Киральное поле кварков и параметризация векторного поля в КХД Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 539.1.01

В. Ю. Новожилов, Ю. В. Новожилов

КИРАЛЬНОЕ ПОЛЕ КВАРКОВ И ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ В КХД*

Введение. Конфайнмент все ещё остается одной из важнейших проблем КХД. Наиболее вероятным путем к её решению считается сценарий с конденсацией магнитных монополей [1—4]. Поэтому в последнее десятилетие были предприняты значительные усилия для того, чтобы найти такую параметризацию калибровочного векторного поля в чистой КХД (без кварков), которая бы содержала необходимые топологические свойства. В модели узлов Фаддеева-Ниеми [6], была предложена картина топологических возбуждений в КХД, для обоснования которой были построены две параметризации поля КХД [7, 8]. Одна из них включала параметризацию Чо [9, 10], который для описания топологических переменных ввёл явно магнитную связность в глюонное поле.

Однако пренебрежение ролью кварков вызывает вопрос, в какой мере такое приближение оправдано. Благодаря киральной аномалии [11, 12], цветной калибровочный сектор и цветной киральный сектор являются частями общего цветного пространства. Цветная киральная бозонизация [13] описывает аномальный сектор с помощью эффективного действия, и было показано, что такое действие допускает существование стабильных солитонов-скирмионов [14-16]. Это значит, что топологические свойства, необходимые для магнитных монополей, могут быть привнесены в общее цветное пространство при учёте киральных переменных кварков. Учёт киральных фаз кварков и их проявление в свойствах глюонов и составляет нашу задачу. В данной публикации, основанной на статьях [17, 18], мы рассматриваем вопрос, каким образом следует добавлять киральное поле кварков к калибровочному полю КХД, с тем чтобы общее число цветных переменных при этом не изменилось.

Исходные положения. Цветная киральная группа. В этом разделе мы введём лево-правую группу Би(3)^ х Би(3)д, киральное поле и киральную аномалию. Рассмотрим безмассовые кварки во внешних векторном и аксиально векторном полях У^,А11 и оператор Дирака

где Ьа,а = 1, 2,..., 8 - это генераторы. Киральное преобразование кварков имеет вид

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России, гранты № РНП.2.1.1/1575 и АВЦП № 2.2.1.2/3177.

© В. Ю. Новожилов, Ю. В. Новожилов, 2009

(1)

Уь = ЧьУь, у'к = ЧкУк, ¥ = ¥ь + ¥к,

(2)

где |l (x) и |r (x) - это локальные киральные фазовые множители левого и правого кварков уL и уд, представленные унитарными матрицами в фундаментальных представлениях левой SU (3)l и правой SU (3)д подгрупп киральной группы Glr = = SU (3)L х SU (3)д. Для \|/L = i (1 + y5) \|/ и \|/д = \ (1 - у5) \|/, генераторы tLa и íRa левой и правой подгрупп Gxñ могут быть записаны в виде í¿a = | (1 + ys)^a, tRa = = I (1 — Уб) ^а, [¿ьа,^дь] = 0, где ка, а = 1, 2,..., 8 - это матрицы Гелл-Манна. Тогда левые и правые кварковые киральные фазовые матрицы |l , Ir возникают при применении операторов 'E¡l = exp(—itLawLa), |r = exp(-itRawRa) к левому и правому кваркам yL и уд. Векторное калибровочное преобразование g (x) порождается генератором ta = tLa + tRa = Xa/2, это значит, что g (x) есть произведение |L (x) |R (x) одинаковых левого и правого вращений, №l = Юд = а. Генератор чисто киральных преобразований есть g5 (x) = t5a = у5ka/2 = tLa — tRa; следовательно, g5 (x) имеет те же свойства, что и |l (x) IR (x) для ЮL = Юд = 0. В инфинитезимальной форме преобразование оператора Дирака есть

ô 0 = [¡^аака,Щ + {*^5©Да,0}- (3)

Выпишем перестановочные соотношения для ta,t^a:

[ta,tb] — ifabctc, [ta,t5b] — ifabct5c, [t5a,t5b] — ifaЬctc, (4)

где fabc - это антисимметричные структурные постоянные группы SU (3).

Вместо фазовых матриц |L и |R удобно работать с киральным полем U = |R|L, которое описывает вращение только левого кварка при неподвижном правом кварке ¥L ^ vL = UYl, ¥ ^ vR = Yr. Обычный выбор киральной калибровки есть ‘E>R = ‘Е+, тогда киральное поле равно квадрату левой киральной матрицы:

U = ¥l = exp in, П = na^a, (Б)

где мы используем обозначение П из мира аромата. Для построения U можно воспользоваться алгеброй в базисе Картана с диагональными матрицами Hi,H2 и недиагональными матрицами в виде

E±i = -^-j= (Xi ± ik2), Е±2 = (Х4 ± ik5), £±3 = (Х6 ± гХ7).

В приложениях с SO(3)-монополями и SU(3)^0(3)-пространством удобно рассматривать SU(3) в SO(3)-базисе [19]. Группа SO(3) является максимальной подгруппой SU(3). Мы вводим две эрмитовы матрицы: N (x) и NN2 (x), где NN (x) содержит только антисимметричные матрицы Гелл-Манна, N = nkOk, Ok = ("кг, -к5, ^2), nknk = 1, N3 = N, в то время, как N2 содержит только симметричные к. В этом базисе киральное поле в SU(3)-КХД имеет вид

U (а, ß) = exp Ш (а, ß) = exp і ^Ña + (-{Ñ1, Ñ"} — -trN'

(б)

где матрицы N', N" зависят от БО(3) нормалей и'к, и". Три нормали вместе с переменными а, в, дают 8 параметров Би(3).

Киральное преобразование кварков в лагранжиане Дирака эквивалентно следующему преобразованию оператора Дирака (1):

У D (V, A) У = yD (VU, AU) y,

Vй = \[U+{d + У + A)U + {V- A)], Au = \[U+{d + V + A)U -(V - A)]. (7)

Рассмотрим теперь кварковый континуальный интеграл

Zv [V, А} = J d\iexpi J dx\\i ip (V, А) \|/.

Чтобы выявить воздействие цветных киральных фаз на внешние поля, выделим явно киральные фазы кварков посредством преобразования кварковых полей у ^ у' в лагранжиане Дирака. Преобразованный континуальный интеграл Z(v равен первоначальному интегралу, но как функционалу от кирально повёрнутых полей Zy [V, A] = = Zy [VU,AU]. Именно интеграл такого вида является исходным в нашей задаче:

Z^[V,A] = Zxv [VU,AU] = J d\i exp i J dxyft(Vu,Au)y. (8)

Кварковый континуальный интеграл (8) инвариантен относительно векторных калибровочных преобразований, но изменяется при киральных преобразованиях вследствие неинвариантности фермионной меры dydy [20]: киральные преобразования аномальны, и зависимость от кирального поля в (8) неустранима. Киральная аномалия A есть отклик величины ln Zy на инфинитезимальное киральное преобразование SU = iQaTa = 0. Полагая Us) = exp 0s, находим выражение для аномалии A (x, 0):

А = 1

i bs

. (9)

s = 1

Таким образом, киральные фазы кварков взаимодействуют с внешними полями на квантовом уровне.

Условие инвариантности. Киральное поле как направление в цветном пространстве КХД. Применим схему, обрисованную в предыдущем разделе, к случаю КХД. Векторное калибровочное поле в операторе Дирака (1) теперь будет полем КХД. В случае КХД только это поле является динамическим, а аксиального динамического поля A не существует. Так как векторное поле входит в лагранжиан Дирака. то в однопетлевом приближении мы должны считать его фоновым полем. Обратимся к формулам (7). В отсутствии динамического аксиального поля, AU есть аксиальная компонента кирально повёрнутого калибровочного поля КХД, и вместо (7) мы имеем

Vu = ^[U+(d + V)U + V],AU = i[U+{d + V)U-V)]. (И)

Таким образом, кварковый континуальный интеграл (8) нашей задачи приобретает вид

ZW,U] = j d^Q exp iIeS (V + Q) Zy [VU,AU] , (12)

где Q есть квантовое поле, по которому интегрируется в (12), и Ieg есть эффективное действие КХД, включающее как член с духами Фаддеева-Попова, так и калибровку.

Рассмотрим поле КХД Vi и два поля, возникающие из него при киральном преобразовании U, а именно, калибровочное поле V^ и аксиально векторное поле AU. Вводя цветное киральное поле кварков U, мы получаем систему с избыточным числом степеней свободы с точки зрения чистой КХД. Поэтому параметризация глюонного поля в рамках лево-правой цветной группы с привлечением кирального поля должна сопровождаться условиями, исключающими часть переменных. Для этого мы должны рассмотреть соотношение между полем КХД V и кирально повёрнутым полем V U и установить, в какой мере эти поля могут быть созданы из одного и того же материала, так чтобы киральные переменные были либо фиксированы, либо содержались бы среди переменных векторного калибровочного поля. Это требование является основным в нашем подходе.

Рассмотрим два простых выражения для комбинаций VU ± AU:

VU + AU = U +д + Vi)U, VU - AU = V (13)

Из (13) следует, что если киральное поле было бы регулярным калибровочным преобразованием, то комбинации (VU ± AU )ц приводили бы к одинаковым напряжённостям (VU ± AU) . При топологически нетривиальном U эти комбинации описывают различ-

ные ситуации.

Чтобы сократить число излишних переменных, появившихся в связи с введением кирального поля, сформулируем дополнительное условие киральной инвариантности, которое определит ту комбинацию поля КХД V^ и кирального поля U, которая инвариантна относительно кирального преобразования:

(VU )U = VU. (14)

Обозначим калибровочное поле, отвечающее условию (14), посредством V^1. Оно будет содержать киральные переменные. Аксиально векторное поле A^, вычисленное с полем Vn вместо Vi, равно нулю

А% = \\и+{д» + У?)и-У?]=0.

Из (14) следует также, что выполнятся соотношение

U2 = exp iZ, дцZ = 0. (15)

Независимо от типа цветной группы, условие инвариантности (14) не может быть верным во всём цветном пространстве, но оно может быть удовлетворено в области с ограниченным числом переменных. Такая область может быть найдена изучением (ViU ^ Vi)-детерминанта. Рассмотрим соотношение между матрицами 8x8 глюонного поля V и кирально повёрнутого поля V U (x) в присоединённом представлении

1 i 1 1

(V^)ab=^(l + R(U))abVtlb + --(UdtlU+)ab, Rab(U) = - tv (\aU\bU+), (16)

где киральное поле U = ^ = exp i0, 0 = Xa0a записано в киральной калибровке

= ^д, и Xa, a = 1, 2,..., 8 есть матрицы Гелл-Манна. Киральное поле представлено унитарной матрицей

U = exp in, П = Xana, (17)

которую запишем в базисе (6). Для вычисления детерминанта det ^ (1 + R (U)) достаточно ограничиться случаем Nl = Nll = N, когда киральное поле имеет вид

U ^ U (Ñ, а, ß ) = exp

І + iNeiß sin а + N2 (eiß cos а - І)

(І8)

Если собственные значения матрицы N расположены как diag(l, —1,0), то переменные в (18) равны а = ©з, (3 = ©8\/3. Вычисление детерминанта даёт

det ^ (1 + R (U)) = ^ (1 + eos 2а) ^ (1 + eos (а + (3)) ^ (1 + eos (а - (3)). (19)

Этот результат можно получить в базисе (изоспин I3, гиперзаряд Y), где диагональные элементы матрицы R (U) = exp i (I32а + Y2в) в присоединённом представлении U описываются октетом. В терминологии аромата такой октет составляют пионы (I = 1,

Y = 0), K-мезоны (I = 1/2, Y = 1/2), K-мезоны (I = 1/2, Y = —1/2) и о-мезон (I = 0,

Y = 0).

Детерминант (19) инвариантен относительно отражений (а, в) ^ (—а, —в). Он исчезает при значениях (а, в) равных (п/2,0), (п/2, ±п/2) и (0, п), характеризующих сингулярные поверхности в киральном цветном пространстве ©. Первый из этих наборов, (п/2,0), соответствующий подгруппе SO (3), даёт один нулевой множитель в детерминанте и киральное поле U (N, п/2, 0) = exp iN а = 1 + iN — N2.

Два совпадающих нулевых множителей в (19) соответствует двум простым корням группы SU (3). Вместе с сингулярностью, соответствующей комплексному корню, можно определить три цветных киральных поля U ^N, а, в^ SU (3). Для пары (а, в) = (0, п) мы получаем киральное поле

U ( Ñ, 0, JT ) = (1 — 2Ñ¿) exp ( — і—j = mi exp .

При значениях (а, ß) = (п/З, п/З) имеем

U (j4, jt/2, jt/2^ = (і — N — N2) exp = m2 exp

(ЗО)

(ЗІ)

В случае третьего набора мы имеем U ^N, л/2, -n/2j = m3 exp (-гл/3).

Во всех трёх случаях mk представляют собой нормированные эрмитовы матрицы 3x3 в цветном пространстве: m2 = 1. Произведение двух таких матриц равно третьей матрице с точностью до постоянной фазы. Диагональные формы этих матриц имеют вид

m0 = diag (-1, -1,1), m2 = diag (-1,1,1), m3 = diag (1, -1,1).

Такие же диагональные матрицы соответствуют вложению скирмионного типа U(2) в SU(3), когда киральное поле содержит П = \knk + E33, E33 = diag(0, 0,1). В общем случае выражения для нормалей зависят от характера сохраняемой симметрии. Их можно записать в виде

mk = Sm°k S+, (22)

где S есть унитарное SU(З)-преобразование, одинаковое для всех к = 1, 2, 3 и принадлежащее пространству SU(3)/U(1)2, если выделены два ортогональных направления в цветном пространстве. Тогда S определено с точностью до правого умножения на унитарную диагональную матрицу общего вида и зависит от шести параметров, связанных

с недиагональными матрицами к'. Если каждая нормаль т рассматривается отдельно, Шк = Б (к) т°кБ+ (к), то Б (к) принадлежит пространству (3)/и(2), и различные нормали Шк не коммутируют. Диагональные матрицы тк — 1/3, к = 1, 2, 3, находятся в следующем соотношении с корнями г (к):

т0к — 1/3 = ±Б(к), (23)

где Д(к) описывает вложение магнитного монополя группы Би(3) вдоль корня г (к). Таким образом, условие инвариантности, которое выражает отсутствие излишних цветных степеней свободы, вносимых киральным полем и, определяет это поле как выделенное направление т в цветном пространстве, и, следовательно, определяет то подпространство цветной группы Би(3), которое может быть использовано для параметризации поля КХД Vа. Из трёх возможностей выбрать это направление мы выбираем

ш0 = ^(1,1, — 1) = 2У +1/3, (24)

где У есть цветной гиперзаряд. Следовательно, киральное поле и = Бт0Б + есть орбита Би(3) через гиперзаряд У. Унитарная матрица Б определена с точностью до правого умножения Б ^ Бд, где д € и(2) есть и(2), построенное на матрицах кк, к = 1, 2, 3, 8. Это характеризует комплексное проективное пространство СР2 = Би(3)/и(2). Орбита Б содержит матрицы к^, А = 4, 5, 6, 7.

Кирально инвариантное векторное поле и аксиальная компонента. Обратимся к киральной параметризации векторного поля КХД V*. В этой задаче исходной формулой служит второе выражение в (13), а именно

V* = V? — А?, (25)

в котором повёрнутые поля в правой части параметризуются с помощью кирального

поля и = Бт0Б+ = т. Из структуры (11) кирально повёрнутых полей при и = т

вытекает, что

Vй = 1-[и+{д + У)11 + У], Аи = 1~[и+{д + У)и-У)\, (26)

т. е. векторная компонента V? содержит коммутатор V* и т, а аксиальная компонента А? - антикоммутатор этих величин. Это значит, что любое поле Ва, коммутирующее с т, даёт вклад только в векторную часть V?, в то время как поле Ха, которое анти-коммутирует с т, даёт вклад только в аксиальную часть А?. Кирально инвариантное векторное поле Vp имеет вид

УЦ2 = Сц (то — 1/3) + + -тд^т, (27)

где Са есть абелево поле, а Оа - и(2)-составляющая поля Vp, так что [т, Са] = 0. Поле А?, представляющее собой аксиальное дополнение к полю Vp, при этом исчезает:

< = (Уп) То = 0. (28)

Направление т ковариантно постоянно.

Аксиальное векторное поле ЛЦ ; рассмотрим второй член в (25). Из дискуссии в связи с (26) явствует, что поле ЛЦ должно антикоммутировать с киральной нормалью т. Это определяет набор матриц X, который можно использовать при построении вклада X, в поле ЛЦ :

¡я

X, = SXaxa,S + ,a = 4, 6, 6, 7, (29)

обладающего свойством {X,, т} = 0. Киральная нормаль т антикоммутирует также со своей производной д,т, что позволяет построить слагаемое Yi в выражении для ЛЦ :

Y, = фд,т + іутд,т, (30)

где введены бесцветные функции ф, /. Такие члены существуют в случае двух цветов [6]. Итак, киральная параметризация поля КХД V, даётся выражением

V, = VU - ЛЦ = V« - Л,, Л,= X, + Y,, (31)

где векторная составляющая приведена в (27), а аксиальная - в (29), (30).

Таким образом, существуют два сектора в киральной параметризации (31) векторного поля КХД:

1) СР2-сектор. Комплексное проективное пространство CP2 появляется вместе с ки-ральным полем U = т = SrnoS + в виде орбиты SU(3) через то. Киральная нормаль т является основной величиной, которая вместе с абелевым полем C определяет векторное поле в секторе

(УЛ СР2 = тС\и + \mdvm-

Аксиальная компонента Л, антикоммутирует с т.

2) U(2)-сектор с векторным полем (V,«)ц(2) = G,, которое коммутирует с киральным полем U = т. Аксиальная составляющая в этом секторе отсутствует.

Обсуждение результатов. Во-первых, существование СР2-сектора есть то, что отличает предлагаемую нами киральную параметризацию векторного поля КХД в случае SU(3) от других параметризаций [10, 21-23].

Во-вторых, наличие СР2-сектора позволяет найти однопетлевые кварковые поправки к эффективному действию путём интегрирования киральной аномалии. Эти поправки выражаются через аксиальную векторную компоненту и содержат как топологическую, так и нетопологическую части [17, 18].

В-третьих, анализ векторного поля в секторе СР2 [18] показывает, что основными блоками в нём служат цветные изоспиноры типа K-мезонов.

Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай SU(N).

Литература

1. Nambu Y. Strings, monopoles and Gauge fields // Phys. Rev. (D). 1974. Vol. 10. N 12. P. 4262-4281.

2. t’ Hooft G. Gauge fields with unified weak, electromagnetic and strong interactions // High Energy Physics / ed. by A. Zichichi. Bologna: Editotrice Compositori, 1975. P. 137-152.

3. Mandelstam S. Vortices and quark confinement in nonabelian gauge theories // Phys. Rep. 1976. Vol. 23. P. 245-279.

4. Polyakov A. M. Quark confinement and topology of gauge fields // Nucl. Phys. (B). 1977. Vol. 120. P. 429-458.

5. Faddeev L. D. Quantization of solitons // Preprint IAS. Print-75-QS70. Princeton, 1975. 32 p.

6. Faddeev L., Niemi A. Decomposing the Yang-Mills fields // Phys.Lett. (B). 1999. Vol. 464. N 1. P. 90-93.

7. Faddeev L., Niemi A. Aspects of electric and magnetic variables in SU(2) Yang-Mills theory // Phys. Lett. (B). 2002. Vol. 525. N 1-2. P. 195-200.

8. Faddeev L., Niemi A. Spin-charge separation, conformal covariance and the SU(2) Yang-Mills theory // Nucl. Phys. (B). 2007. Vol. 776. N 1-2. P. 38-65.

9. Cho Y. M. A restricted gauge theory // Phys. Rev. (D). 1980. Vol. 21. N 4. P. 1080-1091.

10. Idem. Extended gauge theory and its mass spectrum // Ibid. 1981. Vol. 23. N 10. P. 2415-2425.

11. Adler S. L. Axial vector vertex in spinor electrodynamics // Phys. Rev. 1969. Vol. 177. N 10. P. 2426-2438.

12. Bell J. S., Jackiw R. PCAC puzzle in pion-gammas decay in the sigma model // Nuovo Cim. (A). 1969. Vol. 60. P. 47-61.

13. Andrianov A., Novozhilov Yu. The chiral bosonization in nonabelian gauge theories // Phys. Lett. (B). 1985. Vol. 153. P. 422-427.

14. Novozhilov V., Novozhilov Yu. Color soliton-skyrmion // Ibid. 2001. Vol. 522. P. 49-55.

15. Новожилов В. Ю., Новожилов Ю. В. Цветной скирмион в вакуумном поле: асимптотика, стабильность и возможность конфайнмента // Теор. мат. физика. 2002. T. 131. № 1.

C. 62-71.

16. Они же. Солитон-скирмион в расширенной киральной группе Ех, включающей диквар-ковые параметры // Там же. 2006. T. 149. № 3. C. 386-394.

17. Novozhilov V., Novozhilov Yu. Chiral bosonization, chiral parametrization of gluonic field and QCD effective action // Mod. Phys. Lett. (A). 2006. Vol. 21. P. 2649-2662.

18. Iidem. Chiral parametrization of QCD vector field in SU(3) // Idem. 2008. Vol. 23. P. 3285-3297.

19. Judd B. R., Miller W., Patera T., Winternitz P. Complete sets of commuting operators and

0(3) scalars in the embedding algebra of SU(3) // J. Math. Phys. 1974. Vol. 15. P. 1787-1799.

20. Fujikawa K. Chiral and scale anomalies in the quantum field theory // Phys. Rev. Lett.

1979. Vol. 42. N 10. P. 1195-1199.

21. Болохов Т. А., Фаддеев Л. Д. Инфракрасные переменные для SU(3) поля Янга-Миллса // Теор. мат. физика. 2006. T. 139. № 2. C. 276-290.

22. Shabanov S. Effective action for monopoles and knot solitons in the Yang-Mills theory // Phys. Lett. (B). 1999. Vol. 458. N 3. P. 322-330.

23. Walker M. L. Extending SU(2) to SU(N) QCD // Ibid. 2008. Vol. 662. N 4. P. 383-387.

Принято к публикации 1 июня 2009 г.