2. Матвеев В. А., Матвеева О. А. О поведении в критической полосе рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффицента-ми и с ограниченной сумматорной функцией // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 2.
К ЗАДАЧЕ О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ
В РЯДЫ ДИРИХЛЕ Т. А. Кузнецова, В. А. Матвеев (г. Саратов) E-mail: kuznetsovata@info.sgu.ru, vladimir.matweev@gmail.com
В докладе рассматривается задача разложения функций f (x), аналитических и ограниченных в полуплоскости а ^ а0 > 1, которые в этой полуплоскости представляются в виде разложения в ряды вида
то
f W = £ nS' S = а + it. (1)
Данная задача рассматривается в монографии Е. К. Тичмарша [1]. Если имеет место (1), то /а(£) = ](а + И) является почти периодической функцией.
На основании свойств почти периодических функций [2] в направлении решения этой задачи получены следующие результаты.
Пусть X — множество функций /(в), для которых спектральная функция
1 ГТ
а(Л) = Нш — /(х)е гХхйх т^ж Т Уд
существует при любых Л и отлична от нуля лишь для значений аргумента Л вида Лп = 1п п.
Те значения Л, для которых а(Л) = 0, представляют собой конечную или счётную последовательность чисел Л1,Лп,.... Для таких Лп числа а(Лп) = Ап будем называть коэффициентами Фурье, а ряд
то
/(г) - £ Апе-^ (2)
п=1
будем называть рядом Фурье функции /(г). При данных обозначениях имеет место
Теорема 1. Функция /ао (г) = /(ад + г) тогда и только тогда разложима при а ^ а0 в ряд Дирихле (1), кога ряд Фурье функции /ао (г) вида (2) равномерно сходится на действительной оси —ж <Ь < ж.
В докладе обсуждается следующее предположение: пусть существу-
П а{п)
ет последовательность полиномов Дирихле Qn (s) = ^ at-, равномерно
k=i
сходящаяся в любом прямоугольнике Dt : о0 ^ о ^ ; |t| ^ T к функции f (s), для которой fao (t) G X. Тогда f (s) разложима в полуплоскости о > о0 в ряд Дирихле вида (1)
Библиографический список
1. Титчмарш Е. К. Теория функций. М. : Наука, 1980.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Изд-во МГУ, 1998.
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ БИНАРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ Л. Н. Куртова (г. Белгород) E-mail: kurtova@bsu.edu.ru
Рассматривается задача получения асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, родственная проблеме делителей Ингама.
Пусть d - отрицательное бесквадратное число, F = Q(\fd) - мнимое квадратичное поле, 6F - дискриминант поля F, Q1(m) и Q2(k) - бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами A1 и A2, det A1 = det A2 = -5f. Пусть £ — произвольно малое положительное число, a,b,h — натуральные числа, a < n£, b < n£, h < n£. Тогда при n ^ ж для суммы
i (n,a,b,h)=
aQi (m)-bQ2(k)=h справедлива асимптотическая формула:
Q1(m)+Q2(fc)
e
I(n, a, b, h) = ----e-an ^ q-4 ^ e-2ni7Gi(q,al, 0)G2(q, -bl, 0) +
1 F l(a + ) q=1 l=1,(l,q) = 1
+O(n3/4+£),
где Gi(q,l, 0) = ^ exp(2nilQi(m)/q) — двойные суммы Гаусса (i =
m (mod q)
= 1, 2). Константа в знаке O зависит от a, b, h.