CC BY
31
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2013 Прикладная теория графов №3(21)
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.17
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ОРГРАФОВ С ТРЕМЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ДУГАМИ В МИНИМАЛЬНОМ ВЕРШИННОМ 1-РАСШИРЕНИИ
М. Б. Абросимов, О. В. Моденова Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия
E-mail: mic@rambler.ru
Описаны все орграфы, минимальное вершинное 1-расширение которых имеет в точности три дополнительных ребра.
Ключевые слова: граф, минимальное вершинное 1-расширение, точное вершинное 1-расширение, оптимальная отказоустойчивая реализация.
Введение
Ориентированным графом (далее — орграфом) называется пара "(G = (V, а), где V — конечное непустое множество, называемое множеством вершин, а а — отношение на множестве вершин V, называемое отношением смежности. Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется неориентированным графом. Далее используются основные понятия преимущественно в соответствии с работой [1].
Симметризацией орграфа "(G = (V, а) называется неорграф G = (V, (а U а-1)\Д), то есть симметризация орграфа получается заменой дуг рёбрами и удалением петель.
Граф G* = (V*, а*) называется минимальным вершинным k-расширением (МВ-кР) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:
1) граф G* является вершинным k-расширением G, то есть граф G вложим в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его к вершин;
2) граф G* содержит n + к вершин, то есть |V*| = |V| + к;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.
Построение МВ-кР можно представить как добавление к исходному графу к дополнительных вершин и некоторого числа дополнительных рёбер. Это число дополнительных рёбер иногда называют рёберной стоимостью (edge cost) и обозначают ec(G^).
Граф G* называется точным вершинным к-расширением (ТВ-кР) графа G, если граф G изоморфен каждому подграфу графа G*, получающемуся из него удалением любых его к вершин и всех связанных с ними дуг (рёбер).
В данной работе рассматривается случай к =1.
Понятие МВ-кР введено на основе понятия оптимальной к-отказоустойчивой реализации, которое предложено Хейзом в работе [2]. Оказалось, что задача является вычислительно сложной [3]. Исследования данной проблемы развивались в двух направлениях. Основное направление — поиск минимальных расширений для интересных классов графов: цепей, циклов, деревьев. Второе — описание графов, минимальные расширения которых имеют заданное число дополнительных дуг или рёбер. В работе [4] исследована задача описания неориентированных графов с ec(G, 1) ^ 3. Получены следующие результаты (теоремы 1-5).
Теорема 1. МВ-кР, причём единственное с точностью до изоморфизма, вполне несвязного п-вершинного графа Оп есть вполне несвязный (п + к)-вершинный граф Оп+к • Никакие другие графы не могут иметь МВ-кР с нулевым числом дополнительных рёбер.
Теорема 2. Графы со степенным множеством {1, 0}, и только они, имеют МВ-1Р с одним дополнительным ребром, причём это расширение единственно с точностью до изоморфизма.
Теорема 3. Среди связных графов только цепи имеют МВ-1Р с двумя дополнительными рёбрами, причём это расширение единственно с точностью до изоморфизма.
Теорема 4. Среди несвязных графов без изолированных вершин только графы вида Рп и Сп+1 и... и Сп+1 при п > 1 имеют МВ-1Р с двумя дополнительными рёбрами, причём это расширение имеет вид С'п+1иС'п+1 и.. .иСп+1, и оно единственно с точностью до изоморфизма.
Теорема 5. Связные графы, имеющие МВ-1Р с тремя дополнительными рёбрами, могут иметь только следующий вид:
1) полный граф К3;
2) графы с вектором степеней вида (3,... , 3, 2, 2, 2), имеющие ТВ-1Р;
3) графы с вектором степеней (3, 3, 3,... , 3, 2,..., 2,1) особого вида.
В данной работе изучается аналогичный вопрос для ориентированных графов. В [5] показана связь между МВ-1Р неориентированных и ориентированных графов.
Лемма 1. Пусть орграф О* есть МВ-кР орграфа О. Тогда симметризация орграфа О* является вершинным к-расширением симметризации орграфа О.
Следствие. Число дополнительных дуг МВ-кР орграфа О не меньше числа дополнительных рёбер МВ-кР симметризации орграфа О.
В работе [6] удалось полностью описать орграфы с ес(0,1) ^ 2. Далее рассмотрим случай ес(0,1) = 3.
Основные результаты
Рассмотрим только связные орграфы без петель.
Лемма 2. В симметризации МВ-1Р ориентаций цепей вершины степени 3 не могут быть смежны с тремя вершинами степени 2.
Доказательство. Допустим, от противного, что есть МВ-1Р некоторой ориентации цепи и его симметризация имеет вершину степени 3, смежную с тремя вершинами степени 2. Тогда, удалив эту вершину степени 3, получим три вершины степени 1. Очевидно, что цепь сюда вложить нельзя. ■
Теорема 6. Не существует ориентаций цепей с числом вершин п > 4, таких, что их МВ-1Р имеет три дополнительных дуги.
Доказательство. Рассматривать гамильтоновы цепи здесь не будем, потому что выше доказано, что такие цепи имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами.
В симметризации МВ-1Р цепи не может быть вершин со степенью меньше 2. По условию теоремы, МВ-1Р должно иметь три дополнительные дуги. Построить МВ-1Р с тремя дополнительными дугами можно по одной из схем на рис. 1 (на иллюстрации ориентации дуг не указаны).
По лемме 2 схемы й и в не являются МВ-1Р цепи.
Будем считать, что в цепи 7 или более вершин. Для 5- и 6-вершинных цепей непосредственной проверкой можно убедиться, что для них МВ-1Р с тремя дополнительными дугами не существует.
Рассмотрим первую схему. Выберем две вершины в этой схеме (^ и ^2, рис. 2), суммы полустепеней исхода и захода у которых равны 2.
Рис. 2. Схема а, дуга из VI в v2
Пусть дуга между ^1 и ^2 направлена так, как изображено на рис. 2. Ориентации остальных дуг не имеют значения. Тогда при удалении вершины и1 получим, что один конец цепи имеет полустепени (1,0). А если удалим и2, то получим, что второй конец цепи имеет полустепень (0,1). Аналогично и для других схем.
Рассмотрим схему а. Пусть концы этой цепи имеют следующие полустепени: и1 — (1,0), ип — (0,1). Рассмотрим дугу между и2 и и3. Предположим, что она идёт из и2 в и3. Удалим вершину ип-2. Тогда ип-1 становится концом (1,0) и, следовательно, дуга из ип направлена в ип+1 (рис. 3).
Щ и 2 и 3 иП-2 ип-1 ип
Рис. 3. Схема а, дуга из ип в ип+1
И так далее —с помощью удаления вершин определяем, как должны быть ориентированы дуги цепи. В итоге получим, что цепь гамильтонова. Гамильтоновы цепи имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами, поэтому данная схема не подходит.
Теперь предположим, что дуга идет из и3 в и2 (рис. 4). Тогда в цепи вторая вершина—сток. Удалим ип-3; вершина ип-2 теперь не может быть концом (1,0), потому что с ней должна быть смежна вершина-сток, а из ип-1 уже выходит одна дуга. Значит, вершина ип-2 после удаления ип-3 имеет полустепени (0,1).
Удалим вершину ип-2. Тогда ип-1 станет концом (1,0), а ип должна быть стоком, то есть дуга направлена из ип+1 в ип .И так далее, удаляя вершины, будем определять направления дуг. В результате получим, что все вершины цепи — источники или стоки. Отсюда следует, что в цепи чётное число вершин, потому что концы цепи разные.
Определим направление дуги между ип+1 и и1. Для этого удалим, например, ип-1. Тогда получаем, что дуга направлена из ип+1 в и1.
и 1 и2 из ип-2 Уп-1 ип
Рис. 4. Схема а, дуга из ип+1 в и1
В данном случае цепь будет строиться как ип—ига+1 —и1 — и2— и т. д., но в такой цепи вершина и1 не сток и не источник. Получили противоречие. Следовательно, данная схема не подходит.
Рассмотрим схему Ь. Пусть концы этой цепи имеют следующие полустепени: и1 — (1,0), ип — (0,1). Рассмотрим дугу между и2 и и3. Предположим, что она идёт из и2 в и3. Удалим вершину ип-2. Тогда ип-1 становится концом (1,0) и, следовательно, дуга из ип направлена в ига+1 (рис. 5).
щ и2 из и п. г ип. 1 ип
Рис. 5. Схема Ь, дуга из ип в ип+1
И так далее — с помощью удаления вершин определяем, как должны быть ориентированы дуги цепи. И в итоге получим, что цепь гамильтонова. Гамильтоновы цепи имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами, поэтому данная схема не подходит.
Теперь предположим, что дуга идет из и3 в и2 (рис. 6). Тогда в цепи вторая вершина— сток. Удалим ип-3. Вершина ип-2 теперь не может быть концом (1,0), потому что с ней должна быть смежна вершина-сток, а из ип-1 уже выходит одна дуга. Значит, вершина ип-2 после удаления ип-3 имеет полустепени (0,1).
и 1 иг из ип-3 ип-2 ип-1 ип
Рис. 6. Схема Ь, дуга из ип+1 в и1
Теперь удалим вершину ип, и так далее. В результате получим, что цепь должна состоять только из стоков и источников. У цепи концы разные, поэтому вершин в ней должно быть чётное количество.
Удалим вершину ип-2. Тогда ип-1 станет концом (1,0), а ип должна быть стоком, т. е. дуга направлена из ига+1 в ип. Удалим ип-1 и получим направление ещё одной дуги — дуга из ип+1 направлена в и1 .
В данном случае цепь будет строиться как ип—ига+1 —и1 — и2— и т. д., но в такой цепи вершина и1 не сток и не источник. Получили противоречие. Следовательно, данная схема не подходит.
Рассмотрим схему с. Пусть концы этой цепи имеют следующие полустепени: и1 — (1,0), ип — (0,1). Удалим первую вершину и1. Второй конец цепи останется прежним, значит, ребро {и2, и3} направляем из и2 в и3: (и2,и3). И так далее. Получим в итоге, что цепь должна быть гамильтоновой, а гамильтоновы цепи имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами. Значит, данная схема не подходит.
Рассмотрим схему f. Пусть концы этой цепи имеют следующие полустепени: и1 — (1,0), ип — (0,1). Рассмотрим дугу между и2 и и3. Предположим, что она идёт из и2 в и3 (рис. 7). Если удалить вершину ип-2, то получим направление дуги
между ип и и^: из ип в и
Рис. 7. Схема /, дуга из ип в щ
Если удалить вершину и1, то и2 станет концом (1,0) и дуга между и3 и и4 будет направлена из и3 в и4. И так продолжаем до тех пор, пока не дойдём до и^. Имеем, что первые г — 1 дуги направлены «в одну сторону». При удалении вершины и^_2 цепь будет строиться как и^_1 — и — ип— и т. д. Получаем противоречие, потому что дуга направлена из ип в и^, а по нашему предположению, она должна быть направлена в обратную сторону.
Теперь предположим, что дуга идет из и3 в и2 (рис. 8). Тогда в цепи вторая вершина— сток. Удалим вершину ип-2. Тогда дуга между ип и и должна быть направлена из и в ип.
Удалим ип-3. Тогда вершина ип-2 теперь не может быть концом (1,0), потому что с ней должна быть смежна вершина-сток, а из ип-1 уже выходит одна дуга. Значит, вершина ип-2 после удаления ип-3 имеет полустепени (0,1).
И так далее. В результате получаем, что все вершины цепи должны быть стоками или источниками. Вершин в цепи должно быть чётное число, так как концы цепи разные.
Рис. 8. Схема /, все вершины должны быть стоками или источниками
Рассмотрим дугу из и в ип. При удалении вершины щ+1 эта дуга входит в цепь. Вершина ип — сток, а вершина и должна быть источником, т. е. рассматриваемая дуга выходит из нее. Если и — сток, то построенный по схеме орграф не является МВ-1Р. Предположим, что и — источник. Тогда и^+1 — сток. Получается противоречие, если удалить и и рассмотреть дугу между и^+1 и ип: обе вершины должны быть стоками, так как в них входят дуги. Но рассматриваемая дуга может иметь только одну ориентацию, поэтому можно сделать вывод, что такая схема тоже не подходит для построения МВ-1Р с тремя дополнительными дугами. ■
В работе [7] доказывается следующее утверждение:
Теорема 7. Если в точном вершинном 1-расширении связного графа есть сток или источник, то этот граф является транзитивным турниром.
Напомним, что граф называется кубическим, если все его вершины имеют степень 3. В п. 2 теоремы 5 упоминаются графы с вектором степеней вида (3,... , 3, 2, 2, 2), имеющие точное вершинное 1-расширение. Эти точные вершинные 1-расширения имеют вектор степеней (3,... , 3), то есть являются кубическими графами.
Теорема 8. Среди всех ориентаций кубических графов только транзитивный 4-вершинный турнир является точным вершинным 1-расширением.
Доказательство. Пусть С — кубический граф, Н — его ориентация, являющаяся точным вершинным 1-расширением. Рассмотрим, какие степени исхода и захода могут иметь вершины графа Н: (0,3), (1,2), (2,1) и (3,0). С учётом теоремы 7 получаем, что степени (0,3) и (3,0) могут быть только у ориентации полного графа в транзитивный турнир. Однако из кубических графов только К4 является полным.
Пусть С не изоморфен К4. Тогда в Н могут быть только вершины со степенями исхода и захода (1,2) и (2,1). Легко видеть, что их число должно быть одинаковым. В самом деле, если бы это было не так и число вершин вида (1,2) было кі, а вершин вида (2,1) — к2, то число исходящих дуг было бы к1 + 2к2, а входящих — 2к1 + к2. Эти числа должны быть равны, то есть к1 + 2к2 = 2к1 + к2, откуда к1 = к2.
Итак, в графе Н одинаковое число вершин вида (1,2) и (2,1). Так как Н является точным вершинным 1-расширением, то все его максимальные подграфы изоморфны. Обозначим через и произвольную вершину вида (1,2). Рассмотрим граф, получающийся из Н удалением вершины, в которую идет дуга из вершины и. В этом графе вершина и имеет полустепени исхода и захода (0,2). Таким образом, в любом максимальном подграфе графа Н должна быть вершина вида (0,2). Но такая вершина может получиться только при удалении вершины, в которую идёт дуга из вершины вида (1,2) графа Н. Следовательно, в каждую вершину графа Н должна идти дуга из подходящей вершины вида (1,2). Но это невозможно, так как количество вершин графа Н в 2 раза больше, чем количество исходящих дуг из вершин вида (1,2). Таким образом, единственная возможная ориентация кубического графа, являющаяся точным вершинным 1-расширением, — транзитивный 4-вершинный турнир. ■
Теорема 9. Среди ориентаций графов из теоремы 5 только граф К3 имеет такую ориентацию (транзитивный турнир), МВ-1Р которой имеет три дополнительные дуги.
Доказательство. Граф из первого случая теоремы 5 — граф К3. Известно, что у такого графа есть ориентация — транзитивный турнир, которая имеет МВ-1Р с тремя дополнительными дугами (4-вершинный транзитивный турнир) [8].
Выше доказано, что ориентации графов из второго случая теоремы 5 не имеют МВ-1Р с тремя дополнительными дугами.
Остаётся рассмотреть последний, третий, случай теоремы 5. Это графы с вектором степеней (3, 3, 3,..., 3, 2,..., 2,1) особого вида. В работе [4] даётся описание графов такого вида и их МВ-1Р. Рассмотрим граф С такого вида и его МВ-1Р — граф С*. Граф С* должен обладать следующими свойствами:
1) степенное множество {3, 2};
2) количество вершин степени 3 чётно и больше 3;
3) вершины степени 2 смежны либо с двумя вершинами степени 3, либо с одной вершиной степени 3 и одной вершиной степени 2, то есть вершины степени 3 соединяются цепью, состоящей не более чем из трёх ребер;
4) вершины степени 3 смежны с двумя другими вершинами степени 3, причем граф, индуцированный всеми вершинами степени 3, представляет собой цикл.
То есть граф О* можно представить как цикл, образованный вершинами степени 3, с которыми соединены цепи длины 1 или 2 (рис. 9).
Рис. 9. Пример графа С и его МВ-1Р С*
При удалении вершины степени 3 из графа С* получим в точности исходный граф С. Предположим, что существует ориентация графа С*, такая, что она является МВ-1Р подходящего графа С с тремя дополнительными дугами.
Рассмотрим случай, когда граф С* представляет собой цикл, в которому присоединены цепи длины 1 (рис. 10).
«5
и 6
Рис. 10. Пример графа С* и подграфы, получающиеся при удалении вершин степени 3
Дуги, инцидентные вершинам и5 и и6, должны быть ориентированы одинаковым образом. Предположим, что вершины и5 и и6 — стоки. Цикл может быть ориентирован как гамильтонов либо как негамильтонов. Если цикл гамильтонов, то при удалении и1 и при удалении и2 получим неизоморфные графы, что показано на рис. 10.
Если цикл не гамильтонов, то логично предположить, что он должен быть ориентирован таким образом, чтобы удаление и1 и удаление и2 давали изоморфные графы. Но по схеме построения МВ-1Р цикл состоит из вершин степени 3, то есть можно найти две такие вершины степени 3, смежные друг с другом, но соединённые с двумя разными цепями. В данном примере это и1 и и4. Если дуга направлена из и4 в и1, то при удалении и2 и и3 опять получаем неизоморфные графы.
Аналогично рассматривается предположение, что вершины и5 и и6 —источники.
Если вершины и5 и и6 имеют полустепени (1,1), то при удалении и1 и удалении и2 опять получим неизоморфные графы, так как в этих графах и5 будет иметь разные полустепени—(0,1) и (1,0).
Аналогичным образом рассматривается случай, когда граф О* выглядит как цикл, в которому присоединены цепи длины 2.
Таким образом, ориентации графов из третьего случая теоремы 5 также не имеют МВ-1Р с тремя дополнительными дугами. ■
Теорема 10. Среди связных орграфов только четыре имеют МВ-1Р с тремя дополнительными дугами: 3-вершинный транзитивный турнир, две 3-вершинные цепи и одна 4-вершинная цепь.
Доказательство. Используя доказанные выше теоремы, получаем, во-первых, что 3-вершинный транзитивный турнир имеет МВ-1Р с тремя дополнительными дугами. Во-вторых, непосредственной проверкой можно убедиться, что среди цепей с числом вершин меньше 5 есть три цепи, имеющие МВ-1Р с тремя дополнительными дугами. Эти графы и их МВ-1Р приведены на рис. 11.
Рис. 11. Графы из теоремы 10 и их МВ-1Р
Теорема доказана. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Cаратов: Изд-во Cарат. ун-та, 2012. 192 с.
2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.25. No. 9. P. 875-884.
3. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). C. 643-650.
4. Абросимов М. Б. Характеризация графов с заданным числом дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения // Прикладная дискретная математика. 2012. № 1. C.111-120.
5. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения направленных звезд // Дискретная математика. 2011. Т. 23. №2. C. 93-102.
6. Абросимов М. Б., Моденова О. В. Характеризация орграфов с малым числом дополнительных дуг минимального вершинного 1-расширения // Изв. Cарат. ун-та. Нов. сер. Cер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. Вып. 2. Ч. 2. C. 3-9.
7. Абросимов М. Б., Долгов А. А. О бесконтурных точных расширениях // Изв. Cарат. ун-та. Нов. сер. Cер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10. Вып. 1. C.3-9.
8. Абросимов М. Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. №17. C. 187-190.
