CC BY
62
2006_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3
МАТЕМАТИКА
КАФЕДРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ СПбГУ —50 ЛЕТ
Кафедра математической физики — самая молодая из кафедр отделения математики математико-механического факультета, она была образована в 1956 году. К этому времени уже в течение 9 лет при университете работал городской семинар по математической физике, руководимый академиком В. И. Смирновым. В работе семинара активное участие принимали О. А. Ладыженская, Л. В. Канторович, С. Г. Михлин, В. А. Якубович, Х. Л. Смолицкий, Л. Н. Слободецкий, М. М. Смирнов, М. Ш. Бирман, В. М. Бабич и другие математики. Часто выступали с докладами специалисты по функциональному анализу, гидромеханике, теоретической физике.
К середине ХХ века многочисленные приложения, в первую очередь квантовая механика, вызвали к жизни новые разделы теории уравнений о частными производными* — уравнений математической физики, как их традиционно называли. В 1951 году в издательстве Ленинградского университета С.Л.Соболев публикует свою знаменитую книгу «Некоторые применения функционального анализа в математической физике». В это же время французский математик Л. Шварц пишет книгу по теории обобщенных функций. Эти и другие работы фактически произвели революцию в теории уравнений с частными производными. Функциональный анализ, пространства Соболева, обобщенные функции стали неотъемлемой частью этого раздела математики. Стало очевидно, что классические подходы к изучению уравнений математической физики уже не соответствуют требованиям времени. Кафедра, созданная по инициативе В. И. Смирнова, была призвана в первую очередь модернизировать преподавание этой дисциплины на математико-механическом факультете.
Владимир Иванович Смирнов возглавил кафедру и был ее заведующим вплоть до своей кончины в 1974 году. При организации кафедры ее сотрудниками стали также профессор С. Г. Михлин и доценты В.М.Бабич и М.М.Смирнов. Большую поддержку кафедре в разработке и чтении общих и специальных курсов оказали профессора физического факультета О. А. Ладыженская и М. Ш. Бирман.
В 1959 году после окончания аспирантуры физического факультета на кафедру пришла Н. Н. Уральцева. Несколько позднее состав кафедры пополнили выпускник физического факультета В.И.Дергузов и М. З. Соломяк, который после окончания кафедры математического анализа уже несколько лет проработал в других вузах. Все эти сотрудники довольно скоро защитили докторские диссертации и впоследствии стали профессорами.
*В литературе используется также термин «уравнения в частных производных».
Городской семинар по математической физике 1968 г.
О. А. Ладыженская, В. И. Смирнов, С. Г. Михлин.
(Фото Нины Аловерт).
Основой для преподавания классических методов математической физики послужил IV том «Курса высшей математики» В. И. Смирнова. С. Г. Михлин, начавший попеременно с В. М. Бабичем читать курс уравнений математической физики в потоке математиков, добавляет в программу большой раздел, посвященный вариационным методам и обобщенным решениям краевых задач. Лекции С. Г. Михлина легли в основу его учебников «Курс математической физики» и «Линейные уравнения в частных производных», которые и сейчас используются студентами мат-меха. В конце шестидесятых годов общий курс для математиков стали читать С. Г. Михлин и Н. Н. Уральцева. Последняя кардинально переработала раздел, касающийся современных методов в теории уравнений с частными производными, заложив основу того курса математической физики, который сегодня изучают на мат-мехе студенты математических специальностей. Для отделения механики аналогичный курс сформировал В. М. Бабич, который продолжает работать на кафедре в качестве совместителя (с 1967 года он руководит лабораторией математических методов геофизики в Математическом институте им. В. А. Стеклова). В настоящее время, помимо основного курса «Уравнения математической физики», читаемого в различных модификациях для студентов пяти специальностей факультета, кафедра читает курс функционального анализа для механиков, большое число специальных курсов по различным аспектам современной теории уравнений с частными производными, а также курирует учебный процесс в специальном математическом потоке для студентов с повышенным уровнем начальной подготовки (так называемом ПОМИ-потоке).
В начале семидесятых С. Г. Михлин перешел работать в НИИММ, где возглавил созданную им лабораторию методов вычислений. Однако связи с кафедрой он не порывал — руководил аспирантами и в течение долгого времени вел спецсеминар по сингулярным интегральным операторам и численным методам решения задач математической физики.
Как уже упоминалось, в первое десятилетие активную помощь кафедре оказывала
родственная кафедра физического факультета, которой также заведовал В. И. Смирнов. Совместно для студентов обеих кафедр читались обязательные спецкурсы «Краевые задачи математической физики» и «Спектральная теория дифференциальных операторов» (попеременно в помещениях мат-меха и физфака). На кафедре и сейчас работают выпускники физического факультета профессора Н. Н. Уральцева, В. И. Дергузов, В. Г. Осмоловский; долгое время здесь преподавал В.А. Солонников, также выпускник физфака (в настоящее время — ведущий научный сотрудник ПОМИ РАН). В дальнейшем состав кафедры пополнили ее собственные выпускники — проф. А. А. Архипова (выпуск 1969 года), доц. А. И. Кароль (1978), проф. А. И. Назаров (1985), доц. А. С. Михайлов (2000), асс. И. В. Нежинская (2003).
Следует отметить, что и на сегодняшний день наличие кафедры математической физики на математическом факультете — явление уникальное для университетов не только нашей страны, но и зарубежных. Научная тематика двух смежных кафедр различается. Основные интересы сотрудников кафедры физического факультета определяются приложениями к теории твердого тела, квантовой механике, квантовой теории поля. На мат-мехе же более представлена теория уравнений с частными производными, главным образом нелинейных. Научная работа на кафедре ведется в тесном контакте с Санкт-Петербургским отделением Математического института им. В. А. Стек-лова (ПОМИ). Прежде всего этот контакт осуществляется в рамках общегородского семинара по математической физике, который теперь называется семинаром имени В.И.Смирнова. Сотрудники кафедры мат-меха и двух лабораторий ПОМИ — лаборатории математической физики и лаборатории математических методов геофизики — совместно работают в рамках гранта «Санкт-Петербургская научная школа уравнений с частными производными».
Основные направления научных исследований на кафедре — это теория нелинейных уравнений с частными производными, а также спектральная теория и асимптотические методы математической физики. К первому из этих направлений относятся работы Н. Н. Уральцевой, В. Г. Осмоловского, А. А. Архиповой, А. И. Назарова, а также молодых сотрудников А. С. Михайлова и И. В. Нежинской. Эти исследования охватывают широкий круг проблем, касающихся разрешимости нелинейных краевых задач для уравнений математической физики, регулярности решений, вопросов единственности (и неединственности) решений нелинейных задач, вариационного исчисления и применения методов нелинейного функционального анализа.
Большой цикл работ по квазилинейным уравнениям второго порядка эллиптического и параболического типов был выполнен О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой. В начале шестидесятых годов ими было проведено исчерпывающее исследование многомерных регулярных вариационных задач и уравнений дивергентной структуры. Полученные результаты фактически завершали решение 19-й и 20-й проблем Гильберта, связанных с разрешимостью многомерных вариационных задач и гладкостью решений эллиптических уравнений. В основе этих исследований было распространение на случай многих независимых переменных априорных оценок С. Н. Бернштейна, а также развитие идей Е. Де Джорджи получения поточечных оценок функций с помощью интегральных неравенств, содержащих множества уровней этих функций. В 1962 году Н. Н. Уральцева применила эту технику к недивергентным квазилинейным эллиптическим уравнениям и получила С 1+а-оценку решения через максимум модуля его градиента — факт, известный ранее только для специального класса уравнений с двумя независимыми переменными. В 1968 году с помощью интегральных оценок с множествами уровней она установила С 1+а-регулярность так называемых р-гармонических
функций. К сожалению, этот результат долго оставался неизвестным за границей и спустя 9 лет был получен другим методом американским математиком К. Уленбек.
Развитые О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой методы привели к созданию достаточно полной теории линейных и квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка. Эти результаты составили содержание двух монографий (одна из них написана в соавторстве с В. А. Солонниковым), переведенных на многие языки и в течение почти 40 лет сохраняющих свое значение. В монографии не вошли более поздние результаты О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой по недивергентным уравнениям, полученные в 80-х годах. К тому времени в работах Н. В.Крылова и М. В. Сафонова был развит новый подход к исследованию таких уравнений, основанный на геометрических идеях А. Д. Александрова. Это позволило для квазилинейных уравнений недивергентного вида довести теорию до той же степени общности, что и для дивергентных уравнений. Доказана классическая разрешимость основных краевых задач при так называемых естественных ограничениях на характер нелинейностей функций, образующих уравнения. Более того, при наличии у этих функций особенностей, суммируемых с определенной степенью, получены аналогичные результаты о разрешимости, но уже в пространствах Соболева. В последнее десятилетие Н. Н. Уральцева обратилась к изучению проблемы регулярности в задачах со свободными границами. Среди полученных ею (частично совместно с Д. Е. Апушкинской и Х. Шахголяном) в этой области результатов — полное исследование поведения свободной границы в окрестности точек ее контакта с заданной границей. Изучение вопросов разрешимости и гладкости решений нелинейных краевых задач успешно продолжается в работах ее учеников. В частности, в цикле работ А.И.Назарова и Д. Е. Апушкинской были получены условия разрешимости краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в областях с ребрами. Ими также рассматривался «неклассический вариант» краевой задачи для эллиптических и параболических уравнений — так называемая задача Вентцеля, естественно возникающая в теории диффузионных процессов. Граничное условие в этой задаче описывает процесс диффузии вдоль границы области. Исследование различных вариантов задачи Вентцеля способствовало еще более глубокому совершенствованию как геометрических (в духе оценок А. Д. Александрова), так и аналитических методов в теории нелинейных краевых задач. А.И.Назаров работает также над применением вариационного исчисления и спектральной теории в теории случайных процессов и математической статистике.
Работы А. А. Архиповой двух последних десятилетий посвящены проблеме регулярности решений нелинейных эллиптических и параболических систем второго порядка. В отличие от скалярных уравнений решения систем, вообще говоря, не являются гладкими функциями даже при гладкости всех данных. Другими словами, гипотеза, сформулированная в 19-й проблеме Гильберта, неверна для систем (так же как и для скалярных уравнений высокого порядка). Поэтому при рассмотрении нелинейных систем уравнений речь, как правило, идет о доказательстве частичной регулярности решений, т. е. об их гладкости вне некоторого замкнутого сингулярного множества нулевой меры Лебега. Важной задачей является оценка хаусдорфовой размерности сингулярного множества. А. А. Архиповой удалось существенно дополнить имеющиеся результаты о частичной регулярности решений различных классов нелинейных систем, в частности, получив соответствующие оценки сингулярных множеств для решений краевых задач вплоть до границы области.
Другой класс нелинейных краевых задач, связанных с системами, а не со скалярными уравнениями, возникает при описании состояния упругого тела при наличии фазо-
вых переходов. Задачи такого рода составляют предмет исследования В. Г. Осмоловского и его учеников. Эти задачи сочетают в себе трудности, связанные, с одной стороны, с векторным характером решений, а с другой — с наличием свободной границы (границы раздела фаз), которая заранее неизвестна. Различные фазовые состояния тела описываются различными уравнениями. Уже вопрос о существовании решений здесь требует специального анализа. Не менее важной является проблема устойчивости решений относительно малых изменений данных, в частности, вопрос о том, при каких значениях параметров может возникать дополнительная фаза. Представляет интерес и строгое математическое обоснование различных регуляризаций задачи, применяемых при численных расчетах.
Исследования по спектральной теории и асимптотическим методам в математической физике ведутся на кафедре с момента ее основания. Сначала это были работы В. М. Бабича и его учеников, затем в эту тематику влились В. И. Дергузов и М. З. Со-ломяк, также со своими учениками. Тесное научное сотрудничество М. З. Соломяка и М. Ш. Бирмана в шестидесятые-восьмидесятые годы ознаменовало расцвет спектрального направления в Ленинграде. В частности, ими были получены фундаментальные результаты об асимптотике спектра негладких краевых задач, точные оценки и асимптотики собственных чисел интегральных операторов, оценки спектра операторов Шре-дингера. В настоящее время М. З. Соломяк — профессор Института Вейцмана, Израиль, а из его многочисленных учеников на кафедре работает А. И. Кароль, продолжающий исследования в области спектральной теории.
Работы В. И. Дергузова посвящены изучению периодических диэлектрических волноводов. Они описываются стационарными уравнениями Максвелла и приведенным волновым уравнением. По аналогии с характеристическими показателями обыкновенного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами В.И.Дергу-зовым изучен «характеристический» спектр волновода (спектр состоит из точечного и непрерывного) и соответствующие собственные функции. Для приведенного волнового уравнения были также построены проекционные и разрешающие операторы, которые описывают дихотомическое разбиение решений однородного уравнения при наличии поглощения.
Одна из главных областей исследования В.М.Бабича — теория распространения волн, опирающаяся на методы Ж.Адамара и С.Л.Соболева. Ее стержнем является лучевой метод — асимптотическая теория, описывающая высокочастотные волновые процессы в геометрических терминах. В. М. Бабичу принадлежит идея использования комплексного варианта лучевого метода. Большой цикл исследований посвящен обоснованию высокочастотной асимптотики. Методами теории интегральных уравнений В. М. Бабичу удалось доказать в трехмерном случае экспоненциальную оценку для волнового поля в тени за гладким выпуклым телом, полученную американским ученым Дж. Б. Келлером из эвристических соображений. Вместе со своими коллегами с физического факультета В. С. Булдыревым и И. А. Молотковым В. М. Бабич установил связь между физическими работами по приближенному решению высокочастотных задач дифракции и асимптотическими методами математической физики. Он построил красивую теорию формальных собственных функций («квазимод» по терминологии В.И.Арнольда) оператора Лапласа на Римановом многообразии, сосредоточенных в окрестности устойчивой замкнутой геодезической. Впоследствии эквивалентная конструкция сосредоточенных квазимод была осуществлена им в рамках комплексного лучевого метода. В. М. Бабичем и его учениками развит метод суммирования гауссовых пучков, с помощью которого было впервые показано, что особенности функции Грина волнового уравнения в геодезически выпуклой области находятся там, где предписано геометрической оптикой. Этот метод стал популярен в теоретической сейсмике. В. М. Бабичу принадлежит также ряд важных работ по дифракционной задаче Фока, фундаментальным решениям гиперболических и параболических систем, нелинейной упругости, теории дифракционного пограничного слоя и по другим вопросам математической физики.
В.М.Бабич и Н. Н. Уральцева — признанные лидеры научных школ, математики с мировой известностью, лауреаты Государственных премий СССР и премий РАН (Н. Н. Уральцева, совместно с О.А.Ладыженской,—премия им. П.Л.Чебыше-ва, В.М.Бабич — премия им. В.А.Фока). Сотрудниками кафедры опубликовано более 30 монографий и учебных пособий, многие из которых переведены на иностранные языки.
Уже первые выпуски кафедры дали несколько имен, оставивших заметный след в математике. Это А. П. Осколков и А. В. Иванов, известные специалисты по нелинейным уравнениям (к сожалению, рано ушедшие из жизни), и особенно В. Г. Мазья (ныне — профессор университета Columbus, США). В числе выпускников кафедры — Б. А. Пламеневский (профессор физического факультета СПбГУ), Н. М. Ивочкина (зав. кафедрой СПбГАСУ), З.Пресдорф (немецкий академик, ныне покойный), А.А.Лаптев (профессор KTH, Швеция), Г. В. Розенблюм (профессор университета Chalmers, Швеция), Л. В. Капитанский (профессор университета Miami, США), С.А.Назаров (главный научный сотрудник НИИПМ РАН), В. А. Козлов (профессор университета Linkoping, Швеция), Ю.Г. Сафаров (профессор London King's College, Великобритания), В. П. Смышляев (профессор университета Bath, Великобритания) и другие. Более 70 выпускников кафедры защитили кандидатские диссертации, более 20 стали докторами наук.
Настоящий выпуск журнала составлен из статей сотрудников и выпускников кафедры математической физики и посвящается юбилею кафедры.
Н. Н. Уральцева, зав. кафедрой математической физики
