CC BY
7
2017 Прикладная теория графов №38
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.17
О МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ 1-РАСШИРЕНИЯХ ОРИЕНТАЦИЙ ЦЕПЕЙ
М. Б. Абросимов*, О. В. Моденова**
* Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия **Научно-образовательный центр «Эрудит», г. Саратов, Россия
Исследуются верхняя и нижняя оценки числа дополнительных дуг ec(Pn) минимального вершинного 1-расширения ориентации цепи Pn. Если ориентация цепи Pn имеет концы разного типа и отлична от гамильтоновой, то \(и + 1)/6] +2 ^ ^ ec(Pn) ^ и + 3. Если ориентация цепи Pn имеет концы одинакового типа, то \(и + 1)/4] +2 < ec(Pn) < и + 3.
Ключевые слова: минимальное вершинное 1-расширение, вершинная отказоустойчивая реализация, ориентация цепи.
DOI 10.17223/20710410/38/6
ON MINIMAL VERTEX 1-EXTENSIONS OF PATH ORIENTATION
M.B. Abrosimov*, O.V. Modenova**
* Saratov State University, Saratov, Russia ** SEC "Erudit", Saratov, Russia
E-mail: [email protected]
In 1976, J. Hayes proposed a graph theoretic model for the study of system fault tolerance by considering faults of nodes. In 1993, the model was expanded to the case of failures of links between nodes. A graph G* is a k-vertex extension of a graph G if every graph obtained by removing k vertex from G* contains G. A k-vertex extension G* of graph G is said to be minimal if it contains и + k vertices, where и is the number of vertices in G, and G* has the minimum number of edges among all k-vertex extensions of graph G with и + k vertices. In the paper, the upper and lower bounds for the number of additional arcs ec(pn) of a minimal vertex 1-extension of an oriented path pn are obtained. For the oriented path pn with ends of different types which is not isomorphic to Hamiltonian path, we have \(и + 1)/6] +2 ^ ec(pPn) ^ и + 3. For the oriented path pn with ends of equal types, we have \(и + 1)/4] +2 ^ ec(ppn) ^ < и + 3.
Keywords: minimal vertex extension, node fault tolerance, path orientation.
Введение
Для изучения отказов элементов технической системы предложено понятие вершинной отказоустойчивой реализации (вершинного расширения) [1,2], а для изучения отказов связей между элементами — понятие рёберной отказоустойчивой реализации (рёберного расширения) [3]. В [4] доказано, что задача проверки вершинного или рёберного расширения графа является КР-полной. В общем виде задачу описания вершинных расширений произвольного графа решить не удаётся. Основное направление работ в этой области продолжает следовать подходу [1-3], при котором описывается частное решение для графов определённого вида: цепей, циклов, деревьев. Основное внимание уделяется неориентированным графам.
В некоторых работах получены результаты для частных случаев ориентированных графов: функциональных графов [5] и контуров [6]. В данной работе исследуются ориентации цепей. Под цепью понимается дерево, степени вершин которого не больше 2. Две вершины степени 1 называются концами цепи. Под ориентацией цепи понимается орграф, получающийся из цепи заданием ориентации каждого ребра. п-Вершинную цепь будем обозначать Рп, а ориентацию цепи — "РРп. Очевидно, что цепь и её ориентация содержат п — 1 рёбер и дуг соответственно. Среди важных частных случаев ори-ентаций цепи выделим гамильтонову цепь (все рёбра ориентируются в одну сторону) и цепь, состоящую из чередующихся источников и стоков (все рёбра ориентируются поочередно в разные стороны).
Через в+(у) и в- (у) будем обозначать степени (полустепени) исхода и захода вершины у соответственно. Для вершины у будем указывать пару степеней исхода и захода в порядке (в+(у), в-(у)). Степенью вершины в орграфе называется число дуг, имеющих эту вершину своим началом или концом: в(у) = в+(у) + в-(у). Если в ориентации цепи концы имеют одинаковые полустепени исхода и захода, то будем говорить о цепи с концами одинакового типа, в противном случае — о цепи с концами разного типа. Будем использовать основные понятия теории графов, опираясь преимущественно на работу [7].
Дадим далее основные определения по работе [8].
Граф С* = (V*,а*) называется минимальным вершинным к-расширением (МВ-кР, к — натуральное) п-вершинного графа С = (V, а), если выполняются следующие условия:
1) граф С* является вершинным к-расширением графа С, то есть граф С вкладывается в каждый подграф графа С*, получающийся удалением любых его к вершин;
2) граф С* содержит п + к вершин, то есть IV* | = IV| + к;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.
Через ес(С) обозначается количество дополнительных рёбер минимального вершинного расширения по сравнению с числом рёбер графа С.
Некоторые результаты могут быть полезны при переходе от неориентированных графов к ориентированным.
Лемма 1 [9]. Пусть С * —минимальное вершинное к-расширение орграфа (С. Тогда симметризация и * является вершинным к-расширением симметризации (С.
Напомним, что симметризацией орграфа = (V, а) называется граф
С = (V, (а и а-1)\Д),
то есть симметризация орграфа получается заменой дуг рёбрами и удалением петель.
Одним из наиболее простых результатов для неориентированных графов является утверждение о том, что минимальным вершинным 1-расширением цепи Рп является цикл Сп+1, который имеет два дополнительных ребра [1]. Однако перенос этой задачи на случай ориентированных графов, за исключением случая, когда все рёбра ориентируются в одну сторону, оказывается нетривиальной задачей (рис. 1). В данной работе исследуются оценки числа дополнительных дуг минимального вершинного 1-расширения ориентации цепи. В [10] доказан следующий результат.
О—Ю
о^о—*о ... о^ю
Рис. 1. Гамильтонова ориентация цепи и её МВ-1Р
Теорема 1 [10]. Среди всех ориентаций произвольной цепи Рп только гамильтонова ориентация имеет МВ-1Р с двумя дополнительными дугами.
В [11] результат удалось улучшить.
Теорема 2 [11]. Не существует ориентаций цепей с числом вершин больше четырёх, таких, что МВ-1Р имеет три дополнительных дуги.
1. Основные результаты
Заметим достаточно очевидный факт, который можно использовать для получения верхней оценки числа дополнительных дуг.
Теорема 3. Неориентированный цикл Сп+1 при п > 1 является вершинным 1-расширением для любой ориентации цепи Рп.
Из теоремы получается оценка
ес(Рп) ^ п + 3.
Лемма 2. Если у ориентации цепи ~Рп концы имеют одинаковый тип, то в её МВ-1Р не может быть двух смежных вершин степени 2.
Доказательство. Заметим, что ориентация цепи из условия теоремы не может быть гамильтоновой, так как у гамильтоновой ориентации цепи концы имеют разный тип.
Предположим, что утверждение теоремы неверно. Пусть в МВ-1Р ориентации цепи ~Рп есть две смежные вершины и1 и и2 степени 2. Не теряя общности, ориентируем ребро между и1 и и2 таким образом, чтобы получилась дуга из и1 в и2 (рис. 2).
"о и 1 и2 и3 О-О-Ю-О
Рис. 2. Ориентация ребра между двумя смежными вершинами степени 2
Если удалим вершину и0, то и1 будет иметь полустепени (1,0). Если удалим вершину и3, то и2 будет иметь полустепени (0,1). Получили противоречие, так как по условию концы ориентации цепи должны иметь одинаковый тип. ■
Лемма 3. Если у негамильтоновой ориентации цепи ~Рп концы имеют разный тип, то в её МВ-1Р не может быть вершины степени 2, смежной с двумя вершинами степени 2.
Доказательство. От противного. Пусть в МВ-1Р ориентации цепи Рп есть вершина «2, смежная с вершинами и1 и «3, причём в(и1) = в(«2) = в(«3) = 2. Рассмотрим различные способы ориентации рёбер между этими вершинами.
1. Пусть дуга из и1 идёт в и2, из и2 — в и3 (рис. 3).
и0 и^ и2 и3 иЛ
о-о-*э-ю-о
Рис. 3. Случай 1
а) Удалим вершину и0. Тогда в цепи будет участок, состоящий из двух дуг, направленных в одну сторону (рис. 4), причём он начинается с вершины, имеющей полустепени (1,0).
б) Удалим вершину и1. Тогда вершина и2 имеет полустепени (1,0). По п. а получается, что дуга из и3 должна идти в и4 (рис. 5).
и 1 и2 и3 и2 и3 и4
О-КЭ-ХЭ-... О-Ю-Ю-...
Рис. 4. Случай 1, а Рис. 5. Случай 1, б
Продолжая эти рассуждения, получаем, что все дуги ориентированы в одну сторону, то есть ориентация цепи является гамильтоновой, что противоречит условию теоремы.
2. Пусть в ориентации дуги из и1 и и3 идут в и2 (рис. 6).
и 1 и2 и3
...-О-КХ-О-...
Рис. 6. Случай 2
а) Удалим вершину и2. По условию концы цепи должны иметь разный тип. Тогда есть либо дуги (м0,м1) и (и3,и4) (рис.7), либо дуги (м1,м0) и (и4,и3) (рис.8).
и0 и, и2 и3 и4 и0 и2 и3 иЛ
о-Ю->СХ-О-*Э Сх-О-*0*-Сх-О
Рис. 7. Случай 2, а: дуги (и0,и1) и (и3,и4) Рис. 8. Случай 2, а: дуги (и1,и0) и (и4,и3)
б) Пусть есть дуги (м0,м1) и (и3,и4). Если удалить и1, то и2 — конечная вершина ориентации цепи, т. е. после вершины со степенью (0,1) должна идти вершина степени (2,0) (рис.9).
в) Если удалить вершину и3, то получим противоречие с п. б — после конца ориентации цепи и2 степени (0,1) идёт вершина степени (1,1) (рис. 10).
и2 и3 иА и0 Ит и2 СХ-О-Ю О-Ю-*Э
Рис. 9. Случай 2, б Рис. 10. Случай 2, в
Для второго случая (дуги (и1,и0) и (и4,и3)) доказательство аналогичное. Для двух других способов ориентации рёбер между вершинами и1, и2 и и3 доказательство проводится аналогично. ■
Теорема 4. Число дополнительных дуг МВ-1Р негамильтоновой ориентации цепи ~Рп, имеющей концы разного типа, удовлетворяет неравенствам
п + 1"
—— +2 ^ ес(Рп) ^ п + 3. 6
Доказательство. Докажем нижнюю оценку.
Учитывая лемму 3, получаем, что в МВ-1Р ориентации цепи ~Рп из условия теоремы вершина степени 2 не может быть смежна с двумя вершинами степени 2. Таким образом, чтобы построить МВ-1Р негамильтоновой ориентации цепи ~Р^п, требуется:
1. Две дуги, которые соединят добавленную вершину с концами цепи.
2. На каждые три вершины должно приходиться минимум по одной дуге. Вершин в МВ-1Р п+1. Отсюда получается нижняя оценка. Верхняя оценка следует
из теоремы 3. ■
Теорема 5. Число дополнительных дуг МВ-1Р ориентации цепи рп, имеющей концы одинакового типа, удовлетворяет неравенствам
n + 1 4
+ 2 ^ ec(Pn) ^ n + 3.
Доказательство. Докажем нижнюю оценку.
Учитывая лемму 2, получаем, что в МВ-1Р ориентации цепи из условия теоремы не может быть двух смежных вершин степени 2. Таким образом, чтобы построить МВ-1Р негамильтоновой ориентации цепи ~Pn, требуется:
1. Две дуги, которые соединят добавленную вершину с концами цепи.
2. На каждые две вершины должно приходиться минимум по одной дуге. Вершин в МВ-1Р n+1. Отсюда получается нижняя оценка. Верхняя оценка следует
из теоремы 3. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.25. No. 9. P. 875-884.
2. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.
3. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.
4. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.
5. Киреева А. В. Отказоустойчивость в функциональных графах // Упорядоченные множества и решетки. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1995. Вып. 11. С. 32-38.
6. Sung T. Y., Lin C. Y., Chuang Y. C., and Hsu L. H. Fault tolerant token ring embedding in double loop networks // Inform. Process. Lett. 1998. V. 66. P. 201-207.
7. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997. 368 с.
8. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
2012. 192с.
9. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения направленных звезд // Дискретная математика. 2011. Т. 23. №2. С. 93-102.
10. Абросимов М. Б., Моденова О. В. Характеризация орграфов с малым числом дополнительных дуг минимального вершинного 1-расширения // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер.
2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 2. Ч.2. С. 3-9.
11. Абросимов М. Б., Моденова О. В. Характеризация орграфов с тремя дополнительными дугами в минимальном вершинном 1-расширении // Прикладная дискретная математика. 2013. №3. С. 68-75.
REFERENCES
1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system. IEEE Trans. Comput., 1976, vol. C.25, no. 9, pp. 875-884.
2. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs. Networks, 1996, vol. 27, pp. 19-23.
3. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs. Networks, 1993, vol. 23, pp. 135-142.
4. Abrosimov M. B. On the complexity of some problems related to graph extensions. Math. Notes, 2010, no. 5-6(88), pp. 619-625.
5. KireevaA.V. Otkazoustojchivost' v funkcional'nyh grafah [Fault tolerance of functional graphs]. Uporyadochennye mnozhestva i reshetki. Saratov, SSU Publ., 1995, iss. 11, pp. 32-38. (in Russian)
6. Sung T. Y., Lin C. Y., Chuang Y. C., and Hsu L. H. Fault tolerant token ring embedding in double loop networks. Inform. Process. Lett., 1998, vol.66, pp. 201-207.
7. Bogomolov A. M. and Salii В. Н. Algebraicheskie osnovy teorii diskretnyh sistem [Algebraic Foundations of the Theory of Discrete Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1997. 368p. (in Russian)
8. Abrosimov M. B. Grafovye modeli otkazoustojchivosti [Graph Models for Fault Tolerance]. Saratov, SSU Publ., 2012. 192 p. (in Russian)
9. Abrosimov M. B. Minimal'nye vershinnye rasshireniya napravlennyh zvezd [Minimal vertex extensions of directed stars]. Diskr. Math., 2011, vol.23, no.2, pp.93-102. (in Russian)
10. Abrosimov M. B. and Modenova O. V. Harakterizaciya orgrafov s malym chislom dopolnitel'nyh dug minimal'nogo vershinnogo 1-rasshireniya [Characterization of graphs with a small number of additional arcs in a minimal 1-vertex extension]. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol.13, iss. 2, part. 2, pp. 3-9. (in Russian)
11. Abrosimov M. B. and Modenova O. V. Harakterizaciya orgrafov s tremya dopolnitel'nymi dugami v minimal'nom vershinnom 1-rasshirenii [Characterization of graphs with three additional edges in a minimal 1-vertex extension]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2013, no.3, pp. 68-75. (in Russian)
