CC BY
33
УДК 519.2
Б.Ф.Кирьянов, Э.Б.Болотханов*
К ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого * Чеченский государственный университет
The paper concerned with a method of modelling of continuous random variables with arbitrary in particular statistical distributions which cannot be approximated by any classical distribution. This method is based on the approximation of initial distribution by a local cubic spline. Imitation of random variables with spline functions of density can be programmed according to a known method of exception.
Введение
При решении ряда прикладных задач с помощью имитационного моделирования возникает необходимость в моделировании непрерывных случайных величин со «сложными» произвольными распределениями и, в частности, — по имеющимся статистическим распределениям этих величин, которые не могут быть аппроксимированы каким-либо классическим распределением. К таким статистическим распределениям случайных величин, изменяющихся в [а, Ь], относятся, например, многоэкстремальные распределения. Общий, довольно сложный, подход к проблеме моделирования рассматриваемых случайных величин изложен, например, в [1], а два конкретных метода моделирования предложены в [2].
Авторы предлагают и исследует еще один метод моделирования ограниченных непрерывных случайных величин по полученным их статистическим распределениям, которые имеют произвольный вид. Этот метод основан на сглаживании статистического распределения локальным кубическим сплайном [3].
Результаты исследования
Для подготовки моделирующей программы и непосредственного моделирования необходимо предварительно выбрать закон распределения моделируемых случайных величин. В принципе аппроксимирующее (сглаживающее) распределение можно подобрать согласно методу наименьших квадратов [4]. Однако в ряде случаев значительно проще это можно сделать с помощью локального сплайна. Сглаживание статистического распределения с помощью сплайна рекомендуется проводить в два этапа.
На первом этапе строится предварительный сплайн 5”(х), сглаживающий статистический ряд
распределения вероятностей р попадания случайной величины в г-й участок рассматриваемого промежутка [ хтй, хтах ] ее изменения. Для этого по статистическому ряду (желательно с использованием первичной статистики) на границе каждого участка, а также в начале первого участка и в конце последнего участка выбирается точка 5 (х1), через которую должен пройти сплайн.
В качестве сплайна для решаемой задачи удобны локальные кубические сплайны [3], каждое звено 5 (х) которых имеет вид
5г (х) = а1 + Ьг( х - хг) + с (х - хг )2 + dг ( х - х1 )3, (1) где а1, Ьг, с 1 и d. — постоянные коэффициенты данного звена, а х — его начальная точка, совпадающая с конечной точкой предыдущего звена. При этом сглаживающий сплайн должен представлять собой функцию хотя бы первой степени гладкости. Для этого реализуется совпадение первых производных сплайна в точках х1 - 0 и х1 + 0 , т.е. в каждой точке, разделяющей звенья сплайна, существует первая производная 5'(х1). Значения этих производных, как и производных в начальной и конечной точках, также следует выбрать при построении сплайна.
По выбранным значениям 5 = 5 (хг ) и 5[ = 5'(х г) согласно [3] находятся значения коэффициентов каждого 5 (х): а = 5 , Ь = 5 с = [3 (5 - 5)-2И5 '- И5 ' ,]/И2,
г г ‘ г г * г I. \ г + 1 г / гг гг + 1^г*
d =[- 2 (5 +1- 5) + и,5; + И5+1 ]/Иг3. (1)
На втором этапе сглаживания статистического распределения в случае необходимости осуществляется коррекция функции 5 (х), заключающаяся в преобразовании ее в функцию плотности /(х) моделируемой случайной величины. Дело в том, что теоретически возможен выход функции 5(х) за ось абсцисс, т. е. получение отрицательных значений этой функции, чего не может быть у функции /(х). В этом случае необходимо откорректировать в соответствующей точке х или в большем количестве этих точек значения 5 и 5 . При наличии программы расчета коэффициентов звеньев сплайна такая операция производится весьма просто. Кроме того, значение интеграла от 5(х) на [ хтП, хтах ] обычно несколько отличается от единицы. Поэтому окончательно функция /(х) определяется согласно выражению
х тах
/(х) = 5(х) ^ 5(х) dх = К ■ 5(х), (2)
хтт
т. е. каждое звено предварительного варианта сплайна умножается на число К.
Параметры звеньев сплайна 5 (х)
/■ 1 2 3 4 5 6 7 8
х 1 - 2 2 - 3 3 - 3,5 3,5 - 4 4 - 4,5 4,5 - 5 5 - 6 6 - 7
р 0,028 0,231 0,178 0,122 0,126 0,134 0,150 0,031
к 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1
5 нач. 1 кон. 0,000 0,079 0,079 0,370 0,370 0,311 0,311 0,224 0,224 0,281 0,281 0,240 0,240 0,078 0,078 0,000
5 нач. кон. 0,001 0,179 0,179 0,165 0,165 -0,412 -0,412 0,000 0,000 0,022 0,022 -0,201 -0,201 -0,117 -0,117 -0,001
а 0,000 0,079 0,370 0,311 0,224 0,281 0,240 0,078
Ь 0,001 0,179 0,165 -0,412 0,000 0,022 -0,201 -0,117
с 1 0,058 0,349 -0,776 0,619 0,556 -0,185 0,052 -0,028
й 0,021 -0,230 0,332 -0,288 -0,664 -0,040 -0,014 0,070
В итоге получили функцию, которая на [а, Ь] неотрицательная, а интеграл от нее на [а, Ь] равен единице. Следовательно, / (х) может являться функцией плотности, и можно приступать к подготовке моделирующей программы с использованием этой функции.
Рассмотрим пример. Построим алгоритм моделирования случайной величины X, изменяющейся в [1, 7]. Группированный статистический ряд распределения X (значения частот Р попадания X на участки длиной к..) приведен в табл., а его гистограмма (значения р /к;) — на рис. Будем считать, что объем статистических данных достаточно велик, и поэтому в соответствии с полученным статистическим рядом функция плотности случайной величины Х действительно имеет два экстремума.
/(*)
0,4 0,3 0,2 0,1 0
1 2 3 4 5 6 7 л;
Гистограмма статистического распределения и аппроксимирующий ее график сплайновой функции плотности непрерывной случайной величины X
В табл. приводятся также значения длин к участков промежутка [1, 7] и значения 5 и 5 в начальной и конечной точке каждого участка, выбранных для построения сплайна. По указанным параметрам согласно выражению (1) находим значения коэффициентов а1, Ь, с. и й. для всех звеньев сплайна, также приведенных в табл. При этом значение интеграла от 5(х) на рассматриваемом промежутке
оказалось равным 0,997558. Следовательно, коэффициент К в выражении (2) равен 1,002448, т. е. предварительный вариант сплайна при умножении на К
практически не изменяется.
График сплайновой функции плотности /(х), полученной согласно выражению (2), приведен на рис. Максимальное значение /(х) не превышает 0,38. Поэтому моделирование случайной величины Х проще всего реализовать методом исключения (1), генерируя независимые случайные точки (х, у) при х е [0, 7] и у е [0, 0,38] и исключая при этом из множества Х все значения х, которым соответствует у > /(х). Полученная таким образом статистическая совокупность 50000 значений х имела распределение, согласующееся с приведенным распределением / (х)
по критерию х2 Пирсона.
Предложенный метод был использован при моделировании отдельных показателей экономики Чеченской республики [5].
Заключение
Предложенный метод моделирования непрерывных случайных величин удобен для реализации сложных распределений, которые не могут быть аппроксимированы каким-либо классическим распределением. К указанным распределениям относятся многоэкстремальные распределения, распределения с многократно изменяющимся знаком второй производной и другие. Рассмотренная сплайновая аппроксимация группированного статистического ряда обобщает все другие методы его аппроксимации гладкими функциями, имеющие ограниченное значение второй производной, поскольку используемый локальный кубический сплайн может быть как угодно близко приближен к любой такой функции [3].
1. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971. 400 с.
2. Кирьянов Б.Ф.// Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2005. № 34. С.69-72.
3. Кирьянов Б.Ф., Лысенко В. А. Интерполирование кусочно-дифференцируемых функций локальными кубическими сплайнами. Новгород: НовГУ, 1995. 14 с.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее приложения. М.: Наука, 1988. 480 с.
5. Болотханов Э.Б. О социально-экономическом положении и ходе восстановительных работ в Чеченской Республике. Грозный: ЧГУ, 2004. 65 с.
