CC BY
32
УДК 62-503.5
К ВОПРОСУ О РАСЧЕТЕ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЦИФРОВЫМИ ФИЛЬТРАМИ
А.В. Соболев, А.И. Ляшенко, Ю.В. Соболева, Д.П. Вент
Предложен вариант энергосберегающей САР с цифровыми фильтрами. Описан подход к расчету такой системы. Проведен сравнительный анализ качества переходных процессов в энергосберегающей САР и соответствующих одноконтурных системах.
Ключевые слова: энергосберегающая система автоматического регулирования, цифровой фильтр, квадратичный интегральный критерий качества, переходные процессы.
Повысить энергетическую эффективность технологических процессов и обеспечить при этом высокую динамическую точность регулирования можно путем создания энергосберегающих систем автоматического регулирования (ЭСАР). Общая структура и алгоритм работы таких систем представлены в источнике [1].
На основании общей структуры ЭСАР предложен вариант цифровой энергосберегающей САР, показанной на рис. 1. В более инерционном канале управления, обладающем худшими динамическими свойствами, но выгодном с позиции энергосберегающего управления в статике, предлагается использовать фильтр низких частот ЦФ2. В более быстродействующем динамически эффективном канале управления, проигрывающем однако по энергетическим показателям в статических режимах, предлагается использовать фильтр высоких частот ЦФ1.
В качестве фильтра ЦФ2 используется дискретное звено, представляющее собой экстраполятор нулевого порядка в сочетании с тактовым квантователем, близким к идеальному. Соответствующая частотная передаточная функция такого цифрового фильтра будет иметь вид:
1 1 - е-iWTo2
W^2(jw) = ------------------------------------:-, (1)
2 To2 jw
где T02 - настроечный параметр фильтра ЦФ2.
Что касается фильтра ЦФ1, то его реализация представляет собой разность между сигналом и его преобразованием вторым фильтром низких частот. Соответствующая частотная передаточная функция имеет вид:
1 1 - е-jwT01
^(jw) = 1 -----------------------------------:-, (2)
1 \ Jw
где TQ - настроечный параметр фильтра ЦФ1.
Рис. 1. Структура энергосберегающей САР с цифровыми фильтрами: Рь Р2 - регуляторы; ЦФх - цифровой фильтр высоких частот; ЦФ2 - цифровой фильтр низких частот; узд> у(1) - соответственно заданное и текущее значение регулируемой переменной; е(() - ошибка регулирования; /(() - возмущающее воздействие; и2{Г) - управляющие воздействия регуляторов;
ВЧ НЧ
и \((), и 2(() - управляющие воздействия регуляторов в области верхних и нижних частот; W-Í(s), W2(s) - соответственно передаточные функции объекта по динамически-и энергоэффективному каналам управления;
^С5) - передаточная функция по каналу возмущения
Методику расчета предлагаемого варианта ЭСАР получим в предположении, что соответствующие фильтры ЦФ1 и ЦФ2 близки к идеальным, частотные передаточные функции которых имеют вид:
Г1, Ю > Ю0 Г1, w < Ю0
^цф1 0’Ю) = i Л < , ^цф 2 0’Ю) = i Л ,
м 1 [0, w < w0 2 [0, w > w0
где Ю0 - некоторая предельная частота, разделяющая свойства каналов управления.
В качестве критерия динамической оптимизации синтезируемой ЭСАР с цифровыми фильтрами будем использовать квадратичный интегральный критерий при действии детерминированных возмущений наиболее тяжелого характера:
¥
/1 = | y2(t)dt ® min (3)
0
Значение критерия (3) для ЭСАР может быть вычислено по следующей формуле:
-
_______________________Wf О®)________________________
1 + Яі (/®)жцф1 (/®)Ж1(/ю) + Я2 (/®)ЖЦФ2 (/®)Ж2 (/ю)
®
где К[(ую), ^(7®) - частотные передаточные функции регуляторов со-
ответственно в динамически- и энергоэффективном канале управления; Жцф: (ую), Жцф2 (ую) - частотные передаточные функции фильтров соответственно в динамически эффективном и энергоэффективном канале управления; Ж\( ую), Ж2( 7®) - частотные передаточные функции объекта соответственно по динамически- и энергоэффективному каналу управления; Ж у (ую) - частотная передаточная функция по каналу возмущения.
В силу свойства аддитивности интеграла и идеальных фильтрующих свойств фильтров квадратичных критерий для ЭСАР будет иметь вид:
Юо
¡1 =г I
-
1 + Я2 0®)^2 (/®)
1 1 ¥
-й®+ — |
®
-
®0
1+я/ти®)
1
®
<і®.
Из последнего выражения видно, что при заданных свойствах фильтров квадратичный критерий определяется двумя независимыми составляющими, которые определяют реакцию на действующее возмущение каждого из каналов управления.
Будем считать известными настройки регуляторов Рг и Р2 для соответствующих каналов регулирования, которые также рассчитаны на осно-
*
вании критерия (3) и имеют частотные передаточные функции Щ (ую) и
*
Л*2( ую). Тогда для динамически эффективного канала управления критерий равен:
1 ®о
¡1=11
- о
Жу (/®)
1 + Я1 (/®)Щ (/®)
®
-
®о
Жу (у®)
1+Я1 и®)ти®)
1
®
а соответственно для энергоэффективного канала управления:
1 ®о
І[= I
- о
Жу (/®)
1 + Я2 (/®)^2 (/®)
®
Р
®о
Жу (/®)
1 + я2с/®)Ж2(./®)
®
В результате расхождение квадратичного критерия для ЭСАР и отдельно одноконтурных систем составит:
2
1 ®0
¿1=¡1 - ¡1 — I
-
о
Ґ 1 2 1 2 Л Жу (/®)
1+я2 0®)^ (/®) 1 + я2 (/®)^2 (/®) ®2
2
оо
1
0
2
2
0
2
2
2
2
1
и
-
ю0
1 + ^О'юЖгО'ю)
С учетом того, что Жз с 1 (/ю) -
1
2 ^ і |2 \Жу (/ю)
ю
2
частотная пере-
1 + Я1(/ш)Щ(/ш)
даточная функция замкнутой одноконтурной САР по динамически эффективному каналу управления, а Жз с (/ю) ------*—1--------- - частотная
2 1 + Я20'ш)»2(/ю)
передаточная функция замкнутой одноконтурной САР по энергоэффективному каналу управления, получим:
2
1 Ш0 Ґ 2 Д - - I ^з.с4(/ю)
-
^З.с.2 (/ю)
2
Жу (/ю)
ю
2
(5)
Жу (/ю)
ю
2
(6)
Полученные разности (5) и (6) показывают, насколько ЭСАР эффективнее или, наоборот, в сравнении с соответствующими одноконтурными системами регулирования. Так, если Д1 принимает положительное значение, равно как и Д2, то ЭСАР выигрывает по отношению к обеим системам регулирования. Если же, например, Д1 принимает отрицательное значение, а Д2 - положительное, то ЭСАР эффективнее одноконтурной САР по энергоэффективному каналу управления, но уступает в качестве одноконтурной САР по динамически эффективному каналу управления. Т.е. чем больше величина Д1, тем ближе качество регулирования ЭСАР к качеству работы динамически эффективной системы или, в ряде случаев, выше его. Таким образом, в случае идеальной фильтрации задача поиска оптимальной частоты сводится к двум равносильным оптимизационным задачам:
Д1 ® тах или Д 2 ® тах.
®0 ю0
Для нахождения решения последней оптимизационной задачи продифференцируем Д1 по частоте ю0 и приравняем производную к нулю. Тогда:
2
Ж3.с.1 (/ю0) Ж3.с.2(/ю0)
Жу С/'ю0)
ю0
2
0.
2
оо
1
2
2
2
Из последнего уравнения вытекает единственное возможное решение:
^з.с.1 0Ю0) _ ^з.с.2(“^о) .
Таким образом, частота Ю получается в точках пересечения АЧХ замкнутых одноконтурных систем регулирования для динамически эффективного и энергоэффективного каналов управления. Точек пересечения АЧХ может оказаться несколько. Выбирать необходимо точку, соответствующую частоте ю0, при которой величины Д1 и Д2 будут максимальны, она и задает предельную частоту перехода, определяющую полосу пропускания соответствующего цифрового фильтра.
В случае использования в динамически эффективном канале ЭСАР П-регулятора, на нулевых частотах АЧХ замкнутой системы не равна нулю (в отличие от системы с ПИ-регулятором), поэтому площадь под соответствующей кривой возрастает, что позволяет улучшить показатели (5, 6), а соответственно и общий критерий динамической оптимизации ЭСАР (3).
Определим настроечные параметры фильтров ЦФ1 и ЦФ2, обеспечивающие разделение каналов управления при частоте ю0. Для этого представим передаточную функцию фильтра, расположенного в энергоэффективном контуре регулирования, следующим образом:
1 _ е _^ЮТ°2
^цф2 0'Ю) ='
1 - ООБ
т02 ■
(юТ02)+І5ІП Т02 ■
(юТ02 )
Квадрат АЧХ фильтра низких частот, после домножения последнего выражения на комплексно-сопряженную величину, будет иметь вид:
2 1 _ 2 со8(©702 )+ [со8(ш702 )]2 + [8ш(©702 )]2 2 •1 _ со8(ш702 )
ЦФ2(7Ш) = Т02)2 'С2 = (Т02)2 •Ю2 .
Потребуем, чтобы АЧХ цифрового фильтра ЦФ2 при частоте ю0 принимала значение близкое к единице и была равна 1 _ Д (где Д - заданная погрешность фильтрации), а после ю0 стремилась к нулю. Величину Д следует принимать близкой к нулю. Тогда получим:
1 _ со8(Ш0Т09 )_
жцф2 С/'ю0)
і
2 ■
^2 _
(Т02 )2
■ю2
-1 -Д.
Возведем левую и правую часть последнего выражения в квадрат:
2 -|1 _ )] = (1 _ 2
(Т02 )2
ю:
2
0^ ^0
Для приближенного решения последнего уравнения разложим функцию косинуса в ряд Маклорена, ограничившись слагаемыми не выше четвертой степени. Имеем:
2 •
(t02 )2 •w0
1 - ¿ '©о •(To2 )2 »(1 -A)2.
В итоге, из соотношения
“2 '(Т02 )2 »12 _ 12 '1 _ 2Д + Д2)
находим настроечный параметр цифрового фильтра в энергоэффективном канале управления:
л/12 'Д'(2 _Д)
T0
w0
(7)
Для фильтра ЦФ1, расположенного в динамически эффективном контуре регулирования, его передаточную функцию в частотной области можно представить как
_ 1 - e~/Ю/()| _ [-1 + cos(wTQ1)]+ j • [TQ1 • ш- sin(wT0l)_
T01 • jw TQ1 • jw
После домножения последнего выражения на комплексносопряженную величину, квадрат АЧХ фильтра высоких частот будет равен:
)]2 _
^ЦФ1 (Jw)
^ЦФ1 ( Jw)
1 + cos (wT0! )]2 + Тої • w-sin(
Тої )2 •w2
^ 2 • sin (wT01) 2 -[i - cos(wT01)
t01 •w
22
(T01 )2 «
После разложения в ряд Маклорена функций синуса (ограничившись разложением до пятой степени) и косинуса (ограничившись разложением до шестой степени), получим
^ЦФ1 (Jw)
2 1
— • W
4
2
•(to, )2 -^•w4 •(t01 )4.
Снова потребуем, чтобы АЧХ фильтра при частоте Ю = “ имела единичное значение. Тогда:
^ЦФ;(М))| ^4'“2 '(г0. )2 _^'“4 '^)4 = 1.
Возведем также обе части в квадрат:
■ “2 • (т01 Р _ 72' “4' (т01)4 =1
или
4
w4
'(To1 ) -18•w2 •(To1 )2 + 72 = о.
01 / -10 ■ шо • Y o1
Решая полученное биквадратное уравнение, находим настроечный
203
2
параметр цифрового фильтра в динамически эффективном канале управления:
Т1 = —’ (8)
01 “0
т2 =—. (9)
01 “0
В ходе исследований установлено, что для определения Т01 лучше
использовать формулу (8).
Рассмотрим пример расчета ЭСАР для объекта, в котором передаточная функция по динамически эффективному каналу регулирующего воздействия имеет вид:
^(*) = Т~7' е ,
Т1 • я +1
где ^1 =3,68, Т1=4 сек, 11=2,15 сек, а по энергоэффективному каналу соответственно:
№2(*) = • е,
Т2 ^ +1
где ^2=4,68, Т2=40 сек, 12=4,15 сек.
Пусть регуляторы отрабатывают типовые законы управления. В частности, рассмотрим ЭСАР с ПИ-регуляторами по обоим каналам управления и ЭСАР с П-регулятором в динамически эффективном и ПИ-регулятором в энергоэффективном канале управления. Соответствующие передаточные функции регуляторов имеют вид:
ад=кр,
Я(^) = кр + 1
Ти
где кр - коэффициент усиления регулятора, Ти - постоянная времени интегрирования, сек.
Вначале рассчитаем оптимальные настройки регуляторов в одноконтурных системах по динамически- и энергоэффективному каналам управления по методике расчета одноконтурных САР на минимизацию критерия (3). В качестве возмущения при расчете настроек будем рассматривать возмущение, поступающее на вход объекта вместе с регулирующим воздействием. В итоге, были получены следующие оптимальные настрой-
ки для двух ПИ-регуляторов:
Я1 (5) = 0,6 +
1
Я2( s) = 2,5 +
1
8-^ 8-s
В случае использования в динамически эффективном канале управления П-регулятора, его оптимальные настройки равны:
Щ*( s) = 0,8.
Далее построим АЧХ замкнутых одноконтурных САР без фильтров (рис. 2).
Из рис. 2 определяем точку пересечения АЧХ одноконтурных систем, соответствующую частоте ю0, при которой показатели (5, 6) максимальны и выполняются условия устойчивости ЭСАР.
Для ЭСАР с двумя ПИ-регуляторами получим:
Юо = 1,5 рад / с.
1,5
1
—
0 ^ I 10
2 2 ^
И'з.с.! (/Ю) - Кз.с.2 (/ю)
1
-26,545.
—
2 2 ^
Кз.с.2 (/ю) - ^з.с.1(/ю)
Определим параметры цифровых фильтров по формулам (7, 8). Величину погрешности примем равной Д=0,002. Тогда:
Т01 = — = 2,309.
д/12-0,002- (2 - 0,002) _ _
Та =^^-----------------------------------------------’- = 0,146
02 1,5
1,5 ’ ’ и2
В случае использования в ЭСАР П-регулятора по динамически эффективному каналу управления удается повысить устойчивость системы и улучшить критерии (5, 6). Так выбрав предельную частоту в точке ю0=0,1 рад/с, получаем максимум разностей:
1
0,1
р
¿1 =- I к^ию) - ^з.с.2С/‘ю)
1
Д2 = - Л^,с.2(/ю) - к с/а>)
— ^ 1V
Ю
dw = 26,59.
Определим параметры цифровых фильтров по формулам (7, 8). Величину погрешности также принимаем равной Д=0,002. Тогда:
= лЙ2 П =
Т0,
0,1
34,641
^ = 712-0,002- (2 - 0,002) = 01П Т09 =-----------:----------= 2,19.
1,5
На рис. 3. приведены результаты имитационного моделирования (средствами МАТЬАВ БтиНпк) работы ЭСАР с цифровыми фильтрами и
1
2
1
2
соответствующих одноконтурных систем при возмущении по нагрузке, подаваемом на вход объекта по динамически эффективному каналу управления.
Рис. 2. А ЧХ замкнутых одноконтурных систем: а - с ПИ-регуляторами по обоим каналам управления; б - с П-регулятором в динамически- и ПИ-регулятором в энергоэффективном канале управления
Время, сек В
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5 о
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Время, сек Г
Рис. 3. Переходные процессы при ступенчатом возмущении: а, б - реакции регулируемой переменной (штриховая линия - работа одноконтурной динамически эффективной САР; штрих-пунктирная линия - работа одноконтурной энергоэффективной САР; сплошная линия - работа ЭСАР); в, г - графики изменения регулирующих воздействий в ЭСАР (сплошная линия - изменение 1^ч2((); штриховая линия -
ВЧ
изменение и \(())
В таблице приведены значения квадратичного интегрального критерия для рассмотренных систем при заданном виде и месте приложения возмущения.
Показатели качества работы ЭСАР и соответствующих
одноконтурных САР
Значение критерия (3)
Одноконтурная динамически эффективная САР 10,74
Одноконтурная энергоэффективная САР 64,84
ЭСАР (известны регуляторы, считаем фильтры) ПИ-ПИ система 17,23
П-ПИ система 10,51
На рис. 3 (а, в) приведены переходные процессы для ЭСАР с двумя ПИ-регуляторами, а на рис. 3 (б, г) для ЭСАР с П- и ПИ-регуляторами. Анализ графиков и данных таблицы показывает, что качество предложенной ЭСАР сравнимо с качеством наилучшей одноконтурной динамически эффективной САР.
Список литературы
1. Патент РФ 2494433 на изобретение. МПК8 G05 B 13/00. Энергосберегающая система автоматического регулирования / А.В. Соболев, А.И. Ляшенко, Д.П. Вент, Ю.В. Соболева. Опубл. 27.09.2013. Бюл. № 27.
Соболев Алексей Валерьевич, канд. техн. наук, доц., зав. кафедрой, AlexSobolev75@mail.ru, Россия, Новомосковск, НИ (ф) ФГБОУ ВПО РХТУ им. Д.И. Менделеева,
Ляшенко Александр Иванович, ведущий программист, alexlvashenkoalive.ru, Россия, Новомосковск, НИ (ф) ФГБОУ ВПО РХТУ им. Д.И. Менделеева,
Соболева Юлия Владимировна, соискатель, Soboleva2135arambler.ru, Россия, Новомосковск, НИ (ф) ФГБОУ ВПО РХТУ им. Д.И. Менделеева,
Вент Дмитрий Павлович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, dvent a.list.ru Россия, Новомосковск, НИ (ф) ФГБОУ ВПО РХТУ им. Д.И. Менделеева
TO THE PROBLEM ON SYNTHESIS OF ENERGY-SA VING SYSTEM OF REGULA TION
WITH DIGITAL FILTERS
A. V. Sobolev, A.I. Lyashenko, J. V. Soboleva, D.P. Vent
The variant of energy-saving system of automatic regulation with digital filters is proposed. The methodology for the calculation of such a system is described. A comparative analysis of the quality of transient processes in energy-saving control system and the relevant single circuit systems is performed.
Key words: energy-saving system of automatic regulation, digital filter, quadratic integral criterion of quality, transition processes.
Sobolev Alexey Valerevich, candidate of technical science, docent, manager of department, AlexSobolev 75@mail. ru, Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute),
Lyashenko Alexander Ivanovich, leading programmer, alexlyashenko a Jive.ru, Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute),
Soboleva Julia Vladimirovna, applicant, Soboleva2135@rambler.ru, Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute),
Vent Dmitriy Pavlovich, doctor of technical science, professor, manager of department, dventalist.ru. Russia, Novomoskovsk, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia (Novomoskovsk Institute)
УДК 621.316
УСРЕДНЁННЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОТАКТНЫХ ШИМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО
НАПРЯЖЕНИЯ
Р.А. Катаев
Предложены усреднённые дискретные математические модели однотактных импульсных преобразователей постоянного напряжения, основанные на представлении каждого из преобразователей как совокупности неких типовых блоков. Математические модели типовых блоков также представлены в статье. Проведён анализ точности предложенной модели.
Ключевые слова: усреднённая дискретная математическая модель, импульсный преобразователь, пространство состояний, дискретизация, система управления.
Импульсные преобразователи электрической энергии находят широкое применение в источниках питания промышленной и бытовой аппаратуры. В связи с бурным развитием и удешевлением микроэлектронных устройств, в настоящее время стало возможным и перспективным построение системы управления такими преобразователями на основе мик-
