную нам форму гамильтониана после соответствующего разрешения канонических связей на СФ.

Нетрудно проверить, что правильное выражение для фермионного конденсата получается теперь простым вычислением с помощью вакуумного вектора | 0}, отвечающего минимуму Р-, а также с учётом выражения для и данного выше определения оператора вш:

(0|¥-+¥+| 0}|м =

1 . / Л, . п _\

(30)

<°1 ^ д-1 [МУ++ - ^ДеІ(И 9) 42”ьЖ ) ¥+10)

м^с 2п3/2

Проведённое исследование подсказывает путь, на котором возможно ввести вакуумные эффекты, связанные с фермионами, в гамильтониан КХД (3+1) на СФ. Уравнение Дирака в КХД также имеет на СФ компоненту, которая означает связь между и ^+, аналогичную соответствующей связи в КЭД (1+1). Поэтому возможно предположить, что для КХД в DLCQ-формулировке с антипериодическими по х- фермионными полями существует аналогичная модификация данной связи, позволяющая доопределить нулевую моду через некоторый параметр, связанный с вакуумным конденсатом фермионов [16]. Далее будет дана точная формулировка этого предположения.

Что касается глюонного поля Л^(х) в КХД, а для калибровки Л_(х) =0 - его поперечных компонент Л^(х) = (Лх(х),Л2(х)), то модель КЭД (1+1) не даёт непосредственных указаний, как учесть глюонный конденсат с помощью нулевых мод этого

поля. Здесь приходится опереться на полуфеноменологический подход, предложенный ранее в работах [12, 13], где рассматривался предельный переход от обычного квантования в лоренцевых координатах к квантованию на СФ. Сингулярный характер такого перехода не позволял получить корректный гамильтониан на СФ, учитывающий возможные вакуумные эффекты, если совершать предельный переход при фиксированном значении Ь, \х~ \ ^ Ь, и соответствующих периодических граничных условиях, т. е. иметь DLCQ-форму теории на СФ. Однако было замечено, что вакуумные эффекты можно получить и в рамках такого предельного перехода, если «заморозить» предельный переход для некоторых нулевых мод поля [12, 13]. При этом описание становится полуфеноменологическим, и вводится параметр, связанный с конденсатом. Ниже даны пояснения и более детальная реализация этой идеи для КХД.

Указанный предельный переход использует первоначально формулировку теории в координатах х^, близких к координатам СФ:

.-+ Г'2.'

где х^ = (х° ± х3)/а/2, а х+ играет роль времени. При этом квантование формулируется на пространственно-подобной гиперплоскости х+ = 0, близкой к СФ. Переход к квантованию на СФ соответствует предельному значению п = 0 параметра п.

DLCQ-регуляризация обычно соответствует каноническому формализму на СФ, в котором нулевые моды оказываются зависимыми переменными. Они выражаются через ненулевые моды посредством канонических связей. Это не даёт возможности воспроизвести правильные значения конденсатов, когда их рассчитывают в вакууме, описываемом как состояние с минимальным импульсом Р- = 0 [12, 13].

До перехода на СФ (при п > 0) такие нулевые моды есть независимые (динамические) канонические переменные, динамика которых может рассматриваться как упрощённое описание «инфракрасной» динамики, связанной с вакуумными эффектами. Поэтому необходимо как-то изменить процедуру предельного перехода на СФ, так чтобы нулевые моды на СФ также могли рассматриваться как упрощённое описание «вакуумной инфракрасной» динамики. Для этого хотелось бы, чтобы они оставались независимыми (динамическими) каноническими переменными даже на СФ.

Был предложен [12, 13] простой способ достичь этой цели: «заморозить», т. е. не стремить к нулю, параметр п для тех членов в действии, которые определяют нулевые моды как независимые канонические переменные. Тогда в этих членах П ^ По, По > 0, в то время как в остальных членах п ^ 0. При этом предельном переходе нулевые моды остаются независимыми каноническими переменными, а параметр по выступает как параметр, связанный с полуфеноменологическим описанием вакуумного конденсата. Для КЭД (1 + 1) такой путь действительно обеспечивал правильное описание вакуумного конденсата [12, 13].

Описание вакуумных конденсатов в КХД при квантовании на световом фронте. Для КХД (3+1), квантованной на СФ, используются следующие способы по-луфеноменологического описания вакуумных эффектов: для фермионных полей вводится модификация канонической связи, определяющей компоненту ^_, аналогичная полученной для КЭД(1+1). Для глюонных полей применяется метод «замораживания» динамики нулевых мод при рассмотрении предельного перехода на СФ. Кроме того, применяется регуляризация возможных ультрафиолетовых расходимостей, сохраняющая остаточную (после фиксации калибровки Л- = 0) калибровочную симметрию,

введением решётки по поперечным координатам и соответствующей формулировкой теории на этой решётке.

Для каждой компоненты биспинорного фермионного поля (х) (с проекциями спина г и индексами і фундаментального представления группы Би(^) введём аналоги операторов вш и Q в каждом узле поперечной решётки. При этом аналогами вш будут унитарные операторы Vі (хЛ), а аналогами Q - «заряды» Qr(x±) :

ь

<5^(х-1) = \/2 J с1х~ : \|/^++(.г’)\|/^+(ж) : .

-ь

По аналогии с КЭД (1+1) вводятся следующие условия для фермионного поля на СФ:

и№№+{х)Щ + {х^) = е^-у^іх). (32)

Здесь все индексы и значения координат у операторов Vі (хЛ) и уГ (х) совпадают. В остальных случаях данные операторы антикоммутируют.

Кроме этого,

[Vі (х± (х/±)] = -5,у 5Г85ж±ж,± иі (х±);

Qr (хЛ )|0} =0;

V І+ (хЛ )|0} = ^С+(х^)|0};

Ці (хЛЩ = ЬІ+(хЛ)|0}. (33)

Для описания «поперечных» компонент Ли (х), к = 1, 2 глюонного поля на решётке используются комплексные N х N матрицы М^ (х) (і, і = 1, 2,..., N; к = 1, 2), отнесённые к рёбрам решётки. Матрица Мк (х) относится к ребру, соединяющему точки (хЛ — ав^) и хЛ в направлении от точки (хЛ — ав^ ) к точке хЛ (здесь а - параметр решётки, а вЛ - единичный вектор вдоль оси к) [14, 15].

«Продольные» компоненты глюонного поля не меняются и в пространстве поперечных координат относятся к узлам решётки. В координатах (31), близких к координатам СФ, эти компоненты есть, соответственно, (х).

Выбираем |X-| ^ Ь и периодические граничные условия по х- для этих полей. Также выбираем Лг:1 = 0 как аналог калибровки СФ.

При калибровочном преобразовании, описываемом унитарной NхN-матрицей &(хЛ), матрица поля Мк(х) преобразуется следующим образом:

Мк(х) ^ 0,(хЛ)Мк(х)П+ (хЛ — авк).

В соответствии с этим законом преобразования можно ввести следующие аналоги полей = 9цAv — дмЛ^ — ід[Лц, Лv] (где Лц(х) - NхN-матрицы потенциалов калибровочного глюонного поля, а д - константа взаимодействия):

__(х) = іР+_(х) = ід-Л+ (х);

0±к(х) = ^[д±Мк(х) - ід(А±(х)Мк(х) - Мк(х)А±(х - аек))];

Оіо(х) = -^5-[Мі(ж)М2(ж - аєі) - М2(х)М1(х - ое2)]. (34)

В терминах этих полей выбирается следующая форма глюонной части действия:

которая получается из исходной формы действия в непрерывном пространстве в координатах (31), близких к координатам СФ, после перехода к формулировке на решётке [14, 15]. Предполагается, что параметр Д2(а) ^ то при а ^ 0 и что а2д2(а) ^ 1 при любых а, так чтобы матрицы Ык (х) можно было заменять на унитарные в процессе приближённого построения волновых функций, а в пределе а ^ 0 восстанавливалась бы исходная теория в непрерывном пространстве.

Часть действия, содержащая фермионные поля в координатах СФ, принимает следующий вид в формулировке на решётке:

где к - параметр, связанный с конденсатом. Также здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, таким как к, г, і. Действие записывается в координатах СФ (т. е. в пределе п ^ 0), так как, ввиду антипериодических по х- граничных условий, фермионные поля не содержат нулевых мод, и предельный переход к формулировке на СФ не даёт новых результатов по сранению с непосредственным квантованием на СФ. Эффекты, связанные с фермионным конденсатом, здесь учтены дополнительными членами по аналогии с КЭД (1+1). Эти члены ведут к соответствующим добавкам в гамильтониане на СФ после подстановки в действие выражения для ^_, полученного путем решения канонической связи:

- (\|/1(ж)оггМгг(ж)\|/_|_(ж - аек) +\|/|(ж)оггМгг(ж)\|/_(ж - аек) - э. с.) -

а

і\/2д-\цІ_(х) - (акМ3к1(х)\\і'+(х - аек) - акМ^+(х + аек)\\13+(х + аек)^ -

а\/

Выражая из этой связи и подставляя в действие, получим:

Рассмотрим переход к каноническому формализму (для глюонов сначала на гиперплоскости х+ =0). Глюонному полю Мк (х) сопряжен «импульс»

Нулевая мода этой связи есть генератор калибровочных пребразований, не зависящих от х-. В квантовой формулировке эта часть связи рассматривается как условие на векторы физического подпространства состояний, и это условие легко выполнить при по-

другие переменные, и такое выражение подставляется в гамильтониан. Учитывая это, можно записать глюонную часть гамильтониана в следующем виде:

Далее опишем процедуру предельного перехода на СФ для данного гамильтониана. Заметим, что при фиксированных значениях Ь и а гамильтониан можно разложить в ряд по степеням параметра п следующим образом:

Обратимся к описанию собственных значений и собственных состояний этого гамильтониана в рамках теории возмущений по малому параметру п. Имеем

Условие конечности «энергии» Е в пределе п ^ 0 есть Ео = 0. Это условие можно обеспечить, выбирая минимум оператора Но и вычитая его минимальное собственное значение.

Чтобы реализовать высказанную выше идею особого учёта вклада нулевых мод глюонного поля, обратимся к действию (35) и выделим в зависящем от п члене

Вариация действия по Л++ (х) порождает калибровочную связь 1-го рода:

2д^_(х) = ^ (М11(х)^(х) -І^(х + аек)МІ/(х + аек) -ІГ^+(х)МІ1+(х) +

+ М1кг+(х + ае■ь)П|/+(ж + аек)^ - д\/2\\/^(ж)\|/* + (ж). (39)

строении состояний на решётке с помощью «рёберных» переменных Мк (х).

Остальная часть связи (39) позволяет выразить ненулевые моды поля Р+— через

ь

Н=-^Н„ + Н2 + 0(ц2). п2

(Н -Е)/ = 0, / = /о + г|/і + • • • , Е = \е0 + Е2 + 0(г|).

п2

(41)

П2О+к (х)О+к (х) вклад нулевых мод полей О+к (х) и 0+к (х). Заменим в нём п на параметр конденсата По. При этом в гамильтониане получим иной вклад нулевых мод полей Пк и П+:

„2

ПоI

где нулевые моды определены формулой Пок+ (х) х). Теперь этот член

не даёт вклада в Н0.

Рассмотрим уравнение низшего порядка по п:

Но/о = 0.

Это уравнение определяет форму состояний в пределе П ^ 0, т. е. на СФ. Чтобы получить пространство Фока на СФ, введём следующее преобразование Фурье операторов поля:

М'к(х) = М^) + :ф= ^КВ'пк(х±) + в'-п,к(х±)) +

+ ъ(А!к (хх) + х ))]\ри\-1/2е-р х-.

Пк(Х) = ^1П0к(Х±) + 7“Щ Е[(Впй(-г-±) - В-п,к(х±)) ~

У * п=о

- г(^к ^) - А-+}к (х±))]\р„\1/2 е-^5- . (42)

Операторы А1Пк ,А1П+, и ВЦк. В^к+ удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям, характерным для операторов уничтожения и рождения при фиксированном х+. Подставляя эти выражения в Но, получаем (с точностью до константы):

Но = 2 ЕЕЕ ^\ (АП’к+ АПк + Щ+ ВЧк) . (43)

х± п^о

Следовательно, пространство состояний /о может быть определено следующими уравнениями:

АПк/о = БЦк/о = 0.п< 0. (44)

В следующем порядке по П получаем / =0.

Далее,

Но/2 + Н2 /о = Е2/о.

Проекция этого уравнения на подпространство {/о}, Р{/} = {/о}, имеет вид:

(РН2Р — Е2) /о = 0

Такое уравнение определяет собственные значения гамильтониана на СФ, т. е.

Р+ = РН2Р.

С другой стороны, данная проекция позволяет в силу равенств (44) исключить операторы АПк ,аш+ .вПк .вт+ с п < 0. Могут остаться от них только вклады их нормальных

14

сверток, если в исходное выражение они входили не в нормально упорядоченном виде. Что касается зависимости от операторов Лг^к ,ЛП+, Бг^к, Бг^+ при п > 0, которые определяют операторы уничтожения и рождения на СФ, то она тоже может быть приведена к нормальной форме по отношению к этим операторам. Простое, хотя и громоздкое, рассмотрение процедуры приведения к нормальной форме позволяет получить следующее выражение для гамильтниана на СФ:

Р+ =: Н : +ДР+,

ДР+ =£ Ер-

\.п>0

д4м

АІґа?

XX3 ^ (п+й(х±)Пок(х±)) +

Чп>0

+ ~2 ( ЕР« 1 ) ^ (М0к(х±)М0к(х±)) +

а \п>0 )

+ |г5 Е (“■ + +Рп-т) *г {Апк(Х±)Лпк{х±) + В+к{х±)Впк{х±)) +

т,п>0 ^Рт Рп '

д2^

+ + - Е (рт—п рт+п—1 + рт1 {Рт+п—1/2 - рт—п+1/2)) х

8 Ьа2 ^ кРт~п

т, п>0

х Е[ьп+(х±Жк(хЛ)+€-!,к(х±у]3и-1,к(хЛл}, (45)

3 )

где : Н2 : означает выражение для Н2 (в пределе п ^ 0), в котором моды глюонных полей с п < 0 надо положить равными нулю, а моды с п > 0 нормально упорядочить. Сингулярные слагаемые в суммах по п, т должны быть исключены. Операторы рождения и уничтожения фермионов, Ь/к(хЛ), Ь3пк(хЛ) и 3/+(хЛ), З3пк(хЛ), определяются по аналогии с формулами (15), (16). Кроме того, в приведенном выражении для ДР+ не выписан член вида

(46)

с некоторой константой С, поскольку в пределе унитарных матриц Мк (х) он сводится к постоянной, не существенной с точки зрения исходной теории в непрерывном пространстве.

В рамках такой полуфеноменологической модели описание вакуума естественно связывать с нахождением минимума гамилтониана Р+ на подпространстве с минимальным значением оператора импульса Р—. На этом подпространстве вклад ненулевых мод полей в нормально упорядоченное выражение (45) для Р+ исчезает, и остается выражение, зависящее только от нулевых мод глюонного поля.

Обозначим через Ро проектор на подпространство с минимальным значением Р—. Тогда рассматриваемое выражение можно записать в следующем виде:

РоР+Ро = Е Е^

х± I к

2Ь

СоП+к (х^)Пок (хЛ) + СМ+к (хЛ)Ыок (хЛ) +

+

(Моі(х)Мо2(х - аеі) - Мо2(х)Моі(х - ає2)) (Моі(х)Мо2(х - аеі) -

3

— Мо2(ж)Мо1(ж — аео)) + ^ ^ 2—(^|ТА;(‘г’)^0;г(ж) — /)"

2д

где Со - параметр, связанный с По:

^ = 2Ьг)2 +4]А^ &"3> (48)

10 п>0

а С - произвольная константа при члене, который превращается в постоянную в пределе унитарности матриц М0к(х).

Выражение (47) напоминает гамильтониан (2+1)-мерной калибровочной теории с пространственной решеткой по координатам (х1, х2) и временем х+. Такой гамильтониан может быть получен, исходя из следующей формы действия:

52+1 = / Сх+ tr

д2а2С0 1С+к(хЛ,х+)С+к(хЛ,х+) - СМ+(хЛ,х+ )Мок(хЛ,х+) -

2Ь

(Мо1(х±,х+)Мо2(х± — ае 1,ж+) -

да

— М02(хЛ, х+)М01(хЛ — ае2,х+)) + (М01(хЛ,х+)М02(хЛ — ае1, х+) —

- Мо2(х±,х+)Мо1(х± -ае2,х+)) - ^-^^(М+к(хЛ,хЛ)М0к{х±,х+) - I)2

2д

• (49)

Введение, вместо унитарных, комплексных матриц М0к (хЛ) здесь не обязательно, так как в рассмотренной выше (3+1)-мерной теории введение произвольных комплексных матриц, вместо обычно используемых на решетке Вильсона [17] унитарных матриц, было обусловлено только трудностями, связанными с предельным переходом на СФ [18]. Следовательно, для построения волновой функции вакуумного состояния можно воспользоваться решением этой проблемы в рамках формулировки с унитарными матрицами М0к (хЛ). Идея и способ такой формулировки подробно описаны в работе [19].

Заключение. В данной статье предлагается способ полуфеноменологического учета параметров вакуумного конденсата в КХД при квантовании этой теории на световом фронте (СФ), где описание квантового вакуумного состояния существенно упрощается по сравнению с его описанием при обычном квантовании на пространственноподобных поверхностях. Это дает возможность применять непертурбативные методы решения аналога стационарного уравнения Шредингера на СФ с целью нахождения спектра масс связанных состояний. Учет параметров вакуумного конденсата осуществляется полуфеноменологически с помощью «нулевых мод» поля, т. е. нулевых мод Фурье по светоподобной координате х- . При этом используются точные результаты, полученные при исследовании данной проблемы в (1+1)-мерной квантовой электродинамике. Такое исследование показывает, как можно ввести «вакуумную динамику» нулевых мод, дающую описание вакуумных конденсатов в КХД. Формулировка КХД на СФ, включающая калибровочно инвариантную регуляризацию ультрафиолетовых расходимостей, осуществляется с помощью введения решетки по «поперечным» координатам х1,х2. Кроме этого, вводится ограничение пространства по координате х-с соответствующими периодическими граничными условиями на поля. Данные регуляризации нарушают лоренцеву симметрию, что может усложнить проблему получения правильных лоренц-инвариантных результатов в пределе снятия регуляризации.

Отметим, что аналогичный подход к учету только фермионного вакуумного конденсата в гамильтониане КХД на СФ проводился в работе [20].

1. Dirac P. A. M. Forms of relativistic dynamics // Rev. Mod. Phys. 1949. Vol. 21. P. 392-398.

2. Franke V. A., Novozhilov Yu. V., Prokhvatilov E. V. On The Light Cone Formulation of Classical Nonabelian Gauge Theory // Lett. Math. Phys. 1981. Vol. 5. P. 239-245.

3. Franke V. A., Novozhilov Yu. V., Prokhvatilov E. V. On The Light Cone Quantization of Nonabelian Gauge Theory // Ibid. 1981. Vol. 5. P. 437-444.

4. Burkardt M., Langnau A. Rotation invariance in light-cone quantization // Phys. Rev. (D). 1991. Vol. 44. P. 3857-3867.

5. Пастон С. A., Франке В. A. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лоренцевых координатах // Tеор. мат. физика. 1997. Т. 112. С. 399-416; hep-th/9901110.

6. Пастон С. A., Прохватилов E. В., Франке В. A. Гамильтонов формализм на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, эквивалентный лоренц-ковариантному подходу // Tам же. 2002. Т. 131. P. 84-97; hep-th/0302016.

7. Paston S. A., Prokhvatilov E. V., Franke V. A. On the construction of corrected light-front Hamiltonian for QED2 // 48 p. hep-th/0011224.

8. Прохватилов E. В. Бозонизация КХД-2 гамильтониана и проблема вакуума // Tеор. мат. физика. 1991. Т. 88. С. 17-24.

9. Пастон C. A., Прохватилов E. В., Фран^ В. A. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах светового фронта // Ядерн. физика. 2005. Т. 68. С. 292-303; hep-th/0501186.

10. Sriganesh P., Hamer C. J., Bursill R. J. A new finite lattice study of the massive Schwinger model // Phys. Rev. (D). 2000. Vol. 62. P. 034508-(1)-034508-(14); hep-lat/9911021.

11. Byrnes T., Sriganesh P., Bursill R. J., Hamer C. J. Density matrix renormalization group approach to the massive Schwinger model // Ibid. 2002. Vol. 66. P. 013002-(1)-013002-(38); heplat/0202014.

12. Прохватилов E. В., ФранKe В. A. Приближенное описание КХД конденсатов в светоподобных координатах // Ядерн. физика. 1988. Т. 47. С. 882-883.

13. Прохватилов E. В., ФранKe В. A. Предельный переход к координатам светового фронта в теории поля и КХД гамильтониан // Там же. 1989. Т. 49. С. 1109-1117.

14. Franke V. A., Novozhilov Yu. V., Paston S. A., Prokhvatilov E. V. Quantization of field theory on the light front // 47 p. hep-th/0404031.

15. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Калибровочно-инвариантная регуляризация квантовой теории поля на световом фронте // Tеор. мат. физика. 2004. Т. 139. С. 429-448; hep-th/0303180.

16. Franke V. A., Paston S. A., Prokhvatilov E. V. QED (1+1) on the light front and its implications for semiphenomenological methods in QCD (3+1) // 9 p. hep-th/0610160.

17. Wilson K. G. Confinement of quarks // Phys. Rev. (D). 1974. Vol. 10. P. 2445-2459.

18. Grunewald D., Ilgenfritz E. M., Prokhvatilov E. V., Pirner H. J. Formulating light cone QCD on the lattice // 48 p. hep-th/0711.0620

19. Creutz M. Gauge fixing, the transfer matrix, and confinement on a lattice // Phys. Rev. (D). 1977. Vol. 15. P. 1128-1136.

20. Dalley S., McCartor G. Spontaneously broken quark helicity symmetry // Ann. Phys. 2006. Vol. 321. P. 402-420.

Принято к публикации 2 сентября 2008 г.