CC BY
27
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
123
ЛИТЕРАТУРА
1. Ющенко, А. С. Интеллектуальное планирование в деятельности роботов / Ющенко А. С. // Мехатрони-ка, автоматизация, управление. 2005. №3. - С. 5 - 18.
2. Макаров, И. М. Интеллектуальные робототехнические системы: принципы построения и примеры реализации. Часть 1/ И. М. Макаров, В. М. Лохин, С. В. Манько, М. П. Романов, Д. В. Евстигнеев, А. В. Семенов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2004. №11. - С. 14 - 23.
3. Зенкевич, С. Л. Управление роботами. Основы управления манипуляционными робототехническими системами / С. Л. Зенкевич, А. С. Ющенко. - М. : МВТУ, 2000. - 400 с.
4. Isto P. A parallel motion planner for systems with many degrees of freedom // Proc. of the 10th Intemat. Conf. on Advanced Robotics (ICAR 2001), August 22—25, 2001, Hotel Mercure Buda, Budapest, Hungary. pp.339—344.
5. Притыкин, Ф. Н. Виртуальное моделирование движений роботов, имеющих различную структуру кинематических цепей : монография / Ф. Н. Притыкин ; ОмГТУ - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2014. - 172 с.
6. Lopatin P. K. Algorithm of a manipulator movement amidst unknown obstacles // Proc. of the 10th Inter-
national Conference on Advanced Robotics (ICAR 2001). August 22—25. 2001. Hotel Mer- cure Buda, Budapest, Hungary. pp. 327—331.
7. Егоров, А. С. Использование алгоритма полиномиальной аппроксимации в задаче управления манипулятором в среде с неизвестными препятствиями / А. С. Егоров, П. К. Лопатин // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. - №3. - С. 24-29.
8. Притыкин, Ф.Н. Исследование областей пространства конфигураций, задающих совокупность достижимых точек рабочей зоны манипулятора с учетом положения запретных зон/ Ф. Н. Притыкин, А.Ю. Осадчий // Омский научный вестник. - 2014. - № 3 (133). - С. 70 - 74.
9. Притыкин, Ф.Н. Исследование областей, задающих множества разрешенных конфигураций при нахождении механизма мобильного манипулятора в близости от запретных зон / Ф. Н. Притыкин, Д. И. Нефедов, А.В. Рингельман // Инженерный вестник Дона, 2015 - № 2. Часть 2, http://ivdon.ru/ru/magazine/ archive/n2p2y2015/3007
10. Рвачев, В. Л. Методы алгебры логики в математической физике / В. Л. Рвачев. - Киев; 1974. - 256 с.
РАСЧЕТ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК ОСЕВЫХ
ТУРБОМАШИН
Пухлий Владимир Александрович
Д.т.н., профессор СевГУ, г.Севастополь
Лепеха Ольга Григорьевна
К.т.н., доцент СевГУ, г.Севастополь
Журавлев Александр Анатольевич
Старший преподаватель СевГУ, г.Севастополь
Сычев Евгений Николаевич
К.т.н., вед.н.сотр. ИПТС, г.Севастополь
Аннотация. Рассматривается расчет напряженно-деформированного состояния естественно закрученных лопаток осевых турбомашин на основе теории оболочек. Исходные уравнения получены на основе вариационного принципа Лагранжа. При решении задачи используется обобщенный метод Бубнова, который не требует удовлетворения статическим граничным условиям. В самом общем случае решение краевой задачи на основе метода интегральных соотношений Дородницына сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для интегрирования полученной системы используется модифицированный метод последовательных приближений, разработанный автором. Приводится пример расчета лопатки.
Ключевые слова: Математическое моделирование, лопатки осевых турбомашин, прочность, краевая задача, аналитический метод.
CALCULATION OF NATURALLY TWIRLED BLADES OF AXIAL
TURBOMACHINES
Puhly У.А., Lepeha O.G., Zhuravlev A.A., Sychev E.N.
The summary. Calculation of the is intense-deformed state of naturally twirled blades of axial turbomachines on the basis of the theory of envelopes is considered. Input equations are received on the basis of a variation principle of the Lagrange. At the problem decision the generalised method of Bubnova which does not demand sufficing to static boundary conditions is used. In the most common case the decision of a boundary value problem on the basis of a method of integral interrelations of Dorodnitsyna is reduced to integration of system of the differential equations with variable quotients. For integration of the received system the modified approximation method developed by the author is used. The example of calculation of a blade is reduced.
Keywords: Mathematical simulation, blades of axial turbomachines, hardness, a boundary value problem, an analytical method.
124
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Введение. Рабочие лопатки осевых турбомашин относятся к самым напряженным и ответственным деталям осевых агрегатов, поломка которых может вывести из строя весь агрегат.
В осевых компрессорах, нагнетателях, насосах, вентиляторах современных турбомашин в последнее время находят применение высокоэкономичные однослойные и трехслойные лопатки, произвольно изогнутые и естественно закрученные.
В настоящее время имеется два подхода к решению задач расчета таких лопаток.
Первый подход основан на представлении рабочей лопатки в виде тонкостенного закрученного стержня. Методы расчета таких лопаток осевых турбомашин создавались как продолжение и развитие методов расчета воздушных винтов, рабочих лопаток стационарных паровых турбин, в основе которых лежала классическая теория изогнуто-закрученных стержней Кирхгофа-Клебша. Усовершенствование методов расчета шло как в общетеоретическом плане, так и по линии учета специфических особенностей лопаток осевых турбомашин: высокие окружные скорости, сложные законы изменения площади сечений по длине лопатки, тонкие профили и т.д. Дальнейшее совершенствование методов расчета рабочих лопаток выявило недостаточность некоторых представлений классической теории стержней.
Второй подход к решению задач расчета рабочих лопаток, при котором используется теория оболочек для анализа поведения лопаток осевых турбомашин, начал применяться сравнительно недавно. При этом рассматривались в основном задачи о колебаниях таких лопаток.
Здесь излагается аналитический подход к расчету напря-женно-деформиро-ванного состояния (НДС) таких лопаток, основанный на сведении краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае с переменными коэффициентами и решение затем полученной системы уравнений модифицированным методом последовательных приближений, разработанный автором [1, 2]. На основе такого подхода автором решен широкий круг задач математической физики и прикладной механики [3-5].
Постановка задачи. Проведем вывод уравнений равновесия и естественных граничных условий рабочих лопаток осевых турбомашин. На рис.1 приведена геометрия закрученной лопатки. Предполагается, что лопатка образована винтовым движением слабоизогнутого профиля, скользящего относительно неподвижной оси и поворачивающегося относительно этой оси на угол р0 с постоянной угловой скоростью.
Геометрия лопатки задается следующим образом. Функция изменения толщины лопатки записывается в виде: h(f,n) = h0 ti (f) 12 (n). (1)
Здесь h0 - максимальная толщина лопатки, заданная в корневом сечении.
Безразмерные функции tx (f) и t2 П), характеризующие относительное изменение толщины лопатки по ее длине и по ширине соответственно, задаются в виде:
ti =Л[l + (^i -1) f] ; (2)
12
b1i + b2i (П
n-1) + b3i (n - n-1)2 + b4i (n - n-1)3
Рисунок 1. Геометрия и система координат естественно закрученной консольной лопатки.
Здесь f = f/1 и n = n/b - безразмерные координаты лопатки (0 <f< 1; 0 <n< 1) ; Я = 1 ho ; W\ = hk/K - отношение толщины лопатки в периферийном сечении к толщине лопатки в корневом сечении. В выражении для 12 величины bkj (i = 1, 2, 3, 4)
являются коэффициентами сплайн-многочленов [6] и определяются на каждом интервале из условий в узлах.
Уравнение срединной поверхности лопатки записывается в виде:
f (f,n)= fo f1 (f) f2 (n).
(3)
Здесь f 0 - максимальная стрела изогнутости лопатки в корневом сечении. Безразмерные функции f и f2, характеризующие относительное изменение стрелы изогнутости лопатки по ее длине и по ширине соответственно, задаются в виде:
f 1 =1 +(k -1) f] ;
f2 = aU + a2i (n - n-1) + a3i (n - П-1 )2 + a4i (n - П-1 )3
(4)
где k = f I f0 - отношение стрелы изогнутости в периферийном сечении к стреле изогнутости в корневом сечении. Величины ak. (i=1, 2, 3, 4) являются коэффициентами сплайн-многочленов [6].
Закон закрутки лопатки принимается в виде: р = Я-1 х1,
(5)
где Я 1 - параметр закрутки равный р0/1 (закрутка на единицу длины).
Переходим к рассмотрению геометрических параметров лопатки. Примем неподвижную систему координат X1X2 X3 с началом О, причем ось X2 направим по хорде лопатки (рис.1). Кроме того, рассмотрим подвижную систему координат х1 х2 х3 параллельную системе X1X2 X3 , но с началом Ох, а также подвижную систему координат , у которой ось f 1 совпадает с осью х1, ось n1 - с направлением подвижной хорды, а ось в - перпендикулярна оси n. Вполне очевидно, что система координат п101в1 в каждом сечении лопатки повернута относительно системы X OX на угол р(х1) = хД-1. Принимая это во внимание, запишем в векторной форме уравнение срединной поверхности лопатки. Запишем компоненты радиуса - вектора:
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
125
Xi = ^ = &;
x2 = п1 cos (р- в sin р; !>. x3 = р sin р + в1 cos р.(6)
Выражение для радиус-вектора получим в виде:
R = £(»7i,/?i) = Zp' + (*5i cosfj-/?! strip)./ +()ji sinp+ /S^cospjA: ;
' ' (7)
где i, j, k - единичные векторы, a в1 совпадает с f -формула (3). _
Дифференцируя радиус-вектор R{n, в1) по в1 и р с учетом предположения о пологости лопатки, получим выражения для параметров Ляме и выражения для кривизн:
А=Ч At=i; ли=о;
fc,]=0; ^зз=/.зз':, *i:=/j:+^1- (8)
Здесь нижний индекс i, следующий после запятой, означает частное дифференцирование по координате xi, при этом i = 1 соответствует дифференцированию по й , а i = 2
по р.
Запишем выражения для параметров срединной поверхности лопатки:
<hi=uul
&n=V.2-2— &з$1:1 ЙЦ = Ч-Мд. 1 —2ATJ2M71
а также выражения для тангенциальных усилий и моментов:
Х\\ = 'к.\\1 Хз1 = уг311
Xn = ypJ.h (9)
Определим деформации слоев:
£;. = е;; + ZY,: .
61 ь у 12)
На основе закона Гука запишем выражения для напряжений:
где ^ - символ Кронеккера: ^ = 1,^=0 npHi=j. (13)
Вывод исходных уравнений проведем на основе вариационного принципа Лагранжа, согласно которому:
где 5П - вариация работы внутренних сил; SA1 - вариация работы внешней нагрузки, приложенной к поверхности лопатки; 5А2 - вариация работы внешних контурных усилий.
Вычислим вариацию работы внутренних сил упругости лопатки, равную вариации потенциальной энергии деформации лопатки с обратным знаком:
(14)
где Q - площадь исходной поверхности лопатки. Произведя в (15) интегрирование по частям, получим:
1 b
S =JJ[-L1&1 - L2SU2 0 0
1
L3Sw]d^1<in1 + J
0
+ J J 2 d%
00
1
- 2Mj Sw\ 0
0
b
0
(16)
В выражении (16) операторы Lm и Jn (m = 1, 2, 3; n = 1, 2) следующие:
A=^iu+^mi Ai = -^331 +-^iib (17)
=Мщ1 + 2^1311 + M2221— AayV32 — 2к12№12—J?i>f 1 j
J-[ =jVj2^Zj 4- jiV-in J/i — MrnSt- ~i -4- (Л/п ~i -1- /?Л'/з21) Hi^rV . (18)
J2 =iV11<&1 +^V12&2 _ +(мШ +2Mi12}S,v .
R кт-тпя-ж-рниях (18) содержатся члены вида A/niSty и A/iniSi-j При их преобразовании будем пользоваться формулой дифференцирования произведения. В результате получим:
J‘ = 1+ лг„ Ja. + 2{а/„ . + Л/,..,)*? -М~£ч.]' ; /1 = Nufa: +AfKJa. + 2(.У]Ц + Л/]г .s)ftv -М„£ч£ .
(19)
Вариация работы внешней поверхностной нагрузки, приведенной к срединной поверхности лопатки, запишется следующим образом:
1 b
SA1 =JJ(p1Su1 + p2Su 2 + qSw) d^jdp . (20)
0 0
С учетом выражений (16), (19) и (20) при отсутствии внешних контурных усилий на основе вариационного принципа Лагранжа получим:
Первый интеграл в выражении (21) доставляет дифференциальные уравнения задачи, второй и третий - граничные условия.
(14)
126
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
4
Введем безразмерные координаты по формулам:
§L. l ’
П
n =—;
b2
l
m = — b
и безразмерные функции перемещений:
_ u _ u2 _ w
1 h h h
no no "o
Подставляя в вариационное уравнение Лагранжа выражения (10) и (11), запишем уравнение (21) в следующем виде:
(22)
Здесь df - безразмерные параметры лопатки.
Приравнивая нулю выражения, стоящие перед вариациями независимых переменных, получим уравнения равновесия лопатки в перемещениях:
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
127
Обобщенный метод Бубнова. К решению полученной системы уравнений (23)-(25) применяется обобщенный метод Бубнова. В соответствии с методом решение системы уравнений (23)-(25) представляется в виде:
*1 = ЕЕ^1№<*>= % = ^ = 22сМШ- О)
п-Лп-А л>-4л-4 №4л-4
Здесь Pm (#) и Tn {Л) - системы аппроксимирующих функций. В качестве системы аппроксимирующих функций Pm (%) выбираем ортонормированные на интервале [0,1] степенные полиномы, подчиненные условиям жесткого защемления лопатки при ^ = 0:
д(^) = ,^(252+ -42^ + 15^); Д(^)= л/ГГ|рО^-- 252^+ + Ш2*-35Г)
Д(^)=^/о(495^ -1320^-' + 1260^-504^ + 70£г).
(27)
В качестве системы аппроксимирующих функций Tn (ц) выбираем ортогональные на интервале [0,1] смещенные полиномы Чебышева первого рода [7, 8]:
7-4^)= l2S)?4 -256)?i + Ш41 - Ъ2у + \\ Т^)= 512tj5-12Н0);4 +1120^3-400^^ н- 50^-1:
Г6"()7)=2043)76-6144^ +Ш2)74-З5а4)73 + Шу2-12tj+1. (28)
Следует заметить, что точность решения краевой задачи для системы уравнений (23)-(25) существенным образом зависит от выбора аппроксимирующих функций Pm (^) и Tn П).
Отметим, что если эти функции точно удовлетворяют граничным условиям, то внеинтегральные члены в уравнениях (23)-(25) пропадают. В записанном виде уравнения (23)-(25) соответствуют обобщенному методу Бубнова, который не требует от аппроксимирующих функций удовлетворения статическим граничным условиям.
Ограничиваясь четырехчленным приближением в решении (26), после применения процедуры обобщенного метода Бубнова к системе исходных уравнений задачи (23)-(25), получим систему линейных алгебраических уравнений порядка 3mn, из решения которых определяем константы Cm .
Выражения для безразмерных напряжений примут вид:
128
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Модифицированный метод последовательных приближений. Многие прикладные и теоретические вопросы современного естествознания приводят к двумерным краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных, при решении которых широко применяются методы численного анализа [9]. При этом наиболее часто используется метод сведения краевой задачи к ряду задач Коши с применением численных методов типа Рунге-Кутта, Адамса-Штермера при дальнейшем решении каждой из задач.
И хотя на основе такого подхода решен широкий круг задач математической физики, следует всегда помнить о том, что задача Коши для уравнений эллиптического типа является не корректной (как известно, она корректна для уравнений гиперболического типа), а поэтому в каждом конкретном случае необходимо тщательно обосновывать возможность сведения краевой задачи для эллиптических уравнений к ряду задач Коши.
Недоучет этого обстоятельства может привести к неустойчивому счету при численной реализации на ЭВМ [9, 10]. Связано это с тем обстоятельством, что если собственные значения матрицы системы значительно отличаются по величине вещественной части, то при интегрировании с возрастанием аргумента в результате потери значащих цифр система векторов-решений задач Коши становится почти линейно зависимой, вследствие этого нельзя с достаточной точностью определить постоянные интегрирования и сами искомые функции.
В теории оболочек неприемлемость такого подхода для ряда задач обуславливается краевыми эффектами. Более устойчивыми в этом отношении являются методы прогонки в дифференциальной и разностной форме, методы непрерывной и дискретной ортогонализации [11].
Однако, как справедливо отметил нобелевский лауреат академик Л.В.Канторович, было бы преждевременным на основании доверия к «выводам» машинной техники считать аналитические методы окончательно устаревшими. Исследования ряда видных ученых доказывают практическую целесообразность применения аналитических методов при решении ряда задач и в современных условиях.
Как уже отмечалось, автором был разработан модифицированный метод последовательных приближений [1, 2] с успехом используемый при решении ряда краевых задач математической физики (теории оболочек, термодинамики, ядерной физики).
Проведенные автором исследования ряда краевых задач математической физики показали, что в ряде случаев имеет место медленная сходимость степенных рядов в модифицированном методе последовательных приближений.
Известно, что одна и та же функция может быть представлена целым спектром различных степенных рядов [13]. Представляя по существу одну и ту же функцию, все они обладают весьма различной скоростью сходимости. Если мы
преследуем цель - абсолютную точность, то все эти представления равнозначны. Но если наша цель - заданная ограниченная точность, то эти представления будут совершенно различны. Самой слабой сходимостью обладают ряды Тейлора, с другой стороны самая сильная сходимость характерна для полиномов Чебышева [7, 8].
Здесь для ускорения сходимости решения используется метод телескопического сдвига степенного ряда Ланцоша
[7]. Идея метода заключается в том, что имеющийся в нашем распоряжении ряд Мак-Лорена телескопически сдвигается в гораздо более короткий ряд, не теряя в точности. Для этого используется возможность представления любого степенного ряда через смещенные полиномы Чебышева на интервале [0, 1].
На первом этапе к решению краевой задачи, описываемой системой уравнений в частных производных (23)-(25) применяется метод интегральных соотношений Дородницына [12] для сведения краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае с переменными коэффициентами. При этом в решении неизвестные функции ux. u2 ,w задаются в виде конечного ряда по образующей лопатки. Вследствие этого оказывается возможным получение достаточно точных результатов при решении с 2-мя членами ряда, тогда как при задании аппроксимирующих функций вдоль хорды лопатки необходимо
брать значительно большее число членов ряда.
Кроме того, метод интегральных соотношений [12] позволяет получить более точное распределение прогибов по хорде лопатки, поскольку направление по хорде принято дифференциальным.
В соответствии с методом интегральных соотношений представим неизвестные функции в уравнениях (23)-(25) в виде конечного ряда:
[Г л
(i=U);
U^)=r (29)
<*=з)-
где X={ArJ=^biZ3lir}.
где
X = {x i }={й\, u2, .
В выражении (29) Pj (£) - система аппроксимирующих функций; Xj (n) - неизвестные функции, определяемые в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В качестве системы аппроксимирующих функций выбираются ортонормированные на интервале [0, 1] полиномы Якоби [8], подчиненные условиям жесткого закрепления края лопатки при ^=0 - выражения (27).
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
129
Применяя затем процедуру метода интегральных соотношений к исходной системе уравнений в частных производных (23)-(25), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае с переменными коэффициентами, которую представим следующим образом:
^■ZU +/ж и = А (31))
dt) v_l
Переменные коэффициенты Bv m свободные члены fm представим через смещенные полиномы Чебышева:
q у q j
К* = Z /т = У /ч.г(4 - f!)"1 Уа;ХУ)- (31)
г-0 i-О г-0 i-0
Здесь q - степень интерполяционного полинома; ак - коэффициенты разложения П в ряд по многочленам Чебышева Tk (rj). В выражениях (31) dr = 1 для r = 0 и dr = 22r-1 для остальных г.
Общее решение системы уравнений (30) имеет вид:
+ > С32)
Jfc-Q ^2
где t m j 0 = fmr при j = r; ц - номер фундаментальной функции; Cи - постоянные интегрирования.
1 m, j,0 J m,r
В решении (32) будет 5 = 1, если m = i и 5 = 0 для остальных ц. Первое приближение Xm и 1 получается из подстановки нулевого приближения: d{)-a{)T{){n) S в правую часть системы (Г s
m _ d y
7 / v Bv,mXv .
dn v=1
Последующие приближения осуществляются по формулам:
ri+j—i
^=±*^k+Hi»+; -oiKz V;M; ^=zx*-о?]-1 z (зз)
i-d
где P = n ( q + 3 ) - 2.
Системы фундаментальных функций (33) являются равномерно сходящимися рядами, при этом коэффициенты tm, j и tm,n,j определяются через коэффициенты предыдущего приближения по рекуррентным формулам:
l^.} =Z Z -i)"]n(*+J -i- у\ =iz J -i)'In(«+j -1- r\
V-] fmQ У-] .r-Cl -7.Cl
Постоянные Cи, входящие в общее решение (32), находятся из граничных условий на краях г) = 0 и г) = 1.
Пример расчета. Применим изложенный выше аналитический подход к расчету напряженного состояния рабочих лопаток осевых турбомашин (рис.1). Лопатка находится под действием нормальной равномерно распределенной нагрузки - q и касательной нагрузки, действующей в срединной поверхности лопатки - р1.
Исходные данные для расчета: l = 200 мм; b = 170 мм; h0 = 10 мм; = 0,4;
(р0 = 3 o ; q = 1 кгс/см2; px = p0 (1 - £) ; p0 = 210 кгс/ см2. Материал лопатки: Сталь - 20.
Рисунок 2. Распределение нормальных напряжений ст1 по длине лопатки.
130
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Рисунок 3. Распределение нормальных напряжений <у1 по ширине лопатки.
На рис.2 приведены эпюры нормальных напряжений о1 по длине, а на рис.3 - эпюры о1 по ширине лопатки. Как и следовало ожидать, наиболее напряженным является корневое сечение лопатки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. - Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
2. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математический физики. - Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
3. Пухлий В.А. К проблеме вычисления специальных функций. - Прикладные задачи математики: Мате-
риалы XXIII МНТК. - Севастополь: Изд-во СевГУ, 2015.
4. Пухлий В.А. Решение начально-краевых задач математической физики модифицированным методом последовательных приближений. Ж-л «Обозрение прикладной и промышленной математики», 2015, том 22, вып.4. - Москва: Изд-во ТВП.
5. Пухлий В.А. и др. К проблеме динамического воздействия природного и техногенного характера на плотину Чернореченского водохранилища г.Севастополя. - Доклад на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. 2015. - Казань: Изд-во РАН.
6. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Изд-во «Мир», 1972. - 318 с.
7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.
8. Luke Y.L. Mathematical function and their approximations. - New York-London: Academic Press, Inc., 1975. - 608 р.
9. Пухлий В.А. Численные методы. Теория и практикум в среде MATLAB. Том I. - Севастополь, 2007. - 412 с. Том II - Севастополь, 2008. - 762 с.
10. Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. - М.: Физматгиз, 1962. - 620 с.
11. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - Успехи матем. наук, 1961, том 16, №3, с.171-174.
12. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнения ламинарного пограничного слоя.- Журн. прикл. матем. и техн. физики, 1960, №3, с.111-118.
13. Воробьев Н.Н. Теория рядов. - М.: Наука, 1975. - 368 с.
ЭТАПЫ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ЗНАНИЙ ИЗ ЭЛЕКТРОННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ
Бобамурадов Озод Джураевич
к.т.н., начальник отдела Центра внедрения электронного образования в образовательных учреждениях при
Министерстве высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан г. Ташкент
Рахимов Нодир Одилович
Старший научный сотрудник - соискатель кафедры программное обеспечение информационных
технологий, г. Ташкент
АННОТАЦИЯ
Рассматриваются этапы извлечения знаний из электронных информационных ресурсов. Анализируются методы извлечения знаний. Приведена концептуальная схема процедур извлечения знаний.
ABSTRACT
In this article the stages of knowledge extraction from electronic information resources. Analyzed of methods extracting knowledge. Is a conceptual diagram of the procedures of knowledge extraction.
