CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971
№ 4
УДК 629.735.33.015.33:533.695
ПОЛНАЯ ПОДЪЕМНАЯ СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ТЕЛА, СЛАБО ВОЗМУЩАЮЩИЕ СВЕРХЗВУКОВОЙ
ПОТОК
В работе [1] установлено, что применение характеристических поверхностей для записи интегральных теорем сохранения массы и количества движения позволяет существенно упростить решение вариационных задач для тел, слабо возмущающих сверхзвуковой поток. В настоящей статье показано, что этот метод в ряде случаев упрощает вычисление суммарной подъемной силы и продольного момента. Приводятся примеры, когда эти величины могут быть вычислены без решения задачи обтекания. Примеры обобщают результаты работ [2]—[4].
1. Рассмотрим обтекание некоторой системы тел, вносящих слабые возмущения в сверхзвуковой поток. Проведем переднюю о' и заднюю а'2 характеристические поверхности и применим интегральные теоремы сохранения массы и составляющей количества движения вдоль оси у к замкнутой поверхности о, состоящей из а[ ио' и поверхностей тел (фиг. 1). При этом имеем [5]
Здесь Y — суммарная подъемная сила, действующая со стороны возмущенного потока на тела или части тел, ограничивающие а; ак — проекция на плоскость х = const поверхности о*, уравнение которой записывается в виде x—fk(y,z),k=-1 и 2 соответственно для передней и задней характеристических поверхностей; х,у, z— декартова система координат (ось х направлена вдоль вектора скорости набегающего потока); срл — значение потенциала возмущенного потока на поверхности okt отнесенное к скорости набегаю-
Ю. J1. Жилин.
(1.1)
£= ~ Я (/iy?iy +/i*Ti z)dydz + Jj (/2y?,j, + /2,?2,)<*y<fc“
(1.2)
тцего потока иЕ — разность площадей областей а2 и а1; <7— скоростной напор; индексы у и г означают дифференцирование. В соотношениях (1.1) и (1.2) оставлены только линейные относительно потенциала члены.
Остановимся на случае, когда задняя характеристическая поверхность представляет собой плоскость, параллельную оси г. Запишем уравнение этой плоскости в виде
где знаки в правой части относятся соответственно к характеристическим плоскостям первого и второго семейства (по аналогии с плоскопараллельными течениями газа). Подставляя (1.3) в (1.2) и комбинируя уравнениями (1.1) и (1.2), имеем
В правую часть уравнения (1.4) не входят интегралы по задней характеристической поверхности; распределение петенциала у1 на передней характеристической поверхности можно считать заранее известным, а величина £ находится из чисто геометрических соображений. Благодаря этому формула (1.4) позволяет во многих случаях простым путем вычислить подъемную силу, не решая задачу обтекания. При этом удается обобщить результаты работ [2]—[4], полученные на основе решения волнового уравнения.
Формула (1.4) справедлива, когда поверхность а'2 является характеристической плоскостью либо первого, либо второго семейства; характеристическая поверхность* а' может быть построена произвольным образом, однако поверхность а всегда должна быть замкнутой; остальными границами поверхности о являются поверхности тока возмущенного или невозмущенного потока.
* Формулу (1.4) легко обобщить на случай, когда поверхность и1 не является характеристической.
I
Фиг. 1
(1.3)
Если передняя характеристическая поверхность является плоской и того же семейства, что и задняя характеристическая поверхность, то
75-±Т- ('-5>
При помощи этой формулы можно, например, сразу вычислить подъемную силу, действующую на внутреннюю часть трубы с косыми срезами, находящуюся в возмущенном сверхзвуковом потоке. Формула (1.5) справедлива также при произвольной, в том числе и не характеристической, поверхности а[, если возмущения потока на ней равны нулю (rfi=0).
2. Вычислим подъемную силу, действующую в невозмущенном потоке на изолированное крыло со сверхзвуковой передней кромкой и задней кромкой, перпендикулярной вектору скорости набегающего потока [2J (толщина крыла равна нулю на его кромках). Построим две замкнутые поверхности, охватывающие крыло. Первая поверхность состоит из верхней поверхности крыла, характеристической плоскости второго семейства, проходящей через заднюю кромку, и произвольной поверхности, проходящей через переднюю кромку крыла и целиком лежащей в невозмущенном потоке; вторая поверхность образована нижней поверхностью крыла, характеристической плоскостью первого семейства, проходящей через заднюю кромку, и произвольной поверхностью, проходящей через переднюю кромку и целиком лежащей в невозмущенном потоке. Применяя к каждой из этих поверхностей формулу (1.5),
имеем ^=—|^, где Е0 — площадь проекции на плоскость х = const
контура, ограниченного кромками крыла, причем площадь части проекции, находящейся ниже задней кромки, считается отрицательной (на фиг. 2 1Х и /3 — проекция соответственно передней и задней кромок).
Таким образом, подъемная сила крыльев рассматриваемого класса не зависит не только от формы профиля, но и от формы срединной поверхности и целиком определяются геометрией кромок. Крылья, имеющие совпадающие в пространстве кромки, обладают одинаковой подъемной силой*.
Если теперь над верхней поверхностью крыла поместить произвольное тело, то приращение суммарной подъемной силы ДY,
* Отсюда, в частности, следует, что для крыльев с плоской срединной поверхностью коэффициент подъемной силы Су = , где а — угол атаки.
действующей на такую комбинацию, по сравнению с подъемной силой изолированного крыла будет
Д r = M(£l_V2)! (2л)
где и £2 — площади проекций на плоскость х = const линии пересечения поверхности тела с поверхностями а' и °'2 соответственно.
При выводе этой формулы предполагается, что возмущения, вносимые в поток дополнительным телом, не попадают на нижнюю поверхность крыла; при этом поверхность о' может состоять не только из огибающей прямых конусов Маха, начинающихся на передней кромке крыла, но и из части характеристической поверхности, связанной с телом (фиг. 3). Если это условие выполняется, то формула (2.1) справедлива и в случае произвольных (дозвуковых или смешанных) передних кромок, а также в случае комбинации крыла с фюзеляжем. Из нее следует, что при = £2 Дополнительная подъемная сила не возникает. Это является теоретическим доказательством хорошо известного экспериментального факта, что установка на крыле самолета различных подвесных устройств в виде замкнутых тел (например, баков) не приводит к существенному изменению подъемной силы.
Фиг. 3
3. Вычислим дополнительную подъемную силу, вызванную гондолой коробчатого типа для двигателя, установленной на верхней поверхности крыла (фиг. 4). Предположим, что гондола двигателя не оказывает влияния на обтекание нижней поверхности крыла; при этом передняя кромка может быть произвольной, а задняя кромка должна быть перпендикулярна вектору скорости набегающего потока. Будем предполагать также, что возникающие на входе в воздухозаборник скачки уплотнения отсекаются внутренними стенками гондолы двигателя, т. е. вне ее поток слабо возмущен. Проведем две характеристические плоскости второго семейства (плоскость / находится правее входа в воздухозаборник).
Ю
В этом случае справедлива формула (2.1) для приращения суммарной подъемной силы, действующей на крыло и внешнюю часть гондолы двигателя между этими плоскостями, в которой —площадь проекции на плоскость х — const контура, ограниченного сечением соответствующей плоскостью внешнего обвода гондолы двигателя и верхней поверхности изолированного крыла.
Проведем плоскость / перед входом в воздухозаборник, а плоскость II через заднюю кромку крыла и применим интегральные теоремы сохранения массы и количества движения к контуру, образованному плоскостями I и II и поверхностями всех тел между ними, внешним обводом части гондолы двигателя правее плоскости II и срезом сопла (см. фиг. 4). Тогда нетрудно получить*
т?=sin 6 + J*/dydz ~ *1792 у dydz; (3' ^
у S= У Т, , Лу dz - у т,, dydz - , (3.2)
где У — подъемная сила, действующая на верхнюю часть крыла и внешнюю часть гондолы двигателя между плоскостями / и II и внутренний проток гондолы двигателя; /--импульс струи, вытекающей из сопла и направленный вдоль ее оси; 0 — угол между осью сопла и осью; Q — расход газа через гондолу двигателя; 2 определяется правой частью равенства (1.2).
При выводе этих формул были линеаризованы только соотношения на плоскостях / и II и не учитывался расход топлива. Из формул (3.1) и (3.2) следует, что
у = ^Е + /81пв + -^=; ДК=_А^+/8те4--5р,
где ДУ—полное приращение суммарной подъемной силы, создаваемое внешним обводом гондолы двигателя и ее внутренним протоком, за исключением подъемной силы, действующей на внешнюю
* При выводе формул (3.1) и (3.2) предполагается, что крыло имеет сверхзвуковые кромки. Однако приведенная ниже формула для приращения подъемной силы ДК справедлива в более общем случае, оговоренном в начале этого раздела.
часть гондолы двигателя, находящуюся правее плоскости Я; S — площадь проекции на плоскость х — const сечения плоскостью // внешнего обвода гондолы двигателя.
4. Рассмотрим теперь случай, когда тело (или система тел) оказывает влияние на обтекание как верхней, так и нижней поверхности крыла. Назовем основным потоком поле скоростей, возникающих при обтекании некоторой системы тел, слабо возмущающих набегающий поток (например, изолированного фюзеляжа). Поместим в основном потоке крыло со сверхзвуковой передней кромкой и задней кромкой, перпендикулярной вектору скорости набегающего потока; предположим, что толщина крыла обращается в нуль на кромках. Проведем через кромки крыла переднюю и заднюю характеристические поверхности (фиг. 5) и выделим две замкнутые поверхности. Верхняя поверхность (знак „ + “ при соответствующих величинах) состоит из части передней характеристической поверхности, характеристической плоскости второго семейства, проходящей через заднюю кромку крыла, верхней поверхности крыла (или ее части', выступающей из других тел, и поверхностей
других тел, находящихся над крылом). Аналогично можно выделить нижнюю замкнутую поверхность (знак „—“ при соответствующих величинах; здесь задней характеристической поверхностью является характеристическая плоскость первого семейства). Применяя к каждой из этих поверхностей формулу (1.4), имеем
где У — суммарная подъемная сила, действующая на все тела, находящиеся между передней и задней характеристическими поверхностями.
Фиг. 5
Формула (4.1) позволяет сразу вычислить суммарную подъемную силу, если известно распределение потенциала возмущенной скорости ери на передней характеристической поверхности. Из этой формулы следует также, что в рассматриваемом случае подъемная сила не зависит от формы срединной поверхности крыла и для заданной системы тел определяется геометрией его кромок.
Вычислим суммарную подъемную силу К0, действующую в основном потоке на ту же систему тел без крыла, находящихся между теми же характеристическими поверхностями. Для этого через кромки крыла проведем некоторую произвольную поверхность Од, местный угол атаки которой обозначим а (а<^1). После этого можно снова выделить две замкнутые поверхности и к каждой из них применить интегральные теоремы сохранения массы и количества движения. Можно показать, что
где а3 — омываемая часть поверхности V — значение составляющей возмущенной скорости вдоль оси у на этой поверхности.
Последний член в правой части формулы (4.2) появился благодаря тому, что поверхность не является поверхностью тока. Из формул (4.1) и (4.2) следует, что
Формула (4.3) часто используется при приближенном решении задач интерференции; в настоящей статье показано, что она является точной формулой линейной теории при сформулированных в начале пункта ограничениях.
Формула (4.2) является более общей, чем (4.1), ее можно применять к системе тел, в число которых входят и крылья с произвольными передними и задними кромками. В этом случае о' — любая поверхность (а<1), проходящая через произвольную прямую, параллельную оси г; о' — характеристическая плоскость соответствующего семейства, проходящая через эту прямую вверх по потоку; о' — любая передняя характеристическая поверхность; при ЭТОМ ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ условие, ЧТО Од совместно С о| и о'2 и поверхностями тел образует две замкнутые поверхности. Если о' находится в невозмущенном потоке, то
Проведем плоскую (а = 0) поверхность а' так, чтобы все тела находились над этой поверхностью. Тогда
Е+ в £ + // ?1У Лу<1г+ (Ау'Ьу^Г /1 г ?1 г) ^уйг -
Р Р „+
+ - -у Я (4-2)
(4.3)
2 д
(4.4)
(4.5)
где 2, и Ег имеют такой же смысл, как и в формуле (2.1). Формулы
(4.4) и (4.5) не позволяют определить суммарную подъемную силу без решения задачи обтекания, но в ряде случаев упрощают вычисления.
5. Комбинируя интегральными уравнениями для объема [6] и продольного момента Мг в случае, когда задняя характеристическая поверхность является плоской [см. (1.3)], можно получить следующее соотношение:
где 1к — граница области оА, включая линии разрыва потенциала^; яЛ — внешняя нормаль к 1к, положительное направление отсчета Мг показано на фиг. 1.
Входящие в формуму(5.1) геометрические величины V и J соответственно равны:
где К0 — объем газа между поверхностями а' и а'2.
Формула (5.1) позволяет вычислить продольный момент, не решая задачу обтекания, в тех случаях, когда контурные интегралы, входящие в ее правую часть, равны нулю. В частности, в примере, рассмотренном в разд. 2 [формула (2.1)], при Е! = 22 = 0
где ДМ2 — приращение суммарного продольного момента, V, — объем дополнительного тела.
При выводе этой формулы предполагается, что дополнительное тело не создает вихревой пелены.
1. Никольский А. А. О телах вращения с протоком, обладающих минимальным внешним сопротивлением в сверхзвуковом потоке. .Сборник теоретических работ по аэродинамике*. М., Оборон-гиз, 1957.
2. Коган М. Н. Некоторые интегральные свойства сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 687, 1955.
3. Bleviss Z. О. Some integrated volume properties In linearised flow and theis connection with drag reduction at supersonic speeds. JAS, 1956, v. 23, No. 12.
4. Ferri A., Clarke J. H., Ting L. Favorable interference in lifting systems in supersonic flow. JAS, 1957, v. 24, No. 11.
5. Жилин Ю. Л. Крылья минимального сопротивления. ПММ, т. 21, вып. 2, 1957.
6. Жигулев В. Н., Жилин Ю. Л. О телах минимального волнового сопротивления. ПММ, т. 23, вып. 6., 1959.
Мг = + -(- 2^3 (f) 9, К sin (п? z) dl — (f) У sin (лх z) dl\ -f 2qJ, (5.1)
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 30/Х 1970 г.
