CC BY
54
32
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
На (Рис 6) приведена зависимость показателя преломления n от плотности Р в абсолютной шкале плотностей. Точка (5.60889,1.11) (Рис 6) соответствует точке (0,1.11) на (Рис 5а). Точки, лежащие левее точки (5.60889,1.11) построены по данным таблицы 2. Третий столбец таблицы - показатель преломления поверхностного слоя вещества и четвертый столбец - плотность Р.
Можно сказать, что (Рис 6) описывает два мира. Один - наш привычный мир и второй - мир сверхсветовых скоростей.
Мир, в котором мы живем описывается Стандартной моделью, под которой понимается минимальная теория микромира. Она описывает все известные элементарные частицы и все известные взаимодействия между ними. В этом смысле это совершенно уникальная модель, которая позволяет описать огромную часть неживой природы с помощью очень простых универсальных математических формул.
Полный состав полей Стандартной модели состоит из шести кварков, шести лептонов, одного хиггсовского бозона и переносчиков всех трех видов взаимодействий. Все частицы экспериментально были открыты еще в XX веке, последним было открыто нейтрино, которое называется таонное нейтрино, третье нейтрино, и оно было открыто в 2000 году. Последней открытой частицей был хиггсовский бозон [9, с. 1017]- он был открыт в 2012 году. С открытием этой частицы интерес исследователей перемещается за рамки Стандартной модели, где ожидается много интересных явлений, таких как например сверхсветовые частицы тахионы. В работе [9] и [10, с. 108] описана аппаратура и метод регистрации этих частиц.
Литература
1. Рауль Ибаньес. Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой вселенной?/Пер с англ. - М.: Де Агостин, 2014. с.160.
2. Эдвин Эботт Флатландия.
3. URL: http://www.e-reading.club/bookreader.php
/141943 /Ebbot -Flatlandiya.html
4. Чарльз Говард Хинтон. Четвертое измерение и Эра новой мысли. Петроград, Книгоиздательство «Новый человек», Эртелев переулок 6. 1915 г. с. 270.
5. А. Эйнштейн. К электродинамике движущихся сред. Собрание научных трудов в четырех томах, Т.1, Москва, из-во «Наука», 1965 г. с. 7.
6. Л.Б. Окунь Формула Эйнштейна. Не смеется ли Господь Бог. УФН, Т 178, №5, 2008 г. с. 541.
7. Л.Б. Окунь Понятие массы (Масса, Энергия, Относительность), УФН, Т. 158, вып. 3, 1989 г. с. 511.
8. Горбацевич Ф. Ф. - Основы теории непустого вакуума. - Апатиты, Из-во Милори. 1998г. URL: http ://www. elibrary-
antidogma.narod.ru/bibliography/Gorbatsevitch5.pdf
9. К.А. Хайдаров. Эфирный атом. URL: http:// bourabai. ru/atom. htm
10. В.А.Рубаков. К открытию на Большом адронном коллайдере новой частицы со свойствами бозона Хиггса., УФН, Т. 182, №10, 2012 г. с.1017.
11. Novalov A.A. Sulla possibilitа di registrazione di particelle superluminali. Italian Science Review. 2015; 1(22). PP. 64-69. Available at URL: http://www.ias-journal.org/archive/2015/january/Novalov.pdf
12. А.А. Новалов Проверка специальной теории относительности. Большая медведица, №1, Новосибирск, ул. Лыкова 4., 2004 г. 108 стр.
К ЗАДАЧЕ СПИНОВОГО ЭХА В ТЕОРИИ ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА
Пухлий Владимир Александрович
Д.т.н., профессор СевГУ, г.Севастополь Ковалев Николай Ильич
К.т.н., доцент СевГУ, г.Севастополь
TO A PROBLEM OF THE SPIN ECHO IN THE THEORY OF THE NUCLEAR MAGNETIC RESONANCE VA.Puhly, N.I. Kovalev, SebSU, Sebastopol
АННОТАЦИЯ
Рассматривается метод спинового эха Хана. Для решения начальной задачи Коши, состоящей из уравнений Блоха, предлагается аналитический подход, основанный на модифицированном методе последовательных приближений. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.
Ключевые слова: ядерный магнитный резонанс, спиновое эхо, начальная задача Коши, аналитический подход, модифицированный метод последовательных приближений.
ABSTRACT
The spin-echo technique of the Khan is considered. For the decision of an initial problem of Koshi consisting of the equations the Flea, the analytical approach based on the modified approximation method is offered. The received results are compared to known theoretical and experimental values. Good coincidence is marked.
Keywords: nuclear magnetic resonance, a spin echo, an initial problem of Koshi, the analytical approach, the modified approximation method
Введение. Затухание сигнала свободной прецессии, обусловленное неоднородностью постоянного магнитного поля, является обратимым процессом. На этом свойстве обратимости основан один из нестационарных методов ЯМР - метод спинового эха. Сущность метода заключается в наблюдении сигналов ядерной индукции при воздействии на систему спинов несколькими радиочастотными импульсами.
Если поле Н1 включается лишь на короткое время tw, малое по сравнению с Т1 или Т2, тогда m* в момент выключения еще сохраняет конечную величину. При этом возникает экспоненциально затухающая свободная прецессия вектора m, которая позволяет наблюдать сигнал в течение некоторого времени после выключения поля Н1. Впервые данное явление обнаружил Ф.Блох [1]. Такие ме-
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
33
тоды обладают большими достоинствами, поскольку сигнал наблюдается без воздействия радиочастотного поля, при этом исключаются явление насыщения, а также другие эффекты, обусловленные полем Н1. Наблюдение сигнала упрощается, поскольку нет необходимости измерять малое напряжение сигнала в присутствии относительно большого переменного напряжения.
При экспериментальных исследованиях необходимо, чтобы времена релаксации превышали постоянную затухания радиочастотной системы Тс (время установления колебаний):
__ ______ ____
Ti, T2, T >rc. (1)
Следует заметить, что соотношения (1) обозначают отсутствие влияния аппаратуры (контура) на форму наблюдаемого сигнала, хотя в общем случае это не так и в действительности имеется обратное воздействие радиочастотного контура на спиновую систему.
Отметим, что принципиально новые возможности наблюдения ЯМР появляются в случаях воздействия на систему спинов нескольких радиочастотных импульсов, следующих друг за другом. Поведение ядерной намагниченности при двух импульсах, разделенных временем т, впервые рассчитал Е.Хан [2], который также экспериментально открыл ряд эффектов. В частности, спустя время т сек после второго радиочастотного импульса появляется сигнал, амплитуда которого зависит от т. Данная зависимость определяется временем Т2 и трансляционной подвижностью отдельных ядер в образце. В результате становится возможным измерять время поперечной релаксации Т2, не искаженное влиянием неоднородностью магнитного поля.
Таким образом, метод спинового эхо применим в случае, когда:
т < Т1, Т2 . (2)
Метод спинового эхо является важным при исследовании процессов в жидкостях, поскольку именно жидкости характеризуются большими временами релаксации.
Следует отметить, что при добавлении третьего радиочастотного импульса, можно измерить также Т1. Среди множества вариантов с различными комбинациями импульсов наибольшее значение имеют два: а) метод Хана с двумя-тремя импульсами [2]; б) метод Карра и Пар-селла [3].
Явление спинового эха можно использовать для задержки и оперативного запоминания радиочастотных сигналов. Если в двухимпульсной методике рассматривать первый импульс как информационный, а второй импульс рассматривать как управляющий (или считывающий), тогда при регулировании интервала между импульсами возможно вызвать сигнал эхо в определенный момент времени. Следовательно, спиновая система будет выполнять функцию запоминающего устройства.
Устройства для обработки информации, основанные на методе спинового эха, носят название спиновых процессоров.
Весьма важными являются случаи, когда информационный импульс является слабым (малосигнальное приближение). В этих случаях спиновая система функционирует в линейном режиме относительно информационного сигнала, в результате спиновое эхо воспроизводит сигнал по форме, но в зеркальном, т.е. обращенном во времени изображении.
Рисунок 1. Распределение во времени радиочастотных импульсов и сигналов эхо в методе Хана
Математическая теория спинового эха. Физические основы появления сигнала спинового эха достаточно хорошо демонстрируются при помощи векторной модели [4]. На рис. 1 показано распределение во времени радиочастотных импульсов и сигналов эхо в методе Хана.
В качестве математической теории используются известные уравнения Блоха [5], которые представляют собой уравнения движения магнитных моментов цГ. В результате для трех компонент ядерной намагниченности можно записать:
dMx
dt
-rMyHz
dMy
dt
r{MzHx
dMz
dt
-r(MxHy
MzHy )+ T* Mx = 0;
T 2
MxHz K-1* My = 0; .
T 2
M yH x )+1 Mz = 1M. T1 T1
(3)
В уравнениях (3) М - равновесная намагниченность (М = хГН), а Мх, Му, Mz - мгновенные значения, намагниченности, обусловленные внешними воздействиями; Т1 -
*
время продольной релаксации; Т 2 - время поперечной релаксации; у - гиромагнитное отношение.
Действующее в плоскости ху переменное магнитное поле является линейно поляризованным (с амплитудой 2Н1). Компоненты поля:
Hx = H1 cosat. Hy = +Hisin . Hz = H (4)
При этом знак компоненты Ну определяется знаком у.
Кроме того, имеем:
M = хГН. (5)
Поскольку фазовый угол между M± и G будет зависеть от и - и0 и от других условий, введем вместо Мх и Му две новые компоненты:
34
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Mx = и • cosat — v • sin at;
My = +(u • sin at + v • cosat).
Здесь u - намагниченность, вращающаяся синфазно с G1, а v - намагниченность, опережающая G1 на п/2.
(6) Подставляя выражения (6) и (4) в уравнения (3), по-
лучим:
du , I и
— - va + |r|Ш + —
v dt T 2
f
cosat —
dv
v
Л
+ •
dv
+ ua — \y\uH +|^| H1MZ + *
V dt T 2 J
\
sin at = 0
v
d + ua — |y|uH + |y| HxMz + *
V dt T 2
cosat
^ du i I u ^
d - va+MvH+T* J
sin at > = 0
(7)
+
—|r| vh! + T-(MZ — m ) = о
Введем следующее обозначение:
Aa = H — a = a0 — a
(8)
Тогда уравнение (3) можно записать следующим образом:
du u
— + — + Aav = 0; dt T*
d+T*—Aau=—^H Mz;
M + ML — H vHx = M dt Tj 11 1 Tj.
Введем безразмерные величины:
1 1
T= yH^. W\Hj T^
(9)
P =
_j__1_
Wi T*.
5 =
Aa
Wj
Тогда из (3) получим:
du n* c n
----+ P u + 5v = 0;
dr
— + P*v — 5u + M = 0; dr
(10)
К уравнениям Блоха должны быть присоединены начальные условия, которые, как правило, определяются величинами Мх, Му, Мz.
Следует отметить, что общее решение системы уравнений (3) представляет значительные трудности, поскольку величины Hz и и зависят от времени, т.е. система (3) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [6].
Известны различные подходы к решению системы уравнений Блоха. Одно из первых было решение С.Д.Гвоздовера и А.А.Магазаника [7], при котором система уравнений ЯМР сводилась к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, решаемое методом последовательных приближений. Однако, получающиеся при этом подходе ряды обладают медленной сходимостью, в результате чего указанный подход мало пригоден для практического применения.
Следует также отметить, что все полученные результаты, как правило, относятся либо к идеализированным моделям, либо к предельным случаям медленного или быстрого включения.
Аналитическое решение уравнений Блоха. Система уравнений Блоха с точки зрения математической физики представляет собой начальную задачу Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая представляется следующим образом [6]:
d- = fj (x’ yj’ у*—Уп)
dx
— = f2 (x’ yj’ У2 ’...’ Уп )
• dx
dM
dr
Следует отметить, что
, u
У =
+ aM „ — v = aM.
2H .
y"
Таким образом, и v
У =
2Hj
(jj)
(U)
и v выражает поглощенную
мощность, т.е. сигнал поглощения, а
У
или u выражает
v
сигнал дисперсии. Таким образом, У вызывает изменение добротности контура, У - его расстройку. Как известно, классические уравнения Блоха справедливы для одиночных узких линий, характерных для жидкостей. В этом случае они достаточно удовлетворительно описывают основные черты явления ЯМР. Анализ решения этих уравнений позволяет получить сведения об интенсивности, ширине и форме резонансной линии, явления насыщения, переходных процессах и т.д.
dyn
_ dx
fn (x’ yj’ y2’...’ Уп )
" yj( x0) = y0j y 2(x0) = y02
.Уп (x0) = У0п
или в матричной форме:
dy
dx
f ( x, y)
y(x0) = У 0
где
f yj' f fj' f У ^ y0j
У = У2 f = f2 У 0 = y 02
V Уп J V fn J vy0n j
(j3)
(j4)
(j5)
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
35
Система дифференциальных уравнений связывает независимую переменную x, искомые функции
У1’У2’’"’Уп и их первые производные. В данном случае решение задачи Коши заключается в отыскании функции
yi = yi (x) , y2 = y2(x),., Уп = Уп (x) , обращающих каждое уравнение системы в тождество на конечном или бесконечном интервале (a, b) и удовлетворяющих начальным условиям.
Такая форма записи задачи Коши является канонической для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К ней могут быть приведены как любые другие формы представления систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, так и дифференциальные уравнения высших порядков.
Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальной системе дифференциальных уравнений осуществляется по следующей схеме. Пусть имеется задача Коши следующего вида:
dny
dxn
f
= f
X’ У,
dy d2y dn 1 y^
V
dx dx2 ’ ’ dx’ y dy( Xo) .. d 2 У(хо)
(16) A
У( Xo) = У oi
dx
d”1 y( xo)
= y02
dx2
= y03
dx”-1
Замена переменных
dy
y2 = —
У1 = У dx
= У 0n
Уп =
—_У_
dxn-1
(17)
(18)
сводит ее к нормальной системе дифференциальных уравнений с начальными условиями:
В дальнейшем к решению начальной задачи Коши применяется модифицированный метод последовательных приближений, разработанный профессором В.А.Пух-лий и опубликованный им в изданиях Академии наук [8,9]. Рассмотренный в настоящем разделе модифицированный метод последовательных приближений [8,9] отличается от классического метода Пикара тем, что в процессе каждого последовательного приближения здесь не нужно удовлетворять граничным условиям задачи, которые выполняются только один раз для построенного по определенным правилам общего решения дифференциального уравнения, либо системы их. Впоследствии был также разработан вариант модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева, который обладает существенной быстротой сходимости по сравнению с прежним вариантом.
Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами в нормальной форме Коши:
dX ™
-ГТ = Е AVmXv+AmXm
-s v=1 , (m = 1, 2, ..., m*) (20)
X
Здесь m - неизвестные безразмерные функции; !- переменные коэффициенты; Xm - параметр ча-
S=f
стоты; 0 - безразмерная временная координата; v -
номер неизвестной функции, при которой стоит коэффи-A
циент v,m ; m - номер уравнения.
Решение системы (20) будем строить модифицированным методом последовательных приближений [8,9]. В соответствии с методом переменные коэффициенты A
v m
v,m представим степенными полиномами, непрерывными на интервале изменения независимой переменной:
q
-k
Av,m av,m,k^
k=0 ; (21)
Общее решение системы дифференциальных уравнений (20) запишется следующим образом:
^p-m
X„
= Z C
Р=1
(р- m)!
S + Y X
m
хт,„,п =ЪФ,-Х'
t]=0
(22)
(23)
(19)
образующих задачу Коши.
Для решения такой задачи Коши используются те же методы, что для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Это обуславливается тем, что матричная форма записи задачи Коши для нормальной системы полностью совпадает с ее формулировкой для этих уравнений. Аналогична для нее и теорема о существовании единственного решения. Единственным отличием здесь является то, что вместо функций y(x) и f(x, у) используются вектор-функции у и f, состоящие из n функций
y1(x), У2(x) ,., Уп(x) и f1(x’У1’--’Уп),
f2(x’ У1’---’Уп ),.,fn (x’ У1’-’Уп ), соответственно. При этом расчетные схемы методов и оценки их погрешностей сохраняются.
Здесь ц - номер фундаментальной функции; постоянные интегрирования.
C,.
В выражении (23) функции дующим образом:
- при п = 0
- при п Ф 0
Р Sn+j-1
Ф„=0 =Zb
j=1
определяются сле-
m,p,j,n t . 1Ч.
(n + J -1)!.
фГ|^0 = bm,
j=1
S
n+j-2+^+Sj
m,p,j,n
(n + j - 2-Д + Sj)!
(24)
(25)
где P = n( q + 3 ) - 2.
b b
Коэффициенты mpJ’n и m’MJ n в выражениях (24) и (25) определяются через коэффициенты предыдущего приближения по рекуррентным формулам:
п=1
36
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
m q i k
bm,u, j ,n = L L av,m,kbv,^,(n-l),v,(. j-k) ' n ■ 1 П (n + j 1 f)
v=1 k=0 n + J 1 f=0 .
(26)
b
*
m,ц, j ,n
m q
YL
av,m,k
v=lk=0
• b
v,ju,(n-1\n,( j~k)
k
П (n + j - 2 + ^ + ^1 -f)
7=0
(n + j - 2 + ^ + Si)
+
m q
Pv,m,kbv,u,(n-1),(^-1),(j-k+1)
v=1 k=0
(27)
В дальнейшем удовлетворяя начальным условиям, получим систему однородных алгебраических уравнений
Си
относительно произвольных постоянных u , решение которой и определяет спектр значений безразмерных частот Xm.
Анализ полученных результатов. Предварительно следует отметить, что при численной реализации разработанного решения начальной задачи Коши, используемые
уравнения Блоха должны быть представлены в безразмерной форме.
При переходе в уравнениях Блоха к безразмерным величинам, необходимо выразить все магнитные моменты через равновесную намагниченность M = у1Н, все времена через Т2, а магнитные поля через ДН2:
х 1 =
1 M .
My
=■ y
d о =fH-®о )T2 =
M.
H -К/ v)
AH,
x3 = Yl h = HfT2 =
3 M .
H
AH,
K. = Hr
T.
2
H„
2AH,
S = -*-
T
b = M-T .
Q = Q T
m 2
Тогда вместо (3) получим новую систему уравнений в безразмерной форме:
dX
—1 + X1 + id0 + 2hm cosQs)X2 = 0; ds
dX 2 ds dX: ds
+ X -id0 + 2hm cosQs)X 1 + h1X3 = 0; >
3 + X3 - h1X2 = b.
(28)
Здесь величина Q характеризует периодическое изменение Н, ее можно представить в виде:
Q f AH
m/ / m
Q =
AH 2 AH 2
(29)
Таким образом, величина Q равна отношению поля, соответствующего частоте модуляции Qm к ширине линии, определяемой соотношением:
AH 2 = —
2 7T
712 . (30)
В целом ряде работ Г.Пфайфера исследовались сигналы эхо методом Хана в маловязких жидкостях (дистиллированная вода, раствор нитрата железа, 0,02 М-раствор CuSO4). В частности, в [10], экспериментально было установлено, что наибольшая амплитуда сигнала наблюдается при:
а)
б)
0,7
г J и ш I щ 11 | ч!л1
а и П1 1 м Ai
* *у. f i ^ 1 X ч
Рисунок 2. Влияние расстройки на амплитуду первичного эхо: а) - yHltw = 2п/3+2п; — yHltw = 2п/3; б)-------yHltw = 4п/3+2п;-----yHltw = 4п/3; -о— результаты авторов;-----результаты [10].
^max
2ж
+ 2пж,
3
4ж
+ 2nn.
У 3
(n = 0,1,2,3,..).
Следует отметить, что условие (31) удовлетворяется подбором величины Н1 или tw. Проведенные расчеты справедливы для случая, когда частота радиочастотного поля совпадает со средней резонансной частотой образца (31) ю0. Г.Пфайфер вычислил зависимость амплитуды эхо от
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
37
Дю = ю - ю0 [10]. Если в выражении (31) n = 0 амплитуда эхо имеет единственный максимум при Дю = 0.
V *1 = f (А®)
Ширина кривой 1 1эхо будет различной
в зависимости от того, принято ли значение 4 равным 2п/3 или 4п/3. При n = 1 появляются кроме того, боковые максимумы, симметричные относительно Дю = 0. На рис.2
представлены расчетные кривые, которые были подтверждены и экспериментально. Результаты авторов представлены кривыми с кружочками. Как следует из рис.2 совпадение достаточно близкое.
На рис.3 представлены величины амплитуды спи-
t / T
нового эхо в случае резонанса как функция от wу 12 . Результаты авторов показаны на рис.3 кривыми с кружочками.
Рисунок 3. Величины амплитуды спинового эхо в случае резонанса, как функции от
2п
= — + 2t—
4п „ п
— + 2kn 2= —
3 ; кривая 2 - 2
JH 1T2*2
t
: кривая 1 -
Аналитическое рассмотрение осуществлялось на основе уравнений Блоха в форме (11):
----+ flu + Sv = 0;
dr
----+ Bv - Su + M = 0;>
dr
dMz
dr
- + aM, - v = aM.
(32)
Уравнения (32) получены из системы (11) при заР = г^- • ^
В*
мене F на величину в:
Н т2
Начальные условия принимались в виде:
u = u0M.
v = v*M ,
M z = m0M
Через 5ю(Р) обозначалось отклонение частоты прецессии одного спина к моменту t' от среднего значения ю0. Все ядра, находящиеся в одинаковом магнитном поле и следовательно имеющие одинаковые 5ю(Р), объединялись в одну изохроматическую группу [11].
В заключение следует особо подчеркнуть, что при измерении слабых магнитных полей, в частности, магнитного поля Земли, преимущество методов спинового эхо состоит в том, что при помощи вспомогательного поля искусственно увеличивается величина ядерной намагниченности, вследствие чего удается наблюдать ядерную индукцию в полях ниже 0,5 гс. На этом принципе были разработаны магнитометры для измерения земного поля [12, 13], которые независимо от точной ориентации всегда дают абсолютное значение магнитного поля. Данные магнитометры возможно использовать на самолетах для быстрой оценки распределения магнитного поля Земли. Важным является также тот факт, что поскольку ошибка измерения частоты обратно пропорциональна времени, в течение которого осуществляется измерение, то при этом точность измерения ограничивается величиной Т2, т.е. ошибка измерения определяется следующим соотноше-
SHt * — нием: У2 .
Экспериментальный прибор является очень простым, поскольку не требуется модуляции и, кроме того, точное значение и однородность поля Hh не играют существенной роли.
Выводы
1. Предложен аналитический подход к решению задач спинового эха Хана в теории ядерного магнитного резонанса.
2. Для решения начальных задач Коши, описываемых уравнениями Блоха, применяется модифицированный метод последовательных приближений [8,9].
3. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными результатами других авторов. Отмечается хорошее совпадение.
Список литературы
1. Bloch F. Nuclear induction. - Phys. Rev., 1946, vol.70,
p.460.
2. Hahn E.L. Spin-echos. - Phys. Rev., 1950, vol.80, №4,
p.580-594.
3. Carr H.Y., Parcell E.M. Effects of Diffusion on free precession in nuclear resonance experiments. - Phys. Rev., 1954, vol.94, №3, p.630-638.
4. Лёше А. Ядерная индукция. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. - 681 с.
5. Bloch F., Wangsness R.K. Дифференциальные уравнения ядерной индукции. - Phys. Rev., vol.78, 1950,
p.82.
6. Пухлий В. А. Численные методы. Теория и практика в среде MATLAB. В 2-х томах. Том I. - Севастополь, изд-во «Черкасский ЦНТЭИ», 2007. - 412 с. Том II. - Севастополь, Изд-во «Черкасский ЦНТЭИ», 2008. - 762 с.
7. Гвоздовер С.Д., Магазаник А. А. Изучение парамагнетизма атомных ядер методом магнито-спинового резонанса. - Журн. экспер. и теорет. физики, том 20, вып.8, 1950, с.705-721.
8. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. - Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
38
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
9. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математической физики. - Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
10. Pfeifer H. Die amplitude des primaren Echos bei der Hahnschen Spin-Echo-Methode. - Annalen der Physik, Band 17. Heft 1, 1955, s.23-27.
11. Das T.P., Saha A.K. Математический анализ экспериментов по спиновому эхо методом Хана. - Phys. Rev., vol.93, 1954, p.749.
12. Waters G.S., Philips G. Новый метод измерения магнитного поля Земли. - Geophys. prospecting., vol.4, 1956, p.1.
13. Zimmerman J.R., Williams D. Использование атома водорода в фотомагнитометрической съемке. - Oil and Gas, vol. 88, 1955.
АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕХНОЛОГИИ CUDA ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПО СХЕМЕ КРАНКА НИКОЛСОНА
Вахлаева Клавдия Павловна
Канд. физ. -мат. наук, доцент кафедры информатики и программирования Саратовского государственного
университета им. Н.Г. Чернышевского, г. Саратов Сынкова Дарья Александровна
Бакалавр по направлению «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»,
г. Саратов Фаюстов Денис Сергеевич
Студент 4 курса факультета компьютерных наук и информационных технологий Саратовского государственного
университета им. Н.Г. Чернышевского, г. Саратов
АННОТАЦИЯ
Приведены результаты разработки программы расчета цены конвертируемой облигации, как численного решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка по схеме Кранка-Николсона с использованием метода циклической редукции на гетерогенной вычислительной системе, сочетающей в себе графический и центральный процессоры. Проведен анализ эффективности применения технологии CUDA для реализации схемы Кранка-Николсона.
Ключевые слова: CUDA, GPGPU, схема Кранка-Николсона, метод циклической редукции
Введение
В последнее время активно развивается направление высокопроизводительных вычислений и, в частности, вычисления общего назначения на графических процессорах - GPGPU (General-Purpose computing on GPU) [1]. Возможность переносить интенсивные параллельные вычисления на графический процессор, а последовательные выполнять на центральном процессоре, делает актуальной задачу разработки параллельных программ, согласованных с гетерогенной вычислительной средой, сочетающей в себе графический и центральный процессоры. В рамках данного направления необходимы новые средства разработки GPGPU-приложений. Одним из таких средств является технология CUDA (Compute Unified Device Architecture), разработанная компанией NVIDIA [7].
В данной работе технология CUDA используется для реализации численного метода решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, описывающего изменение цены конвертируемой
облигации, для задачи из области финансовой математики. Решение дифференциального уравнения выполняется с помощью метода конечных разностей и сводится к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами, содержащими одинаковые элементы на каждой диагонали в отдельности.
Целью данной работы является реализация численного метода решения дифференциального уравнения в частных производных для гетерогенной вычислительной среды на базе центрального и графического процессоров.
Постановка задачи и метод решения
Математической моделью рассматриваемой задачи является модель Блэка-Шоулза [5], представляющая собой параболическое уравнение в частных производных относительно стоимости конвертируемой облигации. Жизненный цикл конвертируемой облигации делится на конечное число стадий или временных интервалов в соответствии с рисунком 1.
fo fi f* -ft+i
-------1 I I I I I I I I 1 I I I III-------------------------------►
Ч 4 r - C- -
Рисунок 1. Временная шкала жизни конвертируемой облигации.
Пусть существует m* моментов выплат процентов держатель принимает решение о конвертации (t;,i = в пределах времени исполнения T конвертируемой обли- 0,1,2,..., n; n > m* ). Множество моментов выплат явля-гации (tjj, k = 1,2,..., m* ) и n моментов времени, когда ется подмножеством моментов принятия решений.
