Об эквивалентной интегральной норме в сопряженном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 122-132.

УДК 517.5

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ НОРМЕ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.В. НАПАЛКОВ (МЛ.)

Аннотация. В статье мы рассматриваем задачу об описании сильно сопряженного пространства к весовому пространству Бергмана В2(С,ц) в терминах преобразования Гильберта. Мы устанавливаем необходимые и достаточные условия, при которых в пространстве В2(С,ц) существует интегральная норма эквивалентная исходной. В работе найден явный вид нормы в пространстве В2(С,ц). С помощью основного результата статьи уточняется полученный ранее совместный результат автора и Р.С. Юлмухаме-това об описании сильно сопряженного пространства к пространству ^(С) в терминах преобразования Гильберта. Метод, описанный в этой статье, достаточно общий. Он основан на теории ортоподобных систем разложения. Этот метод можно использовать для решения задач об описании сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа и в терминах других полных систем функций.

Ключевые слова: преобразование Гильберта, воспроизводящее ядро, ортоподобная система разложения, вейвлет-преобразование, интегральные фреймы.

1. Введение и постановка задачи

Пусть С — односвязная ограниченная область в комплексной плоскости С, и мера ^ — некоторая борелевская мера на С. Весовое пространство Бергмана В2(С,^) состоит из функций, аналитических в области С и суммируемых с квадратом модуля по мере /л:

Функциональность понимается в том смысле, что для любой точки z0 Е G функционал f ^ f (z0) является линейным и непрерывным функционалом над B2(G

Если в качестве меры ^ взять, например, плоскую меру Лебега, а в качестве G область с жордановой границей в C, то пространство B2(G, ^) удовлетворяет условиям 1 и 2 (см. [1]).

V.V. Napalkov (Jr.), An equivalent integral norm in a dual space. © Напалков В.В.(мл.) Поступила 24.07.2011.

На меру ^ наложим условия: 1. Система функций

принадлежит пространству В2(С,^) и полна там. 2. Пространство В2(С,^) является функциональным гильбертовым пространством со скалярным произведением:

Каждому линейному непрерывному функционалу /* на В2(С,ц), порожденному функцией / Е В2(С,ц), поставим в соответствие функцию:

Ш = /* () £ Е <С\С.

Определение 1. Функцию f будем называть преобразованием Гильберта функционала f *.

В силу полноты системы функций {, С Е С\С} в пространстве В2(С,1л) отображе-

ние $ * ^ / инъективно. Совокупность функций / образует пространство

{/: № = ((—р,I{г))в2(с,»)} = В2(С,р),

в котором мы рассматриваем наведенную структуру гильбертова пространства, т.е.

(/>Юб2(С,М) <==/ (9,1 )в2(с,^)

и

У\\в2 (с^) = II/\\в2(с,^). (1)

Возникает вопрос: когда в пространстве В2(С,^) можно ввести интегральную норму вида:

I

I 1Ш12 ^ (е),

€\С

где V — неотрицательная борелевская мера на С\С, эквивалентную наведенной норме \\/\\б2(Сц)? Более подробно, существует ли неотрицательная борелевская мера и в С\С и постоянные А\,А2 > 0 такие, что выполняются соотношения

^1\\/\\б2(С,М) ^ \\/\\и < А2\\1 \\В2(С,11) , V/ ЕВ2(Сф)? (2)

Подобного рода вопросы рассматривались ранее в работах многих математиков.

Задача описания сопряженного пространства к гильбертовым пространствам аналитических функций в терминах преобразования Лапласа изучалась, например, в работах [2], [3],[4],[5],[6],[7]идр.

Результаты этих работ находят применения при решении задач интерполяции, проблем, возникающих в теории уравнений свертки. Задача описания сопряженного пространства в терминах преобразования Коши и Гильберта изучалась меньше, ей посвящены работы [8], [6], [1].

В работе [9] получено необходимое и достаточное условие, при котором в пространстве В2(С,^) можно ввести эквивалентную интегральную норму (теорема 3 работы), а также приведены следствия этой теоремы.

В этой статье мы устанавливаем необходимые и достаточные условия, при которых в пространстве В2(С,^) можно ввести эквивалентную интегральную норму специального вида. При этих условиях выписан явный вид нормы в пространстве В2(С,^).

Заметим также, что предлагаемый в данной статье метод можно использовать как при решении задач об описании сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа, так и в случае гильбертовых пространств аналитических функций в областях С. Метод основан на теории ортоподобных систем разложения, введенных Т.П. Лукашенко в статье [10].

и

2. Формулировка основного результата и вспомогательные утверждения

Всюду далее для краткости вместо В2(С,^), В2(С,^) мы будем писать соответственно В2 и £>2.

Предположим, что существует оператор А : В2 ^ В2, который переводит семейство функций

1/(* - О2 \

rn* - №J

на семейство функций

' Кв2 (z, t)

\ КВ2 (z, t) ) \VKB2 (t, t)f t

tec

Тогда А определяет отображение р : C\G ^ G, £ ^ р((;) по правилу:

M 1/(z - О2 ^ = KB2 (z, р(0) (3)

РА*-о2\\в2; у/щщйш

Будет доказана теорема

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

1. Существует линейный непрерывный взаимнооднозначный унитарный оператор А, осуществляющий изометрию пространства В2 на себя, который отображает систему функций

[ № - О2 \

и\1/(^ - от*,/,

на систему

\\1/(z - Ш\вЛ ?ec\ü

í KB2 (z, t) 1 \^KB2 (t, t)\ t

tec

2. Существует гомеоморфное отображение р области C\G на область G такое, что норма в пространстве В2 имеет вид:

\¡¡c ш^» •

= \Ц^ 1 «(О!2^х-^" мрШ- я е ^2. (4)

3. Существует гомеоморфное отображение р области С\С на область С такое, что норма в пространстве В2, введенная по формуле вида:

sjL .J*«)2 . 9 ев.

«s». = \И WOI2 МрШ gzB2, (5)

будет эквивалентна исходной, то есть

А.Ыъ <|Ы|. <А2\\д\\ё2, УдеВ2, где А.,А2 > 0 — постоянные. Предварительно докажем вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть Н — функциональное гильбертово пространство, состоящее из аналитических в области G функций, и Кн(z, t), z,t Е G — воспроизводящее ядро пространства Н. Система функций

í KH (z, t) 1

X^K^tJ) J

tea

является ортоподобной системой разложения в пространстве Н с мерой Кн^, Ь) ¿¡(^ в том и только в том случае, когда пространство Н совпадает с пространством В2.

Доказательство. Легко получается из теоремы 1 работы [9]. Аналогично на основе теоремы 2 из [9] доказывается

Лемма 2. Пусть Н — функциональное гильбертово пространство, состоящее из функций от переменной £ Е С\С. Система функций

Г - ^2 1

\\ш - т\н]1ес

является ортоподобной системой разложения в пространстве Н с мерой \\ \\2нс1л(1) тогда и только тогда, когда пространство Н совпадает с пространством В2. Также, используя теорему 3 работы [9], можно доказать

Лемма 3. Для того, чтобы в пространстве В2 можно было ввести эквивалентную исходной норму

I I№!2*и (О,

€\С

где V — неотрицательная борелевская мера на С\ С, необходимо и достаточно, чтобы существовал линейный непрерывный самосопряженный оператор Ь, задающий автоморфизм банахова пространства В2, такой, что система функций {}§ес\с является ортоподобной системой разложения с мерой \\1/(г — С)2\\2 ^в пространстве В2. Любой элемент f Е В2 можно представить в виде:

П') = ^ (/^ Х

х\\1Кг — 02\\2^(0. ~ е с\с. (6)

Сформулируем еще несколько вспомогательных лемм, которые нам понадобятся для доказательства основного результата статьи.

Лемма 4. Пусть Н\ и Н2 -гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром, состоящие из функций от переменной Ь Е М, где М — некоторое множество. Пусть система функций {еш (1)} содержится как в пространстве Н\, так и в пространстве Н2, и, кроме того, является ортоподобной системой разложения с мерой л ив пространстве Н\, и в пространстве Н2. Тогда пространство Н\ совпадает с пространством Н2.

Лемма 5. Пусть {£к}к=1 — набор из п различных точек, лежащих в области С, и д(г) функция вида

к

9(г) = 5^ СкКв2(г, &), к=1

где ск, к = 1,... ,п — некоторые постоянные.

Тогда из условия д(г) = 0 следует, что ск = 0, к = 1,... ,п.

Лемма 6. Пусть {£к}]к=1 — набор из п различных точек, лежащих в области С\С, и функция ( ) имеет вид

к 1 9{г)=£Ск ■

где к, к = 1, . . . , п — некоторые постоянные.

Тогда из условия ( ) = 0 следует, что к = 0, к = 1, . . . , п.

V

Пусть существует линейный непрерывный взаимнооднозначный оператор А, осуществляющий изометрию пространства В2, который отображает систему функций

Г 1/^ — О2 1

II \ 1/(* — О2 \\ вА

на систему

' Кв2 (г, г)

i КВ2 (z, t) 1 \^КВ2 (t, t)fi

tec

Тогда оператор А порождает отображение t = р(£), р : C\G Л G по правилу:

лyi/g-Jii., =КВ2(z,Р(0), U с\а

Лемма 7. Отображение p(z) гомеоморфно отображает область C\G на область G. Доказательство Обозначим

def КВ2 (Z ,W) def l/(Z — jf

Ф,w) = /Тв . =, №, 0 = 1ГТ77--. (7)

л/Кв2(w,w) U/i.z — 02||в2

Определим отображения Z и С.

Z : G Л B2, z Л p(т, z), zeG,

С : C\G л B2, £лф(T,0, £e C\G.

Тогда отображение p можно представить в виде:

р = Z-1 оАоС,

(см. диаграмму)

B2 ——Л B2

С Z-1

C\G ——Л G

Оператор А взаимнооднозначен и непрерывен как изометрия пространства B2. Нетрудно показать, что отображение Z взаимнооднозначно переводит точки области G на семейство функций

{pp(z,w)}wec С B2,

а отображение С взаимнооднозначно переводит точки области C\ G на семейство функций

{iKz, ec\c С B2.

Кроме того, отображение Z гомеоморфно, т.е. для любой фиксированной точки z0 e G выполняются следующие два условия:

1. Если последовательность точек {щ}k>0 e G такова, что

|Vk — zol Л 0, к Л то,

то

| | p(z, щ) — p(z, Zo) ||в2 л 0, к Л то.

2. Если последовательность точек {r/k}k>0 e G такова, что

| | p(z, щ) — p(z, Zo) ||в2 Л 0, к Л то,

то

| k — o| Л 0, Л то.

Доказательство этого факта проводится достаточно стандартно, и мы его опускаем. Приведем лишь теорему, которая используется при доказательстве (см., например, [13]).

Пусть П — связная область в комплексной плоскости и Н(О,) — функциональное гильбертово пространство, состоящее из функций от переменной г/ Е П, функция Кц (г/, г) — воспроизводящее ядро пространства Н(П).

Определение 2. Воспроизводящее ядро Кн(г/, г) пространства Н(П) называется локально ограниченным, если для любой пары {К1, К2} компактных подмножеств П, функция Кн('Ц, z) ограничена на К1 х К2.

Теорема А Функциональное гильбертово пространство Н(П) состоит из аналитических функций в области П в том и только в том случае, если воспроизводящее ядро Кн ('Ц, ¿) локально ограничено и является аналитической по переменной г] Е П и антианалитической по переменной г Е П функцией.

Также доказывается, что отображение С гомеоморфно отображает область С\С на семейство функций [ф(т, £)}§ес\с.

Отображение р представляется в виде:

р = 2-1 оАоС.

Поскольку 2,-1, А, С гомеоморфизмы, то и р гомеоморфно отображает область С\ С на область С.

3. Доказательство теоремы 1

Покажем, что из условия 1 вытекает условие 2. По лемме 1 любую функцию / Е В2 можно представить в виде:

^ = ^ЫШ))* "■ Е а.

Из условия 1 вытекает, что оператор А порождает гомеоморфизм р : С\С ^ С, £ ^ р(£) (см. соотношение (3) и лемму (7)). Сделаем замену переменных Ь = р(£) в интеграле (8). Тогда

X:) = 1^^ V®!)* х

х^в: р((»<1МО)-- е С'

По условию 1

К»,= А"ЦО ), СЕС\а

Следовательно, равенство (9) можно записать так:

^) = ^(')>Аг )* х

хАг У1^--^В2 КВ2 (р(0, р(£)№Ш),г Е С. (10)

п*) = (г). Аг ^ )В2 ■ а ^ ШЩтМрт.г ЕС.

Пусть А* есть сопряженный оператор к оператору А. Это также изометрия пространства В2. Тогда А* о А = I, где I -тождественный оператор в пространстве В2. Используя

Отсюда

теорему из ([14], стр.128), можно показать, что

(*)= _(/(т)> ^ ^ и

' С\С 2

= Ц! (г), л )в, ■ ^

= [аа!(г), ^)в2 ■ Щ^МЙ),* Е С. (11)

Так как оператор Л* — изометрия, то этот оператор действует на все пространство В2, Л*/(г) = д(г). Поэтому

Ж=) = Ц<,(т), ^)„ ■ ^ ■

дЕВ2, г ЕС. (12)

Таким образом, система функций ^с\о есть ортоподобная система разложения в

кВ2 ШАЮ)

пространстве В2 с мерой ..Л/-( ¿)2м2 с1р(р(0).

\\1/(2 ¡¡Во

Имеет место аналог равенства Парсеваля для ортоподобных систем разложения (теорема 1 работы [10]). По этой теореме справедливо равенство

■в. = /С\В!(№), ^ )!2 Ш|'лма) =

/ 1 ^ тШщ;= В/II1,V/ Е В2. (13)

Отсюда, учитывая равенство (1), получим

\\/II= \\/\\в2 = \\/II1, V/ ЕВ2.

Таким образом из условия 1 следует условие 2. Очевидно, что из условия 2 следует условие 3. Докажем теперь, что из условия 3 следует условие 1.

По условию 3 найдется гомеоморфное отображение р : С\ С ^ С такое, что норма

»/И 1 = ^ \П1/Ю12 ^^ < ЫМ)

эквивалентна норме \\в банаховом пространстве В2. Применяя лемму 3, получим, что найдется линейный непрерывный взаимнооднозначный оператор Ь , который задает автоморфизм банахова пространства В2, такой, что система функций

Ь (1/(г — О2)

\\1/(* — е)2\\ ]?ес\с

является ортоподобной системой разложения в пространстве В2 с мерой

\\1/(г — е)2\2 ■ )) = Кв2 Ш,р(0) ¿р(р(0).

Значит, справедливо представление:

^ _ \\1/()2\\в.

х Кв2 Ш, Р(0) ¿р(р(0),г ЕС,/ Е В 2.

М = Ц 1(г1 ЩЩ)в2 Х (14)

Равенство (14) означает, что система функций [вгф(г, С)}^ес\с

. е) = . СЕ С\С

(см. (7)) является ортоподобной системой разложения в пространстве В2 с мерой

кВ2 ш, р(о)л^ш).

По лемме 1 любую функцию Е В2 можно представить в виде:

™ = аитШ)* ■ тШ К»с.^ - е С-

Кв2 (т,1) ч _ уХв2 ())в2 (

Сделаем замену переменных в последнем интеграле = ( ). Тогда

™ = 1 -а{ПТ>-тШ^ х

1С\с

х^щВШШ)1^'^"(0)Л»Ш). г Е С. (15)

Последнее равенство означает, что система функций {р(г,р(0)}%ес\с

**. ^ = . СЕ С\С

vКв2 (р(0. (р(0)

(см. (7)) является ортоподобной системой разложения в пространстве В2 с мерой

Кв2 (Р(0. Р(0) ¿»(Р(0). Обозначим

Кв2 Ш,р{0)*»(р(0) = *»Ш

Итак, справедливы представления произвольной функции / из пространства В2:

№) = [ _(№,р(г, р(0))в2р(г,р(0) ¿»1(0, * Е С.

¿с\с

Равенство (14) записывается так:

№ = \ _(№,8тф(т, 0)вЛф(?, О ¿»1(0, г Е С.

¿с\с

Отсюда, используя то, что в — взаимнооднозначный самосопряженный оператор, осуществляющий автоморфизм пространства В2, применяя теорему из ([14], стр. 128), получим

в-1!(г) = [ (т),ф(т, 0)в2ф(г, 0 ¿»1(0, г Е С, У/ Е В2, JC\G

¡(г) = [ _(в овт/(т),ф(т, 0)вЖ?, О ¿»1(0, * Е С, У/ Е В2.

JC\G

Обозначим

(9) 1 = (в о в/, д)в2. (16)

В силу самосопряженности оператора в величина (/, д)х, /,д Е В2 есть скалярное произведение в гильбертовом пространстве Н1 , состоящем из тех же функций, что и пространство В2.

№ = [ _(№,ф( г, 0)гф(г, 0 ¿»1(0, г ЕС. (17)

JC\G

Равенство (17) означает, что система функций {ф^, ес\с является ортоподобной системой разложения в гильбертовом пространстве Н1. Определим оператор Л1 следующим

образом. Для любого £ Е С\ С положим Л-\_(р(г, р(0)) = Ф(%, С).

Определим линейное многообразие функций С как совокупность функций д Е В2 таких, что существует конечный набор точек {£к}к=1 Е С\ С и набор комплексных чисел {°кУ'^=1 Е С, что функция д имеет вид:

к

д(г) = ^ Скф, р( Ск)), г ЕС. (18)

к=1

Таким образом, С есть линейная оболочка системы функций

{Ф,р(0)}сес\с, zЕС.

В силу леммы 5 функция д(г) Е В2 однозначно определяется своими коэффициентами ск, к = 1,... ,п, т.е. для /,д Е С

к к 9(г) = 5^ , Р( Ск ^ = , р( Ск ^ zЕС,

к=1 к=1

из условия

д(г) = ¡(г), гЕС

следует, что

Ск = Ак, к = 1,... ,п. На функциях из С также определяется оператор А1:

к

АШ*) = £^ф(г,&), г Е С.

к=1

Совокупность функций Л]_(д), д Е С также образует линейное многообразие Л-\_С. Согласно леммы 6 функция Л]_(д)(г) из Л-\_С также однозначно определяется своими коэффициентами Ск, к = 1,... ,п.

На элементах А1С вводим норму \\Л]_(д) \\ \\д\\в2.

Пусть 3 — пополнение многообразия Л-\_С по норме \\ ■ . Оператор Л1 действует линейно и непрерывно из В2 в 3. 3 также образует гильбертово пространство со скалярным произведением (д) J. Справедливо равенство

(Л1!, Л1д^ = (I, д) в2, 1,9 ЕВ2.

Применяя ([14], стр. 128), можно показать, что для любого Л1 / Е 3 имеет место равенство

Л ¡(г) = [ _(Нт),<р( т, р(0))в2 АМг, С)Лр' (0 =

3 С\С

= [ _(Пт)Мт,рШвЖ*,ОФ'(0 =

иС\с

= [ _(АЛ(т),ф(Т, , С)Лр'(С), г Е С. (19)

иС\с

Последнее означает, что система функций {ф(г, ес\с является ортоподобной системой разложения в пространстве 3. По лемме 4 пространства 3 и Н1 совпадают.

Тогда оператор Л1 устанавливает изометрию пространств В2 и Н1. По построению

АМг, р(С)) = Фщ (г, С), СЕ С\С,

где фнг (г, С) есть функция ф(г, С), рассматриваемая как элемент пространства Н1. Определим линейное многообразие N как совокупность функций д вида:

9(г) = 5^ °кфн1 (г, Ск), ZЕС,

к=1

где {^k}П=г e C\G — конечный набор точек, {Ск}П=г — конечный набор комплексных чисел. Определим оператор В на функциях из M. Если

п

9(z) = Ск(z, £кz к=1

то

п

Вд (z) d== Ск ф( Z, ), z eG. к=1

Оператор В продолжается до изометрии пространств Нг и В2.

Оператор Л\, устанавливающий изометрию пространств В2 и Нг, обладает свойством:

AMz, р(0) = Фн1 (z, С), U C\G.

Оператор В, устанавливающий изометрию пространств Нг и В2, обладает свойством:

Вфн1 (z, 0 = ф(г, 0, Ce C\G.

Поэтому оператор

А = ВоЛг

есть автоморфная изометрия пространства В2 и

Аф, р(0) = ф(г, С), Ce C\G.

Таким образом, мы построили оператор Л, являющийся автоморфной изометрией пространства В2, для которого,

Л КВ2 (ZA0) = i/(z—)2 taC\G

кВ2ш,Ж)) = \\l/(z-t)2\\B2, S e G

Тем самым мы доказали, что из условия 3 следует условие 1. Теорема 1 доказана. Автор выражает глубокую благодарность Р.С. Юлмухаметову за полезное обсуждение статьи и ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Напалков В.В. (мл.), Юлмухаметов Р.С. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана // Математ. заметки Т.70, вып 1. 2001. С. 68-78.

2. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:3, 1975, С. 657-702.

3. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:3.1988. C. 559-580.

4. Лихт М К. Замечание к теореме Палея и Винера о целых функциях конечной степени // Успехи матем. наук. 19:1. 1964. C. 169-171.

5. Кацнельсон В.Э. Обобщение теоремы Винера-Палея о представлении целых функций конечной степени // Теория функций, функц. анализ и их прилож. 1965. №1. C. 99-110.

6. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Винера-Пэли на функционалы в пространствах Смирнова // Труды МИАН, 200, Наука. М.. 1991. С. 245-254.

7. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. матем. 68:1. 2004. С. 5--42.

8. G. Köthe Dualität in der Funktionentheorie// J.Reine Angew. Math. 191. 1953. P. 30-49.

9. Напалков Б.Б.(мл.) Об ортоподобных системах разложения в пространствe аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства // Уфимский математический журнал, Т. 3, № 1. 2011. С. 31-42.

10. Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Известия РАН, серия математическая. Т. 62, № 5. 1998. С. 187-206.

11. N. Aronszajn Theory of reproducing kernels // Transactions of the AMS V. 68. № 3. P. 337--404.

12. H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu, Theory of Bergman spaces. Springer-Verlag, New York, Inc. 2000. 289 p.

13. T. Ando Reproducing kernel spaces and quadratic inequalities. Lecture Notes. Hokkaido University. Sapporo. Japan. 1987.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ. 1962. 896 с.

Валерий Валентинович Напалков, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]