ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНЫХ ИНДУКТИВНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ МЕЖДУ КАТУШКОЙ И СООСНЫМ СОЛЕНОИДОМ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-99-104 УДК 621.3.011.32

Г.Н. Цицикян 1 , М.Ю. Антипов1, Ахмед Рифаат2

1 Филиал «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия

2 Университет Порт-Саида, Порт-Фоад, Порт-Саид, Египет

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНЫХ ИНДУКТИВНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ МЕЖДУ КАТУШКОЙ И СООСНЫМ СОЛЕНОИДОМ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ

Объект и цель научной работы. Взаимные индуктивности принадлежат к числу основных параметров электрических цепей, и их определение является важнейшей задачей для исследования происходящих в них физических процессов, включая возникновение электродинамических сил. Соосные катушки и соленоиды являются весьма распространенной частью электротехнических устройств, и нахождение взаимных индуктивностей и электродинамических сил в них имеет большое практическое значение.

Материалы и методы. Использованы методы теоретической электротехники.

Основные результаты. Получены выражения для взаимной индуктивности на основе декомпозиции соленоида на внешние и внутренние его части относительно торцевых плоскостей катушки.

Заключение. На основе предпринятого анализа получены альтернативные выражения для взаимных индук-тивностей.

Ключевые слова: взаимные индуктивности, стягивающие силы. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

DOI: 10.24937/2542-2324-2021-2-396-99-104 UDC 621.3.011.32

G. Tsitsikyan1 , М. Antipov1, Ahmed Rifaat2

1 SET Branch of the Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

2 University of Port Said, Egypt

DETERMINATION OF MUTUAL INDUCTANCES AND ELECTRODYNAMIC FORCES BETWEEN THE COIL AND THE COAXIAL SOLENOID IN A SYMMETRICAL ARRANGEMENT

Object and purpose of research. Mutual inductances are among the main parameters of electrical circuits, and their determination is the most important task for studying the physical processes occurring in them, including the occurrence of electrodynamic forces. Coaxial coils and solenoids are very common part of electrical devices, and finding mutual inductances and electrodynamic forces in them has a great practical importance. Materials and methods. Methods of theoretical electrical engineering are used.

Main results. Expressions for mutual inductance are obtained, and they are based on the decomposition of the solenoid into its external and internal parts relative to the end planes of the coil.

Conclusion. On the basis of the undertaken analysis, alternative expressions for mutual inductances are obtained. Keywords: mutual inductance, tightening force. The authors declare no conflicts of interest.

Для цитирования: Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю., Рифаат Ахмед. Определение взаимных индуктивностей и электродинамических сил между катушкой и соосным соленоидом при симметричном расположении. Труды Крыловского государственного научного центра. 2021; 2(396): 99-104.

For citations: Tsitsikyan G., Antipov M., Ahmed Rifaat. Determination of mutual inductances and electrodynamic forces between the coil and the coaxial solenoid in a symmetrical arrangement. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2021; 2(396): 99-104 (in Russian).

Собственные и взаимные индуктивности катушек и соленоидов, входящих в состав энергетических и электрофизических устройств различного назначения, являются важными интегральными параметрами характерного для них квазистационарного магнитного поля, обуславливающими степень силового воздействия на различные узлы и элементы крепления, являющиеся конструктивной частью этих устройств. В той или иной мере отмеченные вопросы были затронуты в работах [1, 2]. В работе [2] были даны выражения для сил, действующих на крайние витки двухслойных соленоидов. В работе [3] были отражены особенности расчета индуктивностей и электродинамических усилий в индуктивных накопителях электроэнергии. Взаимная индуктивность соленоида и концентрической с ним катушки дана в справочном руководстве [4] для случая симметричного расположения. Здесь будет представлено альтернативное выражение для взаимной индуктивности соленоида и концентрической с ним катушки и проведен ряд ключевых сопоставлений. Будет также дано развернутое выражение для электродинамических сил между катушкой и выступающими частями соосного соленоида, которое мы проиллюстрируем примером расчета.

Объект рассмотрения приведен на рис. 1.

На рис. 1 w1 - число витков катушки с внутренним и внешним радиусами, равными Я\ и Я2. Величина 2^ обозначает длину катушки; г - толщину катушки. Здесь 2$2 - длина соленоида; w2 - число витков соленоида, причем w21 - число витков соленоида, приходящихся на длину катушки, а w'22 и w''22 - число витков соленоида, относящихся к участкам соленоида за пределами торцевых плоскостей катушки.

Рассмотрим теперь ситуацию с односторонним вылетом соленоида относительно одной из 2-х торцевых плоскостей катушки.

Тогда с учетом общего выражения [п. 1, 5] для взаимной индуктивности между катушкой и внешними частями соленоида (рис. 2) будем иметь

M-

ПМю w1w22 Ri

1-22'

2sl

R

(s2 - s1)

R

R -1

R 0

(-1)

k-1

k=1

œ Rl л 3 R10

-1

+1)1/2 - qk 1 fR

801 R

2

2 0

R R/

\5

(qk +1):

8961 R

i œ r/

\4

2 0

\7

Rl R'0

-1

(1 - 4q2)(q2 +1)2

(1)

где

q _ si + ( s2 - S1)/2 - S1 - (s2 - S1)/2 _ 0 qi _ R2 _

42 _

q3 _

q4 _

S + (s2 - sl) /2 + sl - (s2 - sl) /2 2s/

R

(2)

sl + (2 - sl)/2 + sl + (2 - sl)/2 sl + s2

R2 R2

sl + (s2 - sl) / 2 - sl - (s2 - sl) / 2 s2 - sl

R2 R2

Выражение для электродинамической силы между катушкой и внешней частью соленоида (рис. 2) записывается на основе выражения (п. 4) в [5]:

Рис. 1. Симметричное расположение соленоида относительно катушки

Fig. 1. Equally-spaced location of the solenoid relative to the coil

f '

nVÀ w1w22(R1 / R2)

2sl

R"

( s2

R2

-si) œ rl - l

R/

3

7

Jqî +1 - qk

80 è R

(3)

где qk определяется согласно (2).

Для численного примера положим R\IR\ = 1,05, R'l/R2 = 1,02 и s2 - s1 = s1, s1 = R2. Тогда q1 = 0; q2 = 2,0; q3 = 3,0; qA = 1,0.

Размерный коэффициент выражения (1) оказывается равным

0i1i2w1w22R1 _ ■■......- R1R2

2 s,

: nM-0i1i2 w1w22 -

10,2:

R2 -1,02

•1-0,05

: WÀw1w22Rl-10,2

(4)

при s\ = R2.

Подставляя значения q\-q4 в выражение (3), получим под знаком суммы в (3)

6][(1,°5)3 - 1ù + 6^(1,05)3 - 1ù

У5 - 2 V5 '

-—1,022 Г(1,05)5 -1j4r-1 Г"(1,05)3 -1 l^0-3■ 80 ' J55/2 6^ J ТЮ

I-—1,022 Г(1,05)5 - Л^г +1 L(1,05)3 - 1J 80 L J105/2 6L ' ' J

-—1,022 Г(1,05)5 - Л-^... @-0.

80 LV ' ' J 05/2

1^2 -1 VT"

(2s2-2sl)/2 = s2-sl

Рис. 2. Взаимодействие катушки с частью соленоидов, находящихся за пределами торцевой плоскости катушки

Fig. 2. Interaction of the coil with a part of the solenoids located outside the end plane of the coil

Остановимся теперь на выражении для взаимной индуктивности между катушкой и соленоидом с общими торцевыми плоскостями.

На рис. 3 показаны соосная катушка с внутренним соленоидом с совпадающими торцевыми плоскостями.

@-0,0193.

При токах ^ и i2 одинакового направления появление отрицательного знака закономерно. В этом случае сила (рис. 1) направлена против оси г. Для вылета соленоида с противоположной стороны (рис. 1) будет иметь место инверсия знака для силы, и при одинаковом размерном множителе (4) силы будут равны и направлены навстречу друг другу.

Стягивающие усилия имеют место и на длине соленоида внутри катушки, если разделить его на две одинаковые половины. Формула для определения силы, действующей на соосные половины соленоида внутри внешнего соленоида с совпадающими торцевыми плоскостями, может быть получена на основании выражения (25) в [5].

Рис. 3. Соосные катушка и соленоид с общими торцевыми плоскостями: w1 и w2 - число витков в катушке и соленоиде; 2si - общая длина

Fig. 3. Coaxial coil and solenoid with common end planes: w1 and w2 - the number of turns in the coil and solenoid; 2s1 - total length

1

Это расположение является частным случаем для соленоида внутри катушки, когда 2^1 = 252 (рис. 1). Коэффициент взаимной индукции для этого случая приведен в [4] как формула (7-37), если в ней положить А = а (рис. 1), т.е. считать, что = = 5, а также полагать, что Б = 2Я2, а Я2 в обозначениях (7-37) считать равным Я\, но обозначения для внешнего радиуса катушки Я-[ оставить без изменения. Тогда выражение (7-37) в [4] с ограничением по первым двум членам ряда может быть записано в виде

M = WjW2

4 (R - R')4Sl2

4 [Ri3 - (R)3 ] R

f К - ( Ri)5 ]

i+

2s1

R

3/2

10

R2

1 + 1^1 R

2 0

3/2

п w1w2(Ri)3R2 I 4 " 4 (R1 - R1')4s12 I 3

R

3

1+- 2si

\2

R

-1

-2 0

+-! ¡R

10 è R

\2

2 0

\5

- 1

1 +

2s1

2

R

20

3/2

1 +

2s1

2

R

20

3/2

. (5)

Пусть, как и ранее, Я^Я'! = 1,05, 5 = Я2 и Я\1Я2 = 1,02. Размерный множитель в (5) равен %у100м>1М>2Я'1-1,275, а для фигурной скобки в (5) имеем численную оценку 0,286. Тогда величина М равна

M = пц0 w1w2 R1 • 0,3646.

(6)

Для сравнения приведем размерный множитель выражения (п. 1) в [5]:

ПД0 WW R1

2s1

л

2s1

„R2 0

Rl- 1 R

ПЦ0 R1)3 R2

4s12(R1 - R1)

который больше размерного множителя перед фигурной скобкой в (5) ровно в 4 раза. Это означает, что его величина равна: лцо^1^2Я'г5,1 по сравнению с пц0^1^2Я'1-1,275. Безразмерная величина под знаком суммы (1) при гср = 0 и а = 0, т.е.

при q1

= -2,

R2

q3

2s

: — = 2 и q4 = 0

R2

42 = 0,

Я2

и при ограничении двумя первыми членами разложения, равна 0,0714, и, следовательно, М = лц0^1^2Я1'0,3641, т.е. имеет место практическое совпадение.

Отсюда следует вывод, что выражение (п. 1) в [5] может служить подтверждением частного результата (7-37) в [4] для случая симметричного расположения.

Для ответа на вопрос о взаимной индуктивности катушки и соленоида при симметричном расположении теперь можно записать:

M = M12 + 2M1-22',

(7)

где М12 определяется в соответствии с выражением (5) с заменой на ^21, а М1-22 - в соответствии с формулой (1). Предпринятая декомпозиция позволяет определять осевые усилия в рассматриваемой конструкции. Сжимающие силы возникают не только между одинаковыми частями соленоида, расположенными за пределами торцевых плоскостей катушки, но и между одинаковыми частями соленоида, расположенными симметрично и полностью внутри торцевых плоскостей (рис. 3). Расчеты показывают, что средние во времени силы при действующих значениях токов до 100 А и числе витков меньше или равных 50 оказываются в пределах 1 кгс. Вместе с тем сжимающие силы в соленоиде возникают и от взаимодействия с собственным магнитным полем. Этот вопрос подробно рассматривался в [2, 7, 8]. В [8] приведен пример расчета сжимающих сил для соленоида с отношением длины к диаметру, равным единице, из которого следует, что при числе витков, равном 50, но с действующим значением тока в 250 А, средние по времени сжимающие силы будут достигать 4 кгс и они должны быть учтены при выборе конструктивных элементов и креплений.

В заключение заметим, что результат (7) можно обобщить и на случай несимметричного вылета соленоида за торцевые плоскости, когда М1-22 ф М1-22", и тогда

0

M = M12 + M1-22'+ M1-22",

(8)

где Mi_22' Ф Mi_22" - взаимная индуктивность между

катушкой и частью соленоида за торцевой плоскостью с противоположной стороны.

Список использованной литературы

1. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Электродинамические силы в ошиновке электротехнического оборудования автономных систем // Электротехника. 2018. № 4. С. 53-57.

2. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Расчет индуктивностей однослойного и двухслойного соленоида с учетом особенностей практического применения // Электричество. 2019. № 10. С. 48-53. DOI: 10.24160/00135380-2019-10-48-53.

3. Накопители энергии / Д.А. Бут, Б.Л. Алиевский, С.Р. Мизюрин, П.В. Васюкевич; под ред. Д.А. Бута. Москва: Энергоатомиздат, 1991. 398, [1] с.

4. Калантаров П.А., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей: справ. книга. Ленинград: Энергоатомиздат, 1986. 487, [1] с.

5. Цицикян Г.Н. Взаимные индуктивности и силы взаимодействия соосных контуров соленоидов и катушек // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. № 6. С. 90-99.

6. Цицикян Г.Н., Бобровников П.В., Антипов М.Ю. Руководство по расчету индуктивностей и электродинамических сил в токоведущих частях электротехнических комплексов. Санкт-Петербург: Крыловский гос. научный центр, 2020. 118 с.

7. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Строгие и аппроксимирующие выражения для индуктивности соленоидов круговой и квадратной формы // Электричество. 2020. № 2. С.35-41. DOI: 10.24160/00135380-2020-2-35-41.

8. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Оценка сжимающих сил, действующих на тонкослойные катушки (соленоиды) с током // Известия Российской академии наук. Энергетика. 2018. № 5. С. 26-31. DOI: 10.31857/S000233100003212-7.

References

1. G.N. Tsitsikyan, M.Yu. Antipov. Electrodynamic forces in the busbar of electrotechnical equipment of autonomous systems // Elektrotekhnika. 2018. No. 4. P. 53-57 (in Russian).

2. G.N. Tsitsikyan, M.Yu. Antipov. Calculation of inductivi-ties for single-layer and two-layer solenoid taking into account the features of practical application // Electricity. 2019. No. 10. P. 48-53. DOI: 10.24160/0013-53802019-10-48-53 (in Russian).

3. Energy storage devices / D.A. Bout, B.L. Alievsky, S.R. Mizyurin, P.V. Vasyukevich; ed. by D.A. Bout.

Moscow: Energoatomizdat, 1991. 398, [1] p. (in Russian).

4. P.A. Kalantarov, L.A. Tseitlin. Calculation of in-ductivities: reference book. Leningrad: Energoatomizdat, 1986. 487, [1] p. (in Russian).

5. G. Tsitsikyan. Mutual inductances and interaction forces of coaxial circuits, solenoids and coils // USSR Academy of Sciences. Izvestiya. Power engineering and transport. 1985. No. 6. P. 90-99 (in Russian).

6. G.N. Tsitsikyan, P.V. Bobrovnikov, M.Yu. Antipov. Manual for calculating inductivities and electrodynamic forces in conductive parts of electrical complexes. St. Petersburg: Krylov State Research Centre, 2020. 118 p. (in Russian).

7. G.N. Tsitsikyan, M.Yu. Antipov. Strict and approximating expressions for the inductance of circular and square shape solenoids // Electricity. 2020. No. 2. P. 35-41. DOI: 10.24160/0013-5380-2020-235-41 (in Russian).

8. G.N. Tsitsikyan, M.Yu. Antipov. Evaluation of com-pressive forces acting on thin-layer coils (solenoids) with current // A journal of the Russian Academy of Sciences. Power engineering. 2018. No. 5. P. 26-31. DOI: 10.31857/S000233100003212-7 (in Russian).

Сведения об авторах

Цицикян Георгий Николаевич, д.т.н., профессор, начальник сектора - заместитель начальника отдела филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, ул. Благодатная, д. 6. Тел.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.

Антипов Михаил Юрьевич, инженер-конструктор 1 категории филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Благодатная, д. 6. Тел.: +7 (812) 369-94-91. E-mail: [email protected]. Ахмед Рифаат Абуэльфадл Махмуд, преподаватель кафедры электротехники Инженерного факультета Университета Порт-Саида. Адрес: 42526, Египет, Порт-Саид, Порт-Фоад. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0002-4865-9045.

About the authors

Georgy N. Tsitsikyan, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Sector -Deputy Head of Department, TSNII SET branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.

Mikhail Yu. Antipov, 1st Category Design Engineer, SET Branch, Krylov State Research Centre. Address: 6, Blago-datnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: +7 (812) 369-94-91. E-mail: [email protected]. Ahmed Refaat Abouelfadl Mahmoud, Lecturer at Electrical Engineering Department, Faculty of Engineering, Port Said University. Address: 42526, Port Foad, Port Said, Egypt. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0002-4865-9045.

Поступила / Received: 18.03.21 Принята в печать / Accepted: 14.05.21 © Коллектив авторов, 2021