Об ортоподобных системах разложения в пространстве аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 31-42.

УДК 517.5

ОБ ОРТОПОДОБНЫХ СИСТЕМАХ РАЗЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЗАДАЧЕ ОПИСАНИЯ СОПРЯЖЕННОГО ПРОСТРАНСТВА

В.В. НАПАЛКОВ (МЛ.)

Аннотация. В гильбертовых пространствах аналитических функций мы изучаем ортоподобные системы разложения. Доказано, что система воспроизводящих ядер {Кн (£,t)}teG является ортоподобной системой разложения с мерой у в гильбертовом пространстве аналитических функций Н тогда и только тогда, когда пространство Н есть пространство Б2(С,ц). В работе рассмотрена задача об описании сопряженного пространства к гильбертову пространству аналитических функций Б2(С,ц) в терминах преобразования Гильберта. Доказано, что эта задача сводится к вопросу существования в пространстве Б2(С,ц) специальной ортоподобной системы разложения. Также доказано, что пространство Б2(С, у) - это единственное пространство с воспроизводящим ядром, состоящее из функций, заданных в области С\С, в котором система {(х-(,)2 }£eG есть ортоподобная система разложения с мерой у.

Ключевые слова: пространство Бергмана, гильбертовы пространства, воспроизводящее ядро, ортоподобные системы разложения, преобразование Гильберта.

1. Введение

Пусть О — односвязная область в С и ^ — неотрицательная борелевская мера на О. Через В2(О,^) обозначим пространство голоморфных в О функций, для которых

II/ 1И2(ЗД = / I/(?)12Ф(?) < те.

За

На меру ^ наложим условие, чтобы пространство В2(О,^) было гильбертовым, то есть чтобы пространство В2(О,^) с нормой || • ||в2(а,^) было полным.

Скалярное произведение в пространстве В2 (О,^) имеет вид:

(Л#)в2&,») = /(г) ■ д(г) ^(г).

J G

Дополнительно потребуем, чтобы система функций {(з—^)2, С £ С\С) была полна в пространстве Б2(0,^).

Замечание. Мы не требуем сепарабельности пространства Б2(0,^). Подробное изложение теории несепарабельных гильбертовых пространств можно найти в [1], [2].

V.V. Napalkoy(Jr.), On orthosimilar systems in a space of analytical functions and the problem of describing the dual space.

© Напалков В.В. (мл.) 2011.

Поступила 17 января 2011 г.

ЗІ

Каждому линейному непрерывному функционалу f * на В2(0,ц), порожденному функцией f Е В2(С, ^), поставим в соответствие функцию:

def £* ( 1 А / 1 £/-,\\ I 1

/(с) =f f * ((Z—)2) = (,f (z))b2(g,m) = J f (z) • (z - )2 d^{z), С G C\G.

Определение 1. Функция f называется преобразованием Гильберта функционала, порожденного функцией f G B2(G,^).

В силу полноты системы функций {(z_1g)2, С G C\G} в пространстве B2(G,^,) отображение f * ^ f инъективно. Совокупность функций f образует пространство

{/: 7(С) = ((Z_)2 ,f (z)Ыад} 006 B2(G,^),

в котором мы рассматриваем наведенную структуру гильбертова пространства, то есть

(I',^9)b2(g^ == (g,f )b2(g,m)

и

ll/ll B2 (G,^) = llf lB2(G,M).

В этой работе мы изучаем вопрос: когда в пространстве B2(G,ц) можно ввести норму вида

|/(С)|2 dv (с ),

l€\G

где v — неотрицательная мера на C\G, эквивалентную наведенной норме ||/||_§2(gm)? Более подробно, существует ли неотрицательная борелевская мера v в C\G и постоянные A1, A2 > 0 такие, что выполняются соотношения

Ai||/|Ib2(G,,) < ll/ll < A2|/Hb2(G,m) , f G B2(G,m)?

Тем самым мы рассматриваем задачу об описании сопряженного к B2(G,ц) пространства в терминах преобразования Гильберта.

Задачи об описании сопряженного к различным пространствам аналитических функций в терминах преобразования Коши, Гильберта, Фурье-Лапласа рассматривались ранее в работах многих авторов. Мы отметим здесь лишь наиболее близкие к теме данной статьи работы [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] и др.

2. Вспомогательные сведения

Определение 2. (см. [10]) Пусть H — гильбертово пространство над полем R или C, а Q — пространство со счетно аддитивной мерой ^ (см. [15], c.109-116) Система элементов {вш}^еп называется ортоподобной (подобной ортогональной) системой разложения в H с мерой ^, если любой элемент у G H представляется в виде:

У = (у,еш)неш d^(u),

JQ

где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в H, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {Пк}£=1 пространства Q (все Qk измеримы по мере ^, Qk С Пк+1 для k G N и (J^=1 QK = ^, быть может, зависящее от у и называемое подходящим для у, что функция (у,вш)н • вш интегрируема по Лебегу на Qk и

У = (у, еш)неш d^(u) = lim(L) (у,вш)неш d^(u).

Jn Jnk

Примеры:

1. Любой ортогональный базис {е^}^=1 С Н в произвольном гильбертовом пространстве Н является ортоподобной системой разложения; любой элемент у Є Н может быть представлен в виде:

ГО

у = ^2(у,Єк )бк ■ к = 1

Здесь в качестве П можно взять множество N а в качестве меры ^ считающую меру, т.е. мера множества из N есть количество различных натуральных чисел, попавших в это множество.

2. Пусть Н гильбертово пространство, Н1 —подпространство Н, а Р —оператор ортогонального проектирования элементов из Н на Н1. Пусть {вк}£=1 С Н — ортогональный базис в Н. Тогда система элементов {Р(вк)}^=1 С Н1 будет ортоподобной системой разложения в Н1 .(см. [10], теорема 9). Заметим, что если {вк}£=1 ортогональный базис в Н, то система {Р(вк)}£=1, вообще говоря, не будет ортогональным базисом в

Н1.

3. Пусть Н = Ь2(К). Функция ф Є Ь2(К), ||ф|І£2(м) = 1. Система вейвлетов Морле

фа,ъ(х) = ~г= Ф (^^г) , а Є м\{0}, Ь Є К является ортоподобной системой разложе-

V |а|

ния в пространстве Ь2(К); любая функция и Є Ь2 (К) может быть представлена в виде:

г г вЬва

f (х)= и(т ),фа,Ъ(т ))Ь2(Ж)фа,Ъ(х) |2 ,

Jл\oJК Сф |а|

где Сф > 0 — некоторая постоянная. В качестве пространства П здесь берется множество (К\{0}) х К с мерой СЬ|0|2.(см. [11],[10]).

Разложение элементов гильбертова пространства по ортоподобным системам может быть не единственным. В то же время ортоподобные системы разложения обладают многими свойствами ортогональных систем, например, для них выполняется аналог равенства Парсеваля и имеет место экстремальное свойство коэффициентов для ортоподобных систем разложения.

Определение 3. ( [10]) Ортоподобную систему будем называть неотрицательной, если мера ^ — неотрицательная.

Нам понадобятся следующие две теоремы из работы [10] — теоремы 1 и 3.

Теорема Л. (Аналог равенства Парсеваля) Пусть {вш}^еп С Н — неотрицательная ортоподобная система разложения с мерой ^ в Н.

Тогда для любого элемента у Є Н

ІІУІІЯ = [ 1(у,в* )|2 ФМ, ип

и для любых двух элементов х,у Є Н имеем

(х,у)н = (х, вш) ■ (у,вш) й^(ш).

п

Теорема В. (Экстремальное свойство коэффициентов разложения) Пусть {вш}Ш£П — неотрицательная ортоподобная система разложения в Н, а о(и) — функция на П со значениями в К или С (в зависимости от того, над каким полем рассматривается Н) и

у = е(ш)вш й^(ш).

п

где интеграл понимается как собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Н, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {Пк}£=1

пространства О (все измеримы по мере ^С Пь+1 для к Е N и и^=1 0К = О, что функция о(и) ■ вш интегрируема по Лебегу на 0ь и

у = I е(и) ■ вш д,^(ш) = Ііш (Ь) I е(и) ■ вш в,р,(и).

Тогда

/п к^~ Jпk

НА < кМ12 dlJ,(u),

Jn

причем равенство имеет место лишь в случае, если о(и) = (у,еш)н почти всюду на О по мере ^.

В этой работе мы изучаем функциональные гильбертовы пространства, состоящие из функций в некоторой области О С С.

Определение 4. Гильбертово пространство Н, состоящее из функций f (г) : Е ^ С, заданных на некотором множестве Е, называется функциональным, если для любого г0 Е Е функционал 5Х0 : f ^ f (г0) является линейным и непрерывным функционалом над Н.

По теореме Рисса-Фишера всякий линейный непрерывный функционал над Н порождается некоторым элементом из Н. Отсюда найдется функция Кн(г,г0) Е Н такая, что выполнено равенство f (г0) = ^(г),Кн(г,г0))н .

Таким образом определяется функция Кн(%,£), г,£ Е Е, которая называется воспроизводящим ядром пространства Н(см., например, [12]). Основные свойства функциональных пространств и воспроизводящих ядер описаны в [12].

3. Основные результаты

В этой работе мы докажем утверждение:

Теорема 1. Пусть Н — функциональное гильбертово пространство функций в области О С С. Норма в пространстве Н будет иметь интегральный вид

н =\1 (012 dv(£)

тогда и только тогда, когда система функций {Кн(£,і)}гєо будет неотрицательной ортоподобной системой разложения с мерой V в пространстве Н.

Замечание. Очевидно, что если норма в пространстве Н определена как в (1), то

и,9)н = f (£) ■ д(£) ^(£).

За

Доказательство. Достаточность. Пусть система функций {Кн(£,£)}*еа — неотрицательная ортоподобная система разложения с мерой V в пространстве Н. Это означает, что любой элемент f Е Н может быть представлен в виде:

f(0= [и(т),Кн(г,г))нКн(£,г)dv(г), £ е о.

а

В силу теоремы А

ІН = IV (т),Кн (т,і))н |2 *»(і)= и (і)|2 dv (і).

и о и о

Необходимость. Пусть для любого V Є Н верно

н = IV (£ )12 dv (£).

о

Тогда

V(§ = и(і), Кн(і,С))н = V(і) ■ Кн(і,С) dv(і).

о

По свойству воспроизводящих ядер (см. [12]) Кн (і,С) = Кн (С,і), поэтому

и(С)= / и(і) ■ Кн (С,і) ^(і) =

Зо

= [ (V(т),Кн(т,і))н ■ Кн(С,і) dv(і), С Є С. (2)

о

Таким образом, система функций {Кн(С,і)}гео — неотрицательная ортоподобная система разложения в пространстве Н с мерой V.

Теорема доказана.

Следствие. Функциональное гильбертово пространство Н, состоящее из аналитических в области О функций, совпадает с пространством В2(О,у) для некоторой меры ^ тогда и только тогда, когда семейство воспроизводящих ядер {Кн(£,і)}гєо пространства Н есть неотрицательная ортоподобная система разложения в Н с мерой ^, т.е. любая функция д Є Н представляется в виде:

д(С) = [ (д(т),Кн(т,і))нКн(С,і) ^(і), С Є О о

Теорема 2. Функциональное гильбертово пространство Н, состоящее из функций от переменной С Є С\С, совпадает с пространством В2 (О,у) тогда и только тогда, когда семейство функций { }іє0 есть ортоподобная система разложения в Н с мерой ^,

т.е. любая функция д Є Н представляется в виде:

д(С )=[(д(т), )н ^(і), С Є С\О (3)

о

Необходимость. Пусть пространство Н совпадает с В2(О,у). Пространство В2(О,у) состоит из функций, представимых в виде:

f(£) = ( (5-)2,f (г))в2(а,») = f (г) (г—р d^(t), f Е В2(О,^). (4)

а

При этом мы рассматриваем в В2 (О,ц) наведенную структуру гильбертова пространства

и,9)в2 (а,^) = (д^ )в2(а,м).

Рассмотрим функцию Кв2(а,^) (£,г) от переменной £ при фиксированном г. В наших обозначениях

Кв2(а,^)(£,г) = ((т—)2 ,КВ2(а,ц)(т,£))В2(а,ц) = (£—^2 Поэтому для любого f Е В2(О,^)

f (і) = и(т ),КВ2 (О,») (т,і))в2(о,») =

= (KB2(о,»)(т,і), f (т))В2(о,») = и(т), (Т—)2)в2(о,»).

Отсюда и из (4) вытекает, что для любого д Є В2(С,ц)

д(С) = [ (д(т), (т-)2)в2(о»)т—?Mі), С Є С\0, д Є ЩО^).

о

Таким образом, система функций {(^)2 }*ео есть ортоподобная система разложения с мерой ^ в пространстве В2(О,у) .

Достаточность. Пусть система функций { есть ортоподобная система разло-

жения в пространстве Н с мерой ^. Это означает, что любой элемент пространства Н может быть представлен в виде:

f (0= U(т), (Т-)2 )н (^=1*52 dKt), £ е C\G.

.j с), ~г1 N 1

'О

Вычислим воспроизводящее ядро пространства H:

кн(£,П) = (кн(т,n), (Т=)2)нd^(t) =

О

= (n-t)2 ■ (J-1*)2 d^(t) = ( (^_=t)2 , (n-1*)2 )в2(О,м), £ е C\G (5)

О

С другой стороны, из (3) вытекает, что

кб2(о,^(£,п) = ((ё-*2, (П=¥)в2(о,ri = кн(£,п).

По теореме Мура-Ароншайна (см. [13],[12]) пространство H совпадает с B2(G,у). Теорема 2 доказана.

Определение 5. ([14], стр. 280) Линейный непрерывный оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H, называется положительным, если величина (x, Ax)H положительна для любого x е H, x = 0.

Определение 6. ([14], стр. 281). Числа

(x, Ax) (x, Ax)

Ci = ml , 62 = sup

xeH INI2 хен ||x||2

x=0 x=0

называются нижней и верхней гранью самосопряженного оператора A.

Очевидно, что выполнены неравенства

CJxH2 < (x,Ax) < 62||x||2, Vx е H.

Лемма 1. Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (x,y) и предположим, что в H определено еще одно скалярное произведение (x,y)1.

Следующие условия эквивалентны:

1. Нормы, определяемые скалярными произведениями (x,y), (x,y)1, эквивалентны, т.е. найдутся постоянные 61,62 > 0 такие, что для любого элемента x е H выполнены неравенства:

61|x| < ||x|1 < 62||x||.

2. Существует линейный непрерывный самосопряженный оператор A, являющийся автоморфизмом банахова пространства H с нормой || ■ ||, такой, что

||x|2 = (x,Ax), Vx е H. (6)

Доказательство. Докажем, что из 1 следует 2. Для некоторого элемента x е H в гильбертовом пространстве H рассмотрим линейный функционал

h ^ (h,x)1, Vh е H.

Поскольку

I(h,x)1l < ||h| 1 ■ ||x| 1 < 62 ■ ||h| 1 ■ ||x||, функционал h ^ (h,x)1 будет линейным и непрерывным функционалом на гильбертовом

пространстве H. По теореме Рисса — Фишера найдется единственный элемент yx е H

такой, что выполнено тождество:

(h,x)1 = (h,yx), Vh е H. (7)

Определим отображение А : Н ^ Н по формуле А(х) = ух. Очевидно, что А — линейный оператор. Кроме того,

и и (к,ух) ^ п (к,х)і ,, || 2 и и

\\Ух\\ = вЦР и, и < с2 вИр—— = 62ІХІ1 < 62 УХУ. ьеи \\щ\ Ьеи ||к||і

Н=0 Н=0

Аналогично,

II || (к,ух) ^ ^ {к,х)і || 21| ||

||Ух|| = вИр > 6і вИр ^7— = 6і\х\і > 61 \\Х\\.

ьеи ||к|| ьеи ||к||і

Н = 0 Н = 0

Из последних двух оценок следует, что

62||х|| < ||Ах|| < С22||х||.

В частности А — инъективный линейный ограниченный оператор. Из того, что в наших рассуждениях нормы || • ||, || • \і равноправны, следует сюръективность оператора А. Таким образом, А — автоморфизм банахова пространства Н (как и пространства Н с нормой

Тогда из определения (7)

(к, х)і = (к, Ах)

и

СЩхЦ2 < ||х||і = (х,х)і = (х,Ах).

Значит, оператор А имеет положительную нижнюю грань и, тем самым, А — положительный самосопряженный оператор (см. [14], стр. 247).

Докажем, что из условия 2 вытекает условие 1. Если А — самосопряженный оператор такой, что выполнено равенство (6), то А есть положительный оператор и существует единственный положительный квадратный корень из оператора А, т.е. такой оператор Б, что А = Б о Б ( см., например, [14], стр. 282). Оператор Б также будет взаимнооднозначным самосопряженным (см. [14], стр. 247). Воспользуемся теоремой из [14], стр. 285.

Теорема С. Для того чтобы линейный оператор Т в гильбертовом пространстве имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы нашлась постоянная Сі > 0 такая, что выполняются неравенства

(Т* о Тх,х) > Сі||х||2, (Т о Т*х,х) > Сі||х||2,

где Т* — сопряженный оператор к оператору Т.

Применим теорему С к оператору Б. В качестве оператора Т возьмем самосопряженный линейный непрерывный взаимнооднозначный оператор Б. Применяя теорему С и учитывая, что оператор А ограничен, получим, что оператор Б о Б* = Б о Б = А имеет положительную нижнюю и верхнюю грань, т.е. найдутся постоянные Сі,С2 > 0 такие, что выполнены неравенства

Сі|х|2 < (х,х)і = (х,Ах) < ||А||||х||2 = С2||х||2, Ух є Н.

Последнее означает, что выполнено условие 1. Лемма доказана.

Следующая теорема конкретизирует теорему 1 в случае, когда гильбертово пространство Н есть пространство Б2(0,^).

Теорема 3. Для того чтобы в пространстве Б2(О, у) можно было ввести эквивалентную исходной норму

11/11* = * // 1Ш12 (£),

V ,/с\с

где V — неотрицательная борелевская мера на С\С, необходимо и достаточно, чтобы

СУ '1 о Г

существовал линейный непрерывный оператор Ь, задающий автоморфизм банахова пространства В2(С,у), такой, что система {Ь ^^}£ес\с является ортоподобной системой разложения с мерой V в пространстве В2(0, у), т.е. любой элемент / € В2(0, у) можно представить в виде:

/(?) = ! _(/(т),БТ^)В2(С,»)ЬЯ^ ^(С), г € <С\С. и с\с

Доказательство. Необходимость. Предположим, что в пространстве В2(С,у) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида

/ 1Ш12 ^ (і),

1с\а

т.е. банаховы пространства В2(С,у) и В2(С\С, V) изоморфны. На функциях / € В2(С,у) рассмотрим следующий оператор:

Т/(С) = (/(г). <;-от)В-2(СМ.

Обозначим

Мс\а^) = {/, / € В2(С\о^)},

где черта над / означает комплексное сопряжение.

Гильбертово пространство /2(С\С, V) можно рассматривать как банахово пространство с нормой || • ||^.

Функция /(С) = ((^_1^)2,/(г))в2(а,р) принадлежит пространству В2(0,у). По условию нормы || • ||в2(с,^) и || • ||^ эквивалентны, поэтому пространства В2(0,у) и В2(С\0^) изоморфны. Это означает, что /(С) принадлежит пространству В2(С\С, V) и, следовательно,

/(С) принадлежит пространству .]2(С\0^).

Из равенства

ТІ(і) = Ц{г), )б2(о,М) = (,1 (г))В2(с^ = /(і),

вытекает, что оператор Т действует из пространства В2(О, у) в пространство .]2(С\О,и) и является линейным непрерывным взаимнооднозначным оператором.

Сопряженный оператор Т* к оператору Т определяется из равенства

(ТІ (і ),Щ))и = (І (г),Т *ВД)В2(ЗД, І Є В2(О,у), к є <І2 (С\О, V).

Найдем явный вид оператора Т*

(ТІ (і ),к(і))„ = ТІ (і) • к(і) Ли (і) =

І (г),--------------мо Іїу(г) • к(і) ^ (і) =

ІС\о за

]с\а

1

(г 1 і) 2

1

(г - і)2

1

= І(г) 7=^7 • к(і) ^(і) йу(г) =

= І(г) -1-72 • к(і) (і) АУ(г) =

За Зс\а (г — і)

/ І(г) • Т*к(z), йу(г) = (І(г),Т*к(г))В2(а,ц). а

V

Таким образом, сопряженный к Т оператор Т* действует из пространства 72(С\С, и) на пространство В2(С,у) и имеет вид:

гад = / _к(0--Ц-ісІ,и(і), к є .72(С\О,и).

•/с\а (г — і)

В частности это значит, что оператор Т* о Т = Е есть (см, например, [2], стр. 222) самосопряженный оператор, действующий в пространстве В2(С):

ЕІ(г) =} (І(т), (Т—F)В2(а^)(—)2 Ли(і).

Кроме того, оператор Е — автоморфизм пространства В2(С,у). Оператор Е как самосопряженный оператор имеет единственный положительный квадратный корень К : В2(С,у) ^ В2(С,у) (см., например, [14], стр.281, 282) такой, что Е = К о К. Оператор К — также автоморфизм пространства В2(С,у).

Тогда

К о КІ(г) = I _(І(т), (Г—)2 )В2(а))2 Ли(і).

и с\а

Используя взаимооднозначность оператора Е и рассуждения, как в ([15], стр. 128), можно показать, что

І(г) = / (І(т), (Г—)2)В2(а,м)^ о Б(т=|)5 Ли(і) =

= \ _(І(т),Б(Т—)2)В2(а,м)^(т-о* Ли(і), (9)

л с\а

где оператор Б есть обратный оператор к оператору К, т.е. К-1 = Б. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть система {Б }^ес\с является ортоподобной системой разложения в пространстве В2(С, у). Это означает, что любой элемент І Є В2(С, у) может быть записан в виде:

І(г) = / (І(т),Бт^1«^)В2(а^)Бг(Т=ёр- (і), г є С.

Используя ([15], стр. 128), можно показать, что

І(г) = / (І(т),Бт(Т—F)В2(а,м)Б^ Ли(і) =

= I _(Б о БІ(т), (Т-ё?)В2(а,м)(^2 Ли(і), г є С. (10)

л с\а

Обозначим Б о Б = А. Поскольку оператор Б имеет непрерывный обратный оператор, то по теореме С оператор А имеет положительную нижнюю грань, и, следовательно, в пространстве В2 (С, у) можно ввести эквивалентную интегральную норму

Iі ііі = \] (АІ,І' )В2(а,ц), (11)

которая порождает скалярное произведение

(І,д)і = (AІ,g)Б2(а^), І,д є В2(С,у).

Заметим, что

(А-1І,д)і = (І,д)В2(а,»).

Для любого / € В2(С,у) имеем

/(г) = /^(/(т), (Т_ё?)1(^_^ ^(С), ? € °.

Последнее означает, что система функций { (т_^2 }^ес\с является ортоподобной системой разложения по мере V в пространстве В2(С,у) с нормой || • |1. По теореме А

ЦЛ_7112 = [ _\(А-1/(т),^)1|2dv(С) =

•/с\с

= [ _\(/(т), (Т_р )В2(0,,)\2 ^ (С)= [ _\Т(С)\2 ^ (С) = ||/||2. (12)

•/с\с ./с\с

Далее Ц/Ив;2(с^) = II/Нв2(с,м). По лемме 1 (см. равенство 11) нормы || • ||в2(с,^) и || • Ц1 эквивалентны. Очевидно, найдутся постоянные С3,С4 > 0 такие, что

Сз/1|1 < ||А-1/1|1 < С4||/1|1, / € В2(С,у).

Из равенства (12) следует, что нормы || • ||в2(с м) и || • ||^ эквивалентны. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть существует оператор Ь, осуществляющий автоморфизм пространства В2(С,у), который переводит семейство воспроизводящих ядер {Кн(г,г)}1^с на семейство ядер Гильберта { (^_1т)2 }ТеС\а. Тогда в пространстве В2(С,у) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида

иПи = х/Т \/(С )\2 ^ (С),

у ЗВ2(0, м)

где мера V определяется следующим образом: оператор Ь определяет отображение

т = р(г); р : С ^ С\С

из равенства

ЬКн(г,Ь) = (х_1р(1))2, г € С

Пусть Р — множество в С. Тогда О = р(Р) есть множество в С\С, и мера V(О) = у(Р).

Доказательство. Система элементов {Кн(г,г)}1^с есть ортоподобная система разложения в пространстве В2(С,у) с мерой у (см. следствие к теореме 1). Это означает, что любая функция / € В2(С,у) может быть представлена в виде:

/(?) = [ (/(т),Кн(т^))нКн(г,г) Лу(г), г € С.

За

По условию теоремы оператор Ь осуществляет автоморфизм пространства В2(С,у) и переводит семейство воспроизводящих ядер {Кн(г,г)}1еа на семейство ядер Гильберта { (х_т)2 }тес\о. Тогда

Кн(г,1) = , г€ С

и

/(г) = I(/(т),Ь_1(Т_1{В))2 )нЬ_ {г_1{1))2 dу(t), г € С.

V а

Сделав замену переменной в последнем интеграле С = р(г) и учитывая, что dу(р_1(С)) = dv(С), приходим к выражению

/(г) = !с(/(т), Ь_1 (Т_)*)нЬ_1(^_02 ^(С), г € С.

Последнее по теореме 2 означает, что в гильбертовом пространстве В2(С, у) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида

/ І(і )12 Ли (і).

,В2(а,^)

Теорема 4 доказана.

4. Пример

В качестве области С возьмем верхнюю полуплоскость и = {г Є С : > 0}, в качестве

меры у плоскую меру Лебега V.

Рассмотрим пространство В2(и, V), состоящее из функций голоморфных в и и суммируемых с квадратом модуля по плоской мере Лебега, т.е.

11 ПВ2(и,«) = [ 11 (г)|2 ^(г) < ж.

В пространстве В2(и,ь) полна система функций (см. [7]). Известно (см., напри-

мер, [16]), что если С произвольная односвязная область и р : С ^ О — конформное отображение области С на единичный круг О, то воспроизводящее ядро пространства В2(С, V) имеет вид:

К (г Ґл = 1 Р (г)р'(і) г Ґ г С

кВ2(а,ь)(гЛ) = - •—--------, г ^ Є °.

п (1 - Р(г)Р(і))2

Функция р(г) = ^_| конформно отображает верхнюю полуплоскость и на единичный круг

О. Отсюда нетрудно показать, что

Кв2(и,ф,0 = • ~, =ет2, г,і є и. (13)

п (г - і)2

По теореме 1 любую функцию І Є В2 (и, V) можно представить в виде:

1 (г) = (І(т),кВ2(и^)(т,і))Б2(и^)КБ2(и^)(і,і) dv(t), і є и.

а

На функциях І из В2(и^) рассмотрим оператор Б

БІ(г) = -п • 1 (z), г є и.

Очевидно, что Б есть автоморфизм пространства В2(и^). Далее из (13) следует, что БКв2(иМг,і) = (—п) • ( ^ • - =Т2 = ~, =72, г,і є и.

V п) (г - і)2 (г - і)2

Если і Є и, то і Є С\и. Таким образом, оператор Б удовлетворяет условию теоремы 4; переводит семейство функций {Кв2(и,а)(г,і)}£єи на семейство функций { (^_1Т)2 }ТеС\и. Очевидно, что р(і) = і (см. формулировку теоремы 4). По теореме 4 в пространстве В2(и^) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида

/С )\2 dv(С) = J \/(С)\2 dv(С).

Iс\и у Зс\и

Последнее означает, что пространства В2,(и,ь) и В2(С\и, V) изоморфны.

Автор выражает глубокую благодарность Р.С. Юлмухаметову за полезное обсуждение работы и ценные замечания.

V

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1966. 544 с.

2. Канторович Л.В., Акилов А.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 752 с.

3. G. Kothe Dualitat in der Funktionentheorie // J.Reine Angew. Math.,191. 1953. P. 30-49.

4. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:3. 1975.

С. 657-702.

5. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 52:3,1988. C. 559-580.

6. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Винера-Пэли на функционалы в пространствах Смирнова // Труды МИАН, 200. Наука, М., 1991. С. 245-254.

7. Напалков В.В. (мл.), Юлмухаметов Р.С. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана // Математ. заметки. Т.70, вып 1. 2001. С. 68-78.

8. Напалков В.В. (мл.), Различные представления пространства аналитических функций и задача описания сопряженного пространства // Доклады РАН. 2002. С. 164-167.

9. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. матем., 68:1, 2004. С. 5-42.

10. Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Известия РАН, серия математическая. Т.62, №5. 1998. С. 187-206.

11. A. Grossmann, J. Morlet Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15. P. 723-736.

12. N. Aronszajn Theory of reproducing kernels // Transactions of the AMS. 1950. V. 68, № 3. P. 337-404.

13. H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu, Theory of Bergman spaces. Springer-Verlag, New York, Inc. 2000. 289 p.

14. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. 588 с.

15. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ. 1962. 896 с.

16. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М.: Мир. 1986. 216 с.

Валерий Валентинович Напалков,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]