CC BY
15К. С. СПЕРАНСКИЙ
О системах представления на основе воспроизводящих ядер в пространствах Харди и Бергмана
1. Введение
Задача представления функций рядами по элементам заданной последовательности {фп}^=1 заключается в нахождении для произвольной функции / из некоторого класса Г последовательности коэффициентов {сп}^=1 такой, что верно представление
то
/ = ^ Спфи. (1)
П=1
Системой представления называется такая последовательность {фп}ТО=1 для которой задача представления разрешима.
С задачей представления тесно связана задача интерполяции. Пусть даны последовательности {хп}сГО=1 и {/шп}ТОГО=1. При решении задачи интерполяции требуется найти функцию / из класса Г такую, что /(хп) = wn для всех п. Задачу восстановления можно назвать задачей точной интерполяции. При решении задачи восстановления требуется точно восстановить функцию из определенного класса Г по заданной последовательности ее значений в точках {хп }ТО=1.
Постановка и решение задач представления и восстановления зависит от пространства в котором находится искомая функция. В данной работе мы будем рассматривать пространства Харди Н2 = Н2(Ю) и Бергмана А2 = А2(Ю) на единичном диске комплексной плоскости Ю = (|х| < 1). Данные пространства являются гильбертовыми пространствами с воспроизводящими ядрами и состоят из аналитических функций. Воспроизводящее ядро является функцией двух аргументов - точек единичного диска. Фиксируя один из аргументов К(•, хп) мы дискретизируем ядро в точках {хп}ТО=1 С Ю.
Часть 2. является вводной. В ней даны определения гильбертова пространства с воспроизводящим ядром, пространства Харди Н2 и простран-
ства Бергмана А2. В этой части также обсуждаются ядро Сеге и ядро Бергмана, которые являются воспроизводящими ядрами пространства Харди и пространства Бергмана соответственно. Несмотря на определенную схожесть этих пространств, в пространстве Бергмана не существует условия на нули функции подобного условию Бляшке в пространстве Харди.
В части 3. вводятся определения системы представления, базиса Рисса и фрейма Даффина-Шаффера. Будет показано, что в пространстве Харди И2 не существует фрейма Даффина-Шеффера на основе дискретизирован-ных ядер Сеге. С другой стороны, пространство Бергмана А2 имеет фрейм Даффина-Шеффера, но не имеет базиса Рисса и соответственно ортонорми-рованного базиса.
Основные результаты представлены в части 4. В ней мы напоминаем определение банахова фрейма и описываем его представляющие свойства. Основным результатом работы является теорема о построении банахова фрейма пространства Харди И2 на основе последовательности дискретизированных ядер Сеге. Для построения банахова фрейма потребуется найти, в частности, соответствующую последовательность точек в которых будет про-
изводиться дискретизация. Построив банахов фрейм мы сможем говорить о том, что произвольную функцию / € И2 можно представить в виде ряда из воспроизводящих ядер, дискретизированных в точках
00
I) = СпК
(2)
где С Ю - фиксированная последовательность.
Открытый вопрос о существовании системы представления в пространстве Харди И2 на основе дискретизированных ядер Сеге был сформулирован в работе Фрикена, Хои и Лефевра [9]. Данная статья основана на наших более ранних работах [24], [24], [26] и [19].
2. Гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром
2.1. Предварительные сведения
Для каждого ограниченного линейного функционала р над гильбертовым пространством Н справедлива теорема Рисса о представлении этого функционала с помощью скалярного произведения для элементов пространства Н.
Теорема 1 (Теорема Рисса [15]). Каждый ограниченный линейный функционал р над гильбертовым пространством Н может быть представлен в виде скалярного произведения р(х) = (х,х), где х,х € Н, причем х однозначно определяется по р и имеет норму ||хУ = ||р||.
Определение 1 (Оценочный функционал). Пусть Н - гильбертово пространство функций / : X ^ С, определенное на непустом множестве X. Для фиксированного элемента х € X, отображение 8Х : / ^ /(х) из Н в С называется оценочным функционалом в точке х.
Оценочный функционал £Х, примененный к функции / € Н, порождает ее значение в заданной точке области определения х € X. Оценочный функционал всегда линеен, поскольку для V/, д € Н и Уа,в € С выполняется ¿х(а/ + вд) = (а/ + вд)(х) = а/(х) + вд(х) = а^х(/) + в^х(д). Однако, не каждый оценочный функционал является непрерывным. По определению, оценочный функционал является ограниченным если существует число М, такое что для всех функций / € Н
|*х(/)| = |/(х)|< М||/1|, (3)
где | /| норма / в пространстве Н.
Гильбертовы пространства с ограниченным оценочным функционалом обладают воспроизводящим ядром, позволяющим эффективно использовать теорему Рисса.
Определение 2 (Воспроизводящее ядро [1]). Пусть И является гильбертовым функциональным пространством над множеством X. Функция К : X х X ^ С называется воспроизводящим ядром гильбертового пространства И если
Свойство (5) называется воспроизводящим свойством. В частности, для любых х, у € X выполняется равенство, являющееся ключевым при применении воспроизводящих ядер в задачах машинного обучения и которое можно рассматривать как скалярное произведение при нелинейном отображении
Воспроизводящее ядро K(x,y) пространства H является функцией двух переменных x,y Е X. Если вторая из этих переменных фиксирована (например, y = zo), то ядро становится функцией единственной переменной и принадлежит пространству H. Согласно (5), значение произвольной функции f Е H в точке z0 можно получить как скалярное произведение функции f и воспроизводящего ядра K(•, z0), дискретизированного в точке z0.
Определение 3 (RKHS). Гильбертово пространство функций f : X ^ C определенных на непустом множестве X называется пространством с воспроизводящим ядром (Reproducing Kernel Hilbert Space) если оценочный функционал öx является непрерывным для всех x Е X.
Связь между непрерывностью оценочного функционала гильбертова пространства и наличием в нем воспроизводящего ядра формализована в следующей теореме [22].
Теорема 2. Гильбертово пространство H комплекснозначных функций над X имеет воспроизводящее ядро тогда и только тогда, когда оценочный функционал öx непрерывен для всех x Е X.
Vzo Е X, K(•, zo) Е H,
Vzo Е X, Vf Е H, f (zo) = (f, K(•,*,)>.
(4)
(5)
K(x,y) = (K(•, x), K(-,y)>.
(6)
Доказательство. Если Н имеет воспроизводящее ядро К(•, •) то
5х(/) = (/,К(^,х)), Vx € X, V/ € Н.
Используя неравенство Коши мы можем показать, что оценочный функционал является ограниченным (непрерывным)
|5х(/)| = |(/, К(-,х))| < ||/||||К0,х)|| =
= ||/||(К(•,х), К(^х))1/2 = ||/||К(х,х)1/2. Норма этого непрерывного линейного функционала равна ||£х|| =
виР||/|| = 1 ^х(/)| = К (х,х)1/2.
Обратно, по теореме о представлении Рисса, если отображение : Н ^ С линейно и ограничено и ^х(/) = /(х), то существует функция Дх(^) € Н такая что V/ € Н, (/, Дх) = £х(/) = /(х). Если это свойство соблюдается для всех Vx € X, то К(-,х) = Дх(^) является воспроизводящим ядром пространства Н.
□
Следствием из теоремы 2 является то, что в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром сходимость по норме Н обеспечивает поточечную сходимость, т.е. из Нтп^то ||/п /||н = 0 следует Нтп^^ /п (х) = /(х), Vx € X. Действительно, воспользуемся линейностью и ограниченностью оценочного функционала
|/п(х) - / (х)| = |5х(/п) - ^х (/)| = |^х(/п - / )| < ||*х ||||/п - / ||н ^ 0. (7)
Не все гильбертовы пространства обладает ограниченным оценочным функционалом и, соответственно, являются пространствами с воспроизводящим ядром. Например, пространство Ь2[0,1] не является пространством с воспроизводящим ядром. Действительно, каждый элемент Ь2[0,1] является классом эквивалентности функций с одинаковым значением интеграла /о I/(х)|2^х и произвольно меняя значение функции /(х) на множестве меры ноль мы имеем тот же элемент пространства Ь2[0,1]. Таким образом, оценочный функционал не является непрерывным.
2.2. Пространство Харди
Пространство Харди H2 = H2(D) определено на единичном диске комплексной плоскости D = (|z| < 1). Это пространство аналитических функций с ограниченным ростом на границе области определения.
Определение 4 (Пространство Харди H2 [7]). Пространство Харди H2 является гильбертовым пространством состоящим из аналитических функций f (z) на единичном диске |z| < 1 для которых при r ^ 1 ограничен интеграл
II/IIh = sup f-П /2n|f (гей)|2 dt) 2 < то. (8)
0<r<l \J0 J
Пространство Харди И2(Ю) является частным случаем пространств Харди Ир(Ю), состоящих из аналитических функций /, удовлетворяющих неравенству [14]
2п 1
вир ( -1 I |/(геЙ)|Рdí ) < то, 0 <р< то.
0<г<1 \ о )
В свою очередь, Ито является векторным пространством ограниченных аналитических функций на единичном открытом диске с нормой ||/1|#~ =
виР|г|<1 I1 )|.
Пространства Харди Ир могут быть рассмотрены как замкнутые подпространства комплексных Ьр(Т) пространств на единичной окружности Т = (|г| = 1). Эта взаимосвязь может быть сформулирована в виде следующей теоремы [13].
Теорема 3. Пусть / € Ир, р > 0. Тогда радиальный предел
/(ей) = Нш / (гей)
существует для почти всех £ € Т, функция / принадлежит пространству Ьр(Т) и ||/ ЦЬР = ||/||нр.
Элементами пространства Харди являются аналитические функции, поэтому каждая функция может быть представлена в виде степенного ряда
p
/(х) = ^п=о спхп, V/ € Н2. Норму функции в пространстве Н2 можно выразить через коэффициенты разложения в ряд Тейлора. Действительно, для /(х) = ЕГ=0 спхп имеем
2
1 />2п 1 />2п
If IIH 2 = sup — |f (re^2 dt = sup —
0<r<1 2П J 0 0<r<1 2П J 0
Cn r e
n=0
то „ 2П то то
то
„n Ant
dt =
(9)
= sup — У CnC-rnrm / ei(n-m)tdt = sup V |cn|2r2n = V |cn|2.
0<r<1 2n Л 0<r<1 ^ ^
n,m=0 n=0 n=0
Из (9) очевидно, что пространство H2(D) изометрически изоморфно /2, поэтому скалярное произведение аналитических функций f (z) = ^ТО=0 cnzn и g(z) = ТО=0 dnZn в H2 можно записать в виде (f,g) = ^то=0 Cndn.
Предложение 1. Пусть z G D, тогда
|f(z)| < If||н2(d) r-^-,. (10)
V1 - |z|2
Доказательство. Применяя интегральную формулу Коши получаем
f (z) = J_ f Ы.^ = 1 f2П ie-dt =
2ni JT w — z 2n J0 eit — z
1 [ f (eit)
n _-dt. t 1
2n . T 1- ze—it
Поскольку мы можем вычислить значение интеграла
1 i2П 1 dt- 1 i2П 1 dt —
2П У0 |1 — ze—it |2 = 2П У0 (1 — ze—it)(1 — ze—it) =
1 то то „ 2П то
1 ^ r ^ r z^z^ ^(m—n)"4 ' ■ 1
2пЕЕz"zmI e(m—n)itdt=2ПE2n(zz^ 1 — |z|2•
n=0 m=0 ^0 n=0 1 1
то используя неравенство Коши имеем
|f (z )|^/2п /2nf(eit)|2 dt V 2п Г ^^dt=
ii f ii 1 ||f|| 1
= ||f yl2(t) , = = ||f ун2(d)
л/1—Izj2 1 (D)^T—W•
Из предположение 1 следует, что пространство Харди Н2 имеет ограниченный оценочный функционал на всей области определения Ю и, соответственно, является пространством с воспроизводящим ядром.
Воспроизводящее ядро К(•, •) пространства Харди Н2 можно получить используя определение скалярного произведения и разлагая функцию / € Н2(Ю) в степенной ряд
гс 1 с 2п = V— / (ег0 )Спе-ш0 а<9 =
/ (С ) = £ </,е„ )6„(С ) = £-;/ / ^ >С
__А __А «/ 0
п=0 п=0 " 1/0 (11)
Определение 5 (Ядро Сеге). Воспроизводящее ядро К пространства Н2(Ю) называется ядром Сеге [29] и имеет вид
то
К (г, () = К (г ) = -^ = £ ёЛ г, ( € Ю. (12)
Т - с^ п=0
Ключевым объектом при изучении пространства Н2(Ю) является произведение Бляшке В (г) € Н2. Эта ненулевая функция имеет нули в предопределенных точках {ап}ГС=1 С Ю. При этом оказывается, что во всех прочих точках произведение Бляшке не равно нулю [5].
Определение 6 (Произведение Бляшке). Произведением Бляшке В (г) называется аналитическая в Ю функция, обладающая нулями в заранее определенных точках {ап}ГС=1 С Ю
00
в (г ) = гтП — , € Ю. (13)
ап 1
п=1
В выражении (13) множитель гт присутствует для того, чтобы произведение Бляшке могло иметь ноль порядка т в начале координат. Если произведение (13) сходится, то произведение Бляшке аналитично на открытом диске Ю и ограничено на Ю = {г € С : |г| < 1}.
Теорема 4 (Условие Бляшке). Пусть / аналитическая и ограниченная на открытом диске Ю функция с нулями в точках {ап}ГС=1 С Ю. Тогда сходится ряд
то
£(1 - |ап|) < то (14)
то
г ! то
n=1
Будем называть это неравенство условием Бляшке.
В частности, произведение Бляшке (13) существует только тогда, когда последовательность точек {an}TO=1 удовлетворяет условию Бляшке (14).
При выполнении условия Бляшке точки {an}TO=1 медленно стремятся к единичной окружности T. Примером последовательности, которая удовлетворяет условию Бляшке является an = 1 — П2, n G N, а примером последовательности, которая не удовлетворяет, может служить an = 1 — П, n G N.
2.3. Пространство Бергмана
Будем рассматривать пространство Бергмана Ap = Ap(D) определенное на единичном диске комплексной плоскости D = (|z| < 1). Для всех 0 < p < то пространство Ap состоит из аналитических функций f, которые также принадлежат пространству L^(D) относительно меры Лебега dA.
Определение 7 (Пространство Бергмана Ap). Пространство Бергмана Ap для 0 < p < то является пространством состоящим из аналитических функций f (z) на единичном диске |z| < 1 для которых ограничен интеграл
"f = Ц If (z)|p d^ P < то. (15)
||f "ар является истинной нормой функции f только при p > 1, поскольку соблюдаются свойства ||af "ар = | а |" f "ар , "f "ар = 0 ^^ f = 0 и неравенство треугольника "f + g "ар < "f "ар + 11 g " ар . Для 0 < p < 1 неравенство треугольника не соблюдается и заменяется на "f + g"Ap < "f "Ар + ||g"Ap.
Из определения пространства Бергмана очевидно вложение С Ap. Подобно пространствам Hp, оценочный функционал в пространствах Ap является ограниченным, что формализовано в следующей теореме.
Теорема 5 (Ограниченность оценочного функционала в Ар [8]). Оценочный функционал является ограниченным линейным функционалом для всех АР(В). Для каждой функции / € АР(В) справедливо неравенство
||/||ар < п-1/^(х)-2/р||/||н, х € В, (16)
где ¿(х) - расстояние от точки х до единичной окружности Т = (|х| = 1).
Частным случаем пространства Ар является пространство А2, которое является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(/, д) = /(х)д(х)аА, /, д € А2 (17)
j в
Поскольку каждый оценочный функционал является ограниченным, то теорема Рисса 1 обеспечивает существование единственной функции € А2(В) такой что /(х) = (/, кг), V/ € А2. Эта функция К(х,£) = является воспроизводящим ядром и имеет воспроизводящее свойство
/(х) = [ /(£)К(х,£МА(£), х € В, V/ € А2. (18)
в
Пусть {фп}ТО=1 является ортонормированным базисом пространства А2, тогда
I 0, п = т
(Фп,Фш) = ¿пш = < (19)
1, п = т
Каждая функция / € А2 имеет единственное разложение / = ^^=1 спфп по базису {фп}^=1, сходящееся по норме
то то
/(х) = ^(/,Фп)Фп(х) = ^Спфп(х), X € В. (20)
п=1 п=1
Если выбрать в качестве функции / воспроизводящее ядро /(х) = К(х,£), то коэффициенты разложения по базису будут сп = (К(-,£),фп) или
сп = (Фп, К(-,£)) = [ фп(^)К(е,^)аА(^) = фп(е), (21)
в
откуда следует теорема о представлении воспроизводящего ядра через произвольный ортонормированный базис.
Теорема 6. [8] Воспроизводящее ядро имеет представление
то
К (г,£ ) = £ фп(г)фПШ, (22)
п=1
где {фп}ТО=1 является произвольным ортонормированным базисом А2.
Для доказательства этой теоремы достаточно подставить выражение (22) в воспроизводящее свойство (18)
„ то то
/ /(£)К(*,£) = £ Ст £ фп(г)<фт,фп) =
Jв —1 —1
т=1 п=1 (23)
то
= £ Стфт(г) = /(г), т=1
и воспользоваться единственностью воспроизводящего ядра, чтобы сделать вывод о равенстве К (г, £) воспроизводящему ядру К ).
Для получения вида воспроизводящего ядра в пространстве А2 воспользуемся тем, что множество функций гп, п = 1, 2 ... является ортогональной системой в А2. Степенная система является полной, поскольку пространство А2 состоит из аналитических функций. Интегрируя по всему диску Ю произведение функций этой системы получаем
С с2ф с1
= гпегп0 гтв-гт0 гаы<9 =
иЮ Л Jo (24)
2п
■^пт, Vn, т = 1, 2,...,
п + т + 2 где £пт - функция Кронекера.
При п = т, из (24) следует, что ||гп||А2 = ^у+ц, п =1, 2,... и функции
п + 1
Фп(г ) = л/ ^^ гп, п = 0,1, 2,..., (25)
ортонормированы в А2.
Система {фп}то=1 является полной системой, ортонормированной системой в пространстве
А2
и соответственно является базисом этого пространства.
Дифференцируя по п выражение
то то
П % ^ /V» I I
£*" = £ *"+1 = гтг (26)
1 — X п=0 п= — 1
получаем
то
£(п+1)х" . (27)
п=0
Поскольку {фп}то=1 является ортонормированным базисом А2, то из теоремы 6 следует, что воспроизводящее ядро пространства А2, которое называется ядром Бергмана имеет вид
_ 1 то _ 1 1
К(^) = £Фп(*Ш£) = -^(п + 1)(4)п = ---=-. (28)
П=0 п П=1 п (1 — ^)2
Для получения (28) были использованы выражения (27) и (25),
3. Системы представления в пространствах с воспроизводящим ядром
3.1. Системы представления в функциональных пространствах
то п}п=1
Определение 8 (Система представления [20]). Последовательность {^>п} ненулевых векторов банахова пространства ^ называется системой пред ставления, если для любого элемента пространства / € ^ существует числовая последовательность {сп(/)}ТО=1 такая, что ряд
то
I = Е сп(/(29)
П=1
сходится к I по норме пространства ^
Нш
П—т>00
1 — (1 ^
&=1
= 0.
В банаховых пространствах существуют различные системы представления, такие как ортогональные базисы, базисы Рисса и фреймы.
Определение 9 (Полнота). Последовательность {^п}то=1 С Р полна в пространстве Р, если замыкание её линейной оболочки совпадает со всем пространством Р
йрап{^п}то=1 = р. (30)
Другими словами, элементов системы {^п}то=1 достаточно, чтобы приблизить произвольный вектор пространства Р с помощью линейной комбинации элементов системы {^п}то=1. Для ортонормированных систем необходимым и достаточным условием полноты является равенство Парсеваля.
Определение 10 (Замкнутость [23]). Последовательность {^п}то=1 С Р замкнута в пространстве Р, если не существует функции / € Р, отличной от тождественного нуля, ортогональной ко всем функциям данной системы. Т.е. если <^п, д) =0, д € О = Р* для всех п, то д = 0.
В банаховых пространствах понятия полноты и замкнутости эквивалентны.
Определение 11 (Минимальность). Последовательность {^>п}то=1 С Р минимальна в Р, если каждый элемент последовательности не принадлежит замыканию линейной оболочки остальных элементов
^ € Зрап{^п}п=у, V; € 1, 2.... (31)
Определение 12 (Биортогональная система). Последовательность {/}£= из пространства X и последовательность {д*}то=1 из сопряженного пространства X* называются биортогональными тогда и только тогда, когда
(1 к = ;,
д*(/) = йу := ( (32)
(о к = ;.
Определение 13 (Базис Шаудера). Пусть X является банаховым пространством. Последовательность {е*} С X называется базисом Шаудера для X если для каждого / € X существуют единственные скалярные коэффициенты
{ск(/)}ТО=1 такие что
/ = £ Ск (/к. (33)
к=1
Каждый базис Шаудера является полной и минимальной системой [12]. Введем определения последовательности и базиса Рисса. Базис Рисса для пространства Н является семейством вида {иек}ТО=1, где {ек}^=1 - ортонор-мированный базис в Н и и : Н^Н - ограниченный биективный оператор.
Определение 14 (Базис Рисса). Последовательность {/п}^=1 £ Н является базисом Рисса если {/П}ТО=1 полна в Н и существуют постоянные А, В > 0 такие что для каждой конечной последовательности скаляров {сп}
то
А £ |е„|2 <
П=1
то
П=1
то
2
< В£ |С„|2. (34)
|С„
П=1
Определение 15 (Последовательность Рисса). Последовательность {/П}ТО=1 £ Н, не обязательно полная в пространстве Н, удовлетворяющая неравенствам (34) для всех конечных последовательностей {сп}ТО=1 называется последовательностью Рисса.
Понятие фрейма было введено в 1952 г. Даффином и Шеффером [6]. Подобно базису, фрейм позволяет представить произвольный элемент гильбертова пространства в виде ряда по элементам этого пространства, т.е. фрейм является системой представления. Однако, в общем случае, фрейм не является минимальной системой, поэтому коэффициенты разложения могут быть не единственны. Следует отметить, что всякий фрейм Даффина-Шеффера в гильбертовом пространстве является проекцией базиса Рисса объемлющего гильбертова пространства [21].
Определение 16 (Фрейм Даффина-Шеффера). Система {^п}ТОТО=1 С Н ненулевых элементов сепарабельного гильбертова пространства Н называется фреймом Даффина-Шеффера, если существуют постоянные 0 < А < В < то такие, что для любого вектора / £ Н
то
АН/ 11Н < £ К/,Рп )|2 < В У/ 11Н. (35)
П=1
2
Постоянная А называется нижней границей фрейма, а постоянная В -верхней. Если А = В, то фрейм называется жестким фреймом, а если А = В = 1, то фреймом Парсеваля. Если {еп}ТО=1 является ортонормирован-ным базисом пространства Н, то простейшим примером фрейма в Н может служить последовательность {^^ТОЦ = {е1, е1, е2, е3,...} с границами фрейма А = 1,В = 2.
Поскольку для фрейма соблюдается верхнее неравенство, то опе-
ратор Т, который называется оператором синтеза, ограничен
то
Т : ^ Н, Т{сп}ТО=1 = £ Сп^п. (36)
п=1
Сопряженный к Т оператор Т* называется оператором анализа
Т* : Н ^ £2(М), Т*/ = {<У>п>} (37)
Композиция из операторов Т и Т* называется фреймовым оператором
то
5 : Н ^ Н, = ТТ*/ = £</, ^п>^п. (38)
п=1
Для фреймов Даффина-Шеффера имеет место теорема о представлении, а само разложение допускает линейный алгоритм вычисления коэффициентов. Можно показать, что последовательность {5-1^п}ТО=1 является фреймом с нижней границей В-1 и верхней границей А-1. Фрейм {5-1^п}ТО=1 называется каноническим дуальным фреймом {^П}ТО=1 и для произвольного элемента / Е Н справедливо представление
то
/ = £</,^п. (39)
п=1
3.2. О существовании базиса пространства Бергмана
Определение 17 (Сэмплинг последовательность в Ар). Последовательность {гп}ТО=1 точек единичного диска называется сэмплинг последовательностью
пространства Ар, где 0 < р < то если существуют положительные постоянные А и В такие, что
00
АН/НА < £(1 - Ы2)2|/Ы|р < ВН/НА, V/ £ Ар. (40)
П=1
Пусть единичный диск разделен на непересекающиеся области с нормализованной площадью £Ап и £ Если области выбраны так, что имеют одинаковую гиперболическую площадь, то £Ап имеет вид С(1 — |хп|2)2. В этом случае {£п}ТО=1 является сэмплирующей последовательностью тогда и только тогда, когда римановская сумма ^ |/(хп)|р£Ап равна интегралу /о |/(^с точностью до постоянного множителя для всех / £ Ар.
Если {хп}ТОТО=1 является сэмплинг последовательностью и р = 2, то последовательность воспроизводящих ядер, дискретизированных в точках {£п}ТО=1 будет фреймом Даффина-Шеффера. Обратное утверждение также справедливо. Действительно, поскольку для нормализованных дискретизированных ядер {еп}ТО°=1 выполняется
(/, еп) = = "/ЙЦ = /(^п)(1 — кп|2), (41)
то сэмплинг неравенства (40) эквивалентны фреймовым неравенствам Даффина-Шеффера
то
АН/НА < £ |(/,еп)|2 < ВН/НА2, V/ £ Н. (42)
п=1
В качестве примера сэмплинг последовательности в пространстве Бергмана можно привести следующую конкретную конструкцию из [8].
Пример 1. Определим решетку в верхней полуплоскости Н+ относительно параметров а > 1 и Ь > 0
Л(а, Ь) = {ат(Ь • п + г) : т, п £ Ж}. (43)
Пусть ф является фиксированных конформным отображением О на Н+, определенным как
«) = |, Ф—1 К) = ^, (44)
для г Е Ю и ^ Е Н+. Тогда Г(а,6) = ^-1(А(а,Ь)) является решеткой из различных точек в Ю. Г(а, Ь) является сэмплинг последовательностью для пространства Ар тогда и только тогда, когда щга > р.
С понятием сэплинга тесно связано понятие интерполяции и в определенном смысле эти два понятия являются двойственными друг другу.
Определение 18 (Интерполяционная последовательность в Ар). Последовательность {гп}ТО°=1 точек единичного диска Ю называется интерполяционной последовательностью пространства Ар если задача интерполяции /(гп) = и>п, к = 1, 2,... имеет решение / Е Ар для всех {^п}ТО°=1 удовлетворяющих
то
£(1 - |гп|2)2|^п|2 < то. (45)
п=1
Определение 19 (2-множество). Последовательность точек {гп}ТО°=1 единичного диска Ю называется ^-множеством Ар если некоторая функция / Е Ар обращается в нуль строго в точках принадлежащих этому множеству.
Предложение 2. Не существует последовательности точек {гп}ТО=1 С Ю, являющейся одновременно сэмплинг последовательностью и интерполяционной последовательностью в Ар.
Действительно, если {гп}ТО=1 является интерполяционной последовательностью, то существует функция / Е Ар такая, что /(г1) = 1 и /(гп) = 0, п = 2,3,.... В этом случае ненулевая функция #(г) = (г — г1) • /(г) принадлежит Ар и принимает нулевое значение во всех точках {гп}ТО°=1. Следовательно, {гп}ТО°=1 является подмножеством 2-множества. По теореме Горовица [11], каждое подмножество ^-множества является 2-множеством из чего следует, что каждая интерполяционная последовательность является 2- множеством.
С другой стороны, из нижнего неравенства (40) следует, что сэмплинг последовательность в Ар не может быть 2-множеством. Действительно, если функция / Е Ар исчезает на сэмплинг последовательности {г&}ТО=1, то II/1|Ар = 0 и / является нулевой функцией.
Предложение 3. Не существует последовательности точек }ТО1 С О такой, что ядра Бергмана, дискретизированные в точках этой последовательности, образуют базис Шаудера пространства А2.
Действительно, дискретизированные ядра Бергмана не являются оргото-гональной системой, поэтому ортонормированный базис на их основе построить нельзя. Далее покажем, что построить базис Рисса также невозможно.
Воспроизводящие ядра, дискретизированные в точках интерполяционной последовательности, образуют последовательность Рисса {еп}ТО°=1 С Н. Последовательность Рисса является базисом в замыкании своей линейной оболочки
йрап{еп}ТО=1 = Ь С Н. (46)
Оператор синтеза 8 : /2 ^ Ь С Н можно представить в виде
то
= £ жпеп. (47)
п=1
Поскольку всякая последовательность Рисса удовлетворяет неравенствам (34), можно записать двухсторонние неравенства для оператора синтеза 8 в виде
АНхН¿2 < Н^жНя < В 11x11*2. (48)
Нижнее неравенство в (48) означает, что оператор £* : Н ^ /2, сопряженный к оператору синтеза 8, является сюръективным, т.е. для всех у £ /2 существует функция / £ Н такая, что 8*/ = у. Если взять в качестве базисных функций нормализованные воспроизводящие ядра, дискретизированные в точках , то можно записать
8*/ = (/,еп)ТО=1 = = Уп (49)
Последнее равенство можно записать в виде, эквивалентном определению интерполяционной последовательности {¿п}ТО=1
/(¿п) = НКпНя • Уп = (50)
34
где последовательность {эдп}ТО=1 принадлежит взвешенному /2 пространству. Таким образом, последовательность точек единичного диска является интерполяционной тогда и только тогда, когда воспроизводящие ядра, дискрети-зированные в точках этой последовательности, образуют последовательность Рисса пространства Н.
Для того, чтобы последовательность дикретизированных воспроизводящих ядер являлась базисом Рисса, необходимо чтобы с одной стороны она являлась последовательностью Рисса, а с другой фреймом Даффина-Шеффера. Однако, это невозможно, поскольку в первом случае последовательность точек дискретизации должна быть интерполяционной последовательностью, а во втором сэмплинг последовательностью. Из этого следует, что в пространстве Бергмана базиса не существует.
3.3. О существовании фрейма пространства Харди
Рассмотрим вопрос, является ли последовательность из ядер Сеге {Кп}ТО=1 дискретизированных в точках {Сп}ТО=1 полной, минимальной системой. Отметим, что последовательность ядер не является ортонормированной системой.
Предложение 4. Система {Кп}ТО=1 полна тогда и только тогда, когда точки {(п}ТО=1 не удовлетворяют условию Бляшке (14), то есть
то
£(1 — Кп|) = то. (51)
П=1
Действительно, если система {Кп}ТО=1 полна в Н2, то не существует [4] ненулевого вектора / Е Н2, который ортогонален каждому элементу этой системы (/, Кп) = 0, Уп Е N / = 0. Если бы выполнялось
условие Бляшке (14), то можно было бы построить произведение Бляшке В (г), которое является ненулевой функцией из Н2 и принимает нулевые значения в точках {Сп}ТО=1. Принимая в (11) /(£) = В(£), получаем В(Сп) = (В,КСи) =0, Уп Е N, вопреки полноте {Кп}ТО=1, заданной в условии предложения.
Обратно, если соблюдается условие Бляшке, то с помощью произведения Бляшке можно построить функцию / £ Н2 \ {0}, для которой (/, ) = 0, п = 1, 2... и которая не равна нулю во всех остальных точках О [5]. Очевидно, что это условие эквивалентно отсутствию полноты системы при выполнении условия Бляшке.
Предложение 5. Система {Кп}ТО=1 минимальна тогда и только тогда, когда точки {Сп}ТО=1 удовлетворяют условию Бляшке (14), то есть
00
£(1 - !Сп!) < ТО.
п=1
ТО
п}п=1
Действительно, как отмечалось выше, минимальность системы {^п} эквивалентна наличию у нее биортогональной системы. Для {^п}ТО=1 и ее биортогональной системы {дп}ТО=1. справедливо равенство (^, дп) = Ук,п £ N, где - символ Кронекера. По условию предложения, система {Кп}ТО=1 минимальна и соответственно имеет биортогональную систему
{^п}ТО=1. Для функции дг имеем д*(С») = ) = 1 и ^(Сп) = (^г,КСп) =
0, Уп = г. Функция д^ ф 0, д^ £ Н2 равна нулю в точках {Сп}ТО=1, п = г и по теореме Сеге [16] нули функции {Сп}ТО=1, п = г удовлетворяют условию Бляшке (14). Исключение одного нуля очевидно не сказывается на сходимости ряда.
Обратно, если для точек {Сп}ТО=1 соблюдается условие Бляшке, то оно соблюдается и для точек {Сп}ТО=1, п = г. Следовательно, мы можем построить произведение Бляшке ) с нулями в точках }ТО=1, п = г. Согласно [5],
В«(Сг) = 0 и функция д^г) = —тттВ^г) будет являться одним из элементов
-"¿(А®,)
биортогональной системы. Аналогично можно построить и остальные элементы биортогональной системы {дп}ТО=1, следовательно система {Кп}ТО=1 минимальна.
Предложение 6. Не существует последовательности точек {Сп}ТО=1 С О такой, что последовательность из дискретизированных в них ядер Сеге {К„}ТО=1 является базисом пространства Н2.
Справедливость этого предложение непосредственно следует из предложений 4 и 5. Последовательность {Кпне является одновременно полной и минимальной и значит не является базисом пространства Н2.
Будем изучать представляющие свойства системы, состоящей из нормированных ядер Сеге {еп}^=1 (т.е. ||еп||2 = 1), дискретизированных в попарно различных точках С Ю
еп = (1 - к|2)2, (52)
где К^ = К(-,£п) - ядро Сеге, дискретизированное в точке ¿п.
Ранее было показано, что построить базис пространства Н на основе дискретизированных ядре Сеге нельзя. В этой части мы ответим на вопрос о существовании фрейма Даффина-Шеффера на основе последовательности воспроизводящих ядер. Нам потребуется условие Ньюмана [16].
Определение 20 (Условие Ньюмана). Последовательность С Ю удо-
влетворяет условию Ньюмана если существует постоянная В < то такая, что
то
£(1 - |гп|2)|/Ы|2 < В||/||Н2, V/ е Н2. (53)
п=1
Условие (53) означает, что последовательность нормированных дискретизированных ядер Сеге {еп}ТО=1 удовлетворяет неравенству Бесселя Х^то=1 |(/, еп)|2 < В||/||Н2. Действительно, для любой функции / е Н2 справедливо /(¿п) = (/, Кп) = (1 — |^п|2)-1 (/, еп). Подставляя выражение для /(¿п) в условие Ньюмана (53) получаем неравенство Бесселя. С другой стороны, если последовательность точек {¿п}ТО=1 С Ю удовлетворяет условию Ньюмана, то она также удовлетворяет и условию Бляшке. Чтобы показать это, достаточно взять в качестве / в неравенстве (53) функцию, тождественно равную единице и поскольку |гп| < 1, п = 1, 2...
то то то
£(1 — Ы) < £(1 — |)(1 + Ы) = £(1 — |¿п|2) < В.
п=1 п=1 п=1
Предложение 7. В пространстве Харди Н2 не существует фрейма Даффина-Шеффера на основе дискретизированных ядер Сеге {еп}ТО=1.
В предложении 4 было показано, что последовательность {¿п}ТО=1 С О для которой выполняется условие Бляшке, не является полной. Следовательно, всякая последовательность из дискретизированных нормированных ядер Се-ге {вп}ТО=1, удовлетворяющая условию Ньюмана, заведомо не полна в Н2. В частности, не существует точек {¿п}ТО=1 С О, для которых {еп}ТО=1 образуют фрейм Даффина-Шеффера. Однако, как будет показано далее, при выборе более общего определения фрейма, построить фрейм на основе дискретизи-рованных ядер Сеге становится возможным.
4. Банахов фрейм пространства Харди 4.1. Определение банахова фрейма
В 1989 г. Грохениг обобщил понятие фрейма на банаховы пространства и ввел понятие атомарного разложения и банахова фрейма [10]. Его теория получила развитие в работах Касаззы, Хана, Ларсона [2], Касаззы, Кристен-сена, Стоевой [3] и т.д. Важным отличием атомарного разложения и банахова фрейма по Грохенигу от классического определения фрейма Даффина-Шеффера является то, что теорема о представлении не выполняется автоматически и её приходится постулировать отдельно.
Альтернативное определение банахова фрейма, основанное на исследованиях Бари по биортогональным системам и базисам гильбертова пространства, было предложено Терехиным в работе [27]. Это альтернативное определение мы и рассмотрим далее.
Пусть дано сепарабельное банахово пространство Р с сопряженным О = Р* и (/, д) - значение непрерывного линейного функционала д £ О на векторе
/ £ Р.
Определение 21 (Модельное пространство). Банахово пространство X, элементами которого являются числовые последовательности ж = {жп}ТО=1 назы-
вается модельным если система канонических ортов {еп}то=1 (еп = {^шп}то=1, где £топ символ Кронекера) образует базис в X.
Примерами модельных пространств являются пространства /р, 1 < р < то и со (пространство всех последовательностей, сходящихся к 0 с равномерной нормой). Примером пространства, не являющегося модельным, служит пространство /то поскольку оно не сепарабельно. Примером сепарабельного, но не модельного пространства служит пространство с с равномерной нормой (его базисом служит набор канонических ортов {еп}то=1 с присоединенным вектором (1, 1, . . . , 1, . . . )).
Произвольный непрерывный линейный функционал I на модельном пространстве однозначно определяется последовательностью своих значений {/(еп)}то=1 на элементах естественного базиса. Поэтому сопряженное пространство X* изометрически изоморфно некоторому банахову пространству У, элементами которого являются числовые последовательности у = {уп}то=1 и любой непрерывный линейный функционал на модельном пространстве X можно представить в виде (54).
то
(х,У) = £ ХпУп. (54)
п=1
Определение 22 (Банахов фрейм). Система {^п}то=1 С Р \ {0} является фреймом в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X с сопряженным пространством У = X* если существуют постоянные 0 < А < В < то такие, что для любого непрерывного линейного функционала д е О = Р* последовательность его коэффициентов Фурье удовлетворяет неравенствам
А||д||с < ||{<^п,д>}~1||у < В||д||с. (55)
Оператор Я : О ^ У называется оператором анализа
Яд = {(^п,д)}то=
39
Оператор $ : X ^ Р называется оператором синтеза
ТО
$ж = £ жп^п, ж = {жп}ТО=1 £ X. (57)
Заметим, что оператор анализа является сопряженным к оператору синтеза Я = $*, но не наоборот. Определение фрейма (55) совпадает с определением Даффина-Шеффера в случае, когда Р = О = Н гильбертово пространство и X = У = 12.
4.2. Представляющие свойства банахова фрейма
Важным отличием банахова фрейма (55) от атомарного разложения и банахова фрейма по Грохенигу является то, что автоматически обеспечивается справедливость следующей теоремы о представлении, доказанной в работе [28].
Теорема 7. Пусть {^п}ТО=1 - фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X. Тогда для любого вектора / £ Р существует числовая последовательность {жп}ТО=1 £ X такая что / = ^ТО=1 жп^п.
Модельное пространство определяется неоднозначно и влияет на тип сходимости ряда. Например, если естественный базис модельного пространства X является безусловным, то представляющий ряд сходится к / безусловно.
Пусть как и ранее, X будет банаховым пространством последовательностей с естественным базисом {еп}ТО=1 и его дуальное пространство X* изоморфно некоторому банахову пространству последовательностей У.
Определение 23. Последовательность {/п}ТО=1 С Р называется последовательностью Бесселя в пространстве Р относительно пространства X если существует постоянная В > 0, такая что для всех ограниченных линейных функционалов д £ О их коэффициенты Фурье (/п,д) удовлетворяют
11{(/п,д)}ТО=1||у < В||д||с. (58)
Лемма 1. Следующие утверждения эквивалентны:
(О {/является последовательностью Бесселя в Р относительно X, (п) для всех N = 1, 2,... и всех хп е С, п = 1,..., N
N N
£ Хп/п < в ^ ^хпеп
п=1 п=1 X
(ш) для всех х е X ряд ^П=1 хп/п сходится в Р. Доказательство. (г) (гг). Оператор анализа Л : С ^ У определен как
% = {</п,0>}~1. (59)
Оператор (59) является ограниченным ||Яд||у < В||$||с по условию (1). Обозначим через Х0 множество всех финитных последовательностей х = {хп} С С. Финитные последовательности аналогичны функциям с компактным носителем и имеют бесконечное число элементов, но лишь конечное число из них ненулевых. И пусть оператор 50 : Х0 ^ Р задан как
5обп = /п, п = 1, 2,----
Тогда для каждого х е Х0 мы имеем с учетом (60)
(60)
N
^ ^Хп/п
п=1
= ||5ох|^ = зир |<5ох,#>| = вир Хп</п,^> ||.а|| 1 |М| 11
(61)
Далее, рассматривая последнее выражение под модулем как действие функционала из пространства X* = У на элемент пространства X, а также учитывая неравенство (58) при ||$||с < 1 продолжаем (61)
|С<
1
вир IV"Хп</п,^> = вир |<х,%>|< В||х||х = В 11 ^ 1 !Ы|С<1
N £
п=1
Хп еп
(62)
X
что эквивалентно утверждению (гг).
(гг) (ггг). Равномерная непрерывность достаточна для расширения
оператора с плотного множества на все пространство. Как было показано,
оператор 50 : — ^ ограничен на которое плотно в X. Поэтому 50 имеет единственное продолжение до ограниченного линейного оператора 5 : X —у ^. Поскольку {бп}ТО=1 является базисом пространства X, то
то то
£хп/п, (63)
П=1 П=1
для всех х Е X. Поскольку оператор 5 ограничен, ряд ^П=1 хп/п сходится, т.е. выполняется (ггг). Если бы пространство X не имело канонический базис, то формулу (63) записать в явном виде было бы нельзя. Это было бы некоторое продолжение в неявном виде.
(ггг) —^ (г). Оператор синтеза 5 корректно определен 5х — ^ТО=1 хп/п, х Е X. По теореме Банаха-Штейнгауза, применительно к последовательности конечномерных операторов
N
— £ х„/„, N — 1,2,..., (64)
П=1
таких что х — 5х, мы можем заключить, что 5 : X — ^ является ограниченным оператором. Поскольку
00
(,/ П}
П=1
мы видим, что Я : О — У является сопряженным к оператору синтеза 5 и поэтому Я также ограничен, что эквивалентно (г).
□
Для применения теоремы Банаха-Штейнгауза к (64) в последнем пункте доказательства леммы 1, оператор должен быть ограничен и то, что сумма конечна еще не гарантирует этого. Элемент хп должен непрерывно зависеть от х, что обеспечивается поскольку хп — (х, б^) и сопряженная система {еП}ТО=1 непрерывна для базиса {бп}ТО=1.
Следующая лемма показывает, что банахов фрейм (55) является системой представления.
Лемма 2. Последовательность {/П}ТО=1 С ^ \ {0} является фреймом пространства ^ относительно модельного пространства X тогда и только тогда, когда
(1) для всех х Е X ряд £ТО=1 хп/п сходится в ^,
(п) для всех / Е ^ существует элемент х Е X такой что / — ^ТО=1 хп/п.
Доказательство. Необходимость: Утверждение (г) следует из леммы 1, поскольку по определению фрейм является последовательностью Бесселя. Нижнее фреймовое неравенство в (55) означает, что оператор анализа Я : О — У является инъективным в операторном смысле. Поэтому оператор синтеза 5 : X — ^, который является предсопряженным к оператору Я является сюръекцией [17]. Следовательно, для каждой функции / Е ^ существует один или более элемент модельного пространства х Е X такой что f — 5х — ^ТО=1 хп/п, что составляет утверждение (гг).
Необходимость: Утверждение (г) показывает, что оператор синтеза 5 является ограниченным, а утверждение (гг) то, что 5 сюръективен. Следовательно, оператор анализа Я : О — У (который является сопряженным к 5) инъективен (нижнее неравенство) [17] и ограничен (верхнее неравенство): А||$||с < ||Я#||у < В||д||с, следовательно, фреймовые неравенства (55) выполняются. □
Инъективность в доказательстве леммы 2 понимается не в теоретико -множественном смысле (Аи — 0 —^ V — 0), а в более сильном операторном смысле (||Av|| > 711V|). Отметим также, что любой фрейм является системой представления. Обратное так же верно: любая система представления {/П}ТО=1 С ^ \ {0} является фреймом для пространства ^ относительно его модельного пространства коэффициентов X(/п) состоящего из всех последовательностей {хп}ТО=1 для которых ряд£ТО=1 хп/п сходится в ^. Пространство коэффициентов X (/п) имеет норму
1хПх (/„) — йир
N =1,2,...
N
£х,,/„
П=1
В общем случае, одна и та же система представления может быть фреймом относительно различных модельных пространств X.
4.3. Построение банахова фрейма пространства Харди
В качестве точек дискретизации ядра Сеге (52) рассмотрим точки К}-, С Ю, равномерно расположенные на концентрических окружностях с радиусами {гк}-=1. На каждом радиусе гк размещается пк точек
¿п = Зу = Гк е , 3 = 0,..., Пк-1, к = 1, 2 .... (66)
Пусть на радиусе гк находится 2к точек и значение каждого радиуса гк однозначно определяется индексом к
П = 2к, Гк = 1 - 2к, к = 1, 2 .... (67)
Сначала докажем вспомогательную лемму об эквивалентности конечномерных норм для ядер Сеге {е7-}П=0 С Н2, дискретизированных в точках
{¿7 }П=с1 С Ю, равномерно расположенных на одном радиусе г
7 }
е^ = (1 - г2)2К*., = ге-, 3 = 0,..., п - 1. (68)
Отметим, что дискретное преобразование Фурье - это унитарный оператор в п-мерном унитарном пространстве ¿П, определяемый равенством
п- 1
1 ^—2пijk
& = ^ = к = 0,...,п - 1. (69)
Л/П 7 =0
Лемма 3. Для всех п € N и г € (0,1) выполняются неравенства г2пп(1 - г2) п-1, 2
1 _ г2п / у 147 1 —
12 <
7=0
п- 1
£*
7 =0
7 е7'
2 ^ п-1
< П-^»2. (70)
Н2 7 =0
Доказательство. Используя выражение (68), определение ядра Сеге (12) и
сумму геометрического ряда
п—1
£С3 б3 ) 3 =0
п— 1
е
3=0
С, (1 — г2)2
1 — Гб п £
п1
— (1—Г2)1 ЕЕ С, Гк б-^
п1
— (1 — Г2) £ С
3=0 к=0
к
к=0
3 =0
С учетом выражения (9) для нормы пространства Н2, из формулы (71)
п-1
е с
3=0
3 б3
оо
— (1 — г2)£
Г
2к
Н 2
к=0
п1
ЕС3 б—2
2 пг^'к
3=0
(72)
где мы использовали то, что 0 < г < 1 и | — 1 при рассмотрении нормы.
Учитывая периодичность экспонент б п — б « по модулю п делая замену к — 1п + к (напомним, что п фиксировано) находим
п 1
е с
3 =0
3 б3
2
то п—1
2\ V1 V1 ^2(1п+к)
— (1— г2)££ Г
Н 2 1=0 к=0
п 1
е с
3=0
б
2 пг^(1п+к)
то п — 1
2\ V1 _21п
— (1 — Г2)£ Г21п£ Г
1=0 к=0 2
п 1
ЕС3
3 =0
2 пгук б п
(73)
п 1
2\ V"4
(1 — Г2)£ Г
к=0
п 1
ЕС3
3=0
2 пгук б п
00
е'
1=0
„2^ п— 1
X > Г21п — п(1 Г ^ Г2к ||& ||2,
1Г
2п
к=0
где последнее равенство получается с использованием дискретного преобразования Фурье (69) и выражения для суммы степенного ряда.
Используя тривиальные оценки Г2п < Г2к < 1 (поскольку п>к и 0 <г< 1) для Г2к в формуле (73) и унитарность дискретного преобразования Фурье ||С||2 — (ТС,ТС) — (С,ТТ*С) — (С,С) — ||С||2 получаем неравенства (70).
□
В теореме 8 будет показано, каким должно быть модельное пространство, чтобы представляющий ряд на основе дискретизированных ядер Сеге сходился безусловно. Вопрос о том, является ли эта система фреймом, будет рассмотрен в теореме 9.
2
2
п
2
п
2
Теорема 8. Пусть точки дискретизации {¿п}-=1 имеют вид (66) и (67). Тогда следующие условия эквивалентны:
а) для коэффициентов £П = £к,7- ряда ^-=1 £ПеП выполняется условие
— (пк-1
£ | 2) <
к=1 \ 7 =0
,
(74)
б) рядЕ —=1 £ПеП абсолютно сходится по блокам в Н2
00
£
к=1
Пк-1
,7 ек,7
7=0
<.
(75)
Н2
При выполнении одного из этих эквивалентных условий ряд Еп=1 £ПеП сходится в Н2 безусловно.
Доказательство. Согласно лемме 3 для всех к = 1, 2... имеем
2пк (Л 2\ Пк-1 Г2 пк(1 - Г2,£ 12 <
1г
2пк
<
7 =0
/1 2\ Пк -1 Пк(1 - г2)
1 _ Г2пк
Пк 1
,7 ек,7
7=0
<
Н2
(76)
£ 1£к,712.
к 7=0
В соответствии с выбором Гк и Пк (67), г2^ < е-2 для всех к, поскольку
используя второй замечательный предел имеем
Г2пк = 'к =
- 21
2 2к
е
С другой стороны, при к = 1 имеем г^ = (1 - I)4 = (1)4. Таким обра-
2
к.
(77)
1 \ 4 /1 \ 4
2пк
зом, справедлива двухсторонняя оценка на гк
(1)4 < г2Пк < е-2, к = 1,2,....
Для получение оценок на пк(1 - г|) преобразуем (67)
(78)
1
1 - 'к = 2к
(1 - Гк)(1+ Гк) (1+ Гк )
= 2к 2к (1 - г2 ) = 1+ Гк. (79)
2
Поскольку 0 < г к < 1 и Пк = 2к, имеем двухстороннюю оценку
1 < Пк(1 - г2) < 2.
Используем оценки (78) и (80) в неравенствах (76), а также возьмем квадратный корень и просуммируем по к
1 \ 2 го /пк-1
2 ОО
15
£ Е 3 <£
к=1 \ 3=0
<
2
к= 1
N 2 (Пк-1
о е е
/ 1--1 \ п— П
Пк-1
,3 ек,3
3=0
<
н2
(81)
1 - е-Ч ^^к,3 1 к=1 \ 3=0
Таким образом установлена эквивалентность а) ^^ б) - один из рядов сходится тогда и только тогда, когда сходится другой. Осталось показать, что из абсолютной сходимости по блокам следует безусловная сходимость ряда Vго Р е
Семейство функций {/л} банахова пространства Г называется суммируемым, если для любого е > 0 существует конечное множество О0 С М, такое что
/ - е /л
ле П
< е, V конечных О 1Э
Пусть ряд £^=1 рпеп абсолютно сходится по блокам. Используя доказанную эквивалентность между сходимостью ряда (75) и сходимостью ряда из
коэффициентов (74), для любого е > 0 можно выбрать к0 Е N такое, что
1
ГО /пк-1 \ 2
е е 1Рк,3 |2 < е (82)
к=к0 \ 3 =0 /
Обозначим как 10 конечное множество всех индексов (к^), для которых к = 1,..., к0 - 1 и ] =0, ...,Пк - 1. Для произвольного конечного множества I индексов (к^) такого что I Э 10, используя неравенство треугольника и оценку сверху в (81) имеем
ГО
Рк3 ек3 < е уз Рк,3 ек,3 <
(к,3)Е1 н2 к=к0 3 :(к,3)Е1 н2
2
1е
-2
(83)
Это означает, что семейство {£к,7ек,7} является суммируемым, что равносильно его безусловной сходимости [18].
□
Теорема 8 побуждает выбрать в качестве модельного пространства X пространство со смешанной нормой
1
/ — \ — /пк-1 \ 2
X = ф4 , Их = £ £ |хк, |2 . (84)
\к=1 / /1 к=1 \ 7 =0 /
Следующая теорема является центральной в работе. В ней показано построение банахова фрейма в пространстве Харди Н2 на основе дискретизи-рованных ядер Сеге.
Теорема 9. Пусть точки дискретизации {¿П}—=1 € Ю имеют вид (66) и (67). Тогда последовательность нормированных дискретизированных ядер Сеге
еп = (1 - | ¿п|2)2(85) является банаховых фреймом в Н2 относительно модельного пространства
(84).
Доказательство. Определим операторы синтеза Б : X ^ Н2 и анализа Я : Н2 ^ X* аналогично тому, как делали ранее
= £ £пеп, (86)
П=1
Я£ = {(еп,^)}—=1. (87)
Оператор синтеза Б является корректно определенным линейным оператором, поскольку соответствующий ряд сходится согласно теореме 8. Также, согласно теореме 8, оператор синтеза Б ограничен. Действительно, используя неравенство треугольника и принимая В = 2 в обозначениях теоремы
8 получаем
00
||н2 < £
к=1
Пк-1
,7 ек,7
7=0
< В||£||х.
Н2
Оператор анализа R является сопряженным к оператору синтеза S
/то \ то
<S£,g> = ( £ ^g) = £ ,g> = (£,Rg>. (88)
Поскольку норма оператора равна норме сопряженного ||Б|| = ||Я|| = В, то ||Я#||х* < В ||#||н2 и верхнее фреймовое неравенство из (35) имеет вид
||{(е«,0)}~1||х* < В|Ы|н2 = 2 №11н2. (89)
Перейдем к получению нижнего фреймового неравенства. Сопряженным X* к модельному пространству X является
i
то \ /пк — 1 \ 2
----- ' £ 1 -к/
,к=1 / к-1>2>." Vj-0
X * = 0 in к , lly Ух - = sup £ |ykj |2 . (90)
Учитывая определение нормализованного ядра Сеге (85), вид сопряженного пространства (90) и используя воспроизводящее свойство ядра Сеге (К, #) = #(£), нижнее фреймовое неравенство можно записать в виде
Пк — 1 „ \ 2
2\ x—^ i / 2пм ,2
ll{(en,g )}TO=ilx - = sup (1 — r2 )£ |g(rk ej > A||g||H. (91)
Функция g принадлежит диск-алгебре A(D) если она аналитична в D и непрерывна в D = (|z| < 1). Сначала мы докажем существование нижней границы фрейма (91) для g £ A(D), а потом обобщим результат на g £ H2. Поскольку функция G(z) = |g(z)|2 непрерывна на компактном множестве D она равномерно непрерывна: для любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что для произвольных z, Z £ D из условия |z — Z| <6 следует |G(z) — G(Z)| < е.
Рассмотрим семейство функций Gr(t) = |g(reit)|2, 0 < r < 1. Для всех 0 < r < 1 справедлива оценка |reis — reit| < |s — t|. Действительно, делая замену переменных s — t = 2p при |s — t| < 2п получаем
|reis — re^ = r ей(вг(5—— 1) = r |eiteip(eip — e—=
|s-t| (92)
= 2 |ieiteipsinp| =2 |sinp| < 21 o 1 = |s — t|.
Выбирая t,s Е R таким образом, чтобы выполнялось |s —t| <5 и используя определение равномерной непрерывности получаем для всех 0 < r < 1 |Gr(s) — Gr(t)| = IG(rels) — G(relt)l < e, что эквивалентно равностепенной непрерывности семейства функций Gr(t) = |g(reit)|2, 0 < r < 1, g Е A(D).
Кроме того, Gr(t) стремится к Gi(t) при r ^ 1 равномерно по t. В самом деле, выберем r так, чтобы 1 — r < 5. Поскольку |rerf — eit| = (1 — r) <5 для всех 0 < r < 1, то по определению равномерной непрерывности имеем для всех t Е R, |Gr(t) — Gi(t)| = |h(reit) — h(eit)| < e.
Покажем, что интегральные суммы Римана функций Gr(t) = |g(rerf)|2
S(Gr, *.) = - £ Gr( j, 0 n ^ V n /
j=0 4 7
<r < 1,
(93)
соответствующие разбиениям кп = отрезка [0,2п], сходятся к
/0п Gl(t)dt = 2п||д||2 при г ^ 1 и п ^ то. Доказательство этого факта будем производить в 2 этапа. Сначала покажем, что S(^г, кп) сходятся к
/02п Gr (t)dt, далее покажем, что f02n Gr (t)dt сходятся J02n G1(t)dt.
2п
-2п
Оценим S(Gr, кп) ^ J02n Gr (t)dt :
S(Gr, кп) — Gr (t)dt 0
г-1 „ Mj+1)
2п
n
n—1
£ G,
j=0
'2nj
n
1-1 n 2n(j+1)
e
J 2nj j =0 n
Gr(t)dt
e
Gr
2nj j=0 n
'2j
n
г—1 „ 2n(j+i)
e
2nj j =0 n
Gr(t)dt
г—1 „ 2n(j+i)
e
j=0 n
Gr \ —■ j — Gr (t)
n
dt
<
г—1 Л 2n(j+i)
<
e
' 2nj j=0 n
Gr ( —■ ) — Gr (t)
n
dt < {Gr
2n\
n
(94)
где ¡х>(^г}0<г<1, 6) = яир0<г<1 вир|в—(й) — Gr(t)| - модуль непрерывности семейства функций Gr (Ь).
Модуль непрерывности ¡х>(^г}0<г<1, 6) мажорируется модулем непрерыв-
n
n
n
n
n
ности функции д(г)
^(д,5) = вир (() - д(г)|
1С
поскольку согласно (92) справедлива оценка - = |гегв - гей| < - £| и следовательно множество - £| < 5 включено во множество - г| < 5.
Покажем /02п Сг (¿)(£ ^ /02П ^ (£)(£. Имеем
2п
■•2п />2п
*2п
<
-2п
0
/•2п
|д(гей)|2 -|д(ей)|2 <
(И =
(|д (ге^^)| + |д(ей)|)(|д(гей)|-|д(ей)|) < / 2тах {|д(г)||г € Ю} (|д(гей)| - |д(ей)|)
(96)
а =
*2п
= 2||д|
|^(гег^)| - |д(ей)| а < 2||д||А(в)2™(д, 1 - г),
где последнее неравенство выполняется поскольку расстояние между точками гей и д(ей) составляет 1 - г.
Комбинируя оценки (94) и (96), при г ^ 1 и п ^ —
*2п
Б(сг, кп) - С1(г)(г 0
< С^ ^д, + С^(д, 1 - г) ^ 0. (97)
Мы показали, что интегральные суммы Б(Сг, кп) сходятся к /02п =
2п||д||2. Это означает, что для Б(Сг, кп) (93) справедливо предельное соотношение
1
Пк-1
ит( —V |^(гке )|2) = урун2.
\ Г) 7 ^-^ ' ' /
к^то \ пк
(98)
7=0
Поскольку Нтк^то < вирк и для всех к = 1, 2... справедливо неравенство
1
пк
1 2 1
_ <---
2к 2к 22к
— < 1 - г2 ^^ ^ < ^ - ^ ^^ 1 < 2 - ^,
1
2к:
то из соотношения (98) следует нижнее фреймовое неравенство (91) с постоянной А =1 для функций д € А(Ю). Пусть теперь функция д принадлежит пространству Н2 (не обязательно А(Ю)). Возьмем произвольное £ > 0
0
и выберем д£ Е А(Ю) так, чтобы ||д — д£Цн2 < е. Тогда в силу (89) имеем ||Я(д — д£)||х* < Ве и поскольку Я линеен
\\r9\\e* = \\R(9 + 9e - gJWx* = \R(9e) - R(9 - 9e)\\x* > > \\R(ge)\x* - \\R(g - де)\\х* > \Ы\н2 - Be > \\g\\H2 - (1 + B)e,
(99)
где в предпоследнем неравенстве учтены оценки на нижнюю и верхнюю границы фрейма, а в последнем использовали ||д||#2 — ||д£||#2 < ||д — д£||#2 < е. Поскольку е > 0 произвольно, то получаем (91) для всех д Е Н2.
В явном виде фрейм пространства Харди Н2 на основе дискретизирован-ных ядер Сеге можно записать следующим образом
|д\\н2 < sup k=1,2...
2
1
2k 22k
<
2fc — 1
)£\g ([1 - 2
7 j=0
k
2nij
e "2^"
<
1- e
-2
д\\н 2
(100)
□
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Aronszajn N. Theory of reproducing kernels // Transactions of the American mathematical society. 1950. Vol. 68, № 3. P. 337-404.
2. Casazza P., Han D., Larson D. Frames for Banach spaces // Contemp. Math. 1999. Vol. 247. P. 149-182.
3. Casazza P., Christensen O., Stoeva D. Frame expansion in separable Banach spaces // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 307, № 2. P. 710-723.
4. Christensen O. An introduction to Frames and Riesz bases. Switzerland : Birkhäuser, 2016. 704 p.
5. Conway J. Functions of one complex variable II. N. Y. : Springer-Verlag, 1995. 396 p.
2
2
6. Duffin R., Schaeffer A. A class of nonharmonic Fourier series // Transactions of the American Mathematical Society. 1952. Vol. 72, № 2. P. 341-366.
7. Duren P. Theory of Hp Spaces. Academic Press, 1970. 258 p.
8. Duren P., Schuster A. Bergman Spaces. AMS, 2004. 318 p.
9. Fricain E., Khoi L., Lefevre P. Representing systems generated by reproducing kernels // Indag. Math. 2018. Vol. 29, № 3. P. 860-872.
10. Grochenig K. Describing functions: Atomic decompositions versus frames // Monatshefte für Mathematik. 1991. Vol. 112, № 1. P. 1-42.
11. Horowitz C. Zeros of functions in the Bergman spaces // Duke Math. J. 1974. Vol. 41. P. 693-710.
12. Heil C. A Basis Theory Primer. Basel : Birkhüuser, 2011. 537 p.
13. Katznelson Y. An Introduction to Harmonic Analysis. 3rd edition. Cambridge Univ. Press, 2004. 336 p.
14. Koosis P. Introduction to Hp spaces. Cambridge Univ. Press, 1998. 287 p.
15. Kreyszig E. Introductory functional analysis with applications. N. Y. : Wiley, 1989. 704 p.
16. Partington J. Interpolation, identification, and sampling. Clarendon Press, 1997. 280 p.
17. Rudin W. Functional Analysis. N. Y. : McGraw-Hill, 1991. 448 p.
18. Schaefer H, Wolff M. Topological Vector Spaces. N. Y. : Springer, 1999. 346 p.
19. Speransky K., Terekhin P. A representing system generated by the Szego kernel for the Hardy space // Indagationes Mathematicae. 2018. Vol. 29, № 3. P. 1318-1325.
20. Terekhin P. Representation systems and projections of bases // Math. Notes. 2004. Vol. 75, № 6. P. 881-884.
21. Кашин Б. С., Куликова Т. Ю. Замечание об описании фреймов общего вида // Матем. заметки. 2002. Т. 72, вып. 6. С. 941-945.
22. Напалков В. В. Ортоподобные системы разложения в пространствах с воспроизводящим ядром // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, вып. 3. С. 91-104.
23. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. М. : Изд-во МГУ, 1993. 352 с.
24. Сперанский К. С., Терехин П. А. Фреймовые свойства ядра Сеге в пространстве Харди // Тр. Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. 2017. Т. 54. С. 337-339.
25. Сперанский К. С., Терехин П. А. Представляющие свойства ядра Сеге в пространстве Харди // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 19-й междунар. Сарат. зимн. шк. Саратов : ООО Изд-во «Научная книга» , 2018. С. 299-301.
26. Сперанский К. С., Терехин П. А. О существовании фреймов в пространстве Харди, построенных на основе ядра Сеге // Изв. вузов. Математика. 2019. № 2. С. 57-68.
27. Терехин П. А. Фреймы в банаховом пространстве и их приложения к построению всплесков // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2. С. 65-81.
28. Терехин П. А. Банаховы фреймы в задаче аффинного синтеза // Матем. сб. 2009. Т. 200, вып. 9. С. 127-146.
29. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М. : Мир, 1970. 351 с.
