CC BY
253
УДК 48.001.24
К. А. Абдулхаков, В. М. Котляр
К ВОПРОСУ О ПОЛЗУЧЕСТИ ПОЛИМЕРНЫХ И КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Ключевые слова: полимерные и композитные материалы, длительное нагружение, ползучесть, модель
материала.
Рассмотрены теории, применяемые при расчете ползучести элементов конструкций из различных материалов. Установлено, что для расчета ползучести полимерных и композитных материалов наиболее приемлемыми являются линейные теории, а также квазилинейная теория вязкоупругости А.А. Ильюшина- П.М. Огибалова.
Key words: ро1ушвг1с and composite materials, continuous loading, creep, material model.
Theories applicable in creep calculation of structural elements made of various materials. The creep calculation of polymeric and composite materials is established, and have been had the most acceptable of linear theories, as well as quasi - linear theory of A.A. Ilyushin- P.M. Ogibalova viscoelasticiti.
Расчет ползучести и длительной прочности композитных материалов и композитов на их основе вследствии особенностей их свойств характеризуется большой степенью сложности по сравнению с расчетом традиционных материалов. Отметим такие особенности как анизотропия механических свойств, физическая нелинейность, ползучесть при комнатной температуре, старение, а также зависимость деформативных свойств от температуры, давления, влажности, истории нагружения, микро- и макростроения материала. Суммарную деформацию вблизи точки можно разделить на следующие составляющие: упругие, пластические, вязкоупругие и вязкопластические деформации [1]. Для определения каждой из этих деформаций используется свой математический аппарат и каждая из них может иметь физически нелинейную и линейную составляющие. В общей картине деформирования полимерных материалов важное место занимают деформации наследственной ползучести.
Поведение всех реальных материалов более или менее значительно отличается от поведения упруго-пластического тела. Это отличие проявляется в том, что связь между усилиями и перемещениями обычно существенно зависит от времени. Простейшими проявлениями этой зависимости являются нарастание деформации с течением времени при действии постоянных нагрузок (ползучесть) и уменьшение усилий при постоянной деформации (релаксация напряжений). В обобщенном смысле ползучестью называют также процессы, происходящие в материале в условиях сложных режимов, при которых изменению подвергаются как напряжение, так и деформации, а в ряде случаев и температура [2]. С момента обнаружения явления деформирования металлов во времени при постоянной нагрузке (Вика, Вебер, Кольрауш), исследованию явления ползучести начинают уделять значительное внимание в силу большой ее практической значимости, связанной с тем, что ползучесть лимитирует долговечность конструкций. К середине ХХ века был накоплен очень большой экспериментальный материал по ползучести различных материалов, а теория ползучести сформировалась как самостоятельная ветвь механики деформируемого твердого тела. Теория ползучести часто развивалась обособленно в различных отраслях техники, связанных с использованием различных материалов. Особое внимание отводилось ползучести металлов и их сплавов. Теория ползучести разрабатывалась также применительно к расчетам бетона, грунтовых оснований, мерзлых грунтов, каменных и деревянных конструкций и т.д. Были предложены феноменологические зависимости между деформацией s и напряжением
о, выражаемые следующими формулами [3] при одномерном нагружении:
• функциональная связь между о и s, включающая в себя время t
Г (в, о, £) = 0 (теория старения),
• такая же зависимость, но с заменой деформаций на их скорости в
Ф(в, о, £) = 0 (теория течения),
• зависимость, в которую не входит явно время (Надаи, Дейвенпорт)
в = ф(вп, о); в П = в- о / Е (теория упрочнения),
где Е - модуль упругости материала.
В то же время, в связи с началом использования полимерных материалов в качестве конструкционных, усилился интерес к линейной теории ползучести, достаточно хорошо описывающей их поведение при умеренных напряжениях. Особенностью полимеров и полимерных материалов является то, что они обладают одновременно и вязкими и упругими свойствами, которые проявляются при нормальной температуре, т.е. являются вязкоупругими [4]. Задачей теории ползучести является установление соотношений, связывающих напряжения и деформации с учетом влияния фактора времени, а изучение такого рода соотношений составляет предмет реологии [1], [5], [6], [7]. Здесь получили распространение схематические представления структуры материала в виде реологических моделей, составленных из вязких элементов и пружин. Простейшими являются двухэлементные модели, которые при последовательном соединении упругого и вязкого элементов образуют модель Максвелла, при параллельном соединении - модель Фойгта. Соединяя различным образом простейшие модели и добавляя элементы с усложненными свойствами, можно получить модели более точно отражающие поведение материалов. Для таких моделей соотношения между напряжениями и деформациями получаются в виде дифференциальных зависимостей, включающих в себя производные от напряжений и деформаций по времени. На основе этих зависимостей был решен большой круг задач и написаны обширные монографии [8], [9], [10], [11]. Были произведены также обобщения механических моделей, допускающие описание физической нелинейности [12], [13]. Дифференциальные соотношения, получаемые из рассмотрения механических моделей не могли с достаточной точностью описать поведение материала в первые моменты времени после мгновенного приложения нагрузки, поэтому вскоре на первое место в линейной ползучести выдвинулись более общие интегральные, так называемые наследственные соотношения, теория которых была разработана Больцманом и Вольтерра.
Полимерные и композиционные материалы в соответствии с принятой в настоящее время терминологией относятся к классу материалов с длинной памятью [14], [15]. Это означает, что напряжения в данной частице в данный момент времени зависят не только от текущих значений деформаций, температуры и других определяющих параметров, но и от значений этих параметров во все предшествующие моменты времени, т.е. от истории процесса деформирования данной частицы. Исходные уравнения теории Больцмана-Вольтерра формулировались заново, исходя из аксиоматического и термодинамического подходов, а также из анализа механических и молекулярных моделей. Развитие этой теории шло по линии связи ее с экспериментами, уточнения ядер интегральных зависимостей и применения к различным задачам практики [11], [16], [17], [18]. Вместе с тем, интенсивно строились различные варианты нелинейной теории вязкоупругости при изотермическом нагружении, а также линейной и нелинейной теории термовязкоупругости [12], [13], [16], [18], [19], [20]. Ниже приводятся основные соотношения наследственной теории ползучести.
1. Линейная теория вязкоупругости
Система уравнений сплошной среды в замкнутом виде может быть представлена в виде
О = ГДвиМ. Т(т)], £о £, (1)
s¡ =oj -o5j, e,j =ej --05j, o = -okk, 5j . ; (4)
где s, - тензор малых деформаций, о, - соответствующий тензор напряжений, F, -
функционалы по времени от деформаций и температуры T , t - безразмерное время.
Для области, в которой имеет место линейность механических свойств, функционалы Fj удовлетворяют условиям
F, [(х) + sí; >(х)] = F, [s<;>(t)]+ F, [s®( х)],
F'Ias» (х)]=aFi [sw м! (2)
Тогда проблема построения теории деформирования сводится к конкретизации функционалов F,. Для изотермических процессов деформирования изотронных тел
соотношения (1) при условиях (2) примут вид [18]:
s, — JR(f, x)de, (х); о —JR,(t, x)d0(x), (3)
0 0
где Sj и ej - девиаторы тензоров напряжений и деформаций, о - среднее нормальное напряжение, 0 - относительное изменение объема:
1 05 = 1 5 =/, '= J,
05 j, о — о íí , 5 ¡¡ — л
3 ¡¡ 3 kk ¡j [0, i* j.
5, - символ Кронекера, R(t), R,(t) - функции сдвиговой и объемной релаксации
соответственно.
Соотношения (3) описывают поведение материалов, свойства которых инвариантны относительно изменения отсчета времени, т. е. таких, в которых происходят процессы старения или разупрочнения. Если явлениями типа старения можно пренебречь, то ядра R и R, интегральных операторов (3) будут иметь разностный характер и эти соотношения принимают вид
s, — JR(t - x)de,(х), о —JR,(f -x)d0(x). (5)
0 0
Соотношения (5) можно разрешить относительно деформаций:
s¡¡ —JП(t -x)ds,(х), 0 —Jn,(t-x)dG(x), (6)
0 0
где n(t), n,(t) - функции сдвиговой и объемной ползучести.
2. Линейная теории термовязкоупругости
Физико-механические свойства полимеров существенно зависят от температуры. Рассматривая материалы, объемной релаксацией которых можно пренебречь, путем обобщения соотношений (6) на случай наличия температурного поля T(xk, t) можно получить:
t 1 e, —J П (t -х, T )ds¡ (х), 0 — -,— о + 3a(T )(T - T0), (7)
0 k0(/ )
где a - коэффициент линейного расширения, To - начальная температура.
Для ряда полимерных материалов в определенном диапазоне температур функция ползучести n(t,T), определяемая в опытах при постоянной температуре, может быть представлена в виде
П (t,T) — П(0, (8)
где
t — í-d^,
J a(T)’
a(T) - экспериментально определяемая функция температур.
104
3. Нелинейная теория вязкоупругости.
В наиболее общей форме связь между деформациями в# и напряжениями а# представляется в виде суммы интегралов возрастающей кратности [22]
ВУ (1) = I к(М (1, Т1 ) аУ1 (Т1 ) Ьт1 + И Кй* Т1’ ^ ) а^1 (Т1 ) аУ2 (Т2 ) ЬТ1ЬТ2 + ■■■ +
0 , , 00 (9)
+ I ■■■ I кВ..и ^ ТП) аЫ1 (Т1 ) Х ■■■ Х аУп (ТП ) ^ ■ С^
00
Большой объем и сложность вычислений, необходимых для определения s(t) при а ^ const, послужили причиной разработки рядя нелинейных теорий вязкоупругости, являющихся частными случаями общей теории (9).
Учитывая только главные части ядер k^)(x), включающие в себя два последних
слагаемых в их разложениях, А.А.Ильюшиным построена главная нелинейная теория вязкоупругости. В работе [19] А.А.Ильюшиным и П.М.Огибаевым разработана квазилинейная (тензорно-линейная) теория вязкоупругости для изотропных материалов, в которой связь между девиаторами деформаций ej и напряжений sj имеет вид
1 t t t Ч
ejj = 2Gs jj (t) + J k (t, x) s, (x) dx + J s j (x) dxJ J k3(t, x, Ч, л) s(4, л) сЗД, (10)
2G 0 0 0 0
А решение системы интегральных уравнений (10) относительно напряжений s j представляется в виде
t t t Ч
s, = 2Ge, (t)-J Г (t, x) e, (т) dx + J e, (x) dxf J Гз((, т,Ч,л) е(Ч,л) dЧdл, (11)
0 0 0 0
где
s = s j(4)s j (л), e(4, л) = ej (4)ej (л),
k, k3 - ядра ползучести; Г, Г3 - ядра релаксации; G - модуль сдвига.
При учете только главной части ядра k3 соотношения (10) переходят в главную квадратичную теорию вязкоупркгости
ej (t) =
1
— + A(t; s) 2G
5#«) + Дк0 -Т) - ВЦ, х;Б)]#(х)Сх, (12)
_ о
где А(^ 5) - временной коэффициент модуля упругости, В(^ х; 5) - коэффициент
нелинейности ядра ползучести, которые выражаются через инвариант напряжений
Б(^ х) = 5#(£)б#(л) и вторичные простые ядра /,(/’ = 1,---,5) следующим образом:
А(^ Б) = кБ^, t) + |[к( - х)б(^ х) + к2^ - т)б(т, х) +]],
0
В(^ х; б) = к3(1 - х)Б(^ t) + к 4(f - х)Б(^ х) + к5^ - х)Б(х, х),
где к - константа.
Исходя из предположения, что связь между девиаторами тензоров напряжений и
деформациями не зависит от среднего напряжения или от средней объемной деформации,
ограничиваясь первыми тремя членами разложений для е# и 9, соответствующих
квазилинейной теории, для стабильных материалов в работе [19] получены соотношения вида
1 t t
е#^^5# +|П^ - х)5#(х)с1х + |Пз(t - х)Б(х, х)5#(х)Сх, (13)
2Ь о о
где П^) и П3(t) - ядра сдвиговой ползучести, Б - второй инвариант девиатора напряжений.
Теория, базирующаяся на соотношения (13), называется кубической теорией вязкоупругости.
4. О решении задач нелинейной теории термовязкрупругости
Рассмотренная и реализованная в работах [22], [23] возможность построения
соотношений физически нелинейной термовязкоупругости следует из расширенного толкования принципа температурно-временной аналогии (ТВА) [24]. Предполагается, что все временные параметры, входящие в (9) одинаковым образом зависят от температуры, т.е. они обратно пропорциональны одной и той же функции температуры вТ (Т). Определив теперь условное «местное» время как интеграл от произведения функции температуры на дифференциал истинного времени, получаем такую шкалу времени, в которой деформированные свойства нелинейного вязкоупругого материала не будут зависеть от температуры. Таким образом, учет влияния температуры на свойства линейных и нелинейных систем одинаков и сводится к замене во всех изотермических соотношениях истинного времени t на «местное» время t
{ = {С;/вт(£), х1 = |С^1 /вт(£1), ..., х„ = /вт(^).
0 0 о
Литература
1. Огибалов, П.М. Деформирование полимерных материалов / П.М.Огибалов, А.Ф.Крегер // Обзор. Механика полимеров. - 1977. - № 3. - с 413 - 421.
2. Филин, А..П. Прикладная механика твердого деформируемого тела/ А.П.Филин. т.1 - М.: Наука, 1975. - 832 с.
3. Ржаницын, А.Р. Теория ползучести/ А.Р.Ржаницын. - М.: Стройиздат, 1968. - 416 с.
4. Огибалов, П.М. Конструкционные полимеры. Метод экспериментального исследования/ П.М.Огибалов, Н.И.Малинин, В.П.Нетребко, Б.П.Кишкин; т.1 под общ. ред. П.М.Огибалова. - М.: МГУ, 1972. - 322 с.
5. Эйрих, Ф. Реология. Теория и приложения/Ф.Эйрих, под общ. ред. Ю.Н.Работнова и П.А.Ребиндера. - М.: ил, 1962. - 824 с.
6. Рейнер, М. Реология/ М.Рейнер, перевод с англ. Н.И.Малинина, под ред. Э.И.Григолюка. - М.: Наука, 1965. - 620 с.
7. Малмейстер, А.К. Статическая интерпретация реологических уравнений // А.К. Малмейстер. Механика полимеров, 1966. - № 2. - С. 197-213.
8. Алфрей, Т. Механические свойства высокополимеров/ Т. Алфрей, под ред. М.В. Волькенштейна. -М.: ил, 1952. - 619 с.
9. Бленд, Д. Теория линейной вязкоупругости/ Д. Бленд, под ред. Э.И. Григолюка. - М.: Мир, 1965. -199 с.
10. Ферри, Д. Вязкоупругие свойства полимеров/ Д. Ферри. - М.: 1963. - 535 с.
11. Ржаницын, А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени/ А.Р. Ржаницын. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 420 с.
12. Ильюшин, А.А. Некоторое обобщение моделей Фойгта и Максвелла / А.А. Ильюшин, П.М. Огибалов // Механика полимеров. - 1966. - № 2. - С. 190-196 .
13. Дергунов, В.П. Анализ одной нелинейной модели термовязкоупругости / В.П. Дергунов, А.А. Колтунов, Б.И. Паншин // Механика полимеров. - 1968. - № 1. кр. сообщ. - С. 185-188.
14. Кравчук А.С. Механика полимерных и композиционных материалов. Экспериментальные и численные методы / А.С. Кравчук, В.П. Майборода, Ю.С. Уржумцев. - М.: Наука, Физматгиз, 1985. -303 с.
15. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. - М.: Мир, 1975. - 592 с.
16. Работнов, Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю.Н. Работнов. - М.: Наука, 1977. - 384 с.
17. Огибалов, П.М. Механика армированных пластиков / П.М. Огибалов, Ю.В. Суворова. - М.: МГУ, 1965. - 480 с.
1S. Огибалов, П.М. Механика полимеров / П.М. Огибалов, В.А. Ломакин, Б.П. Кишкин. - М.: МГУ, 1975. - 52S с.
19. Ильюшин, А.А. Квазилинейная теория вязкоупругости и метод малого параметра / А.А. Ильюшин, П.М. Огибалов //Механика полимеров. - 19бб. - № 2. - С. 170-1S9.
20. Ильюшин, А.А. Некоторое обобщение моделей Фойгта и Максвелла / А.А. Ильюшин, П.М. Огибалов // Механика полимеров. - 19бб. - № 2. - С. 197-213.
21. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. - М.: МГУ, 1971. - 24S с.
22. Ильюшин, А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б.Е. Победря. - М.: Наука, 1970. - 24S с.
23. Ильюшин, А.А. Некоторые основные вопросы механики полимеров / А.А. Ильюшин, П.М. Огибалов. Механика полимеров, 19б5. - № 3. - С. 33- 42.
24. Максимов, Р.Д. Особенности соблюдения температурно-временной аналогии при физически нелинейной ползучести полимерного материала / Р.Д. Максимов, Ч.Л. Даугсте, Е.А. Соколов // Механика полимеров. - 1974. - № 3. - С. 413- 42б.
© К. А. Абдулхаков - канд. техн. наук, доц. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ, [email protected]; В. М. Котляр - канд. техн. наук, доцент той же кафедры.
