CC BY
34
106
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Вещественный мир мы постигаем, в основном, в грубых ощущениях и в сравнительно узком диапазоне частот и плотностей. Наблюдаемый мир для нас - «верхушка айсберга» эфирного мира.
Инерционными свойствами обладают не только вещественные, но эфирные структуры на субатомном уровне. Эфир существует, так или иначе, проявляя себя в чрезвычайно широком диапазоне плотностей и частот.
Электрическими силами создаются сравнительно плотные слои эфирной атмосферы в окрестности вещественных сред, подобно Земле, окружившей себя воздушной оболочкой. Космическая межпланетная среда представляется, как разреженная нейтринная атмосфера. Еще более разреженным является межгалактический эфир.
Мысленно создавая структуру эфира из элементарных электрических зарядов, мы сохраняем надежду на понимание внутренней сути и причины загадочной силы, связывающей заряды между собой.
Соединение философий вестермена и остермена.
Классическая физика приходит к необходимости пересмотра своих основных понятий: «элементарная частица», «материальная субстанция» и «изолированный объект», и новому осмыслению неувядающей восточной философии мистицизма.
В последние десятилетия наметилась тенденция восстановления единства физики с философией. Правда, физики безосновательно надеются, что необходимо и достаточно «подправить» сознание с помощью мистики, а физику не трогать. Свое бессилие и неспособность объяснить устройство мира в рамках здравомыслия она заменяет мистификацией, предлагая усвоить понятия «не от мира сего». Ни в каком состоянии сознания человек не способен представить себе антимир и Вселенную, возникающую из ничего.
Рациональный мозг вестермена, расчленил мироздание на множество деталей и теперь готов обратиться за помощью к интуиции остермена, чтобы собрать из этих пазлов работающую модель мира. Причем, он должен следовать инструкциям, приложенным к этим деталям, и создавать образы реальности на основе предложенных умозрительных математических моделей.
Поэты, мистики, провидцы, наделенные сверх способностями, вряд ли могут способствовать успеху в таком
сомнительном деле. Они живут в мире, представляющем нерушимое единство. Этот мир многоуровневая динамичная матричная структура, которая не замечена физикой, хотя она собрала все необходимые экспериментальные данные для осознанного включения ее в систему знаний. Подлинные открытия, совершаются физиками, которые сами оказываются в роли мистиков, прозревающих новые природные закономерности. Новая информация открывается в объединении полей зрения, если видят оба глаза, включаются два полушария. Соединение образа и идеи вызывает ощущение связи с потусторонней информацией, приходящей непосредственно из эфира. Эфир выступает связующим звеном - третьим, но главным элементом в триаде с материей и сознанием.
Символический и философский смысл издревле придается троице, в которой соединяются противоположности. Этот смысл заложен в «кирпич» мироздания - в физическое устройство электрона, который обретает свободу и устойчивость в системе из трех зарядов. Число зарядов протона - семь выступает, как условие формирования нового структурного уровня, который обусловлен топологией перехода и КСП, задающей энергетический потенциал на разных уровнях инерционности.
Материал эфира является носителем и переносчиком энергии и информации. Инертность эфира не проявляется явно на макро уровне, но ее нано структуры служат носителями и источниками информации, запускающими механизм оболочечного взаимодействия инертных частиц материи.
Литература
1. Никольский Г.Ю. Третий элемент. Сборник статей. Saarbruken: LAP LAMBERT, 2015, 137 с.
2. Репченко О.Н. Полевая физика или как устроен мир. Изд. 2-е, М.:Галерия, 2008, 319 с.
3. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. т. 5, гл. 1, Электромагнетизм. М.:Наука. 1987.
4. Shaun A. Thomas, Filipe B. Abdalla, and Ofer Lahav. Upper Bound of 0.28 eV on Neutrino Masses from the Largest Photometric Redshift Survey Phys. Rev. Lett. 2010. Т. 105, вып. 3. С. 031301.
5. Felipe J. Llanes-Estrada, Gaspar Moreno Navarro. Cubic neutrons, arXiv:1108.1859v1 (nucl-th), 2011.
К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
Пухлий Владимир Александрович
Д.т.н., профессор СевГУ, г.Севастополь Ковалев Николай Ильич
К.т.н., доцент СевГУ, г.Севастополь
TO THE PROBLEM ABOUT RESPONSE OF A CONTOUR RESPONSE IN THE MAGNETIC FIELD OF THE EARTH Puhly V.A., Kovalev N.I.
THE SUMMARY
Response of a female contour in the theory of the free kernel induction in a magnetic field of the Earth is explored. For the solution of the initial initial value problem consisting of the equation the Flea for the sample and the equation of a female contour, the analytical approach grounded on the modified method of successive approximations is offered. The gained effects are compared to known theoretical and observational values. Good coincidence is scored.
Keywords: a kernel magnetic resonance, a magnetic field of the Earth, response of a contour, the equation the Flea, an initial value problem, the modified method of successive approximations АННОТАЦИЯ
Исследуется реакция приемного контура в теории свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли. Для решения начальной задачи Коши, состоящей из уравнения Блоха для образца и уравнения приемного контура, предла-
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
107
гается аналитический подход, основанный на модифицированном методе последовательных приближений. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.
Ключевые слова: ядерный магнитный резонанс, магнитное поле Земли, реакция контура, уравнения Блоха, задача Коши, модифицированный метод последовательных приближений
Введение. Одним из важных вопросов в теории свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли является исследование реакции контура, т.е. обратное воздействие на ядерную прецессию наведенных вращающейся намагниченностью электромагнитных колебаний в контуре.
Количественное исследование реакции приемного контура можно осущест-вить на основе классического подхода, поскольку совокупность спинов в коге-рентном состоянии можно трактовать в терминах макроскопической намагниченности.
Общая теория явления может быть построена на основе дифференциальных уравнений для связанной системы, которая с одной стороны содержит феноменологические уравнения Блоха для образца с прецессирующей намагниченностью, а с другой включает в себя также уравнение приемного контура.
М.Паккард и Р.Вариан [1, 2] разработали метод наблюдения сигналов свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях, характерной особеннос-тью которого является предварительная поляризация ядер в образце вспомогательным сильным полем Н*, ориентированным перпендикулярно слабому полю Н0. Свободная прецессия вектора ядерного намагничивания М вокруг направления Н0 возникает в результате достаточно быстрого (неадиабатического) выключения поля Н* и наводит сигнал соответствующей частоты в приемной катушке. Предложенный метод широко используется в геомагнитных исследованиях, а также в некоторых разделах радиоспектроскопии высокого разрешения.
В дальнейшем Н.Бломберген и Р.Паунд [3] разработали общую теорию явления, которая строится на основе решения связанной системы дифференциаль-ных уравнений, состоящей из образца с прецессирующей намагниченностью и колебательных контуров (в общем случае двух). Токи в контурах подчиняются обычным уравнениям с добавлениям членов, описывающих наводимую образцом ЭДС, а движение вектора М описывается феноменологическими уравнениями Блоха. Поперечные компоненты действующего на М магнитного поля зависят от токов в контурах, в конечном счете также и от движения вектора М. В общем случае система уравнений получается нелинейной и ее решение довольно проблематично [4].
В последствии К.В.Владимирский [5] рассмотрел процесс неустойчивости вектора ядерной намагниченности, направленного антипараллельно внешнему полю и взаимодействующего с колебательным контуром достаточно высокой добротности. Самовозбуждение прецессии вектора М имеет место в случаях, когда tR<<T2. С.Блум [6] провел расчеты реакции контура для частного случая Т1 = да, при этом Т2 конечно. В работе Ф.И.Скрипова и Э.Л.Альтмана [7] исследовалось влияние реакции приемного контура на огибающую и на частоту сигнала свободной ядерной индукции в слабом магнитном поле. Исследовался случай одинакового продольного (Т1) и поперечного (Т2) времени релаксации. Для исследования общего случая использовались численные методы, в частности, метод Рунге-Кутта четвертого порядка [4]. Рассматривался также вопрос о реакции приемного контура при наличии мультиплетной структуры сигналов ЯМР.
Формулировка задачи. При формулировке исходной задачи будем считать, что образец взаимодействует лишь с одним колебательным контуром, при этом постоянная времени последнего ТК << Т1, Т2, тда.
Примем, что поле Н0 и ось приемной катушки направлены соответственно вдоль осей 0z и 0х прямоугольной системы координат. Тогда выражения для Мх и Му запишутся в виде:
Mx = A(t) cos[®0t + <p(t)] ; My = -A(t) sin[®0t + m(t)].
Здесь 0 Y 0 - резонансная частота, а ф(Ґ) описывает возможный уход фазы прецессии в результате приемного контура. Знаки в выражениях (1) соответствует частному случаю у > 0.
Запишем выражение для магнитного поля, создаваемого индуцированным в контуре током:
2B
HX = —A(t)sin[®0t + m(t) -б]
Y . (2)
Здесь величины В и 5 следующие:
B =
2^^yQ
оУ
®0
®k
= 2tc^yQ
(3)
б = arctg
(
Q
®0 ®k
у®к
®
о
= 2Q
® П ®Ъ
®
, (4)
где юК - резонансная частота приемного контура.
В правой части (3) и (4) приближенные выражения будут справедливыми при небольших расстройках ю0 -юК. При строгом подходе в выражениях (3) и (4) вместо
dm
®о +“ТТ
ю0 необходимо бы писать dt
dm
однако проведенные
оценки показывают, что dt всегда несравненно меньше ширины полосы приемного контура, поэтому влиянием данной величины на В и 5 вполне можно пренебречь.
Переходя от линейно поляризованного поля (2) к вращающемуся, получим:
B
Hx = — A sin (®0t + т-б);
y
b
Hy = — A cos(®01 + m-S)
Y (5)
Подставляя затем выражения (1) и (5) в уравнения Блоха [8] после ряда преобразований, получим следующую систему уравнений:
dA A „ _ А л ,
---1---+ B cos 6AM7
dt T2 z
0
(6)
dMz
dt
+ ■
Mz
Bcos 6A2
T1
(7)
108
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
----Bsin 8MZ = 0
dt . (8) Система (6)-(8) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, аналитической решение которой весьма проблематично [4].
Реакция приемного контура в случае мультиплет-ной структуры сигналов ЯМР. Следует отметить, что метод свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли используется для исследования мультиплетной структуры сигналов ЯМР, например, обусловленной косвенными спин-спиновыми взаимодействиями ядер в молекуле [9]. Подчеркнем, что сложный характер линии поглощения вызывает модуляцию огибающей сигнала свободной индукции, возникающую в результате биений между отдельными компонентами мультиплета. В этих случаях образец характеризуется несколькими векторами Мі, прецессирующими с различными угловыми скоростями и явление реакции приемного контура значительно
усложняется. Так, в частности, кроме обратного воздействия каждой компоненты на себя, возникают перекрестные влияния, при которых частота воздействующего сигнала будет отличаться от частоты прецессии.
Рассмотрим случай двух компонент одинаковой интенсивности. Примем, что юК совпадает с центром дублета ю0. В этом случае величины А и Mz для одной компоненты во все моменты времени остаются равными соответствующим величинам для другой, а фазовые сдвиги ф будут иметь противоположные знаки.
В этом случае выражение (1) представляется следующим образом:
Mx = Acos(ro01 + Qt + ф) + Acos(ro01 -Qt -ф) ;
My =-Asm(ro0t + Qt + ф)-Asm(ro0t-Qt-ф) . (^)
Здесь Q - половина расстояния между компонентами дублета, выражение в шкале круговых частот.
Осуществляя преобразования, аналогичные (2)-(5), приходим к следующей системе дифференциальных уравнений относительно неизвестных А, Mz и ф:
dA A .
---1---h BAM cos
dt T z
Г Q ^ ( Q ^
2Q — + BAMz cos 2 Qt + ф- Q —
^ч О S О S
= 0
dMz Mz dt Tj
BA2
Г Q ^ - BA2 cos ( Q ^
cos 2Q— 2 Qt + ф - Q—
^ч О S о S
0
dф
dt
BMz sin
Г Q ^ " Г
2Q— - BMz sin 2
^ч О S _ V
Qt + ф - Q
Q
йо )
0
(10)
(її)
(12)
Следует отметить, что при выводе уравнений предполагалось, что Q много меньше ширины полосы пропускания приемного контура, так что для каждой компоненты дублета будут справедливыми приближенные выражения в (3) и (4).
В полученной системы уравнений (10)-(12) предпоследние члены будут описывать воздействие каждой компоненты на себя, а последние члены будут описывать перекрестные влияния. Подчеркнем, что перекрестные влияния будут существенными лишь для малых значений Q, поскольку в противном случае соответствующие члены будут быстро осциллировать и их среднее воздействие близко к нулю.
Аналитическое решение задачи о реакции приемного контура в магнитном поле Земли. Как уже указывалось ранее общее решение задачи осуществляется, как правило, численными методами [4], поскольку исходная система (6)-(8) или (10)-(12) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
В настоящей работе излагается аналитический подход к решению линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе модифицированного метода последовательных приближений, разработанного профессором В.А.Пухлий, и опубликованным им в изданиях Академии наук [10, 11]. Разработанный аналитический подход использовался в работе В.А.Пухлий и Н.И.Ковалева [12] при решении задачи спинового эха Хана. Полученные результаты сравнивались с известными теоретическими и экспериментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.
Следует особо отметить, что для ускорения сходимости предложенного решения разработан вариант модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева [13, 14]. Известно, что одна и та же функция может быть представлена целым спектром различных степенных рядов. Представляя по существу одну и ту же функцию, все они обладают весьма различной скоростью сходимости. Если мы преследуем цель - абсолютную точность, те все эти представления равнозначны. Но если наша цель - ограниченная точность, то эти представления будут совершенно различны. Самой слабой сходимостью обладают ряды Тейлора, с другой стороны самая сильная сходимость характерна для полиномов Чебышева.
Здесь для ускорения сходимости решения используется метод телескопического сдвига степенного ряда Ланцоша [15]. Идея метода заключается в том, что имеющейся в нашем распоряжении ряд Мак-Лорена телескопически сдвигается в гораздо более короткий ряд, не теряя в точности. Для этого используется возможность представления любого степенного ряда через смещенные полиномы Чебышева на интервале [0, 1].
К решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида (6)-(8), либо вида (10)-(12) применим аналитический подход, основанный на использовании модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева [13, 14].
В соответствии с методом запишем системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами в нормальной форме Коши:
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
109
dX
Б,
= 2 Bv,mX v+^ mXm
d5 v=1 ,(m = 1, 2, ..., 3). (13)
Здесь Xm - неизвестные безразмерные функции;
kr
Общее решение системы уравнений (13) имеет следующий вид:
Xm = 2 C
Ц=1
d0-1a0T0,(5)S + 2 Xm„
n=1
- переменные коэффициенты;
5 = ^
параметр ча-
(15)
стоты; to - безразмерная временная координата; v -
номер неизвестной функции, при которой стоит коэффи-
A,
циент v,m ; m - номер уравнения.
Б,
В уравнениях (13) переменные коэффициенты представлены через смещенные полиномы Чебы-
шева::
q r
Bv,m =2 bvmA1 2 aA©
r=0 k=0
(14)
Здесь q - степень интерполяционного полинома;
a 5r
k - коэффициенты разложения 5 в ряд по многочле-
Tk(5) о------------d_
Xmw = 2Фл-^л
'=0 . (16)
Здесь д - номер фундаментальной функции; Сд -постоянные интегрирования.
В решении (15) будет 5 = 1, если m = д и 5 = 0 для остальных д.
В выражении (16) функции Ф' определяются через смещенные полиномы Чебышева следующим образом:
- при п = 0
Р г f1n+j-1
Xm,q,n =2 tm,q,n;J Idn+j-1 (n + j - 1)lJ 2 akTk (5)
j=1 k=0
- при п Ф 0
; (17)
нам Чебышева Tk (5). В выражениях (14) ''*r = 1 для r = 0
d 2r—1
и r = 2 для остальных r.
р1 г 1 n+j-2+' 1+ц1
Xm,^n = 2 C^j [dn+j-2+'+81 (П + j - 2 + ' + 81) !j 2 akTk* (5) j=1 k=0
-1
n+j-2+'+8j
(18)
где P = n(q + 3 ) - 2.
Системы фундаментальных функций (17) и (18) являются равномерно сходящимися рядами, при этом коэф-
фициенты
t
m,M,j и tm,№j
X = Mx
определяются через коэффи-
циенты предыдущего приближения по рекуррентным формулам:
- при п = 0
M;
h = H1YT2 =
X2 =
M,
H
M;
rT2
X3 =
H„
M
M;
s q r
W,m,j= 22bv,m,rtv,|a,n-1,j-r (n + j - 1)-1 П (n + j - 1 - Y) v=1 r=0
y=0
; (19)
- при п Ф 0
s q
i,j ^2^2 b v,m,r t v,^,n-1,',(j-k)
v=1 r=0
s q
П (n +j - 2 + ' + 81 - Y)
y=0
AH2 . m m 2 2AH
o0 )T2 = H - (a-,y) 0/ 2 ah2 . T S = —
T2
T ’
T1 . Q = QmT2
2
(n + j - 2 + Л + 81) + 22Pv,m,r 'tv,m,(n-1),('-1),(j-k+1)
v=1 r=0
(20)
(21)
Тогда вместо исходной системы уравнений (6)-(8) получим новую систему уравнений в безразмерной форме вида (13), к решению которой в дальнейшем применяется разработанный алгоритм.
Следует отметить, что решение задачи о реакции приемного контура можно легко получить для предель-
В дальнейшем, удовлетворяя начальным усло- ного случая бесконечно больших времен релаксации Т1 и виям, получим систему однородных алгебраических урав-
а
нений относительно произвольных постоянных ц, решение которой и определяет спектр значений
Т2 [3]. Для этого случая величина M остается неизменной, а единственной причиной затухания прецессии явля-
безразмерных частот
— н
ется уменьшение угла 0 между M и 0 . Выражение
для
Алалго п°лученных резульгагов. Предварительно когерентной компоненты намагниченности -1, опреде-
отметим, что при численной реализации разработанного ляющей амплитуду наводимого сигнала прецессии для аналитического решения задачи Коши для системы урав- данного сличая имеет следующий вид: нений (6)-(8), либо системы (10)-(12), уравнения должны быть представлены в безразмерной форме.
При переходе к безразмерным величинам в теории ЯМР, как правило, все магнитные моменты выражаются через равновесную намагниченность М = у1Н, все где R времена через Т2, а магнитные моменты через ДН2: контура.
M ± = M(0)sech[(t - toV Tr ]
(22)
Tr = (2^nMoQy) \
Q - добротность приемного
s
0
t
+
110
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Таким образом, затухание сигнала, индуцируемого в контуре, не имеет экспоненциального характера, за исключением случая малого угла 0, Тогда вместо выражения (22) получим:
Г + Л
M ± = M ± (0)exp
t
V
т
R J
(23)
Полученные формулы (22) и (23) пригодны также и для конечного времени Т1 и Т2, если Т1 >> tR и Т2 >>tR. Для случая конечного времени Т2 и Т1 = да решение получено в [6].
Следует подчеркнуть, что наибольший практический интерес представляет случай конечных времен релаксации Т1 = Т2 = Т, который впервые был исследован Ф.И.Скриповым и Э.Л.Альтманом [7] на основании аналогии со связанными контрами, при этом пренебрегалось влиянием переходных процессов в приемном контуре, поскольку его постоянная времени в сотни раз короче времени Т2.
Основной характеристикой, определяющей реакцию контура на движение вектора М, является величина Т/тда. Заметим, что в обычных условиях эксперимента nQH* не превышает значения 2 104 гс, что, например, для обескислороженного бензола (Т = 16 сек) дает:
Т/ тда<10P
(24)
Здесь Р - безразмерный коэффициент, равный отношению фактической амплитуды сигнала свободной ядерной индукции к ее расчетному значению, в оптимальных случаях он приближается к единице, однако нередко имеет и значительно меньшую величину.
При использовании регенерированного контура с добротностью порядка нескольких сотен, возможны и значительно большие значения Тт<ю .
В результате численные расчеты выполнялись для Т/т
пяти значений ' “ , образующих геометрическую прогрессию 1; 2; 4; 8; 16. При расчетах принималось, что 0(0) = п/2.
На рис.1 приведены результаты расчета авторов (сплошные линии). Представлена зависимость
M ±/M(0) от безразмерной координаты времени t/T при различных реакциях контура и Т1 = Т2 = Т.
На рис.1 приведены также результаты вычислений, полученные Ф.И.Скриповым и Э.Л.Альтманом [7]. Как следует из рис.1 совпадение результатов расчетов довольно хорошее.
D M/M(0)
Результаты расчетов зависимости z/ 4 ' от
безразмерной координаты времени t/T при различных реакциях контура и Т1 = Т2 = Т представлены на рис.2.
Из результатов расчетов следует, что при малых
Т/т
значениях ' “ реакция контура влияет на затухание сигнала значительно слабее, чем следует из выражения для эффективного времени затухания прецессии с учетом реакции контура [16]:
1 1
УТэфф =
Т2 т„
0$
0,6
0,4
0>2
L Ж |ЬМ{С}
|ж;; і
lv
t\\ 4\JS;
jf
Рисунок 1. Зависимость ( ) от времени при раз-
личных реакциях приемного контура:
------результаты авторов; -о— результаты [7].
личных реакциях приемного контура:
- - результаты авторов; -о— результаты [7].
На основе проведенного анализа следует подчеркнуть весьма важный факт: требование большой величины отношения сигнала свободной ядерной индукции к шуму и незначительного влияния реакции контура являются противоречивыми.
Выводы
1. Предложен аналитический подход к решению задачи о реакции контура в магнитном поле Земли.
2. Для решения начальных задач Коши, описываемых системами дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, применяется модифицированный метод последовательных приближений [10, 11].
3. Полученные результаты авторов сравниваются с известными теоретическими результатами других авторов. Отмечается хорошее совпадение.
Список литературы
1. Packard M., Varian R. Свободная ядерная индукция в магнитном поле Земли. - Bull. Amer. Phys. Soc., vol.28, №7, 1957, p.7.
2. Packard M., Varian R. Свободная ядерная индукция в магнитном поле Земли. - Phys. Rev., vol.93, 1954, p.941.
3. Bloembergen N., Pound R.V. Затухание излучения в опытах по магнитному резонансу. - Phys. Rev., vol.95, 1954, p.8.
4. Пухлий В.А. Численные методы. Теория и практикум в среде MATLAB: в 2- томах. Том 1.- Севастополь, 2007.- 412 с. Том 2 - Севастополь, 2008.742 с.
5. Владимирский К.В. О радиационной неустойчивости в экспериментах по ядерному магнитному резонансу. - ЖЭТФ, том 33, 1957, с.532.
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 8 (17), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
111
6. Bloom S. Эффекты радиационного затухания в динамике спинов. - J. Appl. Phys., vol.28, 1957, p.800.
7. Скрипов Ф.И., Альтман Э.Л. Реакция приемного контура в опытах по свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях. - Известия ВУЗов. Радиофизика, том V, №1, 1962, с.104-115.
8. Bloch F. Nuclear induction. - Phys. Rev., vol.70, 1946, p.460. (Блох Ф. Ядерная индукция. - Научно-реферативный сборник по некоторым вопросам современной физики. сер.2, вып.8, 1950, с. 13).
9. Морозов А.А,, Мельников А.В., Скрипов Ф.И. Методика свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях в применении к некоторым задачам радиоспектроскопии высокой разрешающей силы. - Известия АН СССР, том 22, 1958, с.1141.
10. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. - Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
11. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математической физики. - Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
12. Пухлий В.А., Ковалев Н.И. К задаче спинового эха в теории ядерного магнитного резонанса. - В сб.: Современные концепции научных исследований. -Москва, Евразийский Союз Ученых, №2(19), 2015, с.
13. Пухлий В.А. Аналитический метод решения краевых задач теории оболочек. - Труды XIII Всес. Конф. по теории пластин и оболочек. - Таллин, 1983.
14. Пухлий В.А. Решение задачи об изгибе косоугольной в плане цилиндрической трехслойной панели модифицированным методом последовательных приближений. - Прикладная механика. - Киев: АН УССР, 1986, №10, с.62-67.
15. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Физматгиз, 1961. - 524.
16. Рыжков В.М., Скроцкий Г.В. Некоторые особенности явления свободной прецессии атомных ядер. -Труды УПИ, сб.Ш, 1961, с.45-62.
