К ВОПРОСУ О ВЛОЖЕНИИ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ВОСПРОИЗВОДЯЩИМ ЯДРОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 78-87.

УДК 517.444

К ВОПРОСУ О ВЛОЖЕНИИ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ВОСПРОИЗВОДЯЩИМ ЯДРОМ

В.В НАПАЛКОВ, A.A. НУЯТОВ

Аннотация. В работе получены необходимые и достаточные условия вложения одного гильбертова пространства с воспроизводящим ядром (RKHS) в другое RKHS. Настоящая статья является продолжением работ авторов, в которых изучалась задача о совпадении или эквивалентности двух RKHS. Важную роль играет условие согласования двух полных систем функций с некоторым линейным непрерывным оператором, введенное авторами ранее. Полученные результаты иллюстрируются на конкретных примерах.

Ключевые слова: гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром, задача описания сонряженнохх) пространства, ортонодобные системы разложения, пространства Бергмана.

Mathematics Subject Classification: 46Е22, 30Н05, 32А38, 47В32

1. Введение

Во многих задачах комплексного анализа часто возникает вопрос: будет .ни данное гильбертово пространство с воспроизводящим ядром (RKHS) содержаться в более широком RKHS? К изучению RKHS сводятся также многие задачи теории вероятности, математической статистики, численных методов, уравнений в частных производных и др. (см., например, |1|, |2|),

Мы исследуем следующий вопрос: пусть даны два RKHS пространства Н1 и Н2, состоящие из функций, заданных на некотором множестве точек Q1 С Cn, п G N. Какие условия гарантируют вложение Н1 С Н21 Мы рассмотрим эту задачу в эквивалентной постановке (см. | j, | |). Пусть Н - RKHS пространство, состоящее из функций, заданных на множестве точек Q С Cm, т G N, т.е. для произвольной точки £ G Q функционал ставящий в соответствие любой функции f G Н значение функции f в точке £ G Q, является линейным и непрерывным функционалом над Предположим, что |е1(^,

)}^еп1 — некоторые полные системы функций в Н-, Q1 С Cn, п G N. Обозначим

f(z) =f (ei(;z),f)н Vz G Qi, H = {f,f G H},

(fl,f2)S = (f2,fi)H, Ш\н = ШЯ Vfi,f2 G H, (1.1)

f(z) =f (e2(;z),f)HVz g Qi, H = {f, f G H},

(h ,h)8 =f (f2,h )h , \\/i\\8 = \\h\\я V/i ,f2 G H. (1.2)

Необходимо найти условие, при выполнении которого пространства На Н обладают свойством: Н С Н, т.е. Н как множество функций содержится в Н, и найдется постоянная

V.V. Napalkov (jr.), A.A. Nuyatov, To question on embedding of reproducing kernel Hilbert

spaces.

© Напалков B.B. (мл.), Нуятов A.A. 2024.

Поступила 27 декабря 2023 г.

С > 0 такая, что

I\h\\s < С\\h\\8 Vh е Н.

Следует отметить, что вопрос о вложении одного RKHS в другое RKHS рассматривался и ранее в связи с приложениями в теории вероятностей и математической статистике (см., например, |1, р. 30|). В работах Ylvisaker (|5, Theorem 2,4|), Driscoll (|6, Theorem 1|) исследована эта задача. Теорема 2.2, приведенная в этой публикации, является обобщением результатов этих авторов. Настоящая статья является продолжением работ авторов |3|, |4|, |7| в которых изучалась задача о совпадении или эквивалентности двух RKHS. Также в этой статье изучено условие согласования дня случая вложения одного RKHS в другое RKHS. Как оказалось, результаты связанные с условием согласования не переносятся просто со случая эквивалентности RKHS на случай вложения RKHS (см. теорему 2.3, теорему 2.4, пример 1, пример 2 этой работы) Полученные в статье результаты проиллюстрированы па конкретных примерах весовых пространств Бергмана в круге.

2. Основные результаты

Пусть Н — RKHS пространство, {ei(-,£)}gen15 {е2(ф, C)}?eni _ некоторые полные системы функций в Я, П1 С Cn, п е N Пространства Н, Н определены как в ( ), ( ), Справедлива следующая

Теорема 2.1. Для того, чтобы Н С Н необходимо и достаточно существование линейного непрерывного оператора, А: Н м Н такого, что

А: е1(-,г)м e2(-,z) Vz е Пь

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть Н С Н. Для f е Н имеем

f(z) = (e2(-,z),f)н Vz е П1. (2.1)

С другой стороны, поскольку Н С Н, найдется функция gf е Н такая, что выполнено равенство

f(z) = (ei(-,z),gf)н = gf (z) Vz е Пь (2.2)

Если f «пробегает» всё пространство Н,то f «пробегает» всё пространство Н. Определим оператор В следующим правилом:

В: /м gf.

Нетрудно показать, что В линейный оператор. Выражение ( ) означает, что

f(z) = gf (z) = Bf (z) Vz е П1, Vf е H. (2.3)

Далее, В — ограниченный оператор. Действительно, из равенств ( ), ( ) при условии Н С Н вытекает

\\BfИя = = Ufb < с -иТу = с ■\ц\\я.

Последнее означает ограниченность оператора В. Для любой f е Н, Vz е П1

f(z) = (e1(-,z),Bf)H = (В *e1(-,z),f )н, (2.4)

где В* — оператор сопряженный к оператору В. Вычитая из ( ) равенство ( ), получим

0 = (e2(-,z) - В*e1(-,z),f )н Vf е Н, Vz е П

B*e1(-,z) = e2(-,z) Vz е Пь

Положим А = В*. Мы построили оператор А: Н м Н, А: e1(-,z) м e2(-,z) Vz е П1. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Предположим, что существует оператор А такой, что

А: е2(^,г) Уг е Пь

Из соотношения

Т(г) = )н = (Ае1(;г)Л)н = Ы;г),А*/)н У/ е Н

вытекает, что если / е Н, то / е Н. Также справедлива оценка (используются определения норм в пространствах Н, Н)

\\Л\н = Р7У < с у\\н = с\\п\й у/ е н,

где С > 0 — некоторая постоянная. Таким образом, Н С Н. Теорема доказана, □

Пусть Н1 — ККНБ пространство, состоящее из функций, заданных на множестве точек П С С, г е N ПРИ этом система функций ^^^ принадлежит пространству Н1 и полна в нем. Далее, пусть Н2 — ККНБ пространство, состоящее из функций заданных на множестве точек П С Ся, 5 е N ПРИ этом система функций {е2(^, ^^^ принадлежит пространству Н2 и полна в нем. Определим пространства Н1 и Н2.

№ = Ы;г),ПН1 У? е Пх, Н\ = {!,/ е Н{},

(7ъ72)й1 = (/2,/г)Н1, Шй1 = \\mhi у7, ¡2 е Нъ (2.5)

д(г) (е2(^г),д)н2 Уz е Пь Н2 = {(¡, д е H2},

(?1 ,'92)й2 = ^дг)н2, \\?1 \\н2 = \\н2 У?12 е Н2. (2.6)

Справедлива следующая теорема, которая обобщает теорему 2.1.

Теорема 2.2. Для того, чтобы, Н2 С Н\ необходимо и достаточно существование линейного ограниченного оператора, А, действующего из Н\ в Н2, и такого, что

А: б!(•,£)■+ е2^,0 е П. (2.7)

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть Н2 С Н^ Для д е Н2 имеем

д(г) = (е2^,г),д)Н2 Уг е П. (2.8)

Если 'д «пробегает» всё пространство Н2, то д «пробегает» всё пространство Н2. С другой стороны, поскольку Н2 С #1, найдется Нд е такая, что выполнено равенство

д(г) = (ег (•¡г ),кд )т = Тъд (г) У г е П1. (2.9) Определим оператор В следующим правилом:

В: д м кд.

Нетрудно показать, что В: Н2 —> Н1 — линейный оператор. Выражение ( ) означает,

д(г) = Ъд (г) = Вд(г) У г е Пх. (2.10)

Далее В — ограниченный оператор. Действительно, из равенств ( ), ( ) при условии Н2 С Н1 вытекает

\\Вд\\Н1 = \\Вд\\н, = Шщ < с • \\д\\н2 = с • \\д\\н2 Уд е н2.

Последнее означает ограниченность оператора В. Для любой д е Н2, У г е Пх

д(г) = (е^,г),Вд)Н1 = (В*е^, г), д). (2.11)

Здесь В *: Н1 —у Н2 — оператор сопряженный к о ператору В. Вычитая из ( ) равенство (2,11), получим

0 = (е2(-,г) - В*е1{;г),д)Н2 Уд е Н2, Ух е П

В*е\(-, г ) = е2{-,г) У г е Пь

Положим А = В*, Мы построили оператор А: Н1 —у Н2 такой, что А: е1(■, г) —у е2(■, г) У г е П1. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Предположим, что существует оператор А: Н1 —у Н2 такой,

А: е2(^,г) Уг е Пь

Тогда оператор А* действует го пространства Н2 в пространство Н1, и выполняется соотношение

д(г) = (е2^,г),д)н2 = (ММ ),д)н2 = (е1^,г),А*д)Н1 = А*д(г) У г е Пь Уд е

Отсюда вытекает, что если функция д принадлежит Н2, то д также принадлежит пространству Н^ Для функций д е Н2, д е Н2 справедлива оценка (используются определения норм в пространствах Н^ Н2)

НН11я1 = \к = \\А*9Ы < С\\д\\н2 = с\\д\\Й2 Уд е Н2,

где С > 0 — некоторая постоянная. Таким образом, мы показали, что Н2 С Н1. Теорема доказана, □

Далее мы изучаем вопрос об условии согласования полных систем функций с некоторым линейным непрерывным оператором (см, |3|) для случая вложения одного ККНБ в другое ИКИБ. Напомним определение из |3|.

Определение 2.1. Системы функций {е^(■, г)}?^, 3 = 1, 2, принадлежащие ЯКНЯ пространству Н, называются согласованными с оператором Т: Н ^ Н, если, выполнено соотношение:

(е 1(■, гх), е2(■, ^я = (е 1(■, г2),Те2(■, гх))н Уг1, г2 е Пь (2,12)

Возникает вопрос: верен ли аналог утверждения 3 и утверждения 4 из работы |3| (см, также [4]), Мы предполагаем, что системы функций {е^(■, з = 1, 2 — ортоподоб-

ные системы разложения в ККИБ пространстве Н с одной и той же мерой ^ [ ] (см, также |9|), Ортонодобные системы разложения были введены в работах Т.П. Лукашенко, Как выясняется, требование, что системы функций {е^(■, г)}Х£0_1.1 з = 1, 2 — ортоподобные системы разложения в пространстве Н с одной и той же мерой ^ является очень сильным условием. Пространство Н состоит го функций, заданных на множестве точек П С Ст, т е N. Справедлива следующая

Теорема 2.3. Пусть {е^(■, г)}?^, 3 = 1, 2 — две ортоподобные системы разложения в ЯКНЯ пространстве Н с одной и той же мерой Предположим, что найдется линейный непрерывный оператор Т: Н ^ Н такой, что систем,ы функций {е^(■, = 1, 2 Т

(е 1(■, г1), е2(■, ^я = (е 1(■, г2),Те2(■, гг))н Уг1, г2 е Пь

Тогда пространство Н эквивалентно пространству Н.

Замечание 2.1. В отличии от утверждения, 3 и утверждения, 4 работы, |3| оператор Т: Н ^ Н не предполагается обратимым; он только является, линейным непрерывным оператором.

Доказательство. Пусть {ej(•, г^еп^ ] = 1, 2 — две ортоподобные системы разложения в пространстве Я, которые согласованы с оператором Т, т.е. выполнено соотношение ( ) или, что то же самое,

Последнее равенство влечет соотношение

(т \ / т \

к=1 /Н \к=1 )

]ске1(;гк),в2(^,еН = скТе2{;гк),е1(;0 € П1. (2.13)

Н \к=1 ) Н

Здесь {гк}7^=1 — произвольный набор точек из П1; а {ск}7^=1 — произвольный набор комплексных чисел. Тогда р(Ь) = ^1к=1 ске1 (к, ¿к) t € П — произвольная функция из линейной

оболочки системы {е1(^, г)}д(Ь) ^Гк=1 °кТе2(1,гк), £ € П — функция из линейной оболочки системы {Те2(•, г)}хеП1. Тогда функции р, д принадлежат Н, а системы функций {ej(•, г^епи ] = 1, 2 — ортоподобные системы разложения в Н с мерой поэтому

р(1)= [ (р,е2^,£))не2(к,С) ¿»(О Ш € П,

д(1)= ! (д,е^,0)не1(1,0 Ш € П.

В силу аналога равенства Парсеваля (|8, Теорема 1|) и соотношения (2.13) справедливо равенство

\\р\?н = [ \(р,е2(;0)\2 \Ы,е1(;0)\2 <¡»(0 = \\д\\2н

Jпí иПх

или \\р\\н = \\я\\н- На линейной оболочке системы функций {е1(^, £)}хеП1 определим оператор Ь1 по следующему правилу: Ь1: р м д. Обозначим Н^ — замыкание по норме пространства Н линейной оболочки системы функций {Те2(, £)}хеП1. По теореме Банаха ([ , с. 240, Теорема 2]) оператор Ь1 продолжается до линейного непрерывного взаимно однозначного унитарного оператора, действующего из Н на Н^, и Ь1: м Те2(•,£) € П1.

Поэтому оператор А ^ Ь~[1 о Т — линейный непрерывный оператор, действующий из Н в^и^: е2(^,£) м € Пь Применяя теорему , мы получаем, что Н С Н.

Далее, из соотношения (2.12) вытекает

Ы^^^^я = (Т*е1(^г2),е2^,г1))н Шг^г € Пь (2.14)

Т* — оператор, сопряженный к оператору Т. Из ( ) получаем

(е2(^г2),е1^,г1))н = (Т*е1^, г2),е2^, Шг1,г2 € Пь (2.15)

Пусть {гк}™=-1 — произвольный набор точек из П1; а {ск}1}^=1 — произвольный набор комплексных чисел и р(Ь) = '^1к=1 °к^2(к,гк), Ь € П — функция из линейной оболочки системы {е2(^, г)}геПх, а д(Ь) ^ ^¡>2Гк=1 скТ*е1(Ь,гк), Ь € П — функция из линейной оболочки системы {Т * е1(•, £)}хеП1. Определим опер атор Ь2 по следующему пр авилу: Ь2: р м д. Обозначим Н02 — замыкание ^о норме пространства Н линейной оболочки системы функций {Т*е1 (•, г)}геП1. По теореме Банаха ([ , с. 240, Теорема 2]) оператор Ь2 продолжается до линейного непрерывного взаимно однозначного унитарного оператора, действующего из Н на Н02, и этот оператор обладает свойством: Ь2: е2(•,£) м Т*е1(^£) € П1ш Поэтому

оператор А Ь-1 о Т* — линейный непрерывный оператор, действующий из Н в Н и А: м е2(^,£) € П^. Применяя теорему , мы получаем, что Н С Н, т.е. Н как

множество функций вложено в Н и для люб ого к € Н выполнена оценка <

(постоянная С1 > 0 не зависит от Н), Ранее мы доказали, что Н С Н, т.е. Н как множество функций вложено в Н, и для люб ого Н € Н выполнена оц енка \\Н\\Й < С2\\Н\\^ (постоянная С2 > 0 не зависит от Н), Тем самым, пространства Н и Н эквивалентны, т.е. Н, Н состоят из одних и тех же функций, и выполнено соотношение

С\\Н\\8 <\\Н\\Й <С1\\Н\\Й УН еН.

С2

Теорема 2,3 доказана, □

Из теоремы 2,3 вытекает

Следствие 2.1. Пусть {е^(■, г)}^^, ] = 1, 2 — две ортоподобные системы разложения в пространстве Н с одной и той же мерой Предположим, что найдется линейный непрерывный оператор Т: Н ^ Н такой,что системы функций {е^(■, г)}^^, ] = 1, 2 согласованы с оператором Т, т.е.

(е 1(-, гг), ег(-, г2))н = (ег(-, г2),Те2(-, гг))н Угъ ^ е Пь (2.16)

Т

НН

лентно пространству Н. Применяя утверждение 2 статьи [ ], мы получаем, что существует линейный непрерывный обратимый оператор Т1 такой, что выполнено условие

(е 1(■, е2(■, г2))н = (е 1(■, г2),Т!е2(-, гх))н Угг, г2 е Пь (2,17)

С другой стороны, по условию выполнено равенство (2,16), Сравнивая (2,16) и (2,17), полу чим равенство

(е 1(■, Х2),Т1в2(■, г1))н = (е 1(■, гг),Тв2(^, г1))н ^ е П

(е 1(■, г2),Т1в2(; г1) -Те 2(■, г^н = 0 Х2 е Пь (2.18)

Так как система функций {еполна в пространстве Н, из ( ) вытекает

Т1в2( т, г\) -Т в2( т, г\) = 0 Уте П У^ е П Т1е2(т, г1) = Те2(т, г1) Ут е ПУг1 е П

Т1Г(т) = Тг(т) Уте П,

где г(т) — произвольная функция из линейной обол очки системы {е 2( т, Поскольку

система функций {е2(■, полна в пространстве Н, а Т1; Т — непрерывные операторы,

то из последнего равенства следует, что

Т1 /(т) = Т/(т) Уте П, У/ е Н,

Т1 Т Т

Следствие 2.1 доказано. □

Возникает вопрос. Верпы ли аналоги утверждения 1 и утверждения 2 из работы |3|, сформулированные дня случая совпадения или эквивалентности ККНБ пространств? Если выполнено Н С Н, то будет ли справедливо условие согласования

(е 1(■, г1), е2(■, г2))н = (е 1(■, г2),Те2(■, г1))н У^, г2 е П1?

Ниже в раздело Примеры приводится Пример 1, показывающий, что в общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Условие с1/11 < С ■ ¿¡л2 означает, что если множество

Р С П1 является ^^^^^^^мым, то Р также ^-измеримо, и найдется постоянная, независящая от выбора множества Р С П1; такая, что выполнено неравенство ,1(Р) < С ■ ,2(Р)■ Справедлива следующая

Теорема 2.4. Пусть Н — ЯКНЯ пространство, состоящее из функций, заданных на, множестве П, и {е— ортоподобная система разложения в Н с мерой, а, {е%(■, 0}сеп! — ортоподобная система разложения в Н с мерой, При этом найдется постоянная, С > 0 такая, что ¿¡11 < Сйц2. Пусть также существует линейный, непрерывный, оператор Т: Н —> Н такой, что выполнено условие согласования,

(е 1(■, Х1), е2(■, ^))н = (е^, ъ),Т&2.(■, ))н 4x1, 4x2 € Пь (2.19)

Тогда пространство Н вложено в пространство Н.

Доказательство. Пусть Т* — оператор сопряженный к оператору Т. Соотношение ( ) влечет

(е 1(■, Х1), 62^, г2))н = (Т*е 1 (■, ^), 62^, Х1))н 4x1, 4x2 € П

(Т*е1(; Х2), е2(■, Х1))н = Ы; е^; г{))н 4хи 4x2 € Пъ (2.20)

Пусть {Хк}™=1 — произвольный набор точек из П1; а {Ск}™=1 — произвольный набор ком-

Р(£) = Т*е , ^), Я^) 2(<, ), ^ € П.

к=1 к= 1

Из (2.20), используя линейность скалярного произведения по первому аргументу, получается равенство

(р, е2(■, 0)н = (д, в1(; 0)н 4^€ Пь (2.21)

Тогда, применяя аналог равенства Парсеваля дня ортонодобпых систем разложения (см. [ , Теорема 1]), учитывая условие ¿¡!1 < С ■ из ( ) получаем неравенство

М\н =1 в1(; 0)н I2 (£)= [ 1(р, в2(; 0)н I2 Ф^)

(2 22)

<С [ 1(р, в2(; 0)н ^1,2(0 = С \\р\\н.

Пусть Но — замыкание линейной оболочки системы функций {Т*е по норме

пространства Н. Тогда Н0 — замкнутое подпространство пространства Н. Рассмотрим оператор В, действующий на линейной оболочке системы {Т*е по следующему

правилу:

В : р ^ д.

Из оценки (2.22) вытекает

\\Вр\\н < С\\р\\н 4р € зрап{Т*е^, ОЬеъ. (2.23)

В

ствующий из Н0 в Н. Таким образом,

\\ВЦ\Н <С\\ЩН 4Н € Но. (2.24)

В

В: Т*е 1(■, е2(; О 4^ € Пь

нлексных чисел, и

Тогда оператор А = В о Т* является линейным непрерывным оператором, действующим из Н в Н, и обладает свойством

А: ei(-,£)м е2Ы) е Qi.

По теореме пространство Н вложено в пространство Н. Теорема доказана, □

3. Примеры

3.1. Пример 1. Рассмотрим пространство Бергмана B2(D), состоящее из функций, аналитических в единичном круге D = {z е C: lz| < 1}. Через 12 обозначается пространство последовательностей

те

12 = {x = {xk}fceMo: \\х\Ц = ^2 lXkl2 <

k=0

где N0 := NU{0}, Известно, что оператор А, определенный на пространстве 12 правилом

А: {х0,х\,х2,... ,хп,... } м- {0,x0,xi,x2,... ,хп,... },

действует из пространства 12 в пространство 12 и является ограниченным (но не обратимым) оператором. Образ этого оператора Im А является замкнутым подпространством пространства 12. Оператор А порождает в гильбертовом пространстве B2(D) линейный непрерывный оператор Ai: B2(D) м B2(D), действующий по правилу: если

те

f (Z) = ^ fk ■ + 1 ■ Zk, {fk}k€Mo е k, k=0

те

Aif (z) := ^ fk ■Vk + 2 ■ zk+i, {fkЬшо е 12.

k=0

Так как Im А замкнутое подпространство пространства /2, то Im Ai (образ операт opa Ai) — замкнутое подпространство пространства B2(D). Нетрудно увидеть, что Im Ai не совпадает с пространством B2(D). Положим

ei(k, z) := Vk + 1 ■ zk, k е N0, z е D; e2(k,z):= VkT2 ■ zk+i, k е N0, z е D.

Пусть H = l2j тогда (см. соотношения (1.1), (1-2)) в этом случае Q = N0, Q = D, Н = B2(D), Н = Im Аь Предположим, что в этом случае найдется оператор Т: Н м Н такой, что выполнено условие согласования

(ei^,Zi),e2^,Z2))H = (ei^,Z2),Te2^,zi))H Vzi,z2 е Qi. (3.1)

Тогда, согласно теореме , пространства B2(D) и Im Ai эквивалентны. Однако, как только что было установлено, это не так. Таким образом, мы привели пример, когда пространство Н вложено в пространство Н, однако условие согласования ( ) для систем функций {ej(■, z)}zeQi , j = 1, 2 не выполняется, как бы не был выбран линейный непрерывный оператор Т.

3.2. Пример 2. Приведем пример, иллюстрирующий теорему , Пусть а > — 1. Рассмотрим весовое пространство Бергмана

В2(П,а) :={/ е Н(Б): ЦД^= ^ \¡^)\\1 — \г\)° ¿VЦ ,

где ¿V(г) — плоская мера Лебега, В2(Б,а) — ККНБ пространство со скалярным произведением

(f, 9)в2{п,а) = f(z) • g(z)(1 — \z\)adv (z) Vf,g eB2(D,a). Jd

Известно, {zkz E D образует ортогональный базис в пространстве B2(D,a) (см., например, |11|).

Тогда система функций {zk/\\zk\\в2(о,а)}к=о, z E D является ортонормированным базисом в пространстве B2(D, a). Нетрудно увидеть, что если a > 0, то выполнено включение B2(D) С B2(D, а), а если — 1 < а < 0 т0 выполнено включение B2(D,a) С B2(D). В самом доле, нетрудно проверить следующие неравенства

2

B2(D,a)

B2(D,a)

2

B2(D),

/ \f(z)\2(1 — \z\)adv(z) < \f(z)\2dv(z) = id jd

a > 0 Vf E B2(D);

\f(z)\2(1 — \z\)adv(z) > \f(z)\2dv(z)

ID

'D

2

B2(D),

— 1 < a < 0 Vf E B2(D).

Также выполнены неравенства

(1 — \z\)adv(z) < dv(z), a > 0;

(1 — \z\)a dv(z) > dv(z), —1 < a < 0.

В наших обозначениях

H = h, {е!(•, OheD :=

{е2(•, 0}&d :=

е

\\^ W2B2(D,a) )

1.

\\€к\\2B2(D) J CeD

í

к E N0; к E N0.

Также Н = В2(Б), Н = В2(Б, а).

Система функций {еявляется ортоподобной системой разложения с мерой ¿¡г(г) := (1 — \г\)а ¿V(г) в пространстве 12. Система функций {е2(•, ОЬед является ортоподобной системой разложения с мерой ¿¡¡2(г) := ¿V(г) в пространстве 12. Нетрудно проверить, что для систем {е^(•, 3 = 1, 2 выполнено условие согласования:

(е!(•, г{),е2(^^2))г2 = (е\(^,г2),г¿[е2(•, гг)])12 Vz2 е Б,

где гй обозначает единичный оператор. Если а > 0, то ¿¡г < ¿/12; выполнены все условия теоремы , и Н С В, Есл и —1 < а < 0, то ¿¡г > ¿¡2; выполнены все условия теоремы ,

и Н э Н.

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A. Berlinet, С. Thomas-Agnan. Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics. Kluwer Academic Publishers, New York (2001).

2. S. Saitoh, Y. Sawano. Theory of Reproducing Kernel and Application. In: Developments in Mathematics 44, Springer, Singapore, 452 p. (2016).

3. B.B. Напалков (мл.), А.А. Нуятов. Об одном, условии совпадения пространств преобразований функционалов гильбертова пространства // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН 28:3, 142-154 (2022).

4. В.В. Напалков (мл.), А.А. Нуятов. К вопросу о совпадении гильбертовых пространств интегрируемых с квадратом, по мере функций // Труды МФТИ 15:3, 39-49 (2023).

5. N.D. Ylvisaker. On linear estimation for regression problems on time series // Ann. Math. Stat. 33, Ю77-1084 (1962).

6. M.F. Driscoll. The reproducing kernel Hilbert space structure of the sample paths of a Gaussian process // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb. 26, 309-316 (1973).

7. B.B. Напалков, B.B. Напалков (мл.). Об изоморфизме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, ¡I Докл. Акад. наук, Росс. акад. наук. 474:6, 665-667 (2017).

8. Т.П. Лукашенко. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Изв. Росс, акад. наук, сер. мат. 62:5, 187-206 (1998).

9. В.В. Напалков (мл.). Об ортоподобных системах разложения в пространстве аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства // Уфим. мат. ж. 3:1, 31-42 (2011).

10. Л.В. Канторович, РП. Акилов. Функциональный анализ. М.: Наука (1984).

11. В.В. Напалков (мл.), Р.С. Юлмухаметов. Весовые преобразования Фурье-Лапласа аналитических функционалов в круге // Мат. сб. 183:11, 139-144 (1992).

Валерий Валентинович Напалков, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: vnap@mail. ru

Андрей Александрович Нуятов, НГТУ им. Р.Е. Алексеева, ул. Минина, 24,

603950, г. Нижний Новгород, Россия E-mail: [email protected]