Исследование функций неопределенности сигналов радиочастотного и светового диапазонов методами спинового и фотонного эха Текст научной статьи по специальности «Математика»

TECHNICAL SCIENCE

УДК: 621.39: 539.143.43

Баруздин С. А.

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

DOI: 10.24411/2520-6990-2019-10107

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИГНАЛОВ РАДИОЧАСТОТНОГО И СВЕТОВОГО ДИАПАЗОНОВ МЕТОДАМИ СПИНОВОГО И ФОТОННОГО ЭХА

Baruzdin S. A.

St. Petersburg Electrotechnical University LETI

THE STUDY OF THE FUNCTIONS OF THE UNCERTAINTY OF RADIO FREQUENCY SIGNALS AND LIGHT BANDS BY THE METHODS OF SPIN AND PHOTON ECHO

Аннотация

Предложено использовать методы спинового и фотонного эха для исследования функций неопределенности сигналов радиочастотного и светового диапазонов. На основе уравнений Блоха и их оптических аналогов проведено моделирование возбуждения спинового и фотонного эха при формировании сечений тел неопределенности прямоугольных радиоимпульсов и световых сигналов, модулированных кодом Бар-кера. Определены условия неискаженного формирования сечений тел неопределенности.

Abstract

It is proposed to use the methods ofspin and photon echo to study the uncertainty functions ofradio frequency and light range signals. On the basis of the Bloch equations and their optical analogues of the simulation of the excitation of spin and photon echo in the formation of the cross-sections of the bodies of the uncertainty of rectangular radio pulses and light signals, modulated by the Barker code. The conditions offormation of the undistorted cross-sections of the bodies of uncertainty.

Ключевые слова: функция неопределенности, сечение тела неопределенности, спиновое эхо, фотонное эхо

Key words: ambiguity function, cross-section of the body of uncertainty, spin echo, photon echo

Спиновое и фотонное эхо является откликом системы частиц на резонансное импульсное воздействие магнитным (спиновое) или электрическим (фотонное) полем [1, с. 257] Наряду с использованием этих методов для различных физических

и химических исследований они могут применяться в задачах обработки сигналов при фильтрации сигналов из помех, корреляционном анализе и др. [2, с. 147], [3, с. 294].

В теории и практике сигналов важную роль играет функция неопределенности [4, с. 70]

F(т,ш) = ¡_mR(t)R'(t-T)eiwtdt = 1J^S,(n)S(n-^)eintdn.

(1)

Модуль этой функции | ^ (х, ^) | называют телом неопределенности. Эта функция определяет разрешающую способность по времени и частоте.

В настоящей работе предлагается использовать метод спинового и фотонного эха для исследования функций неопределенности сигналов радиочастотного и светового диапазонов.

Решение поставленной задачи проводится путем моделирования процесса возбуждения спинового или фотонного эха. В основе моделирования лежат уравнения Блоха (спиновое эхо) или их оптические аналоги (фотонное эхо). С математической точки зрения они идентичны и представляют собой

систему линейных дифференциальных уравнений в общем случае с переменными коэффициентами.

Поведение вектора намагниченности во внешнем магнитном поле описывается уравнениями Блоха [2, с. 34]. Если длительности импульсов возбуждения 11,2 << Т\, Тг, где Т\, Тг - времена продольной и поперечной релаксации соответственно, то процессами релаксации можно пренебречь. Тогда уравнение движения вектора намагниченности изо-хроматы во вращающейся с частотой ю0 системе координат можно представить в виде

(2)

M(t,n) =

M(t,n)

M*(t,n) , F(t,ß) =

Mz(t,n)_

¿П 0 -iR(t)

0 -in iR*(t)

-iR*(t)/2 iR(t)/2 0

где М(Ь,$) и комплексные попереч-

ные компоненты вектора намагниченности, Мг- его

продольная компонента; Д (Ь) = уВ (Ь) - комплексная огибающая импульса возбуждения, выраженная в единицах круговой частоты (у- гиромагнитное

отношение, В(Ь) -комплексная поперечная компонента вектора магнитной индукции); П = ш — -расстройка частоты ю относительно несущей частоты радиоимпульса юо, совпадающей с центральной частотой неоднородно уширенной линии поглощения.

Формальное решение (2) можно представить в матричном виде [5, с. 277]

M(t,n) = A(t,t0,n)M(t0,n)

M(t) = Mo£

(3)

где М(£0, П) - вектор начальных условий для момента времени г0; А(£, £0,.Л) - переходная матрица, состояния системы.

Комплексная огибающая сигнала спинового эха определяется интегрированием всех изохромат с весом, определяемым функцией низкочастотного эквивалента неоднородно уширенной линии поглощения g(о) = g(ю - юо ):

g(n)a®(n)c

,(2)/

(H)a(1)(n)exp [¿П (t

t - U - t, +

T1+T2-T3

(4)

где Т1, т2, тз - длительности импульсов возбуждения, М0 - равновесное значение вектора намагни-

ченности, а® (П), а(2) (П), а(1) (П) - элементы переходных матриц состояния (3), которые находятся из решения уравнений Блоха, (2 и /3 - времена задержки второго и третьего импульсов возбуждения относительно первого (/=0).

где 51 (П) и 53 (П) - спектры комплексных огибающих первого и третьего импульсов возбуждения.

Если функция g(n) и модуль коэффициента переходной матрицы второго импульса возбуждения |а®(П)| имеют ширину превосходящую ширину

(2)

В [6, с. 1495] показано, что при малом уровне импульсов возбуждения (линейный режим) комплексная огибающая стимулированного (трехим-пульсного) эха приближенно описывается выражением

¿тО(ВД(П)а

(П)5з(П)е

in(t-t2-t3+-2)

dn, (5)

спектра первого и третьего импульсов возбуждения, то они не искажают произведение спектров 51(П)53(П). При этом если первый и третий импульсы отличаются друг от друга лишь сдвигом несущей частоты на величину ю, то комплексная огибающая стимулированного эха (5) будет определяться выражением

M(t, w) « i ;-<я д(П)51 (П)а32) (П)5з (П - ш)е

iß(t-t2-t3+^)

(6)

з2

2

Если в (6) принять т=/-/2-/3, то это выражение примерно соответствует функции неопределенности (1).

Для точного вычисления формы стимулированного эха проведем моделирование. На рис. 1 представлена временная диаграмма импульсов возбуждения и стимулированного эха. При этом первый и третий импульсы возбуждения имеют форму,

соответствующую сигналу, функцию неопределенности которого необходимо получить. Несущая частота одного из импульсов сдвинута на величину ю. Второй импульс возбуждения имеет прямоугольную форму, а ширина его спектра должна быть существенно шире спектра информационных сигналов.

Rl(t)

RJt)

R3(t)

M(t)

0 /2 /з /2+/з г

Рис. 1. Временная диаграмма импульсов возбуждения и стимулированного эха

Для прямоугольного радио- или светового импульса переходная матрица состояния имеет вид [7, с. 39]

Д2 + (Д2 + 2П2) cos РГ а^2(П) = ац(П) =-

+ i

. П sin ßT

2ß2

ß

L(n) = aX2(П) = |sm2 (вТ)

^23

(П) = аХз(П) = ^sin2 (вТ) - i

Я sin ßr ß :

i?2 sin ßr

2ß ,

(7)

а

а

ЛП) =

n2+fl2cosßT ß2 '

где в2 = Я2 + П.2, Й = Иехр(щ), Я- амплитуда, ф- начальная фаза, Т-длительность импульса возбуждения.

Сначала рассмотрим спиновое эхо в режиме формирования функции неопределенности простого прямоугольного радиоимпульса. Пусть длительность импульса т\= тз= 4 мкс. Для обеспечения линейного режима для первого и третьего импульсов необходимо, чтобы амплитуды импульсов удовлетворяли соотношению Я\т\= Я3т3<0.5. Этому условия удовлетворяет Я\= Я3=2-105 рад/с. Для второго импульса возбуждения т2= 0.1 мкс, а оптимальная длительность, обеспечивающая максимум амплитуды эха, равна 1.57-107 рад/с.

Форма линии задается гауссовской с шириной с=л-107 рад/с. Вычисление огибающей спинового эха проводится по формуле (4) с подстановкой в нее соответствующих матричных элементов из (7). Значения огибающей в дальнейших расчетах нормированы к значению М0.

На рис. 2 показаны сечения функции неопределенности в виде огибающей спинового эха для трех значений ю: 0; 7.85-105 и 2.67-106 рад/с. Вид полученных функций соответствует теоретическим [8, с. 312].

Увеличение амплитуды первого и третьего импульсов до значения Я\= Я3=5.24-105 рад/с приводит к выходу из линейного режима возбуждения и появлению искажений при формирования сечений функции неопределенности. Эта ситуация представлена на рис. 3.

а

LM(t,rol

0004

0.002

ю=2,67-10 рад/c

—I-г

ю= 0, рад/c

б

ю=7.85^05 рад/c

-4 10

-2 10

О

т, c

2 10

410

Рис. 2. Огибающие спинового эха при формировании сечений тела неопределенности прямоугольного радиоимпульса в линейном режиме

т, c

Рис. 3. Огибающие спинового эха при формировании сечений тела неопределенности прямоугольного радиоимпульса в нелинейном режиме

Далее проведено моделирование возбуждения неопределенности сигнала, модулированного 13-фотонного эха в режиме формирования функции элементным кодом Баркера. В этом случае вместо

магнитодипольного взаимодействия поля с веществом имеет место электродипольное взаимодействие. Вектор намагниченности М заменяется на вектор поляризации Р, а магнитное поле с индукцией В заменяется на электрическое поле Е. Фотонное эхо, в отличие от спинового, наблюдается не в радиочастотном, а в световом диапазоне. Важно отметить, что при этом математическая модель не меняется.

Сигнал, модулированный кодом Баркера, представляет собой последовательность элементарных прямоугольных импульсов, фаза несущей у которых принимает два значения ф=0 или ф=п. Соответственно переходная матрица элементарного импульса описывается (7) и может принимать две формы А0 или Ап. Результирующая переходная матрица всего сигнала определяется произведением матриц элементарных импульсов

А=А0Ап А0 Ап А0 А0Ап Ап А0 А0 А0 А0 А0.

Пусть длительность импульса T= 10 нс. Тогда Т1= т3= 130 нс. Для обеспечения линейного режима для первого и третьего импульсов необходимо, чтобы амплитуды импульсов удовлетворяли соот-

ношению Д1т1= Я3т3< 1.8. Этому условия удовлетворяет Я1= ^3=107 рад/с. Для второго импульса возбуждения т2= 2 нс, а оптимальная длительность, обеспечивающая максимум амплитуды эха, равна 7.85Т08 рад/с.

Форма линии задается гауссовской с шириной с=4пТ08 рад/с. Вычисление огибающей спинового эха проводится по формуле (4) с подстановкой в нее соответствующих матричных элементов из (7). При этом вектор намагниченности М(£) заменяется на вектор поляризации р(0.

На рис. 4 показаны сечения функции неопределенности в виде огибающей фотонного эха для трех значений ю: 0; 6.28Т07 и 1.25Т08 рад/с. Вид полученных функций соответствует теоретическим [7, с. 350].

Увеличение амплитуды первого и третьего импульсов до значения Я1= Д3=6Т07 рад/с приводит к выходу из линейного режима возбуждения и появлению искажений формирования сечений функции неопределенности. Эта ситуация представлена на рис. 5.

lp(i,rol

001 Ü005

1 1 1 1 1 ю=0, рад/c

- ю=6.28-107, IX -

рад/c ю=1.25-108,

м Ai Сж г Л рад/c / ^ ^ JKT .v.а ^......

-МО -510 S 0 510 S 110

T, c

Рис. 4. Огибающая фотонного эха при формировании сечений тела неопределенности сигнала, модулированного кодом Баркера (линейный режим)

0.1

005 0

-1 10 -510 * 0 5 10 1 1 10

т, с

Рис. 5. Огибающая фотонного эха при формировании сечений тела неопределенности сигнала, модулированного кодом Баркера (нелинейный режим)

Таким образом метод спинового и фотонного эха может использоваться для исследования тел неопределенности сигналов радиочастотного и светового диапазонов. При этом для отсутствия искажений необходимо обеспечить линейный режим возбуждения для первого и третьего импульсов.

Список литературы

1. Эрнст Р., Боденхаузен Дж., Вокаун А. ЯМР в одном и двух измерениях. М.: Мир, 1990. 710 С.

2. Блюмих Б. Основы ЯМР. М.: Техносфера, 2011. 256 с.

3. Самарцев В.В., Рассветалов Л.А. От долго-живущего фотонного эха и триггерного сверхизлучения к оптическим фазовым процессорам // Изв. АН. Сер. физическая. 2002. Т. 66. № 3. С. 294-296.

4. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.

5. Баруздин С.А. Стимулированное фотонное эхо при возбуждении некогерентными и когерентными импульсами // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 91. № 2. С. 276-282.

6. Устинов В.Б., Ковалевский М.М., Баруздин С.А. Световое эхо и обработка информации // Изв. АН СССР. Сер. Физическая. 1986. Т. 50. № 8. С. 1495-1499.

7. Баруздин С. А. Моделирование возбуждения спинового эха импульсами с произвольным законом модуляции // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2015. Вып. 1. С. 39-43.

8. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том третий. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. М. Советское радио, 1977. 662 С.

УДК: 519.8

Дагмирзаев О.А., канд.техн.наук, ст.преподаватель кафедры информационно-коммуникационных технологий Казахского агротехнического университета им.С.Сейфуллина,

г.Нур-Султан, Казахстан РР1: 10.24411/2520-6990-2019-10108 НЕСТАНДАРТНЫЕ СИТУАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Dagmirzaev O.A.,

Candidate of Tech.Sci., Senior lecturer of the department of information and communication technologies of the Kazakh agrotechnical

University named after S.Seifullin, Nur-Sultan, Kazakhstan

NON-STANDARD SITUATIONS WHEN SOLVING LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS

Аннотация

В статье проанализированы нестандартные ситуации из практики решения задач линейного программирования. Подробно рассмотрен случай зацикливания в процессе решения подобных задач. Изложены причины возникновения зацикливания и суть методики для их предотвращения.

Abstract

The article analyzes non-standard situations from the practice of solving linear programming problems. The case of looping in the process of solving such problems is considered in details. Also, the article outlines the causes of looping and the essence of the technique for their prevention.

Ключевые слова: задача линейного программирования, оптимальное решение, симплексный метод, зацикливание, вырожденность.

Key words: linear programming problem, optimal problem solving, simplex method, looping, extinction.

Подготовка специалистов управленческого профиля предполагает изучение ими задач оптимизации. Линейное программирование, как раздел дисциплины «исследование операций», лучше подходит для изучения сути оптимизационных задач благодаря простоте: а) постановки задачи; б) метода решения; в) интерпретации результата.

Как известно, алгоритм решения задач линейного программирования - симплексный метод на первом этапе осуществляет поиск области допустимых решений посредством итерационного про-

цесса. На втором этапе решения задачи производится целенаправленный поиск оптимального решения в пределах области допустимых решений.

Тем не менее, важно знать и нестандартные случаи, которые имеют место в практике решения задач линейного программирования, когда:

а) задача не имеет оптимального решения;

б) задача имеет множество оптимальных решений;

в) при решении задачи имеет место зацикливание.