К вопросу о верхней оценке числа дополнительных рёбер минимальных вершинных расширений цветных циклов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Графом состояний отображения Af : Qn ^ Qn называется ориентированный граф, в котором Qn — множество вершин, а дуги соединяют слова а и в, если в = Af (а).

Данная работа посвящена описанию свойств графа состояний отображения Af, а именно описанию истоков, неподвижных точек и циклических состояний, нахождению длин максимальных цепочек.

Пусть f — булева функция от k переменных. Построим ориентированный граф Pf, вершинами которого являются все возможные слова длины k, а рёбра соединяют слова x1... xk и x2 ... xkb, если f (x\,... , xk) = b. Следующая теорема содержит способ нахождения всех неподвижных точек графов состояния отображения Af для произвольной булевой функции от k переменных.

Теорема 1. Пусть f — булева функция от k переменных и n кратно l. Граф Pf содержит простой цикл (v\,...,vi), где Vi = Xj . ..Xfc+j-i для i G {1,...,l}, тогда и только тогда, когда (х1... xi)n/l является неподвижной точкой графа состояний отображения Af.

В следующей теореме описаны все истоки графа состояний отображения.

Теорема 2. Пусть f — булева функция от k переменных и существует единственный набор значений переменных v, такой, что f (v) = 1. Тогда циклическое слово а длины n является истоком графа состояний отображения Af тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одному из условий:

1) а содержит подслово 10s-11, где 1 ^ s ^ k — 1 и s = s';

2) а содержит подслово 10k-11, где k = ts' и t ^ 2.

Здесь s' — минимальный период слова v.

Получено описание всех циклов и длин максимальных цепочек для графа состояний отображения Af, где f — булева функция от трёх переменных, удовлетворяющая условию предыдущей теоремы. Если f (0, 0, 0) = 1, то циклы этого графа представляют циклический сдвиг на 1, 2 или 3 позиции состояния, избегающего определённые слова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А., Лиховидова Е. О. Дискретная модель генной сети циркулянтного типа с

пороговыми функциями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. №2(3). С. 18-21.

УДК 519.17

К ВОПРОСУ О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ЧИСЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЁБЕР МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ ЦВЕТНЫХ ЦИКЛОВ

П. П. Бондаренко

Приводится верхняя оценка количества дополнительных рёбер в минимальных вершинных 1-расширениях циклов с вершинами двух типов, а также общий вид одного из расширений.

Ключевые слова: граф, цикл, минимальное расширение, отказоустойчивость.

Будем рассматривать неориентированные графы с вершинами двух типов или цветов. Для исследования отказоустойчивости дискретных систем J. P. Hayes [1] предло-

жил графовую модель и рассмотрел отказоустойчивые реализации некоторых классов графов. Основные понятия используются в соответствии с работой [2].

Определение 1. Граф С* = (V*,а*) называется минимальным вершинным к-расширением п-вершинного графа С = (V, а) с вершинами р типов, если выполняются следующие условия:

1) граф С* является вершинным к-расширением графа С, то есть граф С вложим в каждый подграф графа С*, получающийся удалением любых его к вершин;

2) граф С* содержит п + к ■ р вершин, то есть IV* | = IV| + к ■ р;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Рассмотрим цепь Рп с п + 2 вершинами двух типов: двумя вершинами первого типа степени 1 и п вершинами второго типа. Найдём минимальный по количеству рёбер граф РП, состоящий из п + 3 вершин (две вершины первого типа, а остальные — второго), такой, что при удалении любой вершины второго типа существует путь между вершинами первого типа, проходящий по п вершинам второго типа.

Лемма 1. Минимальное количество дополнительных рёбер в Р* равно [п/2] +3. Если вершины цепи Рп пронумерованы от 0 до п + 1, добавленная вершина в цепи Р* имеет номер п + 2, то для получения Р * к Р нужно добавить следующие рёбра:

а) п — нечётное, п > 1:

{0, 2}; {п + 2, п — 2}; {п + 2, п}; {п + 2, п +1}; {к, к + 3}, 1 ^ к ^ п — 4;

б) п — чётное, п > 2:

{0, 2}; {п + 2, п — 3}; {п + 2, п — 1}; {п + 2, п}; {п + 2, п +1}; {к, к + 3}, 1 ^ к ^ п — 5;

в) п =1: {п + 2, 0}, {п + 2, 2};

г) п = 2: {п + 2, 0}, {п + 2, 1}, {п + 2, 2}, {п + 2, 3}.

На рис. 1 приведены иллюстрирующие лемму примеры.

Будем рассматривать циклы Сп с вершинами двух типов. Поставим каждому циклу в соответствие последовательность чисел е0, е1,... , е&_1, такую, что

1) к — количество рёбер в цикле Сп, соединяющих две вершины разного типа, т. е. количество групп последовательных вершин одного типа, причём вершины, соседние с крайними из каждой группы, имеют другой тип;

2) г-я группа содержит е^ последовательно соединённых вершин одного типа. Пусть тип вершин в г-й группе отличается от типа вершин в (г — 1)-й группе для любого г > 0. Типы вершин в нулевой и (к — 1)-й группе тоже не совпадают;

3) ео + е1 + ■ ■ ■ + е&_1 = п.

Такой цикл будем обозначать Cn(e0, ei,... , ek-1).

Пусть C*n — минимальное вершинное 1-расширение цикла Cn(e0, e1,... , е^_1). Тогда минимальное количество рёбер, которые нужно добавить к Cn, чтобы получить C*n, можно оценить следующим образом.

Теорема 1. Количество дополнительных рёбер m в минимальном вершинном 1-расширении цикла Cn(e0, e1,... , ek-1) СП удовлетворяет условию

k_1

m < Lej/2j +3 ^ Ln/2j + 3k.

i=0

Одно из вершинных 1-расширений строится по лемме 1 последовательным рассмотрением всех групп е^.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C-25. No. 9. P. 875-884.

2. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012.

УДК 519.7

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕКОТОРЫХ ДИСКРЕТНО-АВТОМАТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, ЗАДАННЫХ СЛУЧАЙНЫМИ ГРАФАМИ1

А. А. Евдокимов, С. Е. Кочемазов, И. В. Отпущенников, А. А. Семенов

Приведены результаты вычислительного анализа задач поиска неподвижных точек и циклических режимов (циклов) для ряда дискретных отображений, используемых при моделировании поведения систем со множеством взаимодействующих агентов. Рассматривались отображения, задаваемые случайными графами, сгенерированными в соответствии с известными моделями (Сгар-графы, модель Уоттса — Строгатца).

Ключевые слова: случайные графы, генные сети, дискретно-автоматные отображения, SAT.

В последние несколько лет набирают популярность задачи исследования различных свойств мультиагентных систем, взаимодействие компонентов которых определяется сетями [1,2]. Такие системы используются в биоинформатике [3], в исследовании информационных и социальных сетей [2], а также в экономическом моделировании [4]. Авторами в течение ряда лет рассматривались задачи исследования динамических свойств дискретных отображений, естественным образом связанных с сетями. Так, в [5] введены и исследованы дискретные модели, описывающие процессы в генных сетях, получены теоретические результаты (в форме теорем), дающие условия возникновения неподвижных точек и циклов для отображений, заданных сетью регулярной структуры (использовались циркулянтные графы). В работе [6] весовые функции из [5] использовались в сетях случайной структуры. Рассматривались задачи поиска неподвижных

1 Работа выполнена при поддержке Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН №80 «Дифференциально-разностные и интегродифференциальные уравнения. Приложения к задачам естествознания»; гранта Президента РФ СП-3667.2013.5; грантов РФФИ № 11-07-00377а, 11-01-00997.