CC BY
55
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 91-104.
УДК 517.5
ОРТОПОДОБНЫЕ СИСТЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ С ВОСПРОИЗВОДЯЩИМ ЯДРОМ
В.В. НАПАЛКОВ (МЛ.)
Аннотация. В работе изучаются системы разложения, подобные ортогональным (ор-топодобные системы), в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром. Установлена эквивалентность двух определений ортоподобной системы. Указана связь ор-топодобных систем с задачей об описании сопряженного пространства к некоторому гильбертову пространству в терминах специальной системы функций.
Ключевые слова: пространство Бергмана, гильбертовы пространства, воспроизводящее ядро, гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, теорема Пэли-Винера.
Mathematics Subject Classification: 30H20, 30E10, 30E20, 32A26, 46E22, 47B32
Системы разложения, подобные ортогональным (ортоподобные системы разложения) в гильбертовом пространстве, были введены Т.П. Лукашенко в работе [1] и находят применение, например, в вейвлет-анализе. В этой работе мы изучаем ортоподобные системы разложения в пространствах с воспроизводящим ядром. Необходимость исследования случая пространств с воспроизводящим ядром мотивирована задачами комплексного анализа.
Определение 1 (см., например, [3]). Пусть H гильбертово пространство над полем C, состоящее из функций, заданных на некотором множестве точек M. H называется гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром, если для любой точки z0 £ M функционал
£zo : H C; 4о f f (zo), f £ H
является линейным и непрерывным функционалом над H.
По теореме Рисса-Фишера линейный и непрерывный функционал над гильбертовым пространством H порождается некоторым элементом из H. Равенство
f(£) = Sef =(f (z),Kh(z,0)n, £ £ M (1)
определяет воспроизводящее ядро пространства H, как функцию Кн(z,£) от двух переменных z, £ £ M. Основные свойства гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром изложены, например, в [3]. Наиболее важным фактом теории пространств с воспроизводящим ядром является следующая теорема Мура-Ароншайна (см., например, [5]).
Замечание Мы предполагаем для определенности, что H - гильбертово пространство над полем комплексных чисел. Для гильбертовых пространств над полем вещественных чисел все сказанное ниже также верно с соответствующими изменениями.
Теорема A. Пусть M - произвольное множество точек, и К(z,£) : M х M ^ C комплекснозначная функция. Для того чтобы эта функция была воспроизводящим ядром некоторого гильбертова пространства H, состоящего из комплекснозначных функций,
V.V. Napalkoy(Jr.), Orthosimilar expansion systems in space with reproducing kernel. © Напалков В.В. (мл.) 2013.
Поступила 19 июня 2013г.
заданных на множестве М, необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного набора точек г1, г2,... , гп € М и для любого конечного набора комплексных чисел с1,с2,... ,сп выполнялось условие:
п
У с • ст • к(гг,гт) > 0.
1,Ш=1
При этом Н - это единственное пространство с воспроизводящим ядром, имеющее в качестве ядра функцию К(г,£).
В работах Т.П. Лукашенко [1], [2] приводится следующее определение ортоподобной системы разложения.
Замечание. В определении ортоподобной системы разложения используется понятие интеграла Лебега со значениями в гильбертовом пространстве. Теория таких интегралов изложена в [4]. Чтобы различать случай, когда интеграл понимается как обычный
интеграл Лебега, мы вводим следующее обозначение: знак ^) означает интеграл от функции со значениями в гильбертовом пространстве Н (см. ниже).
Определение 2. (см. [1]) Пусть Н - гильбертово пространство над полем М или С, а П - пространство со счетно-аддитивной мерой ^. Система элементов [вш называется ортоподобной (подобной ортогональной) системой разложения в Н с мерой ^, если любой элемент у € Н представляется в виде:
г (Н)
У = (у,еш)неш (1р(и),
,/п
где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Н, причем в последнем случае есть такое исчерпание {Пк}£=1 пространства П (все Пк измеримы по мере ^, Пк С Пк+1 для к € N и у^=1 ПК = П, быть может, зависящее от у и называемое подходящим для у, что функция (у, вш)Н • вш интегрируема по Лебегу на Пк и
г(Н) г(Н)
У = / (у,еш)неш в,^(ш) = Иш(Ь) (у,вш)неш й^(и).
,/п к
В этой работе мы рассматриваем счетно-конечное пространство П с некоторой счетноаддитивной мерой ^. Если мера ^ неотрицательна, то ортоподобная система {вш}^еп называется неотрицательной.
Определение 3. Пространство П с мерой ^ называется счетно-конечным, если П представляется в виде счетного объединения подмножеств Пк С П: Ук> 1 Пк = П, к = 1, 2,..., при этом ^(Пк) < то для любого к.
В этой работе мы используем теорему, доказанную Т.П. Лукашенко в работе [1].
Теорема Б. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство над полем М или С, пространство П со счетно-аддитивной мерой ^ счетно-конечно, {вш }ш^п - система элементов из Н, и для каждого элемента у € Н выполняется равенство Парсеваля
\\у\\Н = I \(у,вш)н|2ФМ.
п
Тогда {вш}ш^п - ортоподобная система разложения в Н (в смысле определения 2).
Мы докажем, что если Н сепарабельное гильбертово пространство с воспроизводящим ядром над полем С, состоящее из функций f (г), г € М, где М некоторое множество, то можно дать следующее эквивалентное исходному определение ортоподобной системы разложения:
Определение 4. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство с воспроизводящим ядром над полем С, а П - пространство со счетно-аддитивной мерой ^ (см. [4], с.109-116). Система элементов {вш(г),г € М}ш^п называется ортоподобной
(подобной ортогональной) системой разложения в Н с мерой ц, если любая функция І Є Н представляется в виде:
I(*) = [ (І(т),еш(т))неш(г) (1ц(ш), г Є М.
,/п
Последнее равенство понимается "поточечно"при любом г Є М, а интеграл понимается как обычный интеграл Лебега.
Как отмечено в работе [2], функция = (I(т), еш (г))н от переменной ш Є П не обязана быть ц-измеримой. В связи с этим в работе [2] введено понятие измеримой ортоподобной системы разложения.
Определение 5. Пусть в гильбертовом пространстве Н имеется ортоподобная (в смысле определения 2) система разложения {еш (г)}шеп с мерой ц. Эта система называется измеримой, если для любого І Є Н функция /є(ш) Л== (I(г),еш(г))н ц-измерима на П.
Как доказывается в работе [2], для любой рассматриваемой нами ортоподобной системы разложения {еш(г)}шЄп существует функция в(ш), |^(ш)| = 1 такая, что система {в(ш) ■ еш(г)} шЄп является измеримой.
Теорема С ([2]). Если {еш} С Н неотрицательная ортоподобная система разложения в Н, а пространство с мерой П счетно-конечно, то существует такая функция в(ш) со значениями в М или С в зависимости от того, над каким полем рассматривается Н, |^(ш) | = 1 на П, что {0(ш) ■ еш} - измеримая ортоподобная система разложения в Н.
Пусть П -счетно-конечное пространство с неотрицательной счетно-аддитивной мерой ц. Рассмотрим систему функций {еш(г)}х^м от переменной ш Є П. Без ограничения общности будем считать, что эта система обладает свойством: для любого г Є М функция еш (г), ш Є П ^-измерима на П. Если это не так, то существует комплекснозначная функция в(ш), |^(ш)| = 1 такая, что все функции системы {в(ш) ■ еш(г)}х^м ^-измеримы (см. [2], стр. 60). Предположим также, что для любого г Є М
/ |бш(г)|2 йц(ш) < то.
Jп
В силу неравенства Коши-Буняковского - Шварца любая конечная линейная комбинация элементов системы {еш(г)}х^м суммируема с квадратом модуля на П по мере ц. Через Е(П, ц) обозначим пополнение относительно нормы
я Л== у ФМ
линейной оболочки системы функций {вш(г)}гем• Я(^,ц) является гильбертовым пространством со скалярным произведением:
(Н,9)я = Чш) ■ 0.(ш) Лц(ш).
Jп
По теореме Рисса-Фишера, любой линейный непрерывный функционал Б над Я(П,ц) порождается некоторым элементом Н по правилу:
Б (І ) = (І,Н)ц, І Є Е(П,ц).
Каждому линейному непрерывному функционалу, порожденному функцией Н Є Я(П,ц), поставим в соответствие функцию
Н(г) ^= (вш(г),Н(ш))и = [ Н(ш) ■ вш(г) <1ц(ш), г Є М.
п
Будем называть эту функцию преобразованием функционала, порожденного функцией Н Е Я(О,ц). Совокупность таких функций, образует гильбертово пространство
П(О,^) = {Н : Н Е П(О,^)}
со скалярным произведением
(Н,о)к а= (Я,Н)я> \\Н\\к = = \\Н\\к, М Е ЩП,р).
Заметим, что пространство Я(О,ц) является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром. Действительно, любой элемент Н Е К(О,^) представляется в виде:
Н(г) = (еш(г), Н(и))я, г Е М.
Для произвольного г0 Е М справедлива оценка
\Н(го)1 = \(еш (го),Н(и))я1 <
< \\еш(го)\\к\\Н\\к = \\еш(го)\\к\\Н\\..
Значит, для любого г0 Е М функционал Н ^ Н(г0) является линейным непрерывным функционалом над пространством К(О,^), поэтому пространство К(О,^) является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром.
1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Теорема 1. Пусть в сепарабельном гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром Н над полем С имеется система функций [еш (г)}^еп С Н, пространство О со счетно-аддитивной мерой ^ счетно-конечно. Пусть при любом г Е М функция еш (г) измерима по переменной и Е О. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Система [еш (г)}^еп С Н — ортоподобная система разложения с мерой ^ в пространстве Н в смысле определения 2, т.е любая функция и из Н представляется в виде:
г (Н)
и (г)= и(т),еш(т))Неш(г) д,^(и). (2)
ип
Здесь интеграл понимается, как интеграл от функции со значениями в гильбертовом пространстве ([4], глава III). Равенство понимается как равенство двух элементов гильбертова пространства.
2. Система [еш(г)}^еп С Н ортоподобная система разложения с мерой ^ в пространстве Н в смысле определения 4, т.е. любая функция и из пространства Н представляется в виде:
и (г) = [ (и (т ),еш (т ))н еш (г) д,^(и), г Е М. (3)
п
Равенство (3) понимается "поточечно"при любом фиксированном г Е М, интеграл понимается как обычный интеграл Лебега.
3. Система функций [еш(г)}^еп принадлежит пространству Н. Воспроизводящее ядро пространства Н имеет вид:
Кн(г,£) = [ еш(г) ■ еш(£) й^(ш), г,£ Е М. (4)
п
Интеграл здесь понимается как обычный интеграл Лебега. Равенство понимается "поточечно". ^ ^
4. Пространство Н совпадает с пространством Я(О,у). Пространства Н и Я(О,у) состоят из одних и тех же элементов, и для любых функций Н,г Е Н выполнено равенство
(н,г)н = (Н,г)к.
Доказательство. Докажем, что из условия 1 вытекает условие 2.
Пусть система {еш (г)}шеп С Н — ортоподобная система разложения с мерой ^ в пространстве Н в смысле определения 2. Воспользуемся следующей теоремой, являющейся частным случаем доказанной в книге [4], стр. 128 теоремы:
Теорема Ю. Пусть Н - гильбертово пространство и О - пространство с мерой ^. Пусть Б - линейный непрерывный оператор, отображающий Н в другое гильбертово пространство У. Если функция и : О ^ Н со значениями в гильбертовом пространстве ^ -интегрируема в смысле ([4], глава III), то функция Б и : О ^ У также ^ -интегрируема и
Пусть г0 произвольная фиксированная точка, принадлежащая множеству М. Применим эту теорему. В качестве оператора Б возьмем дельта-функционал, действующий из пространства Н в пространство комплексных чисел С.
Левая и правая части этого равенства суть комплексные числа. Интеграл понимается как обычный интеграл Лебега со значениями в С. Поскольку точка го Е М произвольная, то система {еш (г)}шеп С Н — ортоподобная система разложения в смысле определения 4. Таким образом доказано, что из условия 1 вытекает условие 2.
Покажем, что из условия 2 вытекает условие 3.
Очевидно, что система функций {еш(г)}шеп С Н принадлежит пространству Н. Поскольку при фиксированном параметре £ Е М функция Кн(г, С), г Е М принадлежит пространству Н, то мы можем подставить эту функцию в равенство (3), и получить
Равенство в (5) понимается "поточечно". Интеграл понимается как обычный интеграл Лебега. Таким образом, из условия 2 следует условие 3.
Покажем, что из условия 3 теоремы 1 следует условие 4. Сначала докажем, что если выполняется условие 3, то пространство Я(О,^) (определение см. выше) является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром. В равенстве (4) положим £ = г. Получим
Таким образом, все функции из системы {вш(г)}гем ^-измеримы и интегрируемы с квадратом модуля по мере ^ на П. В силу известного неравенства Коши-Буняковского-Шварца любая конечная линейная комбинация функций системы {вш(г)}х^м также является измеримой, интегрируемой с квадратом модуля по мере ^ на П функцией. Как описано выше, пространство К(П,^) является пополнением по норме
Получим равенство
(Н)
/ (г0) = $го / (г) = 4о (/(т ),еш (т ))Н еш (г) д,^(и) =
(/(т),вш(т))н4о(г) сі^(и) = (/(т),вш(т))нвш(го) йр(и)).
^п ^п
линейной оболочки системы функций {вш(г)}х<гм.
По условию 3 система функций {еш (г)}шеп принадлежит пространству Н. Обозначим через Q пополнение по норме пространства Н линейной оболочки системы функций {еш(^)}^еп. Таким образом, Q замкнутое подпространство пространства Н. Если д Е Q, то 1Ы1ф = \\д\\н. Поскольку Н гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, то и Q гильбертово пространство с воспроизводящим ядром. Действительно, если д Е Q, г Е М, то д Е Н
\д(г)\ = \(д(т),Кн(т,г))п\ < \\Кн(т,г)\\п ■ \\д\\н =
= \\Кн(т,г)||н -\\д\\д, г Е М. (6)
Поэтому пространство Q есть гильбертово пространство с воспроизводящим ядром.
В пространстве Q очевидно полна система функций {еш (г)}шеп. Каждому линейному непрерывному функционалу над Q, порождаемому функцией д Е Q, поставим в соответствие функцию
д(и) = (еш (г),д(г))д.
Совокупность таких функций образует гильбертово пространство
Сд = {д : д Е Q}
со скалярным произведением
(д,11)д л= (и,д)д, \\gWQ = (д,'д)^ = \\д\\2д, д,и Е <^. (7)
Покажем, что Q является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром. Действительно, возьмем произвольную точку ш0 Е П. Справедлива оценка
\дМ\ = \(еШ0(г),д(г))д\ < \\еШо(г)\\д ■ \\д\\д = \\еШо(г)\\д ■ \\gWQ.
Поэтому Q является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром. Поскольку для любого Е М
еш (го) = (еш (г),Кд(г,го))д, (8)
то функция еш(г0), ш Е П, а также любая конечная линейная комбинация элементов си-
стемы функций {еш(г)}х^м от переменной ш Е П принадлежат пространству Q.
Лемма 1. Пространство К(П,^) совпадает с пространством <5 и представляет собой гильбертово пространство с воспроизводящим ядром.
Доказательство. Система функций {еш(г)}х^м принадлежит пространству Q и полна в нем. Эта же система функций {еш(г)}х^м принадлежит пространству Я(П,ц) и полна в нем. Поэтому достаточно доказать, что в пространстве Сд норма имеет интегральный вид:
II/11$ = ^^ \/(ш)\2л^(ш), / е сд.
В наших обозначениях
КЯ(-,г)(ш) = (еш(П),К(П,г))Я = еш(г), г Е М.
Заметим, что для любой д Е Q
д(г) = (д(л),Кя(л,г))я = (Кя (,г)(ш),д(ш))д =
= (еш(г),д(ш))о,, г Е М. (9)
Система воспроизводящих ядер {Кд(г, /ш)}ш^м полна в пространстве Q (см. [3]). Любой элемент / Е Q можно приблизить по норме пространства Q конечными линейными комбинациями элементов системы {Кд(г,т)}ш£м: существует последовательность функций
кп
Рп(г) = ^2 а^,пКд(г,т^,п),и = 1, 2,..., (10)
3 = 1
где {аз,п}з,пеп - последовательность комплексных чисел, а {шз,п}з,пе^ - последовательность точек из М, обладающая свойством:
\\/(г) - Рп(г)\\д ^ 0,п ^ ж. (11)
Заметим, что в силу равенства (8), выполнено
Рп(ш) = (еш (г),Рп(г))д =
кп \ кп
= | еш (г ),^2аз,пК<з(г,'Шзп)\ = ^ а3п(еш (г), Кд(г,'ш^,п))д =
3 = 1 ' д 3 = 1
кп
^ ^ а3,пеш (^з;п). (12)
3=1
Таким образом, функция рп(ш), п = 1, 2,... представляет собой конечную линейную комбинацию элементов системы {еш(г)}х^м. Очевидное равенство
\\д(ш) - Рп(ш)\\д = \\/(г) - Рп(г)\\д
показывает, что система {еш(г)}х^м полна в пространстве Q. Заметим, что из равенства (4) вытекает
К<э(г,£о)= еш(Со)еш(г) =
./п
= I (КЯ(т,Ь ),еш (Т ))дЄш (г) в,^(ш). (13)
п
Докажем по индукции, что для любой функции вида
П
гп(г) == ^оК(і(г,Із), г є м (Сі}"=1 є м
3 = 1
справедливо равенство
Гп(г)= (гп(т),еш(т))оеш(г) й^(ш). (14)
п
Для п = 1 это вытекает из (13) и линейности по первому аргументу скалярного произведения. Пусть равенство (14) справедливо для п = п0. Покажем, что равенство (14) справедливо для п = п0 + 1. Легко видеть, что
гпо+1(г) гпо (г) + 0по+1 К<^(г, Спо+1).
Тогда справедливо равенство
гпо+1(г) гпо (г) + 0по+1КЯ(г, Спо+1)
= (г по (т ),е^ (т ))деш (г) І^(ш)+ 0по+1 (Кд(т,Спо+1),еш (т ))деш (г ) І^(ш) =
о П о П
= (гпо(т),еш(т))деш(г) й^(ш) + (0по+1Кд(т,Спо+1),еш(т))неш(г) й^(ш) =
ип ип
= (гпо (т)+ 0по+1КЯ(т,Спо+1),еШ (т))яе^ (г) ФМ =
лп
= (гпо+1(т ),еШ (т ))яеШ (г ) А,^(и). (15)
п
Таким образом, мы доказали, что равенство (14) справедливо, следовательно для любой функции рп(г) (см. (10)) справедливо представление:
Рп(г)= (Рп(т),еш(т))деш(г) д,^(и). (16)
п
Из равенства (15) следует, что для любого £0 € М справедливо равенство
(Рп(Л),КЯ(Л,^о))д = (Рп(т),еш(т))д(еш(Л),КЯ(Л,^о))д А,^(и). (17)
п
!п
Так как функция рп(г) является конечной линейной комбинацией элементов системы {Кд(г,^)}^м, то из (17), используя линейность интеграла и скалярного произведения, нетрудно показать, что
\\Рп\\% = (Рп(г),Рп(г))д = (Рп(г),еш(г))д(еш(г),Рп(г))д л,^(ш). (18)
Jп
Как было отмечено выше (см. (12)),
Рп(ш) = (еш (г),Рп(г))д.
При этом ||.рп.\= ||рп||д. Поэтому из (18) вытекает, что
^п^д = \\Рп\\% = J (Рп(г),еш(г))д(еш(г),Рп(г))д <1р(и) =
= Рп(и) ■ Рп(и) д,р(и) = \рп(ш)\2 д,^(и). (19)
ип ип
Воспользуемся теоремой Фату (см., например, [6], стр. 305).
Теорема Е. Если последовательность измеримых неотрицательных функций {уп} сходится почти всюду на О к функции у и
/ уп(ш) йр(и) < К,
п
где К — некоторая постоянная, то у интегрируема на О и
I уМ ФМ < К.
п
Применим эту теорему. Положим уп(щ) = \рп(ш)\2. Последовательность функций
{\рп(щ)\2}п>0 сходится поточечно всюду на О к функции у(ш) = \/(ш)\2. Действительно, последовательность функций {рп}п>0 сходится по норме пространства Q к функции / (см. (11)), поэтому для любого ш0 € О
\\Рп М\ - \7(^0 )\\ < \^п(^0) - 7Ы\ = \ (ешо (г ),Рп(г) - / (г))д\ <
< 11ешо (г)\\д ■ \\Рп(г) - / (г)\\д -> 0, п ^ ТО. (20)
Функция и = х2, х > 0 непрерывна, поэтому из (20) вытекает, что
\\РпЫ\2 -\!(Ш0)\2\ —► 0, п ^ то.
Так как
\\Рп\\1 ^ Щ,п , (21)
то существует число £ > 0 такое, что
[ \Рп(^)\2 = \\рп\\1 < \\Щ + £, п =1, 2,....
п
По теореме Фату функция \/(и)\2 интегрируема на О по мере ^ и справедливо неравенство
[ \7(и)\2 фМ <\Щ + £. (22)
Рассмотрим последовательность {'Рп}п=м, где N — некоторое натуральное число. В силу (21), за счет увеличения N, число £ > 0 можно сделать сколь угодно малым. В неравенстве (22) левая часть не зависит от £. Поэтому
[ \7(и)\2 й^(ш) <\Щ, I€ (. (23)
п
Докажем, что
[ \Пи)\2 ф(*) = Щ, 1 € (. (24)
п
Рассмотрим две функции
и : ( К, и(/) = /Ц.5, (25)
/ \/И12 ФМ- (26)
п
В силу неравенства треугольника выполняется неравенство
и(7) < и(7- д) + u(g), 7,9 € ^
откуда следует, что
\и(/) - и(7)\< и(7- 7), 7,7 € Q.
Поэтому функция и : (7 —> К непрерывна. В силу неравенства (23) функция V определена на <5. В силу неравенства Коши-Буняковского-Шварца
V/) < V/ - 7) + v(7), 7д € (,
поэтому, используя (23), получаем
н7) - v(7)\ < V/ - 7 < и(7- 7), 7,д € (.
Таким образом, функция V : (7 —> К непрерывна. Равенство (19) означает, что на всюду плотном подмножестве Q (линейной оболочке системы {еш(г)}х^м) непрерывные функции и и V совпадают. Если последовательность {7п}п>0 конечных линейных комбинаций элементов системы {еш^)}г£м приближает некоторый элемент / € (7, то
и(7п) = v(7n), п =1, 2,..., и, пользуясь непрерывностью функций и и V, мы получаем
и(7) =v(7), 7€ (.
Таким образом, для любой / € (7 выполнено равенство (24).
Как отмечалось выше, функции Рп(ш), п = 1, 2,... представляют собой конечные линейные комбинации элементов системы {еш(г)}х^м. Теперь заметим, что пространство (7 можно рассматривать как пополнение линейной оболочки системы {еш(г)}х^м относительно нормы || ■ \\д. Как указано выше, пространство Я(О,ц) есть пополнение линейной оболочки системы {еш^)}г£м относительно нормы
\\Ця(п^) = ^^\т\2 л^(и).
Поэтому пространства (7 и Я(О,ц) совпадают. Следовательно, пространство Я(О,ц) есть пространство с воспроизводящим ядром. Лемма 1 доказана.
V : (7 К, V(/)
Справедлива теорема
Теорема 2. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, состоящее из функций, заданных на счетно-конечном пространстве О с счетноаддитивной мерой ц. Норма в пространстве Н имеет интегральный вид:
II/11н =^11п\ / К) | 2 ) (27)
тогда и только тогда, когда система функций {КН(£,1)}геп является ортоподобной си-
стемой разложения с мерой ц в пространстве Н в смысле определения 2.
Доказательство. Необходимость. Пусть система функций {КН(£^)}^О является ортоподобной системой разложения с мерой ц в пространстве Н в смысле определения 2. Это означает, что любая функция / Е Н представляется в виде:
г (Н)
1 (г) = (/(т),кн(т,С))нКН(г,0 ^(£).
,/п
Тогда справедлив аналог равенства Парсеваля для ортоподобных систем разложения (теорема 1 работы [1]), т.е. для любой / Е Н выполнено равенство:
II/\\Н = [ I (/(т),Кн(г,0)н|2 dц(0 = [ | /(О |2 dц(^).
о О о О
Значит выполнено равенство (27). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть норма в пространстве Н имеет вид (27). Это значит, что
II/\\Н = [ /(£)|2 dц(0 = [ К/(т),Кн(г,0)н^ dц(£).
О О V О
Таким образом, для системы функций {Кн(£, ^}1ео выполнен аналог равенства Парсеваля ( [1]). По теореме В (см. выше) система функций {Кн(£,^)}гео является ортоподобной системой разложения в смысле определения 2. Теорема 2 доказана.
Норма в пространстве Я(О, ц) имеет интегральный вид; поскольку Я(О, ц) есть гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, то в силу теоремы 2, система воспроизводящих ядер {Кд(и), 1)}гео пространства Я(О, ц) является ортоподобной системой разложения в пространстве Я(О, ц) в смысле определения 2. Как мы уже доказали, отсюда следует, что система {Кд(и),1)}1£О является ортоподобной системой разложения в смысле определения
4.
Лемма 2. Предположим, что имеется пространство О с некоторой счетно-конечной мерой ц. Пусть в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, состоящем из функций, определенных на пространстве О, система воспроизводящих ядер {КН(г,£)}^О является ортоподобной системой разложения в смысле определения 4, т.е. любой элемент / из пространства Н может быть представлен в виде:
/(г) = [(/(т),кн(т,^))нкн(г,0 ^(£), г Е О.
О
Тогда система {КН(г,£)}^еО является ортоподобной системой разложения в смысле определения 2, т.е любой элемент / из пространства Н представляется в виде:
Г (Н)
/(г)= (/(т),кн(т,С))нКН(г,0 ^(£).
О
Доказательство. Система воспроизводящих ядер {Кн(%,£)}?ео полна в пространстве Н(см. [3]). Как это было сделано при доказательстве леммы 1, можно показать, что если {рп(г)}п>о - последовательность конечных линейных комбинаций элементов системы
{Кн(%,£)}?ео, приближающая некоторый элемент / Е Н, то
\\Рп\\Н = [ (Рп(т),КН (т,С))Н (КН (т,0,Рп(т))Н ^(0
п
О
= dц(£), п = 1,2,... (28)
О
Воспользуемся теоремой Фату (см. выше).
Положим уп(£) = ^'п.^)^. Последовательность функций {|рп(£)|2}п>0 сходится поточечно всюду на О к функции у(^) = /(£)|2, причем
I )|2 dц(0 = \\РпГн <11/\\Н + е,п =1, 2,...,
О
где е — некоторое положительное число, не зависящее от п. По теореме Фату, функция / (£) интегрируема на О по мере ц, и справедливо неравенство
/ /(£)|2 dц(^) <\\/\\Н + е. (29)
О
Рассматривая последовательность {рп}п>м при N достаточно большом, число е можно сделать сколь угодно малым. В неравенстве (29) левая часть не зависит от е. Поэтому
[и (£ )|2 dц(0 <\\/\\Н, / Е Н. (30)
О
Докажем, что Рассмотрим две функции
/(£)|2dц(0 = \\/\\Н, / Е Н. (31)
О
и : Н К, и(/)= ||/\\н, (32)
V : Н -^ К, у(/) = ^1^/(£)|2 dц(^). (33)
В силу неравенства треугольника выполняется неравенство
и(/) < и(/ - д) + u(g), /,д Е H,
откуда следует, что
Ш) - и(/ - g), /,д Е Н.
Поэтому функция и : Н —> К непрерывна. В силу неравенства (30) функция V определена на Н. В силу неравенства Коши- Буняковского-Шварца
■у(/) < ^ - д) + v(g), /,д Е H,
поэтому, используя (30),
Ш) - v(g)| < ^ - д) < и(/ - g), /,д Е Н.
Таким образом, функция V : Н —> К непрерывна. Равенство (28) означает, что на всюду плотном подмножестве Н (линейной оболочке системы {Кн (г,£)}^ео) непрерывные функции и и V совпадают. Если последовательность рп конечных линейных комбинаций системы {Кн(г,£)}^ео приближает некоторый элемент / Е Н, то
и(рп) = v(pn), п = 1, 2,...,
и, пользуясь непрерывностью функций и и V, мы получаем
и(/) = V(/), / Е Н.
Таким образом, для любой и Є Н выполнено равенство (31). Равенство (31) означает, что выполнен аналог равенства Парсеваля для системы {Кн(г,£)}^еп:
иІІН = [ \и(С)!2<1^0= /\(и(т),Кн(г,0)н\21^(0, и Є н.
о О о О
Так как мера ^ счетно-конечна, то из последнего равенства по теореме В следует, что система воспроизводящих ядер ортоподобна в смысле определения 2, т.е. любой элемент представляется в виде:
г (н)
и(г) = (и(т),Кн(т,С))нКн(г,0 й^(С).
,/п
Лемма 2 доказана.
Рассмотрим пространство
Я(П,^) А= [К : К Є Я(П,р), (К,т)Я = (г,К)я}.
Любая функция К Є Я(&,^) может быть представлена в виде:
г (Я)
К(и) = (к(г),кя(г,г))н Кк(ш,г) 1^(г). (34)
Jп
Отсюда вытекает, что
К(и) = (К(т),КЯ(т,г))нКЯ(и,г) 1^(г), и Є ІЇ. (35)
ип
Применим к обеим частям последнего равенства оператор комплексного сопряжения. Получим
h(u)= (Ц(т), Kr(т, t')')R-Kr(и, t d^(t) =
Jn
В силу леммы 2
= (Цт),KR(т,t))RKR(и,t) d^(t), и Є П. (36)
n
____ r (R)_________________________
h(u) = (Ц(т), Kr^, t))RKr(u, t) d^(t). (37)
Равенство (37) означает, что в пространстве R(Q,^) система функций {KR(u,t)}ten является ортоподобной системой разложения в смысле определения 2.
Оператор T, действующий из пространства R(Q,^) в пространство R(Q,^), по правилу
def
Т : К —> К(г) = К(и) ■ вш(г) 1^(и), г Є М
ип
является линейным и непрерывным оператором (см. выше определение пространства Я(&,^)). К обеим частям равенства (37) применим оператор Т и воспользуемся теоремой
С. Получим
_ г (Я)_________________________
К(г) = Т (К(т),Кя(т, 1))тКц(и, г) 1^(г) =
,/п
г (Я)____________________________
= / (к(т),Кя (т,г))дТ Кя (и,г) 1^(г) =
,/п
Г (Я)__________________
= (К(т ),Кя(т,г))яКя(г,г) 1^(г) =
п
С (Я)_____________
= (К(т),Кя(т,г))я ■ Єі(г) 1^(г). (38)
п
n
В последнем равенстве мы воспользовались тем фактом, что
Кя(г,і)
/
п
КЯ(и, і) ■ вш(г) 1^(и) = ві(г), г Є М.
Заметим, что, как отмечалось выше (см. определение пространства Я(П,^))
(К(т ),КЯ (т,і))я = (К(т ),КЯ (т,і))Я = = (КЯ (т,і),К(т ))Я = (К(г),Єі(г))я.
(39)
Подставив соотношение (39) в равенство (38), получим
г (Я) ^
К(г) = (К(г),вь(г))я ■ Єь(г) 1р(і).
і
п
(40)
Последнее означает, что в пространстве К(О,ц) система функций {вш(г)}^ео является ор-топодобной системой разложения в смысле определения 2. Как отмечалось выше (см. определение пространства К(О,ц)), пространство К(О,ц) является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром.
Вычислим воспроизводящее ядро пространства К(О,ц).
Для этого в равенство (40) в качестве к подставим элемент Кд(г, £) при фиксированном
£ Е М. Отсюда, нетрудно показать, что воспроизводящее ядро пространства Я(О, ц) имеет вид:
Отсюда, по теореме Мура-Ароншайна, пространство Н совпадает с пространством К(О, ц), т.е. эти пространства состоят из одних и тех же элементов, и выполняется равенство
Таким образом, из условия 3 вытекает условие 4 теоремы 1.
Пусть выполнено условие 4 теоремы 1, т.е. пространство Н совпадает с пространством Я,(П,^). По построению в пространстве Я(П,^) система {вш(г)}^еп — ортоподобная система разложения в смысле определения 2. Это означает, что в пространстве Н система {еш(г)}шеп является ортоподобной системой разложения в смысле определения 2, т.е. выполняется условие 1. Теорема 1 доказана.
2. Примеры
2.1. Весовое преобразование Гильберта в пространстве Бергмана. Пусть С — односвязная жорданова область в С. В качестве системы {вш (г)}шеп возьмем систему функций {}^ес определенных на множестве М = С\С. Здесь в качестве П берется область С; в области С имеется счетно конечная мера ^. Мера ^ выбрана так, что пространство
состоящее из функций аналитических в области О, суммируемых с квадратом модуля по мере ц, является сепарабельным гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром,
Но, с другой стороны, справедливо равенство (4):
(и,д)н = (и,д)я, и,д Є Н.
В2(Сф) = {и Є Н(С) : ЦІІІ2 = [ и(г)|21^(г) < ж},
За
в котором система функций {}^g полна. Пространство B2(G,i) определяется как совокупность функций
f(z) = (^,f(0)в,лс,Ф f е В2(СФ).
со скалярным произведением
{f,9)B2(G,ri == (9,f)B2(g,^) , 9,f е B2(G,I)-
При этих условиях справедлива теорема 1.
В качестве пространства R(Q,i) здесь выступает пространство B2(G,i). В качестве пространства R(Q,i) берется пространство В2(G,i). Ортоподобная система {}?eG и задача об описании сопряженного пространства к пространству B2(G,ц) рассмотрены в работе [7].
2.2. Весовое преобразование Фурье — Лапласа в пространстве Бергмана. Пространством П здесь служит выпуклая область в комплексной плоскости G с некоторой мерой |, удовлетворяющей условиям теоремы 1. В качестве системы {еш(z)}^en возьмем систему функций {e^z}^eG, M = C. В качестве пространства R(Q, ц) выступает пространство B2(G, |). В роли пространства К(П,ц) выступает пространство B2(G,ц), которое состоит из функций
f(z) = (eH, f К))B2 = f Ж) • ez< di4S), z е C, f е B2(G,M).
G
При этом
(Mb2 - (h,f)B2, h,f е B2(G,i).
Тогда справедлива теорема 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Известия РАН, сер.матем. Т. 62, № 5. 1998. С. 187-206.
2. Лукашенко Т.П. О коэффициентах систем разложения, подобных ортогональным // Матем. сб. T. 188, № 12. 1997. С. 57-72.
3. N. Aronszajn, Theory of reproducing kernels // Transactions of the AMS V. 68. № 3. P. 337-404.
4. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ. 1962. 896 с.
5. H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu Theory of Bergman spaces. Springer-Verlag. New York. Inc. 2000. 289 p.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 543 с.
7. Напалков B.B. (мл.) Об ортоподобных системах разложения в пространствe аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства // Уфимский математический журнал. Т. 3, № 1. 2011. С.31-42.
Валерий Валентинович Напалков,
Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,
450008, г. Уфа, Россия E-mail: vnap@mail. ru
