CC BY-NC
19
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-3-389-121 -126 УДК 621.3.082.74:621.318.4
Г.Н. Цицикян, М.Ю. Антипов, Ю.Д. Баранов
Филиал «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ДВУХСЛОЙНЫХ КАТУШКАХ
Объект И цель научной работы. Объектом исследования является двухслойный соленоид нагрузочного устройства. Цель работы состоит в корректной оценке электродинамических сил, воздействующих на крайние витки внутреннего и внешнего слоев соленоида.
Материалы И методы. Используются выражения для электродинамических сил, содержащие специальные функции.
Основные результаты. Разработан метод расчета электродинамических сил для двухслойных соленоидов с помощью вспомогательной функции, значения которой сведены в таблицу.
Заключение. Дан пример расчета электродинамических сил в соленоидах нагрузочных устройств, предназначенных для испытаний судовых электростанций.
Ключевые слова: двухслойный соленоид, электродинамические силы, нагрузочные устройства. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-3-389-121-126 UDC 621.3.082.74:621.318.4
G. Tsitsikyan, М. Antipov, Yu. Baranov
TsNII SET branch of Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
ELECTRODYNAMIC FORCES IN TWO-LAYERED COILS
Object and purpose of research. This paper discusses two-layered solenoid of loading device. The purpose is to obtain correct estimate of electrodynamic forces acting on extreme loops of external and internal solenoid layers. Materials and methods. The study follows the expressions for electrodynamic forces, with application of special functions. Main results. Development of electrodynamic force calculation method for two-layered solenoids by means of an auxiliary functions (its values are given in tabular form).
Conclusion. The paper demonstrates an example of electrodynamic force calculations for loading device solenoids intended to test power plants of ships.
Keywords: two-layered solenoid, electrodynamic forces, loading devices. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.
В статьях [1, 2] были рассмотрены взаимные индуктивности коаксиальных контуров различной конфигурации и электродинамические силы между ними. Рассматривался и коаксиальный соленоид с витком, расположенным вблизи торцевой плоскости соленоида для оценки силы, которая приходится на крайний виток [1, 2]. В двухслойной катушке слои располагаются близко, поэтому в [1] было выдвинуто предположение о том, что в этом случае силы, воздействующие на крайние витки внутрен-
него и внешнего слоев со стороны соответствующих внешнего и внутреннего слоев, будут незначительно отличаться от оценки на крайние витки, как при однослойной катушке. Однако детальный анализ этого вопроса показывает, что различие может оказаться достаточно заметным. Поскольку в [1-3] электродинамические силы представлены в замкнутой форме через присоединенные функции Ле-жандра второго рода с полуцелым индексом, то возникает потребность в их численной оценке при
Дня цитирования: Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю., Баранов Ю.Д. Электродинамические силы в двухслойных катушках. Труды Крыловского государственного научного центра. 2019; 3(389): 121-126.
For citations: Tsitsikyan G., Antipov M., Baranov Yu. Electrodynamic forces in two-layered coils. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2019; 3(389): 121-126 (in Russian).
соблюдении минимальной погрешности. Этот вопрос здесь рассматривается подробно.
Вначале запишем выражение для силы взаимодействия соленоида с числом витков м> и для его крайнего витка в соответствии с [2, 3]:
Ц0/2(И>-1);?
жш
Qi
( r \ 2 S ( r .. ч 2Л
„ 1,1 h-s) -â/2 , 1 h + s
1 + 1+-
[ 2l fc J J 2 V Ri )
1/2
Геометрические размеры указаны на рис. 1, где представлен соленоид длиной 25, радиусом Н и крайний виток на расстоянии от плоскости симметрии соленоида 5 + Ал- (Дв может быть приравнено к шагу намотки).
Тогда, с учетом того, что /? = 5 + А?, предыдущее выражение для силы взаимодействия соленоида и крайнего витка можно перезаписать в виде
Jl.Bl -
ЦдГ^
2s
а
1/2
1 +
1 (As)
2\
2 R
-а
1/2
■1 J
1 +
2 M
2 V
(1)
В вьфажениях для сил |1о - магнитная проницаемость, принимаемая равной 4тг 10 Гн/м; г - мгновенные значения тока в соленоиде и в витке; <2ш(г) - обозначение сферической функции Ле-жандра второго рода с полуцелым индексом. Индекс (1,51) приписан силе взаимодействия первого слоя с крайним витком этого же слоя.
НЯЕННШШ...............IX Я
H )■( H )-------1 )< M Я V----------iU)(
h = s + As
Рис. 1. Внешний слой катушки с крайним витком
Fig. 1. External layer of coil with extreme loop
С другой стороны, силу, воздействующую на крайний виток внутреннего слоя со стороны внешнего слоя (рис. 2), можно записать как [2]
fliB 2 -
Оу2
-HfW-x
2s
ЩЩ>
-Qv2
1 +
Щк2
(2)
а силу, воздействующую на краинии виток второго слоя от своего слоя, записать так же как в (1), но с заменой индекса 1 на индекс 2 (рис. 3):
/2,
â
1/2
\i0i-(M'-l)R2 2s
2 R
1 I
-a
1/2
2 J
1 +
1 (2s + As)
2 tf
2 Y
(3)
Здесь предположено, что внутренний и внешний слой имеют одинаковое количество витков ш, т.е. №1 = м>2 = и', а длина слоев одинакова и равна 2«.
Таким образом, по заданным значениям Л'|. Я -.
А\. можно найти силы /'| Л|. /| Д2../:./;: через значения функций О1/2, входящих в (1)-(3).
Следует отметить, что/^ =./:./;] • т.к. замена на R2 и о на в (2) (рис. 4), не повлияет на результаты расчета.
Таким образом, диэлектрический остов, служащий для закрепления витков соленоида, будет претерпевать воздействие сжимающих сил в зоне размещения крайних витков, определяемых как сумма:
(4)
Ri R1
f\,B\ + ~fl,B2 + Î2,B2-S s
■>nno 00 00 ()()()(•
ho-nc* 00
ПО ()()()()
Rj
h = s 1
Рис. 2. Внешний слой и крайний виток внутреннего слоя
Fig. 2. External layer and extreme loop of internal layer
fTTTTTY ШШ )---------~ТТТТ*П
ШШШЕЕШЖШЕЕЕШЖК
h
Рис. 3. Внутренний слой и его крайний виток
Fig. 3. Internal layer and its extreme loop
-Ai
s s •Л •> 1
à
luy --(UH) ::
>< ) ( ) -i и ) ( К У- ( )()()'
о
h = s
¿Г
\r2
Ri
Рис. 4. Внутренний слой и крайний виток внешнего слоя
Fig. 4. Internal layer and extreme loop of external layer
Численные значения в соответствии с (4) можно получить, прибегая к использованию известных таблиц присоединенных функций Лежандра частично воспроизведенных в |4|. Однако это не единственная возможность для численной оценки. Здесь важно отметить, что коэффициент взаимной индукции двух коаксиальных витков определяется по формуле, записанной в [1,2,4] в виде
где g = Щ
(5)
h - расстояние между
2 Щщ
витками.
С другой стороны, в [5] для этого случая приведено выражение
4л
(6)
-1
g + 1 2 + Ag
(7)
что в случае готовой таблицы значений или
Ф(Д?/(2 + Д?)) позволяет находить О • (1 • Де). Такая таблица под номером 5.5 в [5] приведена здесь с учетом замены обозначения Е на Ф.
Рассмотрим для примера случай, когда е = 3,563 и Д? = 2,563. Тогда
2,563
0.5617; Ф = 1,06,
записанное здесь по сравнению с [5] с той разницей, что обозначение Ф используется вместо Р в [5]; значения Ф находятся по значениям от2, где
2 + Д? 4,563 01/2 (3,563) =0,084,
что вполне согласуется со значением Ош (3,563), взятым по таблице в [4] (0,085).
Возможен и третий путь численной оценки, связанный с представлением присоединенных функций Лежандра с полуцелым индексом через полные эллиптические интегралы первого и второго рода [1]. Здесь для (3,563) было найдено значение 0,079. Кроме того, в |1| дано выражение для 2ш11+Л?) в виде
С?1/2
In
2+ г
Л?
-1,2274
у
3 .
(9)
2 К}К2
На основании (5) и (6) устанавливается соотношение между С*1/2(1 + Д^) и Ф(от2) в следующем простом виде:
Ф(от2) 4л
Ф
г + 1
Ф
Ag 2 + Ag
4п
4к
■ = Oin_(i+Ag), (8)
которое можно использовать с хорошей точностью при вычислении, если (Ал//?1 )2 меньше 0,4. Правомерность выражения (9) будет продемонстрирована в Приложении 1.
Перейдем к примеру, ориентируясь на исходные данные, весьма близкие к конструкции двухслойной катушки, которая используется в нагрузочном устройстве с водяным охлаждением с мощностью ступени нагрузки 300 кВт, с коэффициентом мощности в пределах 0,7-0,9. Нагру-
e-1 &g Значения Ф от —— = —-—
g +1 2 + Ag
g-1 Ag , j > g" 1 rh g~ 1 g_ 1 (î)
g+1 2 + Ag g + 1 g + 1 g + 1
0,00 - 0,05 12,026 0,10 8,297 0,15 6,278
0,01 21,474 0,06 11,017 0,11 7,810 0,16 5,970
0,02 17,315 0,07 10,179 0,12 7,371 0,17 5,685
0,03 14,937 0,08 9,464 0,13 6,974 0,18 5,420
0,04 13,284 0,09 8,843 0,14 6,611 0,19 5,173
0,20 4,941 0,42 1,9821 0,64 0,7345 0,86 0,14450
0,21 4,723 0,43 1,9026 0,65 0,6966 0,87 0,12821
0,22 4,518 0,44 1,8259 0,66 0,6600 0,88 0,11276
0,23 4,325 0,45 1,7519 0,67 0,6246 0,89 0,09815
0,24 4,142 0,46 1,6805 0,68 0,5903 0,90 0,08438
0,25 3,969 0,47 1,6116 0,69 0,5571 0,91 0,07146
0,26 3,805 0,48 1,5451 0,70 0,5251 0,92 0,05940
0,27 3,649 0,49 ,1,4808 0,71 0,4971 0,93 0,04824
0,28 3,500 0,50 1,4186 0,72 0,4642 0,94 0,03798
0,29 3,359 0,51 1,3585 0,73 0,4353 0,95 0,02860
0,30 3,224 0,52 1,3004 0,74 0,4074 0,96 0,02035
0,31 3,095 0,53 1,2443 0,75 0,3805 0,97 0,01312
0,32 2,971 0,54 .1,1900 0,76 0,3545 0,98 0,00708
0,33 2,853 0,55 1,1374 0,77 0,3295 0,99 0,00249
0,34 2,740 0,56 1,0865 0,78 0,3054 1,00 0,00000
0,35 2,6317 0,57 .1,0373 0,79 0,2823
0,36 2,5276 0,58 0,9897 0,80 0,25998
0,37 2,4276 0,59 0,9436 0,81 0,23659
0,38 2,3315 0,60 0,8990 0,82 0,21806
0,39 2,2391 0,61 0,8558 0,83 0,19840
0,40 2,1502 0,62 0,8141 0,84 0,17959
0,41 2,0646 0,63 0,7736 0,85 0,16162
зочные устройства предназначены для швартовных испытаний судовой электростанции. Положим 25 = 0,4 м, м> = 45 витков в каждом слое, действующее значение тока / = 600 А, выбранное для коэффициента мощности, ближе к указанному нижнему пределу, = 0,16 м, ^2 = 0,9^ = ОД44 м. Учитывая шаг намотки, положим Д\ = 0.009 м. Тогда для (1)
Зй ! •
1 i 25 +Ai
\2
Я
4,267.
и в соответствии с (7)
0,0016 „ ллло , 3,267 - _
т- = --= 0,0008, т; = —-= 0,62.
2,0016 '' " 5,267
а в соответствии с (8)
Оу2(1,0016) = - Ф(0,0008), С?1/2С4,267) = ---Ф(0,62). Ак 4п
По воспроизведенной здесь табл. 5.5 из [5] для О -(4,267) имеем —0,065, а для вычисления 0\/2 (1,0016) воспользуемся выражением (9). Получаем
2
01/г(1,0016) = 0,5
i J
ln-
0,0016
--1.2274
= 2,952.
Тогда, в соответствии с (1), без учета знака «минус»
м „-6002-44-0,16г -,
^ = -м- [2,952-0,065] =
= 7,962 • 2,887 = 22,98 Н = 2,345 кгс,
где /•'] /; 1 - постоянная составляющая силы, притягивающая крайний виток внешнего слоя при действующем значении тока 600 А.
Теперь перейдем к расчету ^ В2 в соответствии с (2) и рис. 2. Имеем
1\,В2 ~
4я-10~76002-45
а
'1/2
1+-
0,4 0,016
(0,16-0,144)2 х
2
-а
1/2
1 +
2-0,16-0,144
V У V
7,7256 [Qi/2 (1,056) - <2I/2 (4,478)] 7,7256
0,42 +0,0162^ 2-0,16-0,144
4л;
7,7256 4л;
[Ф(0,027) - Ф(0,63 5) ] ^
(15,65 - 0,754) » 9,158 H = 0,934 кгс.
Наконец, выполняя расчеты по выражению (3), получаем
2,В2
а
1/2
47Г-10~76002-44
0,4
, 1 ( 0,009 1 +
21 0,144
0,144х
(
1 + -
■й
1/2
У
1Г 0,409 21 0,144
2 Y
= 7,166 [б1/2 (1,002) - Qin (5,034)] =
= 7,166
2,841--Ф(0,67)
471
функцию Лежандра второго рода с полуцелым индексом [2]:
/ = Мю¥2
h 6i/2(g)
где h - расстояние между коаксиальными витками радиусов Ri hR2;
g = l +
h2+{R2-R,f 2 RxR2
При Дg < 0,4 для получения численных значений можно воспользоваться формулой
3 I
Й1/2(Я) = Й1/2(1 + АЯ) = Т-(2АЯ)2Х 16
In
2 + L
\
+ 0,1059
JJ 2 +Ag 2
2 3
+ -(2Ag)2.
= 7,166(2,841 - 0,05) = 20 Н = 2,04 кгс.
Суммируя результаты согласно (4), для постоянной составляющей стягивающей силы, приложенной к диэлектрическому каркасу в зоне крайних витков двухслойной катушки, найдем
^ = 2,04 + 2-0,934 + 2,345 = 6,253 кгс.
С увеличением числа витков электродинамическая сила будет расти.
В завершение приводим выражение для электродинамической силы между двумя витками с токами /1 и /2 в замкнутой форме через
Таким образом, выполнен расчет постоянной составляющей сил на крайние витки двухслойного соленоида.
Приложение 1
Annex 1
В обоснование выражения (9) для 2i/2(l+Ag) при малом Ag отметим, что в [2, 3] получена замкнутая форма для коэффициента взаимоиндукции двух коаксиальных контуров с радиусами Rt и R2, с расстоянием h между ними по формуле (5), где g= 1 + Ag и
Ag=h2+(R2-R0\ 2RXR2
При Ri=R2 = R и h<R введем обозначение с = h/2R. тогда Ag = 2с2. В соответствии с (5-17) в [5] в этом случае коэффициент взаимной индукции может быть представлен в виде
M = \i0R
l + lg-^U—Z,6*...
4 64 256
,4 „ 1,2 31 247 ,6 xln— 2—+---^ +...
128
1536
(П.1)
Ограничимся членами ряда со степенью £ не выше второй. Тогда
м =
, 3,2V 4 „ К2 1 + т^2 |ln—-2-—£
(П.2)
С учетом того, что £ = А?/2, перепишем (П.2) в следующем виде:
1+-Ag j-ln— + -[l+-Ag jlnl6-2--Ag
ч 8 J 2 Ае 21 8 J 8s
M
Ii0R
Ii0R
= 1x0R
2 ) 1 ln-+ 2,7726 -2—L
ln—-1,2274 1 + 4—
-2-1,
1+8Agf 2 1 3
—2- ln—-1,2274 +-2
2 Ag 4
1 + 1,
л
ln--1,2274
(П.З)
Из (П.З) видно, что при достаточно малом Ag результат вычислений Q 1/2(1 + Ag) будет весьма близок к результату вычислений согласно выражению (9). Так, при Ag = 0,l имеем в соответствии с (П.З) 0,9799, а в соответствии с (9) - 0,9802.
Библиографический список
1. Цицикян Г.Н. Взаимная индуктивность коаксиальных контуров и их электродинамическое взаимодействие // Труды Крыловского государственного научного центра. 2018. Вып. 2(384). С. 70-75.
2. Цицикян Г.Н. О взаимной индуктивности и электродинамических силах взаимодействия коаксиальных контуров // Известия Академии Наук. Энергетика. 2018. №4. С. 40^5.
3. Цицикян Г.Н. Взаимные индуктивности и силы взаимодействия: соосных контуров, соленоидов и катушек // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. №6. С. 90-99.
4. Цицикян Г.Н. О коэффициентах взаимной индукции и силах взаимодействия коаксиальных контуров. Электричество, 2019, № 6, С. 59-65.
5. Калантаров П.А., Цейтлин Л.А. Расчет индуктив-ностей: справочная книга. JL: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1986.
References
1. G. Tsitsikyan. Mutual inductance of coaxial circuits and their electrodynamic interaction // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2018. Issue 2(384). P. 70-75 (in Russian).
2. G. Tsitsikyan. On mutual inductance and electrodynamic interaction forces of coaxial circuits // Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Power engineering. 2018. No. 5. P. 40^5(in Russian).
3. G. Tsitsikyan. Mutual inductances and interaction forces of coaxial circuits, solenoids and coils // USSR Academy of Sciences. Izvestiya. Power engineering and transport. 1985. No. 6. P. 90-99 (in Russian).
4. G. Tsitsikyan. About the mutual induction coefficients and interaction forces in circular coaxial loops. Elektrichestvo. 2019. No. 6. P. 59-65.
5. P. Kalantarov, L. Tseitlin. Calculation of inductances. Reference book. Leningrad: Energoatomizdat, 1986 (in Russian).
Сведения об авторах
Цицикян Георгий Николаевич, д.т.н., профессор, начальник сектора - заместитель начальника отдела филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, ул. Благодатная, 6. Тел.: 8(812)748-52-39. E-mail: George20021940@mail.ru.
Антипов Михаил Юрьевич, инженер-конструктор 2 категории филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, ул. Благодатная, 6. Тел.: 8 (812) 369-94-91. E-mail: set@sp.ru.
Баранов Юрий Дмитриевич, инженер филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, ул. Благодатная, 6. Тел.: 8 (812) 748-52-39. E-mail: yustas215@yandex.ru.
About the authors
Georgy N. Tsitsikyan, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Sector - Deputy Head of Department, TSNII SET, affiliated branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blago-datnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.:
8 (812)748-52-39. E-mail: George20021940@mail.ru. Mikhail Yu. Antipov, 2nd Category Design Engineer, TSNII SET, affiliated branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: 8 (812) 369-94-91. E-mail: set@sp.ru. Yury D. Baranov, Engineer, TSNII SET, affiliated branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg 196128, Russia. Tel.: 8(812)748-52-39. E-mail: yustas215@yandex.ru.
Поступила / Received: 09.06.19 Принята в печать / Accepted: 18.07.19 © Коллектив авторов, 2019
