CC BY
26
№6 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2013
Секция 4 ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.17
О НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ ЧИСЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДУГ МИНИМАЛЬНОГО ВЕРШИННОГО 1-РАСШИРЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ЦЕПИ
М. Б. Абросимов, О. В. Моденова
Даётся нижняя оценка для числа дополнительных дуг минимального вершинного 1-расширения произвольной ориентации цепи.
Ключевые слова: граф, минимальное вершинное расширение, отказоустойчивость.
Граф С* = (V*,а*) называется минимальным вершинным к-расширением п-вер-шинного графа С = (V, а), если выполняются следующие условия:
1) граф С* является вершинным к-расширением графа С, то есть граф С вложим в каждый подграф графа С*, получающийся удалением любых его к вершин;
2) граф С* содержит п + к вершин, то есть IV*| = IV| + к;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.
Понятие минимального вершинного к-расширения появилось в работе Дж. Хейза [1] как модель для исследования отказоустойчивости дискретных систем. Там же доказывается, что минимальным вершинным 1-расширением п-вершинной цепи является (п + 1)-вершинный цикл, а в работе [2] доказывается, что это минимальное вершинное 1-расширение является единственным с точностью до изоморфизма. Задача поиска минимального вершинного к-расширения для произвольного графа является вычислительно сложной [3], и в общем виде решение удалось получить лишь для некоторых классов графов.
Рассмотрим ориентации цепи. Очевидно, что ориентация цепи, являющаяся гамильтоновым графом, имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение — контур с одной дополнительной вершиной.
В работе [4] доказывается результат, позволяющий связать минимальные вершинные 1-расширения неориентированных графов и их ориентаций: число дополнительных дуг минимального вершинного 1-расширения орграфа не меньше числа дополнительных рёбер минимального вершинного 1-расширения его симметризации.
Удалось установить следующие результаты.
Теорема 1. Среди ориентаций цепи только гамильтонова цепь имеет минимальное вершинное 1-расширение, содержащее две дополнительные дуги.
Теорема 2. Не существует ориентаций цепей с числом вершин п > 4, таких, что их минимальное вершинное 1-расширение содержит три дополнительные дуги.
Полученные теоремы позволяют получить следующее утверждение.
Следствие 1. Любая ориентация цепи с числом вершин n > 4, отличная от гамильтоновой цепи, имеет минимальное вершинное 1-расширение с не менее чем четырьмя дополнительными дугами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C-25. No. 9. P. 875-884.
2. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.
3. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. Вып. 5. С. 643-650.
4. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения направленных звезд // Дискретная математика. 2011. №23:2. С. 93-102.
УДК 519.172.3, 519.68
СВОЙСТВА ГЕННЫХ СЕТЕЙ ЦИРКУЛЯНТНОГО ТИПА С ПОРОГОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Ц. Ч.-Д. Батуева
Описан алгоритм нахождения всех неподвижных точек графа состояний генной сети циркулянтного типа с произвольной булевой функцией. Описаны все истоки графа состояний генной сети с пороговой функцией от к переменных, такой, что существует единственный набор V, для которого /(у) = 1. Для таких функций от трёх переменных описаны все циклы графа состояний и вычислены длины максимальных цепочек до цикла.
Ключевые слова: генная сеть, ориентированный граф, пороговая функция, граф состояний отображения, цикл, неподвижная точка, исток графа состояний.
Пусть п ^ к — натуральные числа. Циклическим словом называется периодическое бесконечное в две стороны слово с периодом п; обозначается а1а2 ... ап. Множество всех циклических слов длины п будем обозначать через Пп.
Рассмотрим ориентированный граф Сп,к+1 = (V, Е), где множество вершин V равно {^і,... , уп} (последовательность вершин соответствует циклическому слову), а множество рёбер Е такое, что каждая вершина V имеет входящие рёбра из к предыдущих вершин и выходящие в к следующих вершин.
Пороговой функцией называется булева функция, которая представима в виде к
Е аі Хі > Т
і= 1
f(X1, .. . ,Xk)
где ai — вес аргумента Xi, a T — порог функции f;
аг, Т е К.
Рассмотрим пороговую функцию f, зависящую от к переменных. Построим отображение Af : Пп ^ Пп, которое каждому слову а\а2 ... ап ставит в соответствие слово Ь1Ь2 . . . Ьп, если
Ьг — f (аг-к, aг—k+1, . . . , аг—1)
для всех г е {1,...,п}. Неподвижной точкой отображения Af называется слово а, такое, что а = Af(а).
Циклическое слово а называется истоком для отображения Af : Пп ^ Пп, если не существует слова в, такого, что Af (в) = а.
