К задаче о движении тел в средах с минимальными энергетическими потерями Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3:534.1

К ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ В СРЕДАХ С МИНИМАЛЬНЫМИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ПОТЕРЯМИ

© 2009 г. Г.Г. Денисов 1, В.В. Новиков 2, А.Е. Федоров 2, М.Л. Смирнова 2

1 НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

novikov@mm.unn.ru

Поступила вреаакцию 20.04.2009

На конкретных задачах о движении распределенных нагрузок по мембране и об обтекании тел потоком газа показано, что возможны такие конфигурации движущихся систем, при которых сопротивление движению минимальное или отсутствует.

Ключевые слова: мембрана, газ, сверхзвуковое движение, сила сопротивления.

Вопрос об уменьшении энергетических потерь, об уменьшении сопротивления, испытываемых телами при их движении в средах со скоростью, большей скорости распространения волн в среде, является важным и актуальным.

Вопрос о сопротивлении движению по мембране рассматривался в [1, 2], где, в частности, были изучены установившиеся деформации мембраны подвижной сосредоточенной нагрузкой, двигающейся со скоростью, превышающей скорость распространения волн в мембране. Обнаружено, что возможны такие конфигурации отражающих волны границ и подвижных нагрузок, при которых прямолинейное движение нагрузки не встречает сопротивления. В данной работе рассматривается прямолинейное движение распределенной нагрузки по ограниченной мембране. Показано, что в зависимости от расположения нагрузок друг относительно друга и скорости их движения суммарная сила сопротивления может быть равна нулю.

При стационарном сверхзвуковом обтекании тела потоком газа основную часть сопротивления газа можно интерпретировать как переход кинетической энергии движущегося тела в энергию излучаемых им волн. В случае сверхзвукового обтекания тонкого тела вращения с заостренными передней и задней частями однородным потоком воздуха сопротивление может быть вычислено в общем виде при любой форме сечения тела. В работе рассматривается ста-

ционарное движение системы двух тонких заостренных тел в канале и вблизи стенки. Сила сопротивления, действующая на второе тело, обусловлена собственным создаваемым телом возмущением и влиянием отраженных волн, создаваемых первым телом. За счет этих отраженных волн сила сопротивления, испытываемая вторым телом, уменьшается. В зависимости от расположения тел друг относительно друга суммарная сила сопротивления может принимать различные значения. При определенных условиях сопротивление движению системы тел наименьшее.

1. Движение нагрузки по безграничной мембране

Рассмотрим неограниченную мембрану, занимающую в невозмущенном состоянии плоскость Оху. Пусть в направлении оси у движется нагрузка с постоянной скоростью V, превышающей скорость распространения волн в мембране. Нагрузка ортогональна мембране и при движении создает усилие F (у - V ).

Обозначим через и([(, х, у) смещения мембраны, перпендикулярные плоскости ее невозмущенного состояния. Тогда уравнение малых колебаний мембраны примет вид:

ри„ - Ы(ихх + иуу )=-F(y - гф(х), (1)

где р - поверхностная плотность мембраны, N -натяжение мембраны. Знак «-» в правой части уравнения (1) обусловлен тем, что нагрузка направлена вниз.

Для поиска установившегося режима деформирования мембраны удобно перейти от переменных х и у к новым переменным X и Е = у — Уґ. Из (1) получим следующее уравнение стационарного движения:

(2)

ь2ихх - иЕЕ = / (ЕЖх)>

где Ь =

V 2 - а2

странения волн в мембране, /(Е) =

F (Е)

Будем считать, что нагрузка распределена в области {х = 0,-ц<^<ц} и f(^) = |^

[ 0,|Е|>Ц

(рис. 1).

1 +да

При этом /(Е)^(х) =— [ф(ю)5(х)ег“Еdю . 2п-»

Тогда для преобразований Фурье

1 +0

и (х, ю) = — | и(х, Е)е _г“Е dЕ

и

1 +0

ф(ю)б(х) = — |/(Е)5(хdЕ =

= ^5(х) | е~тЕdЕ = —5(х)

2п -ц

+ц

ю

имеем уравнение:

Обозначим через и+(х, ю) и и-(х, ю) решение (4) для положительных и отрицательных значений х соответственно. В точке х = 0 выполняются условия:

Ь 2|®и+ дх

ди _

дх

/0 sin цю

х=0

ю

Тогда решение (4) имеет вид:

и ±(х, ю) =

/0 sin цю ( , ю . ю х,ю) = — -2— I ксо^_х±sm—х

а =— - скорость распро-

2 - а2 )'

2пЬ ю2 Ь Ь

где k - произвольная постоянная величина.

Вернемся к решению уравнения (2). Используя (3), запишем:

+(Ю ,

„ \ I 0

и+(х,

(х. Е)=А I “ цю

4п Ь.

2

ю

ю

к cos—х +

Ь

(5)

+ sin—х \еюdю + С. Ь

Выделяя действительную часть выражения (5), а также учитывая при этом, что первый член подынтегральной величины есть нечетная функция, второй - четная, получим после преобразований:

+» 1 ( (,

u+(x, Е)=—Ъ I -у I- cos ю(х+Е+ц|+

8п2Ь 0 ю2 ^ ^Ь 1

Рис. 1

Представим решение уравнения (2) интегралом Фурье [3]

1 +<»

и(х,Е) =— [и(х,ю)е,юЕёю . (3)

2п

+ cos ю( Ь + Е-Ц

+о і (

/

dю^ х

8п2Ь

(6)

+ cosю| --<Е - ц

Л

dю + С.

Решение для первого слагаемого в (6) имеет вид [4]:

Е) =

/0

(

16пЬ

х

т+Е + ц

Ь

х

т+Е-ц

Ь

Л

+ С.

Ь2ихх(х,ю) + ю2и(х,ю) = 5(х). (4)

Это решение имеет вид волн с постоянными значениями на прямых с отрицательным наклоном по отношению к оси Е и исходящих от источника колебаний из области {х = 0, |Е|<ц}. Второй интеграл в (6) определяет вид волн, приходящих к оси х = 0. Это решение для и+ (х, Е) должно быть отброшено и учитываться при наличии объектов, отражающих возмущение. Из условия отсутствия возмущения

х

Ь

/о^

и+(х,Е) = 0 перед нагрузкой (при —+Е>ц)

п ю

найдем значение постоянной С = -

8пЬ

п

2

а

о

х

о

Проводя аналогичные рассуждения для и—(х, Е), окончательно имеем:

и±(х, Е) =

/о

(

16пЬ

Ь ±Е + ц

ь

+

+

ь ±е—ц

ь

Л

— 2ц

^±(0, Е) =

(7)

/о

8пЬ

о, Е>ц, (Е- ц),| ЕІ^

4пЬ

Е<-ц.

Вид решения (7) в плоскости ОЕх представлен

хх на рис. 2. Прямые — ± Е + ц = 0 и — ± Е — ц = 0 Ь Ь

разбивают плоскость ОЕх на области: область перед нагрузкой, где деформации мембраны отсутствуют и± (х, Е) = 0 ; заштрихованная область, где отклонения линейны по х и Е; область за нагрузкой с одинаковым для всех точек мембраны отклонением от плоскости невозмущен-

г

ного состояния и± (х, Е) = —— . На рис. 3 при-

4пЬ

ведена картина деформирования мембраны в плоскости х = 0, где малые смещения мембраны описываются выражением:

Распределенная по отрезку Е ^ Ц нагрузка /0

(рис. 3) имеет горизонтальную составляющую, направленную в сторону, противоположную движению. Следовательно, существует равная ей по величине сила сопротивления движению нагрузки:

Рс = —/0 '2ц'иЕ(0,е)=-

/02ц

4пЬ

(8)

2. Движение системы нагрузок по мембране с закрепленными границами

Рассмотрим движение по мембране с закрепленными границами и(± d,Е) = 0 двух одинаковых нагрузок, распределенных на отрезках |Е|<Ц и |Е + Ц < ц оси х = 0. Вид решения при

этом в плоскости ОЕх представлен на рис. 4: от первой нагрузки возмущения идут в областях 1 и 2, затем после отражения - в областях 3 и 4; от второй нагрузки возмущаются области 5 и 6. Интервал отраженных волн при х = 0

|Е — Е11 < Ц, где Е1 = - ——. На отражающих гра-Ь

ницах выполнены условия и1 (Е,—)+из (е,—)=0 и и2 (Е,—) + и4 (Е,—)= 0 . Выражения для отклонений мембраны следующие (принято обозначение Е2 = —Ц ):

и1,2 (^ Е) =

/0

16пЬ

( х х \

± V - ±Е + ц Ь + - ±Е —ц Ь — 2ц /

3,4

(х, Е)=-

/0

16пЬ

( х \

+ т + (Е — Е 1)+ц

V Ь

Ь + (Е-Е1 )-Ц

Ь

— 2ц

и5,6 (^ Е) =

/0

16пЬ

х ±(Е—Е 2 )+ц

Ь

+

+

Ь ±(Е —Е 2 )—

Ь

ц

— 2ц

Для случая расположения нагрузок на рис. 4 картина деформирования мембраны в плоскости х = 0 имеет вид, представленный на рис. 5 (положение нагрузок выделено). В этом случае вторая нагрузка испытывает такое же сопротив-

5 4 1 с1 X ^

/ 1 / / \ 6 /'х / 6 / / 3 4/^\ 2 0 ? г -Л

Рис. 4

1 'и(0,& 'Лм 4 лЬ Л

1 \

£2-м 6 6+я &-М ' Лм 4лЬ £

Рис. 5

1 "и(0,0

АУь \6 -и - - 1 1 1 V 1 1

%2-М &-И &+и\^1+М ^ 7

\—^_ ’ Л1‘

4 ттЬ

Рис. 6

ление, что и первая. Отметим, что м^(0, ^) в зоне наложения отраженных волн |£, - ^ < ц вдвое больше, чем в местах нахождения нагрузок.

Рассмотрим деформации мембраны в плоскости x = 0 в случае, когда часть второй нагрузки находится в зоне |^ — ^| < Ц отраженных от

границ волн возмущения от первой нагрузки (рис. 6). В месте расположения второй нагрузки имеется область с м^(0, ^)< 0, т.е. на этом участке нагрузка испытывает не сопротивление при движении, а разгон. Таким образом, вторая нагрузка в целом тормозится или разгоняется в

зависимости от того, какая часть нагрузки находится в зоне отраженных волн.

Сила, испытываемая второй нагрузкой в области — £,^ < ц, зависит от положения нагрузки. При ^2 < ^1 — 2ц или £,2 > + 2ц (область

отраженных волн не перекрывается с местом нахождения нагрузки, рис. 5) нагрузка испытывает сопротивление только от своего возмущения и сила сопротивления совпадает с действующей на первую нагрузку (8): Fc2 = Fcl =

г 2

= —. При ^1 — 2ц < ^2 < ^1 (область отра-4пЬ

женных волн частично перекрывается с местом

нахождения нагрузки, рис. 6) суммарная сила на / 2

нагрузку равна —— (^2 — ^1 +ц) • В случае 4пЬ

Е1 <^2 <Е1 + 2ц (рис. 7) сила, действующая на

/2

НагрузКу, равна ^2 = —-°- (£,2 — ^1 — ц).

4пЬ

На рис. 8 построен график силы, действующей на вторую нагрузку, в зависимости от координаты ^2 ее центра. Если центр второй нагрузки отстоит от первой больше, чем на

|^1 — 2^ , то она испытывает сопротивление

/ 2 ц

^2 =-----0— . При перемещении нагрузки в зо-

4пЬ

не от ^1 — 2 ц до сила изменяется от —

/02ц 4пЬ

до

/02ц

4пЬ

обращаясь в нуль при ^2 =^1 — ц.

Дальнейшее смещение второй нагрузки в сторону первой сопровождается уменьшением разгоняющей силы, обращающейся в нуль при

^2 =^1 +ц .

Таким образом, если считать движущиеся нагрузки несвязанными, то при движении первой нагрузки с постоянной скоростью вторая нагрузка в волновом следе от первой тормозится или разгоняется в зависимости от расстояния

между ними. Значения ^2 =^1 ±ц являются состояниями равновесия - первое устойчивое, второе неустойчивое.

Если же полагать нагрузки жестко связанными, то суммарная сила всегда является тормозящей, за исключением случая ^ = ^1, когда она обращается в нуль.

3. Сверхзвуковое обтекание заостренного тела

Рассмотрим стационарное движение удлиненного тела с заостренными передней и задней частями (угол заострения мал) со сверхзвуковой скоростью в потоке газа (задача рассматривается в обращенном движении). При обтекании тела такой формы скорость газа даже вблизи тела лишь незначительно отличается по величине и направлению от скорости натекающего потока, а образующиеся ударные волны обладают малой интенсивностью, а потому не нарушают потенциальности течения [5].

Ограничимся изучением обтекания тонкого крыла с очень большим размахом и постоянным вдоль размаха профилем сечения. Это позволяет считать течение газа плоским (в плоскости Оху, ось х выбираем в направлении вектора скорости течения). Форму тела описывает функция у = £(х), 0 < х < I (рис. 9).

Рис. 9

Линеаризованное уравнение для потенциала У) скоростей их и и у малых возмущений

•'х у

(V = V + и , У\ - скорость набегающего потока) имеет вид:

«!| _р2 ^ = 0,

ду дх

(9)

г2

ду

= +У1nx

у^±0

ф(х, У ) =

_ V-Z(x _Ру),у > 0, _ V1 Z(x + Ру),у < 0.

Потенциал полной скорости V = V + и равен ф(х, у ) = V х + ф(х, у) .

Потенциал, а с ним и остальные величины постоянны вдоль характеристик х ± Ру = const. В пространстве впереди и позади характеристик, отходящих от передней и задней заостренных кромок тела, поток однороден, а в области между ними поток поворачивает, огибая поверхность крыла.

Из определения потенциала — = Ух _ V ,

дх

— = Уy с учетом (11) найдем распределение

ду

і

где р = —2— 1 - положительная постоянная, С1

с1 - скорость звука в потоке. На поверхности крыла скорость должна быть направлена по касательной к ней, т.е. ортогональна к единичному вектору п нормали к поверхности крыла,

V • п = V + их )пх + иупу = 0 . Поскольку крыло

обладает уплощенной формой, граничное условие на поверхности тела имеет вид:

5ф

скоростей:

Уx =

1 1

1 _в^'(х_ру} ’у>0’

1 1

1 _eZ( х+ру) ’ у <0. в )

V

V = | V1 •£'(х _Ру),у > ° у |_ V1 •£'(х + Ру),у < 0.

(12)

(10)

где пх = —^(х) - х-компонента единичного вектора нормали к поверхности у — С(х) = 0, знаки «+» и «-» в правой стороне относятся соответственно к нижней и верхней поверхностям тела.

Общее решение уравнения (9) имеет вид:

Ф(х,у) = /1(х — Ру) + /2(х + Ру).

Первое слагаемое описывает возмущения в пространстве над крылом, второе - под крылом, т.е. при у > 0 ф(х,у) = /1(х — Ру), при у <0 ф(х, у) = /2 (х + Ру) . Исходя из граничного ус-

V,

ловия (10) найдем, что /1(х) =--------------^1(х),

V]

/2(х) =уС 2(х) ( у = ^1(х) - уравнение верхней части профиля, у = ^ 2(х) - уравнение

нижней части профиля). В силу симметрии корпуса ^2(х) = —С1(х) = —С(х) и распределение скоростей малых возмущений определяется потенциалом:

Определим силу сопротивления газа, действующую на тело. В силу симметрии рассмотрим только область у > 0. Действующая на тело сила сопротивления есть не что иное, как уносимая звуковыми волнами в единицу времени х-компонента импульса. Она вычисляется по

формуле ^ {р VxdV = —{ (П xxdy + П xydx), означающей, что скорость изменения х-компо-ненты импульса в объеме О равна количеству импульса, протекающего через ограничивающую его поверхность за единицу времени (р -плотность газа). В двумерном случае объему О соответствует площадь, а ограничивающей его поверхности - замкнутая линия. В качестве двумерного объема возьмем площадку, ограниченную линиями х — Ру = 0, х — Ру = I и у = 0,

У = У0 (рис- 10).

(11)

Течение таково, что поток импульса отличен от нуля только через границу у = У0 . С учетом (12) и условия симметрии профиля имеем:

(13)

( рУо +1 Л ( рУо +1 Л

Fn = 2 - {пхуйх = 2 - \pVxVydx

V рУо ) V рУо

V2 I

= 2р -в- JZ'2(^)d^, % = х -Руо.

Р 0

ву0 +1

Здесь учтено, что jV1Vydx = 0. Таким обра-

рУо

зом, силу сопротивления полностью определяет вид поверхности крыла ^( х)

4. Сверхзвуковое обтекание системы тел в канале

При движении тела, рассмотренного в п. 3, по каналу шириной 2ё параллельно границам и на одинаковом расстоянии от каждой из них распределение потенциала между границами определяется с учетом (11), исходя из свойства отражения характеристик (рис. 11).

Рассмотрим движение двух тел одинаковой формы параллельно двум твердым границам и на расстоянии ё от каждой из них. Тела движутся по одной прямой, расстояние между телами равно Д. Определим силу сопротивления, действующую на второе тело и на систему тел в целом.

Характеристики, отвечающие границам волнового возмущения для у > 0, показаны на рис. 12:

а: х - ву = 0, Ь : х - ву = I,

а1: х + ву = 2вё, Ь1 : х + ву = 2вё +1

с1 : х - ву = 2вё, е: х - ву = А,

/: х - ву = I + А.

Характеристики а, Ь - границы волновых возмущений, создаваемых первым телом, а1 , Ь, с - гр аницы отраженных возмущений, е, / отвечают возмущениям второго тела.

Сила сопротивления, действующая на второе тело, обусловлена собственным возмущением (область между е и /) и влиянием отраженных волн, создаваемых первым телом, от границы у = ё (область между а1, Ъ1) и от границы у = -ё (область между с1, е). Для определения силы сопротивления F2c, которое испытывает

второе тело, подсчитаем поток импульса из области, содержащей это тело, сквозь прямую у = у*, параллельную линии симметрии на некотором расстоянии от тела (расчет ведем для половины области (у > 0) в силу симметрии).

Значения х* = 2вё + —, у* = - координаты

точки пересечения характеристик Ъ1 и с1. Сила сопротивления равна:

ґ х*

^2 = 2 - р |^хш ' Ууідд ёх -V х1

х2 х3

- Р I Ух'юд ■ Уу'юд ёх - Р I У2х • У2уёх

х* Х2

(14)

Потенциал отраженных волн в области между характеристиками аі и Ъ\ ф+^ (х, у) = -

-V- С(х + ву-2рё), между С1 и е -фш (х,у) =

Рис. 11

Рис. 12

V

V 1

= V1x -~в^(x -Pj - 2Pd). Отсюда, с учетом, что x, = 2pd -1, первый интеграл в Fc2 равен

F

Р

= -2р-^(Л-2pd) + 2р { Z'2(^)d^ ,

р о

где Е = х - Ру* - 2pd . Последний интеграл выражения (14) равен вычисленной ранее для первого тела силе сопротивления (13) и в сумме с

равен нулю. С учетом этого получим:

2 A-2pd

V,

2 A-2pd

Ра2 =-2р-12ф-2вё) + 2р^ { С'2(Е)^ .

р о

Таким образом, сила сопротивления, испытываемая вторым телом, уменьшается за счет отраженных волн, генерируемых первым телом. Эта сила равна нулю при Л = 2pd , когда второе

тело полностью находится в области отраженных волн возмущения от первого тела. В этом случае сила сопротивления, действующая на систему рассматриваемых тел, принимает наименьшее значение и равна силе сопротивления, испытываемого только первым телом.

Обратимся к случаю движения рассматриваемой системы тел вблизи стенки, расположенной на расстоянии d от линии симметрии профилей (рис. 13, модель экраноплана). Вычисление силы сопротивления, действующей на каждое тело и систему в целом, проводится аналогично предыдущему случаю. Для области

у < 0 сила сопротивления определяется первым и третьим интегралами формулы (14) и равна нулю. При у > 0 имеем

F+2 =-pVj2Z(A- 2pd )

+

т/2 Л-2pd Л/2 I

+р-~ { с2(^+р-мс2(^ р о р 0

(второй и третий интегралы выражения (14) (без учета коэффициента 2)). Таким образом, суммарная сила сопротивления, испытываемая вторым телом, равна

2

V 2 1

£2 = -2p —— JZ'2(^)d£, . Этот интеграл - поток

импульса отраженных от границы у = d волн и равен выражению (13), взятому с обратным знаком. Второй интеграл определяется выражением

Fc 2 =-2pVj2Z(A- 2pd )

+

тт'2 A-2pd ту2 I

+ 2pV- J ç'^dç + p-Mç'2^.

P О P О

(15)

При нахождении второго тела в области отраженных волн возмущения от первого тела сила (15) принимает наименьшее значение, она вдвое меньше силы, испытываемой первым телом.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-01-00411).

Список литературы

1. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О деформировании мембраны подвижной нагрузкой // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 647-653.

2. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Смирнова М.Л., Федоров А.Е. Об условиях движения в среде без сопротивления // Труды VIII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 22-26 сентября 2008 г.). В 2-х томах. Том 1 / Под ред. Д.В. Баландина, В.И. Ерофеева. Нижний Новгород: Издательский дом «Диалог Культур», 2008. С. 146-151.

3. Зорич В.А. Математический анализ. Часть II. 4-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2002.

4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. С. 419.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

О

ON THE PROBLEM OF BODY MOTION IN MEDIA WITH I

G.G. Denisov, V. V. Novikov, A.E. Fyodorov, M.l

By using concrete examples of a distributed load motion on a membrane shown that there exist such configurations of moving systems where the resis'

Keywords: membrane, gas, supersonic motion, resistance force.