Об адекватности нелинейной теории вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ОБ АДЕКВАТНОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Б. Е. Победря1

Отмечены особенности поведения вязкоупругих материалов, для описания которых требуется привлечение нелинейных определяющих соотношений. Дана классификация таких определяющих соотношений и сформулированы требования, предъявляемые практикой к их адекватности. Предложена нелинейная теория вязкоупругости, обладающая всеми преимуществами перед теорией, в которой напряжения выражаются через деформации интегральными операторами возрастающей кратности. На одномерном примере показана взаимообратность определяющих операторных соотношений.

Ключевые слова: вязкоупругость, интегральный тензор-оператор, определяющее соотношение, ползучесть, релаксация, память материала.

The specific properties of viscoelastic materials behavior carrying into the choice of nonlinear constitutive relations are discussed. The classification for these constitutive relations is given as well as the requirements that the practice produces to their adequacy are formulated. The nonlinear theory of viscoelasticity possessing all preferences in comparison with the theory where stresses are expressed in terms of strains by the integral operators of increasing multiplicity is proposed. An inverse structure of the operator constitutive relations is shown by a one-dimensional example.

Key words: viscoelasticity, integral tensor-operator, constitutive relation, creep, relaxation, material memory.

1. Введение. Бурное развитие теории вязкоупругости обусловлено появлением новых материалов на полимерной основе. Реологические свойства таких материалов вполне удовлетворительно описываются интегральными операторами, связывающими напряжения с деформациями [1]. Линейная теория вязкоупругости в настоящее время хорошо разработана и успешно применяется при расчете материалов, обладающих памятью [1-3]. Значительный прогресс был достигнут благодаря изобретению А.А. Ильюшиным метода аппроксимаций. Этот метод был далее распространен на случаи, когда численное решение задач линейной теории упругости при различных упругих постоянных позволило найти решение соответствующей задачи теории вязкоупругости в квадратурах на всем временном интервале. Введение канонических операторов вязкоупругости дало возможность применить метод аппроксимаций для решения квазистатических задач механики композитов с несколькими вязкоупругими компонентами [4].

Однако во многих случаях приходится привлекать нелинейную теорию вязкоупругости. В [5] показано, что даже по виду кривой ползучести, содержащей участки установившейся и неустановившейся ползучести, можно судить о применимости или неприменимости линейных определяющих соотношений теории вязкоупругости.

2. Кратно-интегральные ряды Вольтерры. Обзор нелинейных определяющих соотношений дан в работах [4-6]. Опишем основные положения, содержащиеся в них. Согласно общему постулату изотропии [7], связь между напряжениями a(t) и деформациями s(t) в теории вязкоупругости представляется в виде тензора-оператора

* = F {в}, (1)

который должен быть инвариантен относительно группы преобразований, характеризующей некоторый класс анизотропии изучаемой среды. Поместив тензоры a(t) и s(t) в некоторые функциональные пространства и воспользовавшись теоремами представления общего вида функционалов в различных пространствах, получим конкретный вид соотношений (1). Для связи между напряжениями и деформациями эти соотношения установлены в работах [1, 5].

Самой общей формой записи физически нелинейных операторов вязкоупругой среды является кратно-интегральный ряд Вольтерры [1]

N t t

= Ё / ••• / rSrn...in jnTi ^^ тП) £ii ji Ы ••• £injn (тп) dri... dтn, (2)

n=1 о о

1 Победря Борис Ефимович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pob@mail.ru.

где N может быть и бесконечностью. Все другие существующие теории являются ее частным случаем. Ядра Г(п), представляющие собой тензоры ранга 2(п + 1), называются ядрами релаксации порядка п. Эти тензоры инвариантны относительно некоторой группы преобразований, характеризующей определенный вид механической анизотропии. Вид ядер релаксации первого, второго и третьего порядков для различных классов анизотропии указан в [1].

Уравнение (2) можно обратить, т.е. выразить деформации через напряжения, причем все резольвентные ядра, называющиеся ядрами ползучести, находятся с помощью квадратур по заданным ядрам релаксации:

N г г

= Ё / •••[ (*> г1>"-> Тп) аШ1 Ы • • • £гп«п (тп) <Т1 ... <1Тп. (3)

п=1 0 0

Соотношения (2) и (3) достаточно сложны и не всегда адекватны, т.е. содержат больше неизвестных материальных функций, чем можно определить экспериментально.

Для того чтобы сделать теории адекватными, пользуются известными упрощениями нелинейной теории вязкоупругости (подробно изложенными, например, в работах [1, 5]) — главной нелинейной, квазилинейной и главной квазилинейной теориями вязкоупругости. Иногда в этих трех теориях дополнительно вводят следующие упрощения: из бесконечного ряда выбирают линейное и только одно нелинейное слагаемые, например при п = 1 и п = 3; объемные деформации считают упругими; упругие деформации принимают линейными. Можно сделать следующий вывод из сравнения данных теорий: кратно-интегральная запись учитывает взаимное влияние напряжений в разные моменты времени на деформации, чего нет при использовании физически нелинейных соотношений в форме однократных интегралов. Следствием этого является то, что в случае кратно-интегральной записи теоретические кривые деформации быстрее следуют за изменением напряжений, чем при записи однократными интегралами, что точнее описывает многие эксперименты.

Частным случаем теории (2) является следующая главная квазилинейная теория вязкоупругости [1]:

Чз = Jг(t - т)е« (т) <т - J Г»^ - т)^(в, в)е« (т) <т. а = - т)в(т) <т - У Г^^ - тЖе, в)в(т) <т.

Г^ (

00

Обычно считается, что линейные и нелинейные ядра релаксации разбиваются на сингулярную и регулярную составляющие:

Г(^ = 2С5(^ - Гф, Г^) = К 5^) - Г1^), Г»ф = Г»5ф - ГГф5^) - Г^(t),

где 5(t) — дельта-функция Дирака.

Если Г» = = 0, то соответствующая теория называется главной квазилинейной с мгновенной линейной упругостью. В случае упругого изменения объема среды соотношения (4) принимают вид а = Кв. Если же рассматривается несжимаемая среда, то физические соотношения (4) представляются в форме

г г

= ¡ТЦ - Т)е«(Т) <<Т - / Г»« - ТМФ«(Т) ЛТ- (5)

00

Если в теориях (4), (5) положить Г = 0,Г» = 2С5^ - т),ф = <^(е),Г1 = К5^ - т),Г^ = 0, то из (4) получим теорию малых упруго пластических деформаций Ильюшина для активных нагружений [7], а из (3) — обобщение этой теории. Если <^(е) — линейная функция е, то соотношения (5) описывают главную кубичную теорию вязкоупругости Ильюшина-Огибалова.

Необходимо отметить, что главные нелинейные теории релаксации и ползучести, вообще говоря, не взаимообратны [1]. Однако если функция релаксации такова, что ее производная мало изменяется, то возможны два случая, когда они взаимообратны с некоторой степенью точности.

3. Новое представление нелинейной связи между напряжениями и деформациями. Не все эксперименты можно описать, используя рассмотренные выше теории. В частности, почти все они не приспособлены для описания аномалий при разгрузке после ползучести. Теоретическая величина возврата

деформации после снятия напряжения оказывается больше, чем в эксперименте. Аномалии при немонотонном напряжении, когда периодические нагрузки вызывают не интуитивно ожидаемое замедление ползучести, а, наоборот, ее ускорение, тоже остаются за пределами возможностей приведенных теорий вязкоупругости [8].

Поэтому в [2, 9] было предложено новое представление нелинейной связи между напряжениями и деформациями в теории вязкоупругости:

1 -1

, (6)

t т

Oij (t) = j Aijklmn(t, т )£kl{r )Pmn (t, T) (t, Pmn(t, T) = Ömn, - a J qmnpq (t, t) £pq (t) dt 0 0

где [ ■ ]-1 — тензор, обратный тензору, заключенному в квадратные скобки; Aijkimn(t,T), qmnpq(t,T) — компоненты тензоров ядер релаксации шестого и четвертого рангов соответственно; a — некоторый малый параметр. При a = 0 соотношения (6) превращаются в соотношения линейной теории вязкоупругости. Для изотропной среды тензор Aijkimn(t, т) имеет три независимые компоненты, а тензор qmnpq(t, т) — две. Для простоты рассмотрим одномерный случай соотношений (6):

t

a(t) = j A(t,T)£(т)p(t,T) (т, (7)

0

P(t, T) =-^-. (8)

1 - ajq(t,t) £(t) d£, 0

Будем считать, что обратные соотношения, выражающие деформации через напряжения, имеют ту же структуру:

t

£(t) = j B(t,T)а(т)r(t,T) (т, (9)

0

r(t, r) =-^-. (10)

1 - ajQ(t,t) a(t) d£, 0

Найдем, как связаны ядра соответствующих операторов. Рассмотрим процесс

a(t) = aoö(t), (11)

Обозначим

= (12)

Подставляя в выражение (7) соотношения (8)—(10), с учетом (11), (12) получим

t

m=i AY>Nß(T>dT ■ аз»

0 1 - ß f q(t,()Nß(() dt;

0

Разложим Nß(т) по степеням ß. Из определения (12) будем иметь

Nß (т) = B(t, 0) [1 + ßQ(T, 0) + ß2Q2(T, 0) + ...], (14)

т т 1 - ^ ........... q2

1 - ßjq(t,i)Nß(t) dt 0

1+ ßfq(t,t)Nß (t) dt + ß2(/ q(t, t)Nß (t) d^ + .... (15)

T

Подставив в (15) разложение (14), придем к равенству

1

1 - ßfq&ONß(Z) dZ 0

= 1 + ß f q(t, Z)B (Z, 0) [1 + ßQ(Z, 0) + ß2Q2(Z, 0) + ..]d( +

+ ß2( f q(t, Z)B(Z, 0) [1 + ßQ(Z, 0) + ß2Q2(Z, 0) + ...] d^ +

(16)

Теперь подставим разложение (16) в (13) и приравняем выражения при одинаковых степенях в. При в0 получим

S(t) = j A(t,T)B(t, 0) dr.

(17)

При ß1 получим

t

0 = j A(t,T)

0

При ß2 получим t _ 0 = J A(t, T)

B(r, 0)Q(r, 0) + B(r, 0) J q(t, Z)B(Z, 0) dZ

0

т

dr, или Q(r, 0) = - J q(t, Z)B(Z, 0) dZ.

или

В(т, 0)((т, 0)+ В(т, 0)((т, 0) j д(^)Б0) dZ + В(т, 0) J д(^)В0)((^, 0) dZ <т,

00

т т

(2(т, 0) + Я(Т, 0) У д(^)В^, 0) dZ + ! q(t,Z)B(Z, 0Ш, 0) dZ = 0, 00

и так далее.

Из соотношения (17) по определению следует, что ядра Л(Ь,т) и В(Ь,т) взаимообратные. Этот же результат можно получить из (13), положив в (12) а = 0.

Необходимо отметить, что процесс нагружения (11) является простым экспериментом на ползучесть материала. В результате из (9) имеем

^ = БМ)г(*,0). (18)

а0

Но из (10) для процесса нагружения (11) получим

r(t,r) =

11 , r(t, 0) =

1 - aaoQ(t, r)

1 - aaoQ(t, 0)'

В результате из (18) с учетом обозначений (12) следует е(Ь)/ао = N¡3(Ь), или в полной записи

aQ(t, 0) =

e(t) -<roB(t,0) _ J_ _ B(t, 0) e(t)a0 (T0 e(t)

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11-01-00181-а.

т

т

0

т

0

т

т

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.

2. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: ИМСС УрО РАН, 2003.

3. Георгиевский Д.В., Климов Д.М., Победря Б.Е. Особенности поведения вязкоупругих моделей // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. № 1. 119-157.

4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. Вып. 3. М.: Изд-во МГУ, 1973. 417-428.

6. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1970.

7. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

8. Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. Куйбышев, 1979.

9. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

Поступила в редакцию 02.04.2012