К задаче о разложении функций в ряды Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Матвеев В. А., Матвеева О. А. О поведении в критической полосе рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффицента-ми и с ограниченной сумматорной функцией // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 2.

К ЗАДАЧЕ О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ

В РЯДЫ ДИРИХЛЕ Т. А. Кузнецова, В. А. Матвеев (г. Саратов) E-mail: kuznetsovata@info.sgu.ru, vladimir.matweev@gmail.com

В докладе рассматривается задача разложения функций f (x), аналитических и ограниченных в полуплоскости а ^ а0 > 1, которые в этой полуплоскости представляются в виде разложения в ряды вида

то

f W = £ nS' S = а + it. (1)

Данная задача рассматривается в монографии Е. К. Тичмарша [1]. Если имеет место (1), то /а(£) = ](а + И) является почти периодической функцией.

На основании свойств почти периодических функций [2] в направлении решения этой задачи получены следующие результаты.

Пусть X — множество функций /(в), для которых спектральная функция

1 ГТ

а(Л) = Нш — /(х)е гХхйх т^ж Т Уд

существует при любых Л и отлична от нуля лишь для значений аргумента Л вида Лп = 1п п.

Те значения Л, для которых а(Л) = 0, представляют собой конечную или счётную последовательность чисел Л1,Лп,.... Для таких Лп числа а(Лп) = Ап будем называть коэффициентами Фурье, а ряд

то

/(г) - £ Апе-^ (2)

п=1

будем называть рядом Фурье функции /(г). При данных обозначениях имеет место

Теорема 1. Функция /ао (г) = /(ад + г) тогда и только тогда разложима при а ^ а0 в ряд Дирихле (1), кога ряд Фурье функции /ао (г) вида (2) равномерно сходится на действительной оси —ж <Ь < ж.

В докладе обсуждается следующее предположение: пусть существу-

П а{п)

ет последовательность полиномов Дирихле Qn (s) = ^ at-, равномерно

k=i

сходящаяся в любом прямоугольнике Dt : о0 ^ о ^ ; |t| ^ T к функции f (s), для которой fao (t) G X. Тогда f (s) разложима в полуплоскости о > о0 в ряд Дирихле вида (1)

Библиографический список

1. Титчмарш Е. К. Теория функций. М. : Наука, 1980.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Изд-во МГУ, 1998.

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ БИНАРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ Л. Н. Куртова (г. Белгород) E-mail: kurtova@bsu.edu.ru

Рассматривается задача получения асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, родственная проблеме делителей Ингама.

Пусть d - отрицательное бесквадратное число, F = Q(\fd) - мнимое квадратичное поле, 6F - дискриминант поля F, Q1(m) и Q2(k) - бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами A1 и A2, det A1 = det A2 = -5f. Пусть £ — произвольно малое положительное число, a,b,h — натуральные числа, a < n£, b < n£, h < n£. Тогда при n ^ ж для суммы

i (n,a,b,h)=

aQi (m)-bQ2(k)=h справедлива асимптотическая формула:

Q1(m)+Q2(fc)

e

I(n, a, b, h) = ----e-an ^ q-4 ^ e-2ni7Gi(q,al, 0)G2(q, -bl, 0) +

1 F l(a + ) q=1 l=1,(l,q) = 1

+O(n3/4+£),

где Gi(q,l, 0) = ^ exp(2nilQi(m)/q) — двойные суммы Гаусса (i =

m (mod q)

= 1, 2). Константа в знаке O зависит от a, b, h.