О циклах графов функционирования генных сетей циркулянтного типа с пороговыми функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

№7 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2014

Секция 8

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 51-76

О ЦИКЛАХ ГРАФОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ГЕННЫХ СЕТЕЙ ЦИРКУЛЯНТНОГО ТИПА С ПОРОГОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ

И. С. Быков

Рассматривается функционирование генных сетей циркулянтного типа с пороговыми функциями при значении параметра р = 2. Проведена классификация всех состояний системы в зависимости от длин серий нулей и единиц. Установлено, что все циклы графа функционирования делятся на два типа: состоящие только из состояний с длинными сериями и состоящие только из состояний с короткими сериями. Получена оценка на количество циклов в графе функционирования. Описана конструкция для построения циклов из состояний с короткими сериями.

Ключевые слова: генные сети, пороговые функции, граф функционирования, циклы графа функционирования, состояния с длинными сериями, состояния с ко-роктими сериями.

В работе рассматривается функционирование дискретных моделей генных сетей [1]. Как ив [2], рассматриваются пороговые функции в вершинах с произвольным пороговым значением Т.

Состоянием генной сети назовём кортеж (во, в1, . . . , вп-1), где вг Е {0,1,... ,р — 1}. Функционированием такой системы будем называть последовательное изменение состояний

Б,А(Б ),А2(Б ),А3(Б),...,

где Б — некоторое состояние; А — отображение, действующее на множестве всех состояний.

Отображение А задается пороговой функцией с двумя параметрами к и Т следующим образом: пусть Б = (в0, в1,... , вп-1), тогда А(Б) = (в0, в1,... , в'п-1), где

к

вг + 1, если £ вг+3' <Т и вг < р — 1,

3 = 1

к

вг — 1, если £ вг+з ^ Т и вг > 0,

3=1

вг иначе.

Здесь и далее операции в индексах выполняются по модулю п.

В работе рассматривается функционирование системы при р = 2. В этом случае

к

. 0, если £ вг+3 ^ Т, вг = \ 3=1

1 иначе.

Графом функционирования называют ориентированный граф С(^ Б), где V — множество всех состояний; Б = {($і, Б2) : Б1, Б2 Є V; А($і) = Б2}.

Задачей анализа функционирования называется задача описания качественных характеристик графа функционирования по заданным параметрам п, к, Т.

Одной из таких задач является изучение свойств состояний, входящих в циклы графа функционирования. Рассматривая полученные свойства, можно получать оценки на количество циклов (компонент связности) графа функционирования, а также перечислять некоторые из циклов.

Выделим среди множества всех состояний два подмножества: состояния с длинными сериями и состояния с короткими сериями.

1. Состояния с длинными сериями

Определение 1. Состояние 5 будем называть состоянием с длинными сериями, если длина каждой серии из нулей не меньше к — Т +1, а длина каждой серии из единиц не меньше Т.

Теорема 1. Любое состояние с длинными сериями лежит в цикле графа функционирования. Все состояния этого цикла также являются состояниями с длинными сериями.

В силу теоремы 1, подсчитав количество состояний с длинными сериями, можно получить, например, следующую оценку на количество циклов в графе функционирования.

Теорема 2. Количество циклов в графе функционирования системы с параметрами п, к, Т не менее

I. к+1 ] ~

1 + Е Р(п — (к — 1)і, 2і),

І=1

где Р(а, Ь) —число циклических разбиений а на Ь слагаемых.

2. Состояния с короткими сериями

Определение 2. Состояние 5 будем называть состоянием с короткими сериями, если длина каждой серии из нулей не больше к — Т, а длина каждой серии из единиц не больше Т — 1 .

Теорема 3. Если состояние лежит в цикле графа функционирования, то оно является либо состоянием с длинными сериями, либо состоянием с короткими сериями.

Обозначим вес состояния (количество ненулевых компонент) как Ш(Б).

Состояния с короткими сериями в системах с большими параметрами можно строить из подходящих систем с меньшими параметрами, используя одну из следующих двух конструкций.

Теорема 4. Пусть имеется д систем, Бі — состояние с длинными сериями в системе с параметрами щ, кі, Ті и отображением Аі. Тогда если для некоторых к и Т и любого 0 ^ і ^ д — 1 выполняются условия

к = к, + Е Пі — щ, т = т, + Е Ш(Бі) — ш(Б,), ш(Б) = ш(А(Б,)),

і=0 і=0

то состояние $ = $о $1 ... $9_1 лежит в цикле графа функционирования системы с параметрами

п = Е пг, к = ко + Е П - По, Т = То + Е ^(£*) - W($0)

г=0 г=0 г=0

и является состоянием с короткими сериями.

Теорема 5. Пусть состояние $' лежит в цикле графа функционирования системы с параметрами п', к', Т' и отображением А' и выполнено условие W($) = W(А'($")). Тогда состояние

' ' ' '

$ -- $ $ . . . $ $

'-----V------'

т

лежит в цикле графа функционирования системы с параметрами

п = тп', к = к' + /п', Т = Т' + ^($') и является состоянием с короткими сериями для всех 0 < / < т.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А., Лиховидова Е. О. Дискретная модель генной сети циркулянтного типа с пороговыми функциями // Вестник Томского государственного университета. 2008. №2. С.18-21.

2. Быков И. С. Функционирование дискретных моделей генных сетей циркулянтного типа с пороговыми функциями // Материалы IX молодежной научн. школы по дискретной математике и её приложениям. МГУ, 2013. С. 26-31.

УДК 519.17

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ Т-НЕПРИВОДИМОГО РАСШИРЕНИЯ ДЛЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОРГРАФОВ

А. В. Гавриков

Предложен полиномиальный алгоритм построения одного из Т-неприводимых расширений для многоугольного орграфа. Приведено доказательство корректности алгоритма.

Ключевые слова: многоугольный орграф, отказоустойчивость дискретных систем, Т-неприводимое расширение.

Под ориентированным графом (или орграфом) понимается пара С = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин; а — отношение на множестве V (дуги орграфа). Вложение орграфа С = (V, а) в орграф Н = (^ в) — это взаимно однозначное отображение : V ^ W, такое, что (Ум, V € V)((м, V) € а ^ (^(м),^(м)) € в). При этом говорят, что орграф С вкладывается в орграф Н. Расширение орграфа С = (V, а) — это орграф Н = (^ в), где |W| = IV| + 1, такой, что орграф С вкладывается в каждый максимальный подграф орграфа Н [1]. Тривиальное расширение (ТР) орграфа С — это соединение С + ш орграфа С с вершиной ш, обозначается через ТР(С). Т-неприводимое расширение (ТНР) орграфа С — это расширение орграфа С, полученное удалением максимального множества дуг из ТР(С) [2].

Ориентированные графы представляют собой математические модели дискретных систем [3]. Вопросы отказоустойчивости на данный момент сформулированы в терминах теории графов [3, 4]. Конструкции оптимальных расширений, которыми являются