CC BY
18К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОБЪЕМНОЙ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ВСЕЛЕННОЙ
Кошман В.С.
канд. техн. наук, доцент, Пермский государственный аграрно-технологический университет,
Пермь, Россия
TO CALCULATE THE VOLUME ENERGY DENSITY OF GRAVITATIONAL RADIATION OF THE
UNIVERSE
Koshman V.
Cand. Tech. Sci., Associate Professor, Perm State Agrarian and Technological University,
Perm, Russia
АННОТАЦИЯ
Рассмотрена модель изотропной и однородной Вселенной как газовой смеси фотонов, барионов, нейтрино и гравитонов. Получены уравнения для объемной плотности энергии гравитационного излучения Вселенной и энергии кванта её гравитационного поля. Отмечено, что идея первичного ядерного взрыва на момент окончания планковской эпохи не исчерпала себя.
ABSTRACT
The model of an isotropic and homogeneous Universe as a gas mixture of photons, baryons, neutrinos and gravitons is considered. Equations for the volume density of the gravitational radiation energy of the Universe and the quantum energy of its gravitational field are obtained. It is noted that the idea of a primary nuclear explosion at the end of the Planck era has not exhausted itself.
Ключевые слова: модель расширяющейся Вселенной, реликтовое излучение, закон Стефана - Боль-цмана, планковские величины, фотоны, барионы, нейтрино, гравитоны, объемная плотность энергии.
Keywords: model of the expanding Universe, relic radiation, Stefan - Boltzmann law, Planck quantities, photons, baryons, neutrinos, gravitons, volume energy density.
«Природа зашифрована для нас подобно кроссворду... . ответы редко бывают очевидными... Когда часть
ключей уже
подобрана, начинает возникать целостная
картина» П. Девис [1, с. 258]
Известно мнение, что наука изучает ту реальность, которая предстоит человеку в виде фактов, доступных восприятию, наблюдению и эксперименту. Однако это суждение не в полной мере отвечает развитию науки за последние сто лет. Сработало правило: чтобы мыслить, надо иметь то, над чем мыслить. Обладая уникальной интуицией, А. Эйнштейн распространил принцип относительности на все явления в природе, и объектом научного исследования стал весь окружающий человека мир. В 1917 году Эйнштейн увязал физическую величину g^v, определяющую метрику пространства -времени, с силой тяжести (гравитационным полем) и, тем самым, способствовал становлению теории развития Вселенной. В 1922 году А.А. Фридман предложил нестационарное решение уравнений Эйнштейна. Первым подтверждением теории нестационарной Вселенной стало открытие Э. Хабб-лом в 1929 году космологического красного смещения галактик. По результатам аналитического решения Вселенная расширяется из сверхплотного точечного состояния вот уже примерно 14 млрд. лет. В уравнениях общей теории относительности
отдельные компоненты материи Вселенной не выделяются (поскольку гравитационная составляющая считается доминирующей). Поставленный Эйнштейном вопрос о квантах гравитационного поля продолжает оставаться открытым и на сегодняшний день.
Имеющиеся в литературе сведения об энергетических параметрах нашей Вселенной носят неоднозначный характер, существующие подходы к оценкам энергетических величин приводят к количественно и качественно несогласующимся результатам. Столь сложная проблема не имеет удовлетворительного решения. Данная работа является продолжением и развитием начатых в [2 - 6] исследований и имеет целью поиск уравнений для оценки параметров гравитационного излучения в условиях, моделирующих эволюцию Вселенной.
Ниже рассмотрим газовую модель совершенно однородной Вселенной. Применительно к настоящему времени такая модель «ведет к картине холодного однородно распределенного атомарного водорода, погруженного в равновесное излучение. Эта скучная картина очень далека от наблюдаемого мира, состоящего из звезд, галактик, квазаров, с активными процессами ядерного горения, гравитационного взаимодействия, с крупномасштабными движениями и взрывами, ведущими к излучению радиоволн, света, рентгеновских и космических лучей» [7, с. 221]. Однако надеемся, что полученные результаты окажутся полезными.
Основной физической величиной, характеризующей изучаемую физическую макросистему,
считаем ее энергию. Представляет интерес взгляд на величину энергии Вселенной (и) как на сумму величин энергии ее составляющих и1:
и = и и = = Ъ^щ (1)
где V - объем, и1 - объемная плотность энергии I - ой компоненты материи Вселенной, а п - число составляющих. Для газов объемную плотность энергии и1 можно оценить, умножив среднюю
I г(1')
плотность энергии единичной частицы и^ на их объемную концентрацию п^
щ = и^п, (2)
Для выражения (2) характерны особенности:
- Формула (2) имеет непосредственное отношение к физическому миру. Здесь первый сомно-
(1)
житель в правой части и^ отвечает микромиру (то есть миру элементарных частиц), а второй п1 имеет непосредственное отношение к наблюдаемым с Земли просторам Вселенной.
- Благодаря формуле (2) во внимание принимается и пространственно - временное вместилище (Х. Юкава, 1981), и материя (поля и частицы как единый объект), заполняющая его. Число составляющих I (или полей элементарных частиц) отвечает числу принимаемых во внимание разновидностей частиц.
- Уяснение содержания отдельных позиций
(1)
по = и^ п1 призвано способствовать упорядочению знаний о нашей Вселенной.
Ниже кратко обратимся к отдельным составляющим материи Вселенной.
Фотонная составляющая. Первыми, кто осознал тот факт, что Вселенная должна быть в настоящий период времени наполнена остаточным фотонным излучением абсолютно черного тела, были Г.А. Гамов и его сотрудники Р. Альфер и Р. Герман в 1940 - х гг. Это стало возможным благодаря дополнению геометрии и динамики Фридмана идеями ядерной физики и термодинамики (подкрепленными необходимыми расчетами). И что существенно, теоретический прогноз подтвердился, а измерения параметров излучения проведены с прецизионной точностью. Объемная плотность энергии фотонного излучения иЕ отвечает закону (уравнению) Стефана - Больцмана [8]:
щ = = ^к(±)3Т4 (3)
£ V 15 \кс/ у '
Данное уравнение связывает энергию фотонного излучения иЕ, объем V и температуру Т Вселенной посредством таких фундаментальных постоянных как скорость света в вакууме с = 3108 м/с, постоянная Планка И = 1,054-10-34 Дж • с и постоянная Больцмана к = 1,38-10~23 Дж / К . Каковы пути выхода на уравнение Стефана - Больц-мана (3)? Эмпирически подтвержденную связь (3) можно выстроить, по крайней мере, благодаря трем приемам:
1. Первый из подходов является традиционным и максимально точным. Закон Стефана - Боль-цмана (3) является следствием формулы Планка для лучеиспускательной способности абсолютно черного тела [9]:
_ 8nv2 hv ...
£v,T сз ehv/kT—l (4)
где v - частота. Выход на (3) обеспечивает интегрирование (4) по v от 0 до ю. При интегрировании появляется сомножитель к4, который, как оказалось, способствует «подбору ключа для расшифровки кода» в пользу горячего начала Вселенной.
2. Второй прием, пожалуй, отличается максимальной простотой. Согласно уравнению Стефана - Больцмана (3) объемная плотность энергии прямо пропорциональна четвертой степени температуры: иЕ « Т4. Аналогичная связь имеет место и для планковских величин: UEpi « TpL. Делим первое из выражений на второе и приходим к уравнению Стефана - Больцмана, но уже в записи через безразмерные планковские величины [2]:
_Ue= UtPLi т \4 £ V Vpl \Tpl) (
Выражение (5) является обобщением (3) для расчета космологической изменчивости иЕ по мере расширения Вселенной с охлаждением. Из (5) виден физический смысл закона Стефана - Больц-мана: объемная плотность энергии фотонного излучения, выраженная в безразмерных единицах М. Планка, равна температуре фотонного излучения в тех же единицах, взятой в четвертой степени. Тем самым, имеем дополнительное объективное свидетельство тому, что начало Вселенной было действительно космологически плотным и горячим:
/I 5 \t/2
pPL = 1097 кг/м3 и TPL = k-1 (hc /q) =
1032K, где G - гравитационная постоянная; G = 6,67-10-11 Н-м2/кг2. Согласно (5) Вселенная в планковском пределе не является материальной точкой, но имеет хоть весьма малое конечное протяжение.
Если обратиться к истории естествознания, то можно встретить примеры, когда правильно выбранные единицы, параметры и комплексы оказываются весьма полезными. Они, в частности, позволяют провести размерный анализ физических явлений и процессов, а также оперативно оценить по порядку величины их масштаб.
3. Из статистической физики известно, что число фотонов Ne во Вселенной прямо пропорционально ее объему и температуре излучения в третьей степени [10]:
Ne = 0,244 \^)3 •V^T3 (6)
Данная формула получена в предположении, что состоянием фотона является электромагнитная волна, а число фотонов, связанных с волной, подчиняется распределению Бозе - Эйнштейна. Заметим, что (6) отвечает связь [2]:
п„
3
(7)
£ V урь\Трь) Вместе с тем, из (6) следует и выражение пЕ =
^ = 0,244 ) Т3, умножив которое на среднюю
(1)
энергию единичного фотона Щ = 2,82кТ [11, с. 304], вновь можно прийти к уравнению Стефана -Больцмана (3). При описании первых трех минут
космологической эволюции Вселенной С. Вайн-берг [12] называет взаимосвязь и(1 ) = кТ простым мнемоническим правилом. Однако, если отнести к числу интересных задач выход на родственные (3) устойчивые взаимосвязи, то для уравнения плотности фотонов в отличие от (7) его развернутая форма записи (6) малоинформативна.
Барионная составляющая. В «нескучном сценарии» эволюции Вселенной важная роль отводится космологической функции 2, которая определяется как отношение числа фотонов к числу ба-рионов Мь. Фотон - барионное отношение 2 = — =
NЬ
п£ * 1
— изменяется в космологическом времени / (за
пь
начало его отсчета удобно принять планковское время Ьрь = 10-43с). Для текущих значений функ-
™ЬРЛ1/2 тъ )
, где тЬРЬ
ции 2 справедлива формула Z = (■
- масса бариона/барионов Планка, а ть - масса ба-риона. В родословной
барионов их планковской массе отводится весомая роль. Число барионов в единице объема пь [3]:
п = = = . ь V г г-урь\трь)
)
[3]:
иь
= "Л = тъс2 / Т У
V г-УрЬ (тРЬ)
=^т3
(9)
=
"ур^ т V
V г3уРЬ\тРЬ; Средняя энергия единичного нейтрино [5]:
(12)
1,(1) _ ^^РЬ
или
ц(1) = ^ О!?-]
иу гз( с )
5^1/2
(13)
(14)
(8)
Объемная плотность энергии барионного газа
^ = (10)
При числовых значениях температуры реликтового излучения Тп = 2,73 К и 2п = 109 имеем величину объемной плотности энергии барионного газа порядка иЬп = 10-11 Дж!м3. Примечательно, что данная оценка достаточно близко согласуется с современными подобными оценками, которые получены более сложными путем.
При условии иЬРЬ = иЕРЬ уравнения (5) и (10) позволяют записать функцию
£ = ^к = (11)
ие г3т (11)
Нейтринная составляющая. Нейтрино - как и фотонное излучение - остаток, реликт горячего состояния Вселенной [13]. Методу аналогии отводится важная роль в познании природы. Д. Дидро [14, с. 192] подчеркивает: «В физике все знания основываются только на аналогии: если бы сходство следствий не дало нам право заключать о тождестве их причин, что стало бы с этой наукой?» Поскольку уравнения для иу нам неизвестны, мы вынуждены делать те или иные предположения. Одно из них можно назвать «гипотезой о сходстве». Полагаем за факт: в ранней Вселенной каждое из поколений ба-рионов и нейтрино есть синхронный продукт ядерных реакций. Тогда, не прибегая к произвольным допущениям и учитывая мнение авторов отдельных работ, в первом приближении можно принять щ = иь и Пу= пЕ и для объемной плотности энергии газа нейтрино иу с учетом (10) записать уравнение [5]:
г3 \ с
где Ъу - некоторый коэффициент. Для реликтовых нейтрино при Ъу = 1/4 и 2п = 1,8-109 имеем
(1)
величину ЦуП = 0,52 эВ [5]. При записи уравнений (12) - (14) учтен и наиболее надежный, как полагают [15], результат эмпирического поиска величины средней энергии реликтового нейтрино: 0,28 эВ.
Гравитационная составляющая. К настоящему моменту не имеется веских свидетельств прямой регистрации гравитационного излучения во Вселенной, но есть мнение [16 и др.], что в будущем ситуация может измениться. Т. Редже [17] отмечает, что А. Эддингтон образно сравнивал пространство Вселенной с хорошо натянутым плоским эластичным полотнищем. Если положить на полотнище тяжелые шары (символизирующие небесные тела), то оно искривится, изменив при этом свою геометрию. Каждый из двух находящихся рядом шаров стремится скатиться в яму, образованную соседом. Через посредство полотнища между шарами как бы возникает сила взаимодействия, аналогичная силе тяготения. Отмеченное иллюстрирует идею непрерывности гравитационного поля, для описания которой существенны с и О. Из уравнений поля Эйнштейна следует, что между кривизной Я пространства Вселенной и плотностью р её материи существует соотношение вида [17]:
Р=Т* (15)
Принимая условие [18]
Я а а(0 а Т-1, (16) где а(£) - масштабный фактор, можно ожидать наличие связи
рс2 = ид а Т2, (17)
или при переходе к безразмерным планков-ским величинам
а (^)2.
идРЬ \TplJ
Также можно принять ид = £ иь и с учетом (10) и (11) выйти на уравнение для объемной плотности энергии газа гравитонов Вселенной
(18)
-^В-тЛ1)
_ 1 Удрь( Т V
ив у ^з па г6 Ур^ (тР11)
(19)
Однако единственное о чем с уверенностью можно сказать, так это то, что на сегодняшний день вне метода анализа размерности не видно идей, которые могли бы хотя бы эскизно соединить результаты (15) и (19). Надеемся, что запись вида (19) действительно отвечает энергетике присущего природе гравитационного поля. Тогда, если допустить возможность равенства чисел гравитонов и фотонов в единице объема Вселенной:
пд = п£, (20)
то для средней энергии единичного гравитона
(1)
ид можно записать
ц(1) - Удрьтрь д г6 т
или
ит = a (22)
3 1 kG Z6T ' '
где a1 - коэффициент. Из (21) и (22) видно, что в эпоху отсутствия ядерных реакций (при Z = const) при охлаждении Вселенной по мере ее расширения энергия кванта гравитационного поля возрастает. В
то же время их объемная концентрация пд = =
—— ) с понижением температуры T снижается. VPL\TPL'
Вместе с тем, из уравнения (19) следует формула
2 G\h J Z6
(23)
где а2 - коэффициент. Здесь константы природы с и О отвечают идее непрерывности, константа И - идее дискретности, а константа Больц-мана к, возможно, отвечает масштабному фактору развития событий в экстремальных условиях план-ковской эпохи, поскольку к, как известно, определяет всю шкалу атомно - молекулярных величин
соотношением к = ^ , где Дг - универсальная газовая постоянная, а N4- число Авогадро.
Метод анализа размерности если и позволяет получить те или иные формулы, то лишь только с точностью до безразмерных множителей. Величины коэффициентов а{ и Ъ{ можно найти только в строгой теории. Примером тому являются уравнения (3), (4) и (6). Величина безразмерного множителя а2 в (23) нам неизвестна. Если для целей примера принять а1 = 0,1, то при 1п = 1,8 • 109 и Тп = 2,73 К имеем величину средней энергии реликтового гравитона равную ид^ = 3-10-16 Дж = 1875 эВ. Тогда с учетом (20) при величине п£П = 5-108 [19] имеем объемную плотность энергии реликтового гравитационного излучения идп = 1,5 • 10-7 Дж/м3. Решения родственного характера для идп нам неизвестны.
Как отмечают Я.Б. Зельдович и Новиков [7, с. 629], «ОТО не вносит в теорию новых физических констант, кроме уже известных: скорости света с и ньютоновской постоянной тяготения О. Планк ввел свою знаменитую постоянную И в теорию излучения ... Он отчетливо понимал значение идеи квантования для всей физики, всего естествознания». Рассматривая перспективы видоизменения ОТО, Г. - Ю. Тредер [20, с.323] полагает, что «новые, действительно правильные уравнения, сформулированные с использованием интуитивно понятных принципов симметрии» будут получены «без дополнительных универсальных констант (кроме h, с и О)». Однако в теорию излучения М. Планк [21, с. 162] в 1899 году ввел не одну, а две константы природы: И и к, а далее на основе четырех равноправных постоянных (с, О , И и к) предложил свои единицы длины, массы, времени и температуры. Планк был убежден: «Эти величины сохраняют свое естественное значение до тех пор, пока справедливы законы тяготения, распространения света в вакууме и оба начала термодинамики» [там же].
На сегодняшний день, пожалуй, очевидно, что планковские величины как простейшие комбинации из констант с, О, И и к - суть начальные условия
расширения нашей Вселенной. Планковские величины естественным образом увязаны между собой на планковский момент времени Ьрь = 10-43 с. Но связь между ними сохраняется и по мере космологического расширения Вселенной. Наблюдаемое в наши дни расширение Вселенной является самым грандиозным газодинамическим течением в природе [4]. При его аналитическом описании безразмерные планковские величины выполняют роль, которая аналогична роли известных из газовой динамики взаимоувязанных газодинамических функций.
На наш взгляд, для понимания картины космологической изменчивости энергетических параметров физической модели Вселенной важны две исходные позиции: 1. источником фотонов, барионов, нейтрино, гравитонов является планковское состояние; 2. элементарные частицы существуют во Вселенной с самого начала расширения. В согласие с (1), (5), (10), (12) и (19) можно записать математическое выражение:
—) = 10114— (24)
Здесь подстрочные индексы еРЬ, ЪРЬ, уРЬ и дРЪ соотносят соответствующие отмеченные инами физические величины к i - м долям полной объемной плотности планковской энергии иРЬ, за каждой из которых стоит своя разновидность план-ковских частиц [6] (соотношение между долями и1РЬ в полной планковской энергии иРЬ еще только предстоит установить). Какое допущение было принято Гамовым при прогнозе остаточного фотонного излучения и его температуры? В учебной литературе данный вопрос не рассматривается. Девис [1, с.195] свидетельствует: «Первоначальный вариант теории Большого взрыва не давал убедительного объяснения того, каким образом в ходе первичного взрыва возникло вещество. Космологам не оставалось ничего другого, как предположить, что все вещество, из которого построена Вселенная, существовало с самого начала». Если судить по факту подтверждения полученных Гамовым результатов космологического прогнозирования, то следует отметить, что идея Ж. Леметра о первичном весьма радиоактивном атоме зарекомендовала себя с лучшей стороны. Есть основания полагать, что потенциальные возможности данной идеи, часть из которых затронута выше, далеко не исчерпаны. Однако удалимся на 60 десятичных порядков от планковского мгновения Ьрь. К настоящему времени сложилась своеобразная иерархия сопоставляемых энергетических величин (в Дж/
м3):
иЕП = 10-14 < иЬп = иуп = 10-11 < идп=10-8,
где доминирующей является гравитационная составляющая идп (здесь числовые значения для иЕП и иЬп нами приняты по данным работы [18]). Отмеченное однозначно не отвечает мнению [8, с. 63], согласно которому «во Вселенной есть какое -то количество материи, так что даже если в плотности энергии Вселенной преобладает постоянная
энергия вакуума, в прошлом было время, когда вещество и/или излучение играли более важную роль».
В целях использования уравнений энергии (5), (10), (12) и (19) при проведении расчетов необходима увязка между собой фотон - барионного отношения Z , температуры T и космологического времени t.
В рассматриваемой нами модели расширение Вселенной началось с ее планковского состояния (которому, возможно, предшествовала фаза сжатия). Исходное значение объемной плотности энергии было космологически огромно и между начальным моментом и настоящим уменьшилось по отдельным компонентам на 122 - 128 десятичных порядков. Рост массы Вселенной (по всем ее составляющим) от планковской величины тРЬ = 10-8 кг до современной M (общая масса вещества видимой части Вселенной оценивается в 1053кг [1, с. 195]) можно объяснить освобождением энергии возбуждаемого физического вакуумам по мере радиоактивных распадов нестабильных атомов в эпоху ядерных реакций. Вселенная не является неизменной, а представляет собой результат развития материи, своеобразную реализацию тех потенциальных возможностей, которые были заложены в глубинах как ее планковского состояния, так и окружавшего в далеком прошлом до первичного ядерного взрыва планковскую ячейку вакуума. Еще в ХХ веке в учебных пособиях их авторы отмечали, что возбуждениями именно вакуумного состояния являются все элементарные частицы, из которых, в свою очередь, сложен весь окружающий мир.
Уравнение (24), возможно, имеет непосредственное отношение к завершению планковской эпохи. Вопрос о физической природе события, которое породило космологическое расширения Вселенной, порой называют [19] самой трудной загадкой, из когда - либо возникавших в естественных науках. В начале 1990 - х А.Ю. Морозов [22] обратил наше внимание на то, что «достижение поистине интересной (планковской) энергетической области ... при традиционном подходе ... потребует увеличения мощности современных ускорителей на 16 порядков ... Так что не только недостаток материальных средств, но и здравый смысл заставляет в ближайшие десятилетия полагаться на силу разума, а не эксперимента при обсуждении основ мироздания». Это делает желательным проведение исследований, в большей степени соответствующих реальному объекту.
Литература
17. Девис П. Суперсила. Поиски единой теории природы / пер. с англ. М.: Мир.1989.272с.
18. Кошман В.С. Планковские величины, закон Стефана - Больцмана и гипотеза о рождении вселенной // American Scientific Journal. 2019. № 29. Vol. 2. P. 64 - 69.
19. Кошман В.С. Закон Стефана - Больцмана и оценка изменчивости плотности энергии барионов Вселенной // American Scientific Journal. 2019. № 30. Vol. 1. P. 57 - 62.
20. Кошман В.С. Космологическое расширение Вселенной как самое грандиозное газодинамическое течение в природе // American Scientific Journal. 2019. № 31. Vol. 1. P. 41 - 45.
21. Кошман В.С. К вопросу нейтринного излучения в расширяющейся с охлаждением Вселенной // American Scientific Journal. 2020. № 37. Vol. 1. P. 48 - 53.
22. Кошман В.С. О зоне ближайшего к сингулярности развития нашей Вселенной // Sciences of Europe. 2020. No.51. Vol. 1. pp. 29 - 31.
23. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука.1975.735 с.
24. Вайнберг С. Космология / пер. с англ. М.: ЛИБРИКОМ. 2013. 608 с.
25. Шёпф Х. - Г. От Кирхгофа до Планка / пер. с нем. М.: Мир. 1981. 192 с.
26. Краснопевцев Е.А. Спецглавы физики. Статистическая физика равновесных систем: учебное пособие. Новосибирск: Изд - во НГТУ. 2014. 387 с.
27. Иванов Б.Н. Законы физики: учебное пособие. М.: Высшая школа. 1986. 335 с.
28. Вайнберг С. Первые три минуты: Современный взгляд на происхождение Вселенной, М.: Энергоиздат. 1981. 208 с.
29. Черепащук А.М., Чернин А.Д. Современная космология: факты и идеи // Вестн. Моск, ун -та. Серия 3. Физика, Астрономия. 2008. №5. С. 3 -19.
30. Дидро Д. Индукция // Собр. соч. В 10 т. Т. 7. М. - Л.: Изд - во худож. лит - ры. 1939.
31. Астрономы получили самую точную оценку массы «частицы -призрака» (рус). РИА Новости (22 июня 2010) [Электронный ресурс]. URL: Wikipedia.green/Нейтрино (дата доступа 9.04.2020)
32. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике / пер. с англ. М.: Энергоатомиздат. 1985. 296 с.
33. Редже Т. Этюды о Вселенной / пер. с итал. М.: Мир. 1985. 191 с.
34. Девис П. Случайная Вселенная / пер. с англ. М.: Мир. 1985. 160 с.
35. Черепащук А.М., Чернин А.Д. Космология: открытия и загадки // Наука из первых рук. 2009. С. 27 - 37.
36. Тредер Г. - Ю. Заключительное слово // Проблемы физики: классика и современность/ пер. с нем. и англ. М.: Мир. 1982. С. 315 - 325.
37. Планк М. О необратимых процессах излучения // Шёпф Х. - Г. От Кирхгофа до Планка / пер. с нем. М.: Мир. 1981. С. 158 - 163.
38. Морозов А.Ю. Теория струн - что это такое? // Успехи физических наук. 1992. Т. 162. №8. С. 83 - 175.
