К ВОПРОСУ О КОЭФФИЦИЕНТЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ СОЛЕНОИДА И КРУГОВОГО КОНТУРА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СУДОВЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ И ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА

Б01: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-93-98 УДК 621.3.011.32

Г.Н. Цицикян

Филиал «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

К ВОПРОСУ О КОЭФФИЦИЕНТЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ СОЛЕНОИДА И КРУГОВОГО КОНТУРА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ

Объект и цель научной работы. Рассмотрены и сопоставлены существующие рекомендации по расчету взаимной индуктивности круговых контуров и соленоидов с параллельными осями. Выявлена целесообразность такой проверки для предельного случая, при котором имеет место совмещение осей.

Материалы и методы. Проверка этих рекомендаций для случаев нулевого осевого сдвига осуществляется по хорошо апробированным выражениям. С этой целью приведены альтернативные выражения для взаимной индуктивности соосных контура и соленоида и двух контуров.

Основные результаты. Выявлен ряд существенных несоответствий между численными значениями вплоть до различия в знаках для случая соленоида и контура с параллельными осями. Для контуров с параллельными осями внимание акцентировано на необходимости использования вспомогательных таблиц, подтверждающей сложность получения численных оценок и в этом случае.

Заключение. С учетом выявленных недостатков сформулирован вывод о целесообразности применения вычислительных методов в конфигурациях с параллельными осями. Для контуров с параллельными осями, как это следует из записанного выражения, достаточно применения однократного численного интегрирования. Ключевые слова: соленоид, круговой контур, контур с параллельными осями. Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.

SHIP POWERING AND ELECTRIC GENERATION SYSTEMS

DOI: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-93-98 UDC 621.3.011.32

G. Ts its iky an

SET Branch of the Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

ON COEFFICIENT OF MUTUAL INDUCTANCE BETWEEN SOLENOID AND COILED CIRCUIT WITH PARALLEL AXES

Object and purpose of research. Current recommendations on calculation of mutual inductance between solenoids and coiled circuits with parallel axes are shown and compared. Advisability of such verification for a limiting case when the axes are aligned is revealed.

Materials and methods. Verification of these recommendations for cases of zero axial displacement is performed on the basis of well-tested expressions. For this purpose alternative expressions for the mutual inductance of the coaxial circuit and solenoid and two circuits.

Main results. A number of significant discrepancies are identified between numerical values including difference in signs for the case of a solenoid and a circuit with parallel axes. For circuits with parallel axes, attention is focused on the necessity to use auxiliary tables, which confirms the complexity of numerical estimation in this case either.

Conclusion. In terms of the identified flaws, the conclusion was drawn about the advisability of using computational methods for configurations with parallel axes. For circuits with parallel axes, as follows from the written expression, it is sufficient to apply a single numerical integration.

Keywords: solenoid, coiled circuit, circuit with parallel axes. The author declares no conflicts of interest.

Для цитирования: Цицикян Г.Н. К вопросу о коэффициенте взаимной индукции соленоида и кругового контура с параллельными осями. Труды Крыловского государственного научного центра. 2021; 2(396): 93-98. For citations: Tsitsikyan G. On coefficient of mutual inductance between solenoid and coiled circuit with parallel axes. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2021; 2(396): 93-98 (in Russian).

В работах [1-4] приведены выражения для коэффициентов взаимной индукции круговых контуров и соленоидов, расположенных в параллельных плоскостях с обобщением для контуров с параллельными осями, имеющие практическое значение, в частности для беспроводной передачи электроэнергии на относительно короткие расстояния.

В случае контуров с параллельными осями для получения численных оценок требуется однократное интегрирование, т.к. строгое выражение для коэффициентов взаимной индукции контуров М может быть записано в виде (рис. 1) [1, 2]:

M ■

п

-cos 8

где, как и в расшифровках [1],

А' (k ) = J Л

8=0 Vi - k2 sin2 8 '

п/2 ,-

e<k) = J V1 - k2 sin2 8d8

8=0

(3)

(4)

полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем к.

Выражение (2) можно перезаписать в виде [6]

m = i^oVRR

2(К - E)

kK

,3/2

ф(к )d 8, (1) = lo^/RRбl/2 {j2 - i] •

(5)

где

ф(к) = (2 - k IК (k ) - k E(k ), k2 =-4RiR22V 2

è k 0 k (R1 + r2 v)2 + z2

œ 2 л

, x „ x 1 + —- 2—cos tf

1/2

è Ri

R2

0

Заметим, что в [3] выражение (1) представлено в других обозначениях и в видоизмененной форме.

При x = 0, v = 1,0 и k2 =

4R1R2

( R1 + R2)2 + z2

будем иметь [5]

m = lo^/rr

2 - k ] К (k) - 2 E(k)

Последнее выражение вытекает из определения сферической функции Лежандра бш(г) через полные эллиптические интегралы первого и второго рода [7]:

Ö1/2( z) = zA—K z + 1

2

т+гН5^

z + 1

(6)

для M

(2)

где при г = — -1 и устанавливается справедли-

к2

вость предыдущего определения.

Рекомендации по нахождению взаимной индуктивности соленоида и кругового контура со смещением осей даны в [4], и следует полагать, что при совмещении осей взаимная индуктивность должна отвечать положению с отсутствием осевого сдвига.

В общем случае круговой контур и соленоид с параллельными осями располагаются так, как показано на рис. 2.

Вместе с тем следует предположить, что при у = 0 взаимная индуктивность на основании выражений (8-6), (8-7) и (8-8) в [4] в принятых там обозначениях должна трансформироваться в вид

, , п d2D'

M = —i0 w-

6Г 0 A

V2 V

V 2

(7)

и 0

где V - число витков соленоида; Б и ё - диаметры контура и соленоида (рис. 2):

= А = А & = Б р = Б

С1 = Х + , С2 = Х, = "I , р2 = "I ,

2с,

2с9

Рис. 1. Круговые контуры с параллельными осями у = Fig. 1. Circular circuits with parallel axes

1 - - K^2 + - К 2 £4 - 35 К3^6 + ••• 4 8 64

0

У = 1 - 3 ^ 2 + 8 - 64 ^2 +...

К = 1 + 52, K2 = 1 + 352 + 54, K3 = 1 + 652 + б54 + 56,

~ ё где 5 = — В

и при этом учтено, что полиномы Лежандра от у1 и у2 в выражениях (8-7) [4] для У1 и У2 при у = 0 и, следовательно, при у1 = у2 = 1,0 равны единице [4]. В результате имеем

V = 1 —

1 4

1+D

œ d л2

v 2c10

■+3 v D Л2+f D л4

D

2c1

л 4

35 64

2

'+6' D )'+6 ( D л4+œ D6

œ d л6

2c1

и аналогичное выражение для У2 с заменой

В В — на-.

2 2 с 2

Для упрощения расчетов и последующих сопоставлений будем предполагать, что ё = В = 2Я, х = 2s и А = 25 (рис. 2),

c1 = 3s, c2

— —

-s, ^ = -, %2 = -, 5 = 1,0, K = 2, 3s s

K2 = 5, K3 = 14.

Тогда для M можно записать

M =Т ^ ^-г

1 - 3 œ - f+35 œ - л4 - 345 г-л 6

2 V s

1 - з f— Л + 35 f—

2V3s 0 8 V 3s

245 œ —

iT V 3s

s 0 32 V s

6 \

0,

(8)

D

Рис. 2. Соленоид и контур с параллельными осями со смещением на расстояние y: d - диаметр контура; A и D - длина и диаметр соленоида; х - аксиальное смещение центров соленоида и витка

Fig. 2. Solenoid and circuit with parallel axes with displacement length y: d - circuit diameter; A and D - solenoid length and diameter; х - axial displacement of solenoid and loop centers

(0,75)3

M = пц0 w—--— x

8

3 25 245

1 - — (0,75)2 + — (0,75)4 - -2—(0,75)6 -2 8 32

-ifi-i(0,75)2 + -3^(0,75)4--245—(0,75)6

9 V 6 8-81 32-729

= w- - 0,0527 [-0,2176 - 0,1018] @

@ w-( -0,0168).

—

При — = 0,5 результат расчета оказывается по-

s

ложительным и равным

M = w— (0,5) x

Переходя к численным оценкам, находим, что при Я = 5 величина М оказывается отрицательной:

М = п|0 wЯ1 (-5,0312 - 0,0957) = п|0 нЯ(-0,6408),

что противоречит физическим представлениям. Отрицательное значение для М получается и при

Я

— = 0,75. Действительно,

1 - 3(0,5)2 + 35(0,5)4 -315(0,5)6 -

2 8 32

-1 Гх -1(0,5)2 +-^(0,5)4 --245—(0,5)6

9^ 6 8-81 32-729

= П|0 жЯ(0,0074).

Между тем задача по определению взаимной индуктивности соосного витка и соленоида (рис. 3) подробно рассматривалась в [8, 9]. Взаимную ин-

s

«2

•S2

Ri

W2

Рис. 3. Соленоид и контур с общей осью: R1 и R2 - радиусы контура соленоида; 2s2 - длина соленоида; a - расстояние между плоскостью, делящей соленоид R2 на равные части, и плоскостью витка; w2 = w - количество витков соленоида

Fig. 3. Solenoid and circuit with common axis: R! и R2 - solenoid circuit radii; 2s2 - solenoid length; a - distance between the plane dividing solenoid into equal parts and the coil plane; w2 = w - solenoid loops number

дуктивность для этого случая с обозначениями, как и в [8, 9], можно рассчитать по выражению

M ■

wR J (q°o +1)1/2 - qw

4s2

t 2 . 1ч1/2 (qio+1)

(qfo +1)1/2 - q2o ! 2 . 1ч1/2 (q2o+1)

.3 ( Ri

8 è R

2 œ

2 0

qio

q2o

l 2 . i45/2 i 2 . 145/2

v(qio+1) (q2o+1)

.A ( R

64( R

4 œq 3 - 4q1o q 3 - 4q22o 1

qi0(q 2 +1)9/2 q20(q 2 + 1)9/2 2 0 V (q10 + 1 (q20 +1)

0

35 ( R

1024 V R.

6 œ

2 0

qio-

-8q1o + 20q,

1o

/" 2 , 1\13/2

(qio+1)

q20

-8q24o + 20q2o - 5

/" 2 , i\13/2

(q2o+1

(9)

где qw

R2

u q2o

a + s2

M = пц0 wR -

- 3 (—

8 ( 25/2

= лд0wR • 0,0455.

R 1 21/2 -1 101/2 -

4 21/2 101/2

3 1 5 '3 - 4

105/2 0 641 29/2

.3 - 4^9

10

,9/2

При — = 0,75 получаем М = пц0^^0,012,

5

920 = 3,0.

Таким образом, при R = 5 и R = 0,755 оценка коэффициента взаимной индуктивности не противоречит физическим представлениям.

Целесообразно сравнить индуктивность при

R

— = 0,5 по формуле (9) с результатом расчета по формуле (8) в виде п^ожК-0,0074.

5 35 R п _

В этом случае д10 = —, д20 = — и при — = 0,5, R R 5

д10 = 2,0, а 920 = 6,0. Тогда для взаимной индуктивности имеем

M = пц 0 wR-

3 ( J

ч55

Расчеты по формуле (9) будем вести, отталкиваясь от исходных данных, принятых при вычислениях по формуле (8), т.е. принимаем Rl = R2 = R,

R

а = х = 252 = 25, для трех отношений — = 1,0;

5

£ = 0,75; * = 0,5.

55

Для случая R = 5, д10 = 1,0 и д20 = 3,0 имеем по выражению (9):

55/2 wR • 0,0099

R 0,5 51/2 - 2 371/2 -

R- 4 51/2 371/2

6 1 5 Го3 -16

375/2 0 64 V2 59/2

6

3 -144

37

9/2

против результата л^жК-0,0074, полученного на основании (8). Таким образом, в этом конкретном случае имеет место расхождение только в численных значениях, но оба значения положительны.

Следует подчеркнуть, что в справочнике [4] даются рекомендации и по оценке взаимной индуктивности круговых контуров с параллельными осями. В этом случае в [4] рекомендовано пользоваться формулой

М = М0 к, (10)

где М0 - взаимная индуктивность контуров при 9 = 0 (рис. 4); к - коэффициент, зависящий от угла 9

2R

и отношения у = — (табл. 5-7 в [4]).

r

Можно найти взаимную индуктивность контуров при 9 = 0 подстановкой г вместо х по формуле (5-16) в [4] с использованием табличных значений для коэффициента Р, входящего в выражение для М0 в виде

М 0 =10 ЯР, (11)

4п

где Р берется от отношения £ = — и х = г.

2Я

В работе [10] для коэффициента взаимной индуктивности двух контуров с общей осью с расстоянием х между контурами дана формула (П.3), на основании которой при равенстве радиусов контуров имеем

M

—1 =—2 = — = 2 ^0—

+1

-3/2 1 - 4 I

3 V— +---—+

2

—12 + '

7/2

15 8 œ—)4 -12f —л2+1

64

. —12 +1

11/2

35 64 liÎ - 24fT +120 œ—42

1024

—12+1

15/2

(12)

В этом случае при — = 0,5 и, соответственно, 2—

— = 1,0 будем иметь

—

M|—1 =—2 =— = § Дс—

1 3 1 -4 15 8-12 + 1

^3/2 + 8 2?/2 + 64 2"/2 '

35 64 - 240 +120 - 5

1024

2

15/2

— - 0,393.

Учитывая теперь (11) и значение £ =—,

2Я

равное 0,5, находим по табл. 5-3 в [4] величину Р, равную 4,941, и тогда по формуле (11) имеем

R R

г /

1 / '0 / I ч / X

R 1 / у R _

~ 1 ~ 1

Рис. 4. Контуры одного радиуса с параллельными осями

Fig. 4. Parallel axes circuits of the same radius

M 0 = • 4,941 = |0R • 0,393, т.е. то же числен-4п

ное значение, которое достигается и при вычислениях по формуле (12). Вышеизложенное подтверждает сложность в получении окончательных оценок по рекомендации в [4] при сдвиге осей контуров. Здесь следует отдать предпочтение численным методам расчета для катушек с параллельными осями на примерах, перечисленных в [3].

Можно сделать вывод о том, что предпринятым анализом и сопоставлением численных оценок выявлены различия для взаимных индуктивностей круговых контуров и соленоидов.

Список использованной литературы

1. Grover F.W. Inductance Calculations: Working Formulas and Tables. New York: D. Van Nostrand, 1946. XIV, 286 p.

2. Ren Y. Magnetic force calculation between misaligned coils for a superconducting magnet. // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. 2016. Vol. 20, № 6. P. 2350-2353. DOI: 10.1109/TASC.2016.2068297.

3. Akyel C., Babic S.I., Mahmoudi M.-M. Mutual inductance calculation for parallel axis // Progress in Electromagnetics Research. 2009. Vol. 91. P. 287-301. DOI: 10.2528/PIER09021907.

4. Калантаров П.А., Цейтлин Л.А. Расчет индуктив-ностей: отрав. книга. Ленинград: Энергоатомиздат, 1986. 487, [1] c.

5. Smythe W.R. Static and dynamic electricity. 3rd ed. Bristol: Taylor and Francis, 1989. XXV, 623 p.

6. Snow C. Formulas for computing capacitance and inductance. Washington: US. Gov. Pr. Office, 1954. 69 p. (US National Bureau of Standards; Circ. 544).

7. Справочник по специальным функциям c формулами, графиками и математическими таблицами /

Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Москва: Наука, 1979. 832 с.

8. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Электродинамические силы, действующие на контур с током в поле соленоида при его перемещении вдоль оси // Электричество. 2020. № 8. С. 58-62. DOI: 10.24160/0013-53802020-8-58-62.

9. Цицикян Г.Н., Бобровников П.В., Антипов М.Ю. Руководство по расчету индуктивностей и электродинамических сил в токоведущих частях электротехнических комплексов. Санкт-Петербург: Крыловский гос. научный центр, 2020. 118 с.

10. Цицикян Г.Н. Взаимные индуктивности и силы взаимодействия соосных контуров соленоидов и катушек // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. № 6. С. 90-99.

References

1. Grover F.W. Inductance Calculations: Working Formulas and Tables. New York: D. Van Nostrand, 1946. XIV, 286 p.

2. Ren Y. Magnetic force calculation between misaligned coils for a superconducting magnet. // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. 2016. Vol. 20, № 6. P. 2350-2353. DOI: 10.1109/TASC.2016.2068297.

3. C. Akyel, S.I. Babic, M.-M. Mahmoudi. Mutual inductance calculation for parallel axis // Progress in Electromagnetics Research. 2009. Vol. 91. P. 287-301. DOI: 10.2528/PIER09021907.

4. P. Kalantarov, L Tseitlin. Inductancies Analysis. Reference book. Lenungrad: Energoatomizdat Publishing house, 1986. 487, [1] p. (in Russian).

5. Smythe W.R. Static and dynamic electricity. 3rd ed. Bristol: Taylor and Francis, 1989. XXV, 623 p.

6. Snow C. Formulas for computing capacitance and inductance. Washington: US. Gov. Pr. Office, 1954. 69 p. (US National Bureau of Standards; Circ. 544).

7. Reference book of special functions with formulas, graphs and math. tables / Under the editorship of М. Abranovits, I. Stigan. Moscow: Nauka Publishing house, 1979. 832 p. (in Russian).

8. G. Tsitsikyan, M. Antipov. Electrodynamic forces acting on electrical current circuit in solenoid field in the process of circuit movement along solenoid axis. // Elektichestvo Publishing house. 2020. № 8. P. 58-62. DOI: 10.24160/0013-5380-2020-8-58-62 (in Russian).

9. G. Tsitsikyan, P. Bobrovnikov, M. Antipov. Inductances and electrodynamic forces in live parts of electrical complexes. Analysis Manual. St. Petersburg: Krylov State Research Centre, 2020. 118 p. (in Russian).

10. G. Tsitsikyan. Mutual inductances and interacting forces of coaxial circuits, solenoids and coils. // News of the USSR Academy of Sciences Journal. Energy and Transport. 1985. № 6. P. 90-99 (in Russian).

Сведения об авторе

Цицикян Георгий Николаевич, д.т.н., профессор, начальник сектора - заместитель начальника отдела филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, ул. Благодатная, д. 6. Тел.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: george20021940@mail.ru. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.

About the author

Georgy N. Tsitsikyan, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Sector -Deputy Head of Department, TSNII SET branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: george20021940@mail.ru. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.

Поступила / Received: 09.12.20 Принята в печать / Accepted: 14.05.21 © Цицикян Г.Н., 2021