Свойства генных сетей циркулянтного типа с пороговыми функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следствие 1. Любая ориентация цепи с числом вершин n > 4, отличная от гамильтоновой цепи, имеет минимальное вершинное 1-расширение с не менее чем четырьмя дополнительными дугами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C-25. No. 9. P. 875-884.

2. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.

3. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. Вып. 5. С. 643-650.

4. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения направленных звезд // Дискретная математика. 2011. №23:2. С. 93-102.

УДК 519.172.3, 519.68

СВОЙСТВА ГЕННЫХ СЕТЕЙ ЦИРКУЛЯНТНОГО ТИПА С ПОРОГОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Ц. Ч.-Д. Батуева

Описан алгоритм нахождения всех неподвижных точек графа состояний генной сети циркулянтного типа с произвольной булевой функцией. Описаны все истоки графа состояний генной сети с пороговой функцией от к переменных, такой, что существует единственный набор V, для которого /(у) = 1. Для таких функций от трёх переменных описаны все циклы графа состояний и вычислены длины максимальных цепочек до цикла.

Ключевые слова: генная сеть, ориентированный граф, пороговая функция, граф состояний отображения, цикл, неподвижная точка, исток графа состояний.

Пусть п ^ к — натуральные числа. Циклическим словом называется периодическое бесконечное в две стороны слово с периодом п; обозначается а1а2 ... ап. Множество всех циклических слов длины п будем обозначать через Пп.

Рассмотрим ориентированный граф Оп,к+1 = (V, Е), где множество вершин V равно {^і,... ,уп} (последовательность вершин соответствует циклическому слову), а множество рёбер Е такое, что каждая вершина уі имеет входящие рёбра из к предыдущих вершин и выходящие в к следующих вершин.

Пороговой функцией называется булева функция, которая представима в виде к

Е аі Хі > Т

і= 1

f (X1, ...,Xk )

где ai — вес аргумента Xi, a T — порог функции f;

аг, Т е К.

Рассмотрим пороговую функцию f, зависящую от к переменных. Построим отображение Af : Пп ^ Пп, которое каждому слову а1а2 ... ап ставит в соответствие слово Ь1Ъ2 . . . Ьп, если

Ьг — f (аг-к, ai—k+1, . . . , аг-1~)

для всех г е {1 ,...,п}. Неподвижной точкой отображения Af называется слово а, такое, что а — Af (а).

Циклическое слово а называется истоком для отображения Af : Пп ^ Пп, если не существует слова в, такого, что Af (в) — а.

Графом состояний отображения Af : Qn ^ Qn называется ориентированный граф, в котором Qn — множество вершин, а дуги соединяют слова а и в, если в = Af (а).

Данная работа посвящена описанию свойств графа состояний отображения Af, а именно описанию истоков, неподвижных точек и циклических состояний, нахождению длин максимальных цепочек.

Пусть f — булева функция от k переменных. Построим ориентированный граф Pf, вершинами которого являются все возможные слова длины k, а рёбра соединяют слова x1.. .xk и х2 ... xk b, если f (x\,... , xk) = b. Следующая теорема содержит способ нахождения всех неподвижных точек графов состояния отображения Af для произвольной булевой функции от k переменных.

Теорема 1. Пусть f — булева функция от k переменных и n кратно l. Граф Pf содержит простой цикл (v\,...,vi), где vi = xi ...xk+i-1 для i G {1,...,l}, тогда и только тогда, когда (x1... xi)n/l является неподвижной точкой графа состояний отображения Af.

В следующей теореме описаны все истоки графа состояний отображения.

Теорема 2. Пусть f — булева функция от k переменных и существует единственный набор значений переменных v, такой, что f (v) = 1. Тогда циклическое слово а длины n является истоком графа состояний отображения Af тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одному из условий:

1) а содержит подслово 10s-11, где 1 ^ s ^ k — 1 и s = s';

2) а содержит подслово 10k-11, где k = ts' и t ^ 2.

Здесь s' — минимальный период слова v.

Получено описание всех циклов и длин максимальных цепочек для графа состояний отображения Af, где f — булева функция от трёх переменных, удовлетворяющая условию предыдущей теоремы. Если f (0, 0, 0) = 1, то циклы этого графа представляют циклический сдвиг на 1, 2 или 3 позиции состояния, избегающего определённые слова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А., Лиховидова Е. О. Дискретная модель генной сети циркулянтного типа с

пороговыми функциями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. №2(3). С. 18-21.

УДК 519.17

К ВОПРОСУ О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ЧИСЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЁБЕР МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ РАСШИРЕНИЙ

ЦВЕТНЫХ ЦИКЛОВ

П. П. Бондаренко

Приводится верхняя оценка количества дополнительных рёбер в минимальных вершинных 1-расширениях циклов с вершинами двух типов, а также общий вид одного из расширений.

Ключевые слова: граф, цикл, минимальное расширение, отказоустойчивость.

Будем рассматривать неориентированные графы с вершинами двух типов или цветов. Для исследования отказоустойчивости дискретных систем J. P. Hayes [1] предло-