CC BY
59
международный научный журнал «инновационная наука» УДК 537.67
№9/2015
ISSN 2410-6070
В.А.Пухлий
профессор, д.т.н.
Н.И.Ковалев
доцент, к.т.н.
Севастопольский государственный университет г.Севастополь, Российская Федерация
К РЕШЕНИЮ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ АВТОДИНА
Аннотация
Излагается точное решение задачи Коши для автодина. Для решения начальной задачи, состоящей из уравнений Блоха и дифференциального уравнения 2-го порядка для генератора, предлагается аналитический подход, основанный на модифицированном методе последовательных приближений. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными результатами. Отмечается хорошее совпадение
Ключевые слова
Ядерный магнитный резонанс, уравнения Блоха, автодин, задача Коши, модифицированный метод
последовательных приближений
Введение. Основная идея, которая привела к развитию автодинных детекторов заключается в том, что в колебательном контуре, индуктивность которого одновременно представляет собой катушку с образцом, возбуждаются собственные колебания. Возникающее в области резонанса изменение магнитной восприимчивости вызывает частотную и амплитудную модуляцию генерируемых высокочастотных колебаний. В зависимости от того, реагирует ли последующий приемник на частотные или амплитудные изменения, после детектирования получается сигнал дисперсии или поглощения. Заметим, что наличие насыщения налагает известные ограничения на амплитуду высокочастотных колебаний, при этом прилагаемое к катушке эффективное напряжение должно быть порядка 1-5 вольт и менее.
В качестве автодинного детектора в принципе, возможно использовать любую из известных в радиотехнике схем генераторов, однако на практике предпочтение отдается таким схемам, у которых один конец катушки контура заземлен, так что подвод тока к ней может осуществляться при помощи простого коаксиального кабеля.
Следует отметить, что рабочую частоту автодинного детектора очень легко изменять, поскольку в большинстве случаев используется лишь один высокочастотный колебательный контур. Однако, несмотря на это в спектрометрах, предназначенных для точного измерения формы линии и для других аналогичных целей, предпочитают применять модуляцию или изменение магнитного поля, так как изменения частоты всегда вызывают малые отклонения амплитуды, которые мешают при выполнении точных измерений. В таких случаях возникает необходимость калибровать магнитное поле, при этом используется измеритель чувствительности, который целесообразно вмонтировать в автодинный детектор.
Для повышения стабильности частоты автодинных детекторов используется кварцевый фильтр, либо осуществляется синхронизация автодина при помощи внешнего эталона частоты. Последний способ имеет то преимущество, что он позволяет легко получить синхронизацию на высших гармониках, чем обеспечивается существенная универсальность измерительного контура.
Генератор слабых колебаний - автодин впервые был применен Е.К. Завойским в 1944 г для наблюдения электронного парамагнитного резонанса [1, 2]. Впоследствии автодин использовался при исследованиях ЯМР С.В.Вонсовским [3], а также Н.И.Ковалевым с соавторами в разработке и применении геоголографического комплекса «Поиск» для дистанционного поиска и оценки полезных ископаемых [46]. Дистанционный комплекс «Поиск» запатентован авторами в России и Украине [7, 8].
18
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2015 ISSN 2410-6070
Генератор слабых колебаний - автодин. На рис.1 приведена схема генератора слабых колебаний, который по существу является электронным генератором Гартлея, теория данного генератора довольно хорошо разработана.
Как уже отмечалось ранее, при возникновении сигнала ЯМР изменяются сопротивление и резонансная частота параллельного колебательного контура. В автодионе это вызывает изменение амплитуды и частоты генерирующего напряжения. После соответствующего детектирования будем иметь сигналы поглощения или дисперсии. На рис.1 обозначено: Lo, Со - индуктивность и емкость колебательного контура; Ri и R2 - сопротивления обратной связи; С - конденсатор фильтра низких чатсот; Др1 и Др2 - высокочастотные дроссели.
Рисунок 1 - Схема генератора слабых колебаний.
Следует подчеркнуть особенность генератора слабых колебаний, состоящую в том, что он генерирует напряжение с небольшой амплитудой в десятки и сотни милливольт, при этом даже очень малые изменения параметров колебательного контура генератора обуславливают существенное изменение амплитуды генерируемого им напряжения.
Как следует из теории генератора Гартлея, устойчивые собственные колебания образуются при увеличении коэффициента обратной связи K до значения Ккр:
K > K кР
R0C 1
SL SyZK
(1)
В выражении (1) Ro и С - параметры колебательного контура; zk - эквивалентное сопротивление; S у
- крутизна характеристики усилительного элемента, например, транзистора.
Следует отметить, что автодинные спиновые детекторы вследствие своей простоты и высокой чувствительности в настоящее время широко используются в ЯМР -спектроскопии при исследованиях твердых тел и жидких кристаллов. Заметим, что использование автодинов в радиоспектроскопии высокого разрешения существенно ограничено вследствие эффекта затягивания частоты генератора, обусловленного наличием в генераторе двух резонансных систем: колебательного LC-контура и спиновой системы, рассматриваемой как высокодобротный колебательный контур, между которыми существует связь по магнитному потоку. В результате возникает процесс неоднозначности генерируемой частоты, поскольку генератор генерирует напряжение на частоте ©i, или частоте ©2. Указанный недостаток автодинов ограничивает использование их при исследовании жидкостей с очень узкими резонансными линиями, имеющих большую эквивалентную добротность Q2.
Точное решение краевой задачи Коши для автодина. Отметим, что точное решение задачи для автодина должно основываться на феноменологических уравнениях Блоха, которые необходимо дополнить дифференциальным уравнением для генератора:
d2V
dt2
1 dV d
+-------+ V —
CRp dt dt
f
\
v CRp j
+-Lv
LC
1
1 4^nf dMx
LcIq8 dT
(2)
19
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№9/2015
ISSN 2410-6070
Здесь C, L - емкость и индуктивность колебательного контура; Rp - сопротивление параллельно включенных проводимостей G и Gi; V - напряжение генератора в вольтах; n - число витков; f - площадь витка. Правая часть уравнения (2) содержит напряжение, индуцированное в контуре изменением ядерной намагниченности.
Уравнение (2) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами и с точки зрения математической физики относится к уравнениям волнового типа [9].
Запишем систему трех уравнений Блоха, имея в виду, что поле Н1 в уравнениях Блоха выражается также через напряжение на контуре:
dMx
dt
dM.
dt
dMz
dt
= yl
MyHz -MzH.]
T,
= y[MzH, -M,Hz]-
M
.
T
= y[
[m,m, - M,H, ]
2
M, - M
0
T
(3)
Таким образом, решение задачи для автодина основывается на решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2)-(3) пятого порядка с переменными коэффициентами.
В дальнейшем к решению системы уравнений (2)-(3) применяется модифицированный метод последовательных приближений, разработанный профессором В.А.Пухлий и изложенный в изданиях АНСССР [10, 11].
Метод использовался в дальнейшем В.А.Пухлий и Н.И.Ковалевым при решении задачи спинового эха Хана в теории ЯМР [12], а также при решении задачи о реакции приемного контура в магнитном поле Земли [13].
Следует отметить, что при использовании модифицированного метода последовательных приближений исходная система уравнений (2)-(3) должна быть представлена в нормальной форме Коши, для чего волновое уравнение генератора второго порядка (2) представляется в виде двух уравнений первого порядка.
В результате система уравнений (2)-(3) с переменными коэффициентами записывается в нормальной форме Коши следующим образом:
dX s
—m = £Bv,mXv + XmXm (m = 1, 2, 3, 4, 5), (4)
ds V—1
Здесь Xm - неизвестные безразмерные функции; Bvm - переменные коэффициенты; Xm - параметр
частоты; £, —--безразмерная временная координата; v - номер неизвестной функции, при которой стоит
t0
коэффициент Bv m ; m - номер уравнения.
В уравнениях (4) переменные коэффициенты Bv m представлены через смещенные полиномы Чебышева:
q r
Bv,m = £ Ь v,m,rd-1 £ akT,*(5)
r—0 k—0
(5)
Здесь q - степень интерполяционного полинома; ak - коэффициенты разложения Е,r в ряд по многочленам Чебышева T*(^) . В выражениях (5) dr = 1 для
г = 0 и dr = 2 2r 1 для остальных г.
Общее решение системы уравнений (4) имеет следующий вид:
20
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№9/2015
ISSN 2410-6070
x„ = Z с„
Ц=1
d^1a„T„*(5)S + X X„.„
n=1
где Хт,ц,п =ЁФЛ-^Л
^=0
(6)
(7)
Здесь ц - номер фундаментальной функции; Сц - постоянные интегрирования.
В решении (6) будет 5 = 1, если m = ц и 5 = 0 для остальных ц.
В выражении (7) функции ф определяются через смещенные полиномы Чебышева следующим образом:
- при п = 0
Р
-1
n+j-1
фЛ=0 = Z Vм,n,j [dn+j-1(n + j - 1)!] Z akTk(0 ;
j=1
k=0
при п ф 0
-1
n+j-2+^+8j
Hi г 1 11 1 J \
ф Л*0 = Z W,n,j [dn+j-2+^5, (n +j - 2 + Л + 51)!] Z akTk* ©
j=1
(8)
(9)
k=0
где P = n(q + 3 ) - 2.
Системы фундаментальных функций (8) и (9) являются равномерно сходящимися рядами, при этом
*
коэффициенты tm м л j и tm ^ n j определяются через коэффициенты предыдущего приближения по рекуррентным формулам:
- при п = 0
s q r
tm,м,т, j =^^^jbv,m, rtv, M,n-1, j-r (n + j - 1) 11 (n + j - 1 - Y) ; (10)
v=1r=0 y=0
- при п ф 0
* s q
tm,M,n,j = Z 1 b v,m,r t v,q,n-1,r|,(j-k)
v=1 r=0
1 (n + j - 2 + n + 51 -y)
Y=0
(n + j - 2 + Й + 50
+
s q
+ ZZPv,m,r 'tv,m,(n-1),(r|-1),(j-k+1) .
v=1r=0
(11)
В дальнейшем, удовлетворяя начальным условиям, получим систему однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных C , решение которой и определяет спектр значений
безразмерных частот Zm.
Анализ полученных результатов. Предварительно следует отметить, что при численной реализации разработанного аналитического решения начальной задачи Коши, исходные уравнения Блоха и дифференциальное уравнение 2-го порядка для генератора должны быть представлены в безразмерной форме.
При переходе в исходной системе пяти дифференциальных уравнений 1-го порядка (4) к безразмерным величинам необходимо выразить все магнитные моменты через равновесную намагниченность М = yiH, все времена через Т2, а магнитные поля через ДШ:
М. л
L3
II s £ X2
H
H1yT2 = ; 2 AH2 hm
X = Ml
М
М
YT2 H
2 2AH2 ’
Q = QmT2; (12)
то
21
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№9/2015
ISSN 2410-6070
do =(уН-Qq)Г2 = H (q^y);
^Н2
Г
S = —; Г
b = Tl
Г
Рисунок 2 - Изменение ширины линии протонного сигнала в воде в зависимости от концентрации парамагнитных ионов Fe3+: 1 - результаты авторов; 2 - экспериментальные результаты [14].
Следует отметить, что впервые задачу для автодина решил Г.Пфайфер [14]. Заметим, что можно
*
подсчитать искажения сигнала поглощения и дисперсии, возникающие при приближении величины ш0 Г2
к критическому значению. При этом получается сужение кривой поглощения. Если с помощью автодина измерить изменение ширины линии протонного сигнала в воде в зависимости от концентрации парамагнитных ионов N (N - число ионов в 1 см3), тогда при очень малых величинах Hi получаются кривые, представленные на рис.2. Здесь пунктирной линией обозначены результаты, полученные авторами и сплошной линией с кружочками - экспериментальные результаты [14].
На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что при использовании автодинного детектора принципиально невозможно сколь угодно повышать разрешающую способность, поэтому для наблюдения узких резонансных линий следует использовать мостовые схемы [14].
Список использованной литературы
1. Завойский Е.К. - Journal of Phys. (CCCP), vol.9, 1945, p.211.
2. Завойский Е.К. - ЖЭТФ, том 15, 1945, с.344.
3. Вонсовский С.В. Магнетизм. - М.: Наука, 1971.
4. Ковалев Н.И., Гох В.А., Солдатова С.В. и др. Использование дистанционного геологографического комплекса «Поиск» для обнаружения оконтуривания углеводородных месторождений. - Геоинформатика, №3, 2009, с.83-87.
5. Ковалев Н.И., Гох В.А., Акимов А.М и др. Использование геологографического комплекса «Поиск» для обнаружения полезных ископаемых и определение путей миграции радионуклидов и токсичных веществ из хвостохранилищ предприятий ЯТЦ. - Экология и атомная энергетика, вып.1, 2009, с.64-67.
6. Ковалев Н.И. Алсын удирдлагын аргаар ашигт маоималын хайгуул хийх ажлын ур дунгийн унэлгээ. -Mongolian university of science and technology. Scientific transactions, №4/106. - Ulanbaatar, 2009, p.187-192.
7. Ковалев Н.И., Акимов А.М., Гох В.А. Способ разведки полезных ископаемых. - Патент РФ №227-2305 от 20.03.06. - Москва: Роспатент, 2006.
8. Ковалев Н.И., Бакий Э.А., Иващенко П.И. Способ поиска залежей полезных ископаемых. - Патент Украины №35122 от 26.08.2008. - Киев: Укрпатент, 2008.
9. Пухлий В.А. Численные методы. Теория и практикум в среде MATLAB: в 2-х томах. Том 1. -Севастополь, 2007. - 412 с.; Том 2 - Севастополь, 2008. - 742 с.
22
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2015 ISSN 2410-6070
10. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. - Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
11. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математической физики. -Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
12. Пухлий В.А., Ковалев Н.И. К задаче спинового эха в теории ядерного магнитного резонанса. - Ж-л: Евразийский Союз Ученых (ЕСУ), №2, 2015, с.
13. Пухлий В.А., Ковалев Н.И. К задаче о реакции приемного контура в магнитном поле Земли. - Ж-л: Евразийский Союз Ученых (ЕСУ), №3, 2015, с.
14. Pfeifer H. Eine Theorie der Apparaturen zur Beobachtung magnetischer Kemresonanzen. - Annalen der Physik, Band 15, Heft 5-6, 1955, s.311-324.
© В.А.Пухлий, Н.И.Ковалев, 2015
УДК 614
В.Г.Шаптала
д.т.н., профессор кафедры «Защита в чрезвычайных ситуациях»
Н.Н.Северин
д.п.н., профессор кафедры «Защита в чрезвычайных ситуациях»
М.В.Гревцев
аспирант кафедры «Защита в чрезвычайных ситуациях» Белгородский государственный технологический университет
им. В.Г. Шухова г. Белгород, Российская Федерация
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ И КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СИСТЕМ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
КОМПЛЕКСНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
Аннотация
Рассмотрены вопросы количественных и качественных методов анализа систем обеспечения комплексной безопасности.
Проанализированы математические методы анализа эффективности систем безопасности (детерминированный подход, методы многокритериальной оптимизации, логико-вероятностное моделирование, имитационное моделирование)
Ключевые слова
Анализ, комплексная безопасность, модель, эффективность, оптимизация, риск
Система обеспечения комплексной безопасности (СОКБ) представляет собой сбалансированную совокупность элементов обнаружения нарушителя, задержки продвижения нарушителя по пути следования, а также элементов реагирования сил охраны на действия нарушителя. Эти элементы являются целевыми функциями системы [1, с. 84].
При создании СОКБ возможны два подхода: выбор наиболее рационального варианта построения системы из нескольких вариантов (задача анализа) и оптимизация параметров системы, то есть название некоего набора оптимальных характеристик системы как исходных данных для ее создания (задача синтеза). При этом необходимо учитывать специфические особенности СОКБ [2, с. 65]:
1. Конфликтность интересов в системе «охрана-нарушитель».
23
